CHUYÊN ĐỀ KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM - PHẠM MAI TRANG - ĐHSPHN2

https://twitter.com/daykemquynhon 

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 

www.facebook.com/daykem.quynhon 

http://daykemquynhon.blogspot.com 

http://daykemquynhon.ucoz.com 

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / 

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định 

CHUYÊN ĐỀ: 

KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG 

BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM 

MỤC LỤC 

A. MỤC TIÊU DẠY HỌC ................................................................................................. 2 

B. HÌNH THỨC, KẾ HOẠCH DẠY HỌC ........................................................................ 2 

1. Hình thức dạy học ....................................................................................................... 2 

2. Kế hoạch dạy học ........................................................................................................ 2 

C. NỘI DUNG BÀI HỌC .................................................................................................. 3 

I. BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM ................................................................................... 3 

1. Một số tính chất cơ bản của bất đẳng thức................................................................ 3 

2. Một số quy tắc chung trong chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức AM- 

GM. ............................................................................................................................. 3 

3. Bất đẳng thức AM-GM ............................................................................................ 4 

II. KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM. .................. 5 

1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên. ..................................... 5 

2. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở tâm. .................................... 11 

3. Bài tập áp dụng. ..................................................................................................... 18 

D. KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ ............................................................................................. 23 

DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM 

HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO) 

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN 

Phạm Mai Trang – ĐHSPHN2 Page 1 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú 

www.facebook.com/daykemquynhonofficial 

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial








A. MỤC TIÊU DẠY HỌC 

• Căn cứ: 

+) Chuẩn KT-KN 

+) Yêu cầu của nhà trường 

+) Khả năng, mong muốn của HS… 

• Mục tiêu dạy học: 

Về kiến thức: 

+) Học sinh hiểu các tính chất cơ bản của bất đẳng thức. 

+) Học sinh biết các quy tắc khi làm bài toán bất đẳng thức. 

+) Học sinh hiểu bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM). 

+) Học sinh chứng minh được bất đẳng thức AM-GM dạng 2 số không âm. 

+) Học sinh biết phương pháp quy nạp kiểu Cauchy. 

+) Học sinh hiểu kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức AM-GM. 

Về kỹ năng: 

+) Học sinh dự đoán được điểm rơi xảy ra ở đâu. 

+) Học sinh vận dụng được bất đẳng thức AM-GM để giải các bài toán bất đẳng thức 

và cực trị. 

B. HÌNH THỨC, KẾ HOẠCH DẠY HỌC 

1. Hình thức dạy học 

- Tổ chức các hoạt động nhóm: chia lớp thành các nhóm làm bài tập. 

2. Kế hoạch dạy học 

I. BẤT ĐẲNG THỨC 

AM-GM 

Nội dung 

1. Một số tính chất cơ bản của bất đẳng 

thức 

2. Một số quy tắc chung trong chứng minh 

bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức AM- 

GM. 

3. Bất đẳng thức AM-GM 1 

II. KỸ THUẬT CHỌN 1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán 5 

ĐIỂM RƠI TRONG 

BẤT ĐẲNG THỨC 

cực trị xảy ra ở biên. 

2. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán 4 

AM-GM cực trị xảy ra ở tâm. 

3. Bài tập áp dụng 4 

Kiểm tra và chữa bài kiểm tra 2 


Tiết 

1 
















C. NỘI DUNG BÀI HỌC 

I. BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM 

1. Một số tính chất cơ bản của bất đẳng thức. 

+) a ≥ b ⇔ a − b ≥ 0 

+) 

⎧a 

≥ b 

⎨ ⇒ a ≥ c 

⎩b 

≥ c 

+) a ≥ b ⇔ a + c ≥ b + c 

+) 

+) 

⎧a 

≥ b 

⎨ ⇒ a + c ≥ b + d 

⎩c 

≥ d 

1 1 

a ≥ b > 0 ⇒ ≤ 

a b 

2. Một số quy tắc chung trong chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức 

AM-GM. 

+) Quy tắc song hành: hầu hết các BĐT đều có tính đối xứng do đó việc sử dụng các 

chứng minh một cách song hành, tuần tự sẽ giúp ta hình dung ra được kết quả nhanh 

chóng và định hướng cách giả nhanh hơn. 

+) Quy tắc dấu bằng: dấu bằng “ = ” trong BĐT là rất quan trọng. Nó giúp ta kiểm tra 

tính đúng đắn của chứng minh. Nó định hướng cho ta phương pháp giải, dựa vào 

điểm rơi của BĐT. Chính vì vậy mà khi dạy cho học sinh ta rèn luyện cho học sinh có 

thói quen tìm điều kiện xảy ra dấu bằng mặc dù trong các kì thi học sinh có thể không 

trình bày phần này. Ta thấy được ưu điểm của dấu bằng đặc biệt trong phương pháp 

điểm rơi và phương pháp tách nghịch đảo trong kỹ thuật sử dụng BĐT Cô Si. 

+) Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: không chỉ học sinh mà ngay cả một số 

giáo viên khi mới nghiên cứu và chứng minh BĐT cũng thương rất hay mắc sai lầm 

này. Áp dụng liên tiếp hoặc song hành các BĐT nhưng không chú ý đến điểm rơi của 

dấu bằng. Một nguyên tắc khi áp dụng song hành các BĐT là điểm rơi phải được 

đồng thời xảy ra, nghĩa là các dấu “ = ” phải được cùng được thỏa mãn với cùng một 

điều kiện của biến. 

+) Quy tắc biên: Cơ sở của quy tắc biên này là các bài toán quy hoạch tuyến tính, các 

bài toán tối ưu, các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhất nhỏ nhất 

của hàm nhiều biến trên một miền đóng. Ta biết rằng các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 

thường xảy ra ở các vị trí biên và các đỉnh nằm trên biên. 

+) Quy tắc đối xứng: các BĐT thường có tính đối xứng vậy thì vai trò của các biến 

trong BĐT là như nhau do đó dấu “ = ” thường xảy ra tại vị trí các biến đó bằng nhau. 

Nếu bài toán có gắn hệ điều kiện đối xứng thì ta có thể chỉ ra dấu “ = ” xảy ra khi các 

biến bằng nhau và mang một giá trị cụ thể. 

















+) Chiều của BĐT : “ ≥ ”, “ ≤ ” cũng sẽ giúp ta định hướng được cách chứng minh: 

đánh giá từ TBC sang TBN và ngược lại 

3. Bất đẳng thức AM-GM 

3.1. Định lí 

1 

Với mọi số thực dương a 1 

,… a ta có bất đẳng thức: 

, 

n 

Dấu "=" xảy ra ⇔ a1 = … = an 

. 

3.2. Chứng minh 

Sử dụng phương pháp " quy nạp Cauchy" 

a 

+) Với n = 2 ta có: 

a + a 

2 

1 2 

⇒ ≥ a1a2 

( đúng) 

a . . (1) 

1 

… an 


a 

+ … + a 

n 

a + a − 2 a a ( a − a ) 

2 

1 

+ a2 

1 2 1 2 1 2 

− a1a2 

= = ≥ 

2 2 2 

Dấu "=" xảy ra ⇔ a1 = a2 

. 

a1 

+ … + 

+) Giả sử (1) đúng với n = k ta có: 

Ta đi CM (1) đúng với n = 2k 

a1 + + a2k 

1 ⎛ … 

Xét: 

… a1 + + ak ak + 1 

+ … + a2k 

= ⎜ + 

2k 

2 ⎝ k 

1 

≥ + 

2 

k 

( a1. …. a 

k 

k 

ak + 1. …. 

a2k 

) 

≥ 

k 

a .…. a . a .…. 

a 

k 

1 k k + 1 2k 

a . . a ..... a 

= 

2k 

1 

… 

k 2k 

k 

k 

a 

k 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

≥ 

k 

a . . 1 

… a 

⎧ a1 

= … = ak 

⎪ 

Dấu "=" xảy ra ⇔ ⎨ ak 

+ 1 

= … = a2k 

⇔ a1 = ... = ak = ak + 1 

= ... = a2k 

. 

⎪ 

⎩a1... ak = ak + 1... 

a2k 

a1 

+ … + ap 

p 

+)Giả sử (1) đúng với n = p ta có: 

≥ a . . 1 

… ap 

p 

Ta đi CM (1) đúng với n = p − 1 

a1 + … + ap− 

1 p−1 

Đặt ap 

= ≥ a1. …. 

ap− 

1 

p −1 

Xét 

a . . 

1 

+ … + a a a a a 

p− 1 

+ a + … + + … 

p 

≥ 

p 

p 

p−1 

1 p−1 1 p−1 

p 

≥ a .…. a . a .…. 

a 

p−1 

1 p−1 1 p−1 

a a p 

p−1 

= 

1. …. 

−1 

⇒ a + … + a + a .…. a ≥ p. a .…. 

a 

p−1 p−1 

1 p−1 1 p−1 1 p−1 


⇔ a + … + a ≥ ( p −1) a .…. 

a 

a 

⇔ 

1 

1 1 p − 

p− 

1 p−1 

+ … + a 

1 p−1 p−1 

p −1 

≥ 

a .…. 

a 

1 p−1 

k 

n 

≥ 

n 

0 















a1 + … + ap− 

1 

Dấu "=" xảy ra ⇔ a1 = … = ap− 

1 

= 

⇔ a1 = … = ap 

− 1 

p −1 

Ta có điều phải chứng minh. 

4. Một số hệ quả. 

⎛ 1 1 1 ⎞ 

2 

4.1.( a1 + a2 

+ ... + a 

n ) ⎜ + + ... + ⎟ ≥ n với ∀ ai 

> 0, i = 1, n 

⎝ a1 a2 

an 

⎠ 

2 

1 1 1 n 

4.2. + + ... + ≥ 

với ∀ ai 

> 0, i = 1, n 

a1 a2 an 

a1 + a2 

+ ... + an 

n ∈ Z, n ≥ 2 : a , a ,..., a , b , b ,..., b ta có: 

4.3.Cho 2n số dương ( ) 1 2 n 1 2 

n 

( + )( + )... n 

( + ) ≥ ... + 

n 

... 

a b a b a b a a a b b b 

1 2 2 2 n n 1 2 n 1 2 n 

II. KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM. 

1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên. 

1.1. Quy tắc biên. 

Cơ sở của quy tắc biên này là các bài toán quy hoạch tuyến tính, các bài toán tối ưu, 

các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm nhiều 

biến trên một miền đóng. Ta biết rằng các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thường xảy ra ở 

các vị trí biên và các đỉnh nằm trên biên. Khi các biến có giá trị tại biên. Khi đó ta gọi 

bài toán có cực trị đạt được tại biên. 

1.2. Một số bài toán. 

Bài toán 1: Cho số thực a ≥ 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của 

+) Sai lầm thường gặp là: 

n 

1 

A = a + 

a 

1 1 

A = a + ≥ 2 a. 

= 2 . Vậy GTNN của A là 2. 

a a 

+) Nguyên nhân sai lầm: 

1 

GTNN của A là 2 ⇔ a = ⇔ a = ± 1vô lý vì theo giả thuyết thì a ≥ 2 . 

a 

+) Phân tích: 

Do a càng tăng thì A càng tăng nên ta dự đoán A đạt GTNN khi a = 2 ⇒ A đạt GTNN 

tại “Điểm rơi a = 2 ”. 

Ta không thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số a và 1 a 

dấu “=”. Vì vậy ta phải tách a hoặc 1 a 

quy tắc dấu “=”. 

Giả sử ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số 

a = 2 ” thì 

a 1 

= , ta có sơ đồ sau: 

α a 

vì không thỏa quy tắc 

để khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy thì thỏa 

⎛ a 1 ⎞ 

⎜ , ⎟ 

⎝ α a ⎠ 

sao cho tại “Điểm rơi 

















⎧ a 2 

⎪ 

= 

α α 2 1 

a = 2 ⇒ ⎨ ⇒ = ⇒ α = 4 

⎪1 

1 α 2 

= 

⎩a 

2 

1 a 3a 

1 

Khi đó: A a + = + + 

a 4 4 a 

1 a 1 3a 

a 1 3a 

3.2 5 

A = a + = + + ≥ 2 . + ≥ 1+ 

= 

a 4 a 4 4 a 4 4 2 

a 1 

Dấu “=” xảy ra ⇔ = hay a = 2 

4 a 

= và ta có lời giải như sau: 

Vậy GTNN của A là 2 

5 . 

a 1 

⎛ ⎞ 

+) Lưu ý:Để giải bài toán trên, ngoài cách chọn cặp số ⎜ , ⎟ 

⎝ α a ⎠ 

⎛ 

cặp số sau: α a, 

1 ⎛ ⎞ 

hoặc a α ⎛ 1 ⎞ 

, ⎟ hoặc a, ⎟ . 

⎠ α ⎠ 

⎜ 

⎝ 

⎞ 

⎟ 

a ⎠ 

⎜ 

⎝ 

Bài toán 2: Cho số thực a ≥ 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 

Sơ đồ điểm rơi: 

⎧ a 2 

⎪ = 

α α 2 1 

a = 2 ⇒ ⎨ ⇒ = ⇒ α = 8 

⎪ 1 1 α 4 

= 

2 

⎩a 

4 

Sai lầm thường gặp là: 

“=” xảy ra ⇔ a = 2 . 

9 


a 

⎜ 

⎝ 

a 

1 

A = a + 

2 

a 

ta có thể chọn các các 

a 1 7a 

a 1 7a 

1 7a 

1 7.2 

A = + + ≥ 2 . + = + ≥ + = 

2 2 

8 a 8 8 a 8 2a 

8 2.2 8 

9 

. Dấu 

4 

Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù GTNN của A là 4 

9 là đáp số đúng nhưng cách giải 

trên mắc sai lầm trong đánh giá mẫu số: “ 

1 1 

a ≥ 2 ⇒ ≥ là sai”. 

2a 

2.2 

a a 1 6a 

a a 1 6a 

3 6.2 

Lời giải đúng: A = + + + ≥ 3. 3 . . + ≥ + = 

2 2 

8 8 a 8 8 8 a 8 4 8 

Dấu “=” xảy ra ⇔ a = 2 


9 . 

1.3. Ví dụ áp dụng 

Ví dụ 1: Cho 2 số thực dương a, b thỏa a + b ≤1. Tìm GTNN của 

Phân tích: 

9 

4 

1 

A = ab + . 

ab 

















2 

⎛ a + b ⎞ 1 

Ta có: ab ≤ ⎜ ⎟ ≤ 

⎝ 2 ⎠ 4 

⎧ab 

1 

1 ⎪ 

= 

α 4α 

1 

Sơ đồ điểm rơi: ab = ⇒ ⎨ ⇒ = 4 ⇒ α = 

4 ⎪ 1 4α 

= 4 

⎩ab 

Giải: 

Ta có: 

2 

⎛ a + b ⎞ 1 1 

ab ≤ ⎜ ⎟ ≤ ⇒ −ab 

≥ − 

⎝ 2 ⎠ 4 4 

1 

1 

1 17 

A = 16 ab + −15ab 

≥ 2 16ab 

−15ab 

≥ 8 −15. 

= 

ab 

ab 

4 4 

1 1 

Dấu “=” xảy ra ⇔ ab = ⇔ a = b = 

4 2 

17 

Vậy GTNN của A là . 4 

2 18 

Ví dụ 2: Cho số thực a ≥ 6. Tìm GTNN của A = a + . 

a 

Phân tích: 

2 18 2 9 9 

Ta có: A = a + = a + + 

a a a 

Dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng. Ta dự đoán A đạt GTNN khi a = 6 . 

2 

⎧a 

36 

⎪ = 

36 3 

Ta có sơ đồ điểm rơi: a = 6 ⇒ 

α α 

⎨ ⇒ = ⇒ α = 24 

⎪9 

9 3 α 2 

= = 

⎪⎩ 

a 6 2 

Giải: 

2 2 2 2 

a 9 9 23a a 9 9 23a 

9 23.36 

Ta có: A = + + + ≥ 33 

. . + ≥ + = 39 

24 a a 24 24 a a 24 2 24 

2 

a 9 

Dấu “=” xảy ra ⇔ = ⇔ a = 6 

24 a 

Vậy GTNN của A là 39. 

Ví dụ 3: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a + 2b 

+ 3c 

≥ 20 . Tìm GTNN của 

3 9 4 

A = a + b + c + + + 

a 2b 

c 

Phân tích: 

Dự đoán GTNN của A đạt được khi a + 2 b + 3c 

= 20 ,tại điểm rơi = 2 , b = 3, c = 4 


⎧ a 2 

⎪ 

= 

α α 2 3 4 

a = 2 ⇒ ⎨ ⇒ = ⇒ α = 

⎪3 

3 α 2 3 

= 

⎩a 

2 

1 

16 

a . 

















⎧ b 3 

⎪ 

= 

β β 3 3 

b = 3 ⇒ ⎨ ⇒ = ⇒ β = 2 

⎪ 9 3 β 2 

= 

⎪⎩ 

2b 

2 

⎧c 

4 

⎪ 

= 

γ γ 4 

c = 4 ⇒ ⎨ ⇒ = 1 ⇒ γ = 4 

⎪4 

γ 

= 1 

⎪⎩ 

c 

Giải: 

⎛ 3a 3 ⎞ ⎛ b 9 ⎞ ⎛ c 4 ⎞ a b 3c 

A = ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ + ⎜ + ⎟ + + + 

⎝ 4 a ⎠ ⎝ 2 2b ⎠ ⎝ 4 c ⎠ 4 2 4 

3a 3 b 9 c 4 a + 2b + 3c 

≥ 2 . + 2 . + 2 . + 

4 a 2 2b 4 c 4 

≥ 3+ 3+ 2 + 5 = 13 

Dấu “=” xảy ra ⇔ a = 2 , b = 3, c = 4 


⎧ab 

≥ 12 

Ví dụ 4: Cho3 số thực dương a, b, c thỏa ⎨ . Chứng minh rằng: 

⎩bc 

≥ 8 

⎛ 1 1 1 ⎞ 8 121 

( a + b + c) 

+ 2⎜ 

+ + ⎟ + ≥ 

⎝ ab bc ca ⎠ abc 12 

Phân tích: 

⎧ab 

= 12 

Dự đoán GTNN của A đạt được khi ⎨ ,tại điểm rơi a = 3 , b = 4, c = 2. 

⎩bc 

= 8 

Giải: 

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 

a 2 2 1 

3 3 . . 

18 + b 24 + a b 

ab 

≥ 18 24 ab 

= 2 

a 2 2 

9 + c 

6 + a c 

ca 

≥ 9 6 ca 

= 

33 

. . 1 

b 2 2 3 

33 

. . 

16 + c 8 + b c 

bc 

≥ 16 8 bc 

= 4 

a 8 8 4 

4 4 . . . 

9 + c 6 + b 12 + a c b 

abc 

≥ 9 6 12 abc 

= 3 

13a 13b 13a 13b 

13 13 13 

+ ≥ 2 . ≥ 2 . .12 = 

18 24 18 24 18 24 3 

13b 13c 13b 13c 

13 13 13 

+ ≥ 2 . ≥ 2 . .8 = 

48 24 48 24 48 24 4 


Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được: ( a + b + c) 

(đpcm). 

⎛ 1 1 1 ⎞ 8 

+ 2⎜ 

+ + ⎟ + ≥ 

⎝ ab bc ca ⎠ abc 


121 

12 















Ví dụ 5: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: ab + bc + ca = 1. Chứng 

2 2 2 

minh rằng: 10a + 10b + c ≥ 4 . 

Phân tích: 

Với 0 < α < 10 . Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 

2 

2 

2 c 

2 c 

αa 

+ ≥ 2 αa 

. = 2α 

ac 

2 2 

2 

2 

2 c 

2 c 

αb 

+ ≥ 2 αb 

. = 2α 

bc 

2 

2 

2 

2 

2 

2 

( 10 − α ) a + ( 10 − α ) b ≥ 2 ( 10 − α ) a ( 10 − α ) b = ( 20 − 2α 

)ab 

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta có: 

2 2 2 

10a 

+ 10b 

+ c ≥ 2α ( ac + bc) + ( 20 − 2α 

)ab 

Cân bằng điều kiện giả thuyết có: 

2 

2α 

= 20 − 2α 

⇔ 2α 

= 400 − 80α 

+ 4α 

⇒ α = 8 

Giải: 


2 

2 

2 c 

2 c 

8a + ≥ 2 8a 

. = 4ac 

2 2 

2 

2 

2 c 

2 c 

8b + ≥ 2 8b 

. = 4bc 

2 2 

2 

⇔ 2α 

2 2 

2 2 

2a + 2b 

≥ 2 2a 

.2b 

= 4ab 


2 2 2 

10a + 10b + c ≥ 4 ab + bc + ca = 4.1 = 4 ( đpcm) 

( ) 

2 

⎧ 2 c 

⎪8a 

= 

⎪ 

2 ⎧ 1 

2 a = b = 

⎪ 2 c 

⎪ 3 

Dấu "=" xảy ra ⇔ ⎨8b 

= ⇔ ⎨ . 

⎪ 2 ⎪ 4 

c 

2 2 = 

⎪ 2a 

= 2b 

⎪⎩ 

3 

⎪ 

⎩ 

⎡α 

= 8 

− 41α 

+ 200 = 0 ⇒ ⎢ 

⎢ 

25 

α = > 10 

⎣ 2 

3 3 

Ví dụ 6: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện: a + b ≤ 1. Tìm giá trị lớn 

nhất của biểu thức: A = a + 4b 

. 

Phân tích: 

3 3 

Dự đoán A đạt GTLN khi: a + b = 1 

⎧a 

= α 

3 3 

Giả sử A đạt GTLN khi: ⎨ . Ta có: α + β = 1 (1) 

⎩b 

= β 

3 

3 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số: a và 2 số α ta có: 

















( ) 2 

a 3 α 3 3 a 3 α 3 α 

2 a 

+ 2 ≥ 3. . = 3 

Tương tự: ( ) 3 

2 

b 3 β 3 b 3 β 3 β 

2 b 

+ 2 ≥ 3 . = 3 

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được: 

3 3 3 3 2 2 

α β α β 

( ) ( ) 

a + b + 2 + ≥ 3 a + 3 b 

α a a α α 

Để xuất hiện ở vế phải a + 4b 

ta chọn α, 

β sao cho: 

3β b 4b 

β 4 β 2 

⎧ 

⎧ α 1 

α = 

⎪ = ⎪ 

Từ (1) và (2) ta có hệ: ⎨ β 2 ⇔ ⎨ 

⎪ 3 3 

α β 1 ⎪ 

⎩ + = 

⎪ 

β = ⎩ 

Giải: 


3 

3 

3 

3 

2 3 

3 1 1 

a 

3 

3 1 1 1 

+ + ≥ 3. a . . = a 

3 

9 9 9 9 3 

3 8 8 4 

b + + ≥ b 

3 

9 9 3 

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được: 

3 3 1 

( a + b ) + 2 ≥ ( a + 4b) 

3 

3 

⇒ a + 4b 

≤ 

3 

3 

3 

3 

[( a + b ) ] 3 + 2 ≤ 3 

3 

3 

2 2 

3 1 1 

= ⇔ = ⇔ = 

2 2 

(2) 

3 

⎧ 3 1 ⎧ 3 

a = a = 

⎪ 9 ⎪ 3 

Dấu “=” xảy ra khi ⎨ ⇔ ⎨ 

3 

⎪ 3 8 

b = ⎪ 2 3 

⎪ 

b = 

⎩ 9 ⎪⎩ 

3 

3 

Vậy GTLN của A là 3 3 

Ví dụ 7: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện: a + b + c = 3. Tìm GTNN 

2 2 2 

của A = 4a 

+ 6b 

+ 3c 

Phân tích: 

Với α, β , γ > 0. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 

4a 

6b 

3c 

2 

2 

2 

2 

+ α ≥ 2 4a 

. α = 2 4α 

a 

2 

+ β ≥ 2 6b 

. β = 2 6β 

b 

2 

+ γ ≥ 2 3c 

. γ = 2 3γ 

c 


2 2 2 

4a 

+ 6b 

+ 3c 

+ α + + β + γ ≥ 2 4α 

a + 2 6βb 

+ 2 3γ 

c 

















Dấu “=” xảy ra 

⎧a + b + c = 3 

⎪ 

⎧ a + b + c = 3 ⎪ α 

a = 

⎪ 2 

⎪ 4 

⎪4a 

= α ⎪ 

α β γ 

⇔ ⎨ ⇔ 3 

2 ⎨ β ⇒ + + = 

⎪6b 

= β ⎪b 

= 

4 6 3 

⎪ 

6 

2 

3c 

γ ⎪ 

⎩ = 

⎪ γ 

⎪c 

= 

⎩ 3 

α = β = γ 

Chọn α, β , γ sao cho 4 6 3 

Ta có hệ phương trình: 

⎧ α β γ 

⎪ + + = 3 

⎧ α β γ ⎪ 4 6 3 

⎪ + + = 3 ⎪ 4α 

α 4α 4α 

⎨ 4 6 3 ⇔ ⎨β 

= 

⇔ + + = 3 

⎪ 6 

⎩4α = 6β = 3γ 

⎪ 

4 6.6 3.3 

⎪ 4α 

⎪γ 

= 

⎩ 

3 

⎧ 8 

1 1 2 

α ⎛ ⎞ 

β = 

⎪ 3 

⇔ ⎜ + + ⎟ = 3 ⇔ α = 4 ⇒ ⎨ 

⎝ 2 3 3 ⎠ 

⎪ 16 

γ = 

⎪⎩ 3 

Giải: 


2 

2 

4a + 4 ≥ 2 4a 

.4 = 8a 

2 8 

2 6 

6b + ≥ 2 8b 

. = 8b 

3 3 

2 16 

2 16 

3c + ≥ 2 3c 

. = 8c 

3 3 

Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên ta được: 

2 2 2 8 16 

4a 

+ 6b 

+ 3c 

+ 4 + + ≥ 8( a + b + c) 

= 24 

3 3 

2 2 2 

⇒ 4a 

+ 6b 

+ 3c 

≥ 12 

⎧a + b + c = 3 ⎧ 

⎪ 2 

4a 

4 ⎪ a = 1 

⎪ = 

⎪ 

2 


2 8 ⎪ 

⇔ ⎨6b 

= ⇔ ⎨b 

= 

⎪ 3 ⎪ 3 

⎪ 4 

2 16 ⎪ 

⎪3c 

= ⎪c 

= 

⎩ 3 ⎩ 3 


2. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở tâm. 

Các biến có giá trị bằng nhau. Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại tâm 


2.1. Một số bài toán. 
















Bài toán 1: Cho 2 số thực dương a, b thỏa a + b ≤1. Tìm GTNN của: 

+) Sai lầm thường gặp là: 

1 1 

A = a + b + + ≥ 4 

a b 


1 1 

a. 

b. 

. 

a b 

4 = 


4 

1 1 

A = a + b + + 

a b 

1 1 

GTNN của A là 4 ⇔ a = b = = ⇔ a = b = 1. Khi đó a + b = 2 ≥ 1 trái giả thuyết . 

+) Phân tích: 

a 

b 

Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại 

⎧ a b 1 

1 ⎪ 

= = 

α α 2α 

1 

1 

Sơ đồ điểm rơi: a = b = ⇒ ⎨ 

⇒ = 2 ⇒ α = 

2 ⎪1 

1 2α 

4 

= = 2 

⎩a 

b 

+)Lời giải đúng: 

⎛ 1 1 ⎞ 

1 1 

A = ⎜ 4a 

+ 4b 

+ + ⎟ − 3a 

− 3b 

≥ 44 4a..4b. 

. − 3 b = 

⎝ a b ⎠ 

a b 

Dấu “=” xảy ra ⇔ 

1 

a = b = 

2 


Bài toán 2: Cho 

+) Sai lầm thường gặp: 

Sai lầm 1: Ta có: 

( a + ) ≥ 8 − 3 5 

1 

a = b = 

2 

⎧ a, b > 0 

1 1 

⎨ . Tìm GTNN của biểu thức P = + + 4ab 

. 

⎩a 

+ b ≤ 

2 2 

1 

a + b ab 

1 1 1 4 1 4 ⎛ 1 ⎞ 

P = + + + 4ab ≥ + + 4ab = + 4ab 

a 2 b 2 2ab 2ab a 2 b 2 

⎜ + ⎟ 

+ + + 2ab 2ab ⎝ 2ab 

⎠ 

1 1 

Mặt khác: + 4ab 

≥ 2 4ab 

= 2 2 . Vậy 4 2 2 

2ab 

2ab 

Sai lầm 2: 

( a + b) 2 

P ≥ + nên MinP = 2( 2 2) 

















1 1 ⎛ 1 ⎞ 1 4 1 1 1 1 

P = + + ⎜ 4ab + ⎟ + ≥ 2 4ab 

+ ≥ 4 + 2 + = 6 + 

+ ⎝ ⎠ + 

( a b) 2 

a 2 b 2 ab 4ab 4ab ab 4ab 4ab 4ab 


MinP = 7 khi 

2 2 

⎧ a + b = 2ab 

⎪ 2 2 1 1 

⇔ ⎨ a b = ⇔ a = b = . Thay 

⎪ 16 2 

⎪ 

⎩ 

a + b = 1 

1 

a = b = . 

2 


1 

a = b = vào ta được P ≥ 7 

2 

Sai lầm 1: Với những bạn chưa có khái niệm “điểm rơi”, việc tách 1 = 1 + 

1 

ab 2ab 2ab 

là do thói quen để làm xuất hiện 

⎧ a = b 

2 2 

( ) 2 

⎪ 1 

a + b + 2 ab = a + b . MinP = 4 + 2 2 ⇔ ⎨ = 4ab ⇒VN 

. 

⎪2ab 

⎪⎩ a + b = 1 

Dấu “=” bất đẳng thức không xảy ra ⇒ Không kết luận được MinP = 4 + 2 2 

1 

Sai lầm 2: Với bạn đã có khái niệm điểm rơi, dự đoán được dấu bằng khi a = b = 

2 

1 

nếu đã tách các số hạng và MinP = 7 khi a = b = đúng, nhưng bước cuối làm sai ví 

2 

dụ như ( 1− x) 2 

+ x ≥ x, dấu bằng xảy ra khi x = 1⇒ Min ⎡( x − 1) 2 

+ x⎤ 

= 1??. 

⎣ ⎦ 

+) Lời giải đúng: 

Do P là biểu thức đối xướng với a,b, ta dự đoán MinP đạt tại 

1 

a = b = , ta có: 

2 

1 1 ⎛ 1 ⎞ 1 4 1 1 

P = + + 4 2 4 7 

2 2 ⎜ ab + ⎟ + ≥ + ab + ≥ 

a + b ab ⎝ 4ab ⎠ 4ab ( a + b) 2 ab ⎛ a + b ⎞ 

2 

4⎜ 

⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

















Dấu bằng xảy ra 

Bài toán 3: Cho 

+) Sai lầm thường gặp: 

2 2 

⎧ a + b = 2ab 

⎪ 2 2 1 1 

⇔ ⎨ a b = ⇔ a = b = . 

⎪ 16 2 

⎪ 

⎩ 

a + b = 1 

⎧ a, b > 0 

1 1 1 

⎨ .Tìm GTNN của biểu thức S = + + . 

⎩a 

+ b ≤ 

3 3 2 2 

1 

a + b a b ab 

1 1 1 1 1 

Ta có: S = 3 3 2 2 2 2 

a + b + 3a b + 3ab + 3a b + 3ab 

9 2 ⎛ 1 1 ⎞ 

≥ + 

3 3 2 2 ⎜ + 

2 2 ⎟ 

a + b + 3a b + 3ab 3 ⎝ a b ab ⎠ 

9 1 ⎡ 1 1 ⎤ 

= + 2 ab ⎢ 

+ 

⎣ a b ⎥ 

⎦ 

( a + b) 3 

2 4 59 

≥ 9 + ≥ 

2 

⎛ a + b ⎞ a + b 3 

3⎜ 

⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

Vậy MinS = 59 3 


MinS = 59 3 

+) Lời giải đúng: 

3 3 2 

⎧ a + b = 3a b 

⎪ 

⇔ ⎨ a = b ( vn) 

⎪ 

⎩ a + b = 1 

Dự đoán dấu “=” xảy ra khi 

1 

a = b = . 

2 

Ta thấy a 3 + b 3 + 3a 2 b + 3ab 2 = ( a + b) 3 

vì thế muốn xuất hiện ( a b) 3 

đẳng thức 1 + 1 + 

1 

3 3 2 2 

a + b 2a b 2ab 

+ : ta áp dụng bất 














1 1 1 9 

Mà: + + ≥ 

3 3 2 2 

3 

a + b 2a b 2ab a + b − ab a + b 

ta phải dùng bất đẳng thức cho 5 số: 

( ) ( ) 

không đánh giá tiếp được cho nên 




1 1 1 1 1 25 25 

S = + + + + ≥ ≥ ≥ 20 

( ) ( ) 

( a b) 

( ) 

3 3 2 2 2 2 

3 3 

a + b 2a b 2ab 2a b 2ab a + b + ab a + b 3 a + b 

Dấu bằng xảy ra khi 

Vậy MinS = 20 

2.2. Ví dụ áp dụng. 

1 

a = b = 

2 

Ví dụ 1: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa 

1 1 1 

A = a + b + c + + + 

a b c 

Phân tích: 

+ + 

3 

a + b + c ≤ . Tìm GTNN của: 

2 

Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại: 

1 

a = b = c = 

2 


Giải: 

Ta có: 

⎧ a b c 1 

1 ⎪ = = = 

α α α 2α 

1 

1 

a = b = c = ⇒ ⎨ 

⇒ = 2 ⇒ α = 

2 ⎪1 

1 1 2α 

4 

= = = 2 

⎩a 

b c 

⎛ 

4 4 4 1 1 1 ⎞ 

1 1 1 9 13 

A = 3 3 3 6 6 

⎜ a + b + c + + + ⎟ − a − b − c ≥ 4 a .4 b .4 c . . . − 3 ( a + b + c) 

≥ 

a b c a b c 

12 − = 

⎝ 

⎠ 

2 2 


1 

⇔ a = b = c = 

2 

13 


Ví dụ 2: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa 

A = a 

2 

+ b 

2 

Phân tích: 

+ c 

2 

1 1 1 

+ + + 

a b c 

3 

a + b + c ≤ . Tìm GTNN của: 

2 



4 















Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại 

1 

a = b = c = 

2 

⎧ 2 2 2 1 

1 ⎪ 

a = b = c = 

4 1 2 

Sơ đồ điểm rơi: a = b = c = ⇒ ⎨ 

⇒ = ⇒ α = 8 

2 ⎪ 1 1 1 2 4 α 

= = = 

⎩αa 

αb 

αc 

α 

Giải: 

⎛ 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ⎞ 3 3 3 

Ta có: A = ⎜ a + b + c + + + + + + ⎟ + + + 

⎝ 

8a 8b 8c 8a 8b 8c ⎠ 4a 4b 4c 

9 

2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 ⎛ 1 1 1 ⎞ 

≥ 9 a . b . c . . . . . . + ⎜ + + ⎟ 

8a 8b 8c 8a 8b 8c 4 ⎝ a b c ⎠ 

≥ 9 1 9 9 1 9 9 27 

9. . .2 

3 

4 + abc 

≥ 4 + 4 a + b + c 

≥ 4 + 4 = 4 

3 


1 

⇔ a = b = c = 

2 

27 


Ví dụ 3: Cho 2 số thực dương a, b. Tìm GTNN của 

Phân tích: 

a + b ab 

A = + 

ab a + b 

Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại: 

⎧ a + b 2a 

2 

⎪ 

= = 

α ab αa 

α 2 1 

Sơ đồ điểm rơi: a = b ⇒ ⎨ 

⇒ = ⇒ α = 4 

⎪ ab a 1 α 2 

= = 

⎪⎩ 

a + b 2a 

2 

Giải: 

Ta có: 

⎛ a + b ab ⎞ 3 

A = ⎜ 

⎟ 

+ + 

4 

⎝ ab a + b ⎠ 4 


⇔ a = b 


5 

( a + b) 

ab 

≥ 2 

a + b ab 3.2 ab 

. + 

4 ab a + b 4 ab 

Ví dụ 4: Cho 3 số thực dương a, b, c. Tìm GTNN của 

3 5 

= 1+ 

= 

2 2 

a = b 

















Phân tích: 

a b c b + c c + a a + b 

A = + + + + + 

b + c c + a a + b a b c 

Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại: 

⎧ a b c 1 

⎪ 

= = = 

b + c c + a a + b 2 1 2 

Sơ đồ điểm rơi: a = b = c ⇒ ⎨ 

⇒ = ⇒ α = 4 

⎪b 

+ c c + a a + b 2 2 α 

= = = 

⎩ αa 

αb 

αc 

α 

Giải: 

Ta có: 

⎛ a b c b + c c + a a + b ⎞ 3 ⎛ b + c c + a a + b ⎞ 

A = ⎜ + + + + + ⎟ + ⎜ + + ⎟ 

⎝ b + c c + a a + b 4a 4b 4c ⎠ 4 ⎝ a b c ⎠ 

a b c b + c c + a a + b 3 ⎛ b c c a a b ⎞ 

⎜ 

⎟ 

b + c c + a a + b 4a 4b 4c 4 ⎝ a a b b c c ⎠ 

≥ 6 6 . . . . . + + + + + + 

3 b c c a a b 9 15 

≥ 3+ 

.6. 6 . . . . . = 3+ 

= 

4 a a b b c c 2 2 


⇔ a = b = c 

15 


Ví dụ 5: Cho 2 số thực dương a, b thỏa a + b ≤1. Tìm GTNN của: A = 

a 

Phân tích: 


⎧ 1 

2 

1 ⎪ 

= 

2 2 


a + b 

a = b = ⇒ ⎨ ⇒ 2α 

= 2 ⇒ α = 1 

2 ⎪ α 

= 2α 

⎩2ab 

Giải: 

Ta có: 

1 1 

1 

1 

4 

A = + ≥ 2 

≥ 2. 

= ≥ 4 

2 2 

2 2 

2 2 

2 

a + b 2ab 

( a + b ) 2ab 

a + b + 2ab 

( a + b) 

2 



2 2 

⎧a 

+ b = 2ab 

⇔ ⎨ 

⇔ a = b = 

⎩a 

+ b = 1 

a = b = 


1 

2 

1 

+ b 

+ 

2 2 

1 

2ab 

1 

a = b = 

2 


c 















Ví dụ 6: Cho 2 số thực dương a, b thỏa a + b ≤1. Tìm GTNN của : 

1 1 

A = + 

2 2 

1+ 

a + b 2ab 

Phân tích: 


⎧ 1 2 

1 ⎪ 

= 

2 2 

1+ 

a + b 3 2 2 

Sơ đồ điểm rơi: a = b = ⇒ ⎨ 

⇒ = ⇒ α = 3 

2 ⎪ 1 2 3 α 

= 

⎩2αab 

α 

Giải: 

1 1 1 

Ta có: A = + + 

2 2 

1+ a + b 6ab 3ab 

1 1 

≥ 2 

+ 

1 a b 6ab 

3ab 

2 2 

( + + ) 

1 1 

≥ 2. + 

1 

2 2 

+ a + b + 6 ab 3 ab 

2 

= + 

1 4 ab 

4 1 

( a + b) 2 + + ab 3 

2 

4 1 ⎛ ⎛ a + b ⎞ ⎞ 

≥ + Do 

2 2 

ab ≤ ⎜ ⎟ 

2 ⎛ a + b ⎞ ⎛ a + b ⎞ 

⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎟ 

( a + b) 

+ 1+ 4 3 ⎝ ⎠ 

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 

⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 

≥ 

2 

4 

+ 

4 

2 

( a + b) + 1 3( a + b) 

4 4 8 

≥ + = 

2.1+ 

1 3.1 3 


2 

2 

⎧1 

+ a + b 

⎪ 

⇔ ⎨a 

= b 

⎪ 

⎩a 

+ b = 1 


8 . 

3. Bài tập áp dụng. 

2 

= 6ab 

1 

⇔ a = b = 

2 

1 

a = b = 

2 














Bài 1: Cho 

⎧ x,y,z > 0 

⎨ 

⎩xyz = 1 

2 2 2 

x y z 3 

, chứng minh rằng: + + ≥ . 

1+ y 1+ z 1+ 

x 2 




Bài 2: Cho 3 số a, b,c thỏa a, b, c > 0 . Thỏa mãn 

1 

P = a + b + c + . 

abc 

Bài 3: Cho 3 số a, b,c thỏa a, b, c > 0 . Thỏa mãn 

3 2 2 3 2 2 3 2 2 

a b + c + b c + a + c a + b ≤ 24 . 

Bài 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn: abc = 1. CMR: 

b + c c + a a + b 

+ + ≥ a + b + c + 3 

a b c 

Bài 5: Cho a, b, c, d > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 

2 2 2 

a + b + c = 1 Tìm GTNN của : 

2 2 2 

a + b + c = 12 .CMR 

a b c d b + c + d c + d + a d + a + b a + b + c 

S = + + + + + + + 

b + c + d c + d + a d + a + b a + b + c a b c d 

Bài 6 (D-2005): Cho ba số thực dương 

, thỏa xyz = 1. CMR 

x y, 

z 

3 3 3 3 3 3 

1+ x + y 1+ y + z 1+ z + x 

+ + ≥ 3 3 . 

xy yz zx 

Bài 7 ( A-2005): Cho ba số thực dương 

P = 1 1 1 

+ + 

2x 

+ y + z x + 2y 

+ z x + y + 2z 

. 

1 1 1 

, thỏa + + = 4 . Tìm GTLN của 

x y z 

x y, 

z 

Bài 8 (A-2007): Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện 

xyz = 1 . 

2 

x 

Tìm GTNN của biểu thức: A = 

y y + 2z 

HƯỚNG DẪN: 

2 

2 

( y + z) y ( z + x) z ( x + y) 

+ 

z z 

Bài 1:Ta dự đoán dấu ‘=’ xảy ra khi x = y = z = 1. 

z + 2x 

+ 

x x 

x + 2y 

2 

x 

Vì vậy khi áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho và 1+ 

y ta được: 

1+ 

y α 

2 

x 1+ 

y 1 2 

= ⇔ = ⇔ α = 4 

1+ y α 2 α 


y 
















Ta có: 

2 

⎧ x 1+ 

y 

⎪ + ≥ x 

⎪1 + y 4 

2 

⎪ y 1+ 

z 

⎨ + ≥ y 

⎪1 + z 4 

2 

⎪ z 1+ 

x 

⎪ + ≥ z 

1 + x 4 ⎪⎩ 

Dấu ‘=’ xảy ra khi x = y = z = 1. 

Bài 2: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có 

1 8 1 8 

P = a + b + c + abc 

9abc + 9abc ≥ 9abc + ⎛ 

= 

a + b + c ⎞ 

9 

⎜ 3 ⎟ 

⎝ 

⎠ 

( ) 4 4 . 4 3 

2 2 2 

Vậy GTNN của P = 4 3 đạt tại 

1 

a = b = c = . 

3 

Bài 3: Dấu bằng đạt tại : a = b = c = 2 khi đó 4a 2a b c 

Áp dụng BĐT AM-GM như sau: 

3 2 2 

a b c 

3 2 2 

b c a 

3 2 2 

c a b 

3 

4 a.2 a .(b + c ) 4a + 2a 

+ b + c 

+ = ≤ 

2 6 

3 

4 b.2 b .(c + a ) 4b + 2b + c + a 

+ = ≤ 

2 6 

3 

4 c.2 c .(a + b ) 4c + 2c + a + b 

+ = ≤ 

2 6 

2 2 2 2 2 2 

2 2 2 2 2 2 

2 2 2 2 2 2 

2 2 2 

= = + . 

Cộng các vế theo 3 bât đẳng thức trên chú ý a b c a b c 

điều phải chứng minh 

Đẳng thức xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi a = b = c = 2 . 

2 2 2 

+ + ≤ 3( + + ) = 6 ta có 

Bài 4: Do biểu thức đối xứng với a, b,c nên ta dự đoán dấu '' = '' xảy ra khi 

a = b = c = 1 

a, b, c > 0 

Ta sẽ sử dụng BĐT AM-GM: 


b + c c + a a + b 2 bc 2 ca 2 ab ⎛ bc ca ab ⎞ 

+ + ≥ + + = 2 

a b c a b c ⎜ 

+ + 

a b c ⎟ 

⎝ 

⎠ 













⎛ bc ca ⎞ ⎛ ca ab ⎞ ⎛ ab bc ⎞ 

= ⎜ 

+ a b ⎟ 

+ ⎜ 

+ + + 

b c ⎟ ⎜ c a ⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 




bc ca ca ab ab bc 

≥ 2 + 2 + 2 

a b b c c a 

( ) ( ) ( ) 

= 2 a + b + c = a + b + c + a + b + c 

≥ a + b + c + a b c = a + b + c + 

b + c c + a a + b 

Vậy + + ≥ a + b + c + 3 

a b c 

Dấu '' = '' xảy ra khi a = b = c = 1 

Bài 5: Dự đoán a = b = c = d > 0. 

Ta có sơ đồ điểm rơi: 

3 

3 3 

⎧ a b c d 1 

+ + + = 

⎪ b + c + d c + d + a d + a + b a + b + c 3 1 3 

⎨ ⇒ = ⇔ α = 9 

⎪ b + c + d c + d + a d + a + b a + b + c 3 3 α 

+ + + = 

⎪⎩ a b c d α 

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM có: 

⎛ a b + c + d ⎞ 8 b + c + d 

S = ∑ ⎜ + ⎟ + ∑ . 

a, b, c, d ⎝ b + c + d 9a ⎠ a, b, c, 

d 9 9a 

a b c d b + c + d c + d + a d + a + b a + b + c 

≥ 8. 8 + + + + + + + 

b + c + d c + d + a d + a + b a + b + c 9a 9b 9c 9d 

8 ⎛ b c d c d a d a b a b c ⎞ 

+ . ⎜ + + + + + + + + + + + ⎟ 

9 ⎝ a a a b b b c c c d d d ⎠ 

8 8 b c d c d a d a b a b c 8 8 40 

≥ + .1212 

. . . . . . . . . . . = + .12 = 

3 9 a a a b b b c c c d d d 3 9 3 

40 

3 

Vậy Min S = . Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b = c = d > 0 

Bài 6: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số dương ta được : 

















3 3 3 3 3 

3 x y .1 

1 + x + y 

3 

≥ = 

xy xy xy 

3 3 3 3 3 

3 y z .1 

1 + y + z 

3 

≥ = 

yz yz yz 

+ z + x z x 

≥ = 

zx zx zx 

3 3 3 3 3 

1 3 .1 3 

Cộng 3 vế của bất đẳng thức trên ta được : 

3 3 3 3 3 3 

1 1 1 1 1 1 

+ x + y + y + z + z + x 

+ + ≥ 3( + + ) 

xy yz zx xy yz zx 

Mặt khác AM – GM cho 3 số dương ta được : 

1 1 1 1 1 1 

+ + ≥ 3 . . = 3 

xy yz zx xy yz zx 

Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 

Bài 7: Ta có: 

Tương tự: 

1 

1 

1 1 1 1 1 1 1 ⎛ 1 1 1 1 ⎞ 

= 

≤ = 4 . . . ≤ ⎜ + + + ⎟ 

2x 

+ y + z x + x + y + z 44 

x. 

x. 

y. 

z 4 x x y z 16 ⎝ x x y z ⎠ 

1 1 ⎛ 1 1 1 1 ⎞ 

≤ ⎜ + + + ⎟ 

x + 2y 

+ z 16 ⎝ x y y z ⎠ 

1 1 ⎛ 1 1 1 1 ⎞ 

≤ ⎜ + + + ⎟ 

x + y + 2z 

16 ⎝ x y z z ⎠ 


1 1 1 1 ⎛ 4 4 4 ⎞ 

P = + + ≤ ⎜ + + ⎟ = 1 

2x 

+ y + z x + 2y 

+ z x + y + 2z 

16 ⎝ x y z ⎠ 


Vậy GTLN của P là 1. 

1 1 1 4 

3 

⇔ = = = ⇔ x = y = z = 

x y z 3 

4 


Bài 8: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 
















A ≥ 

2 

2 

2 

x .2 yz y .2 zx z .2 xy 

+ 

+ 

y y + 2z 

z z z + 2x 

x x x + 2y 

y 

2x 

x xyz 2y 

y yzx 2z 

z zxy 

≥ 

+ 

+ 

y y + 2z 

z z z + 2x 

x x x + 2y 

y 

≥ 

y 

⎧a 

= y 

⎪ 

Đặt: ⎨b 

= z 

⎪ 

⎪c 

= x 

⎩ 

Khi đó: 

2x 

x 

y + 2z 

y + 2z 

z + 2x 

x + 2y 

2 ⎛ 

≥ ⎜ 6 4.3. 

9 

− + 

⎝ 

+ 

z z 

2y 

⎧ 

⎪x 

z 

⎪ 

x ⇒ ⎨y 

⎪ 

y ⎪ 

⎪z 

⎩ 

y 

z + 2x 

b a c 

. . + 3. 

a c b 

1 

x = 

9 

1 

y = 

9 

1 

z = 

9 

+ 

x x 

2 ⎡ ⎛ b a c ⎞ ⎛ c a b ⎞⎤ 

≥ 6 4 

9 

⎢− 

+ ⎜ + + ⎟ + ⎜ + + ⎟⎥ 

⎣ ⎝ a c b ⎠ ⎝ a b c ⎠⎦ 

2z 

z 

x + 2y 

y 

( − 2a 

+ 4b 

+ c) 

( a − 2b 

+ 4c) 

( 4a 

+ b − 2c) 

2 ⎛ − 2a 

+ 4b 

+ c a − 2b 

+ 4c 

4a 

+ b − 2c 

⎞ 

A ≥ ⎜ 

+ + ⎟ 

9 ⎝ a 

b 

c ⎠ 

c a b ⎞ 2 

. . ⎟ 

= 

a b c ⎠ 9 

( − 6 + 12 + 3) 2 

3 3 

= 

Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c = 1 


D. KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ 

Câu 1: Cho 

BÀI KIỂM TRA 

(Thời gian: 45 phút) 

⎧ a,b,c > 0 

⎨ . Chứng minh rằng: 3 a + 2b + 3 b + 2c + 3 c + 2a ≤ 3 3 3 . 

⎩a + b + c = 3 

Câu 2: Cho các số thực dương a, b,c thỏa a + b + c + 2abc 

≥ 10 . Tìm GTNN của 

2 2 2 

2 2 2 

2 2 

8 9b 

c a 8 9c 

a b 8 9a 

b c 

A = + + + + + + + + 

2 

2 

2 

a 2 4 b 2 4 c 2 4 

ĐÁP ÁN: 

Câu 1: Ta dự đoán dấu" = " trong bất đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 . 


Vậy ta áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số a + 2b,3,3 ta có: 

2 
















3 

1 1 3+ 3 + (a + 2b) 6 + a + 2b 

a + 2b = 3 3.3( a + 2b ) ≤ . 

= , 

3 3 

3 

3 

9 9 3 9 

Tương tự ta có: 

6 + a + 2b 6 + b + 2c 6 + c + 2a 

3 

P ≤ + + = 3 3 

3 3 3 

3 9 3 9 3 9 

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1. 

Câu 2: Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại 

a = b = c = 2 

⎧ a 1 

⎪ = 

⎪ 

α βb 

⎪ b 1 α 

4 ⎧α 

= 4 

Sơ đồ điểm rơi: a = b = c = 2 ⇒ ⎨ = ⇒ = ab = bc = ca = , chọn ⎨ 

⎪α 

βc 

β 

1 ⎩β 

= 1 

⎪ c 1 

⎪ = 

⎩α 

βa 

Ta có: 

⎧ 

2 2 2 

8 9b 

c a 4 

⎪ 2 + 18 + 4 + + ≤ + 9 b + ca 

2 

⎪ 

a 2 4 a 

2 2 2 

⎪ 

8 9c 

a b 4 

⎨ 2 + 18 + 4 + + ≤ + 9 b + ca 

2 

⎪ 

b 2 4 b 

⎪ 

2 2 2 

8 9a 

b c 4 

⎪ 2 + 18 + 4 + + ≤ + 9 b + ca 

2 

⎪⎩ 

c 2 4 a 

⎛ 4 4 4 ⎞ 

⇒ 24. A ≥ ⎜ + + ⎟ + 9 a + b + c + ab + bc + ca 

⎝ a b c ⎠ 

( ) ( ) 

⎛ 4 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ 4 ⎞ 

≥ ⎜ + a ⎟ + ⎜ + b⎟ + ⎜ + c⎟ 

+ a + bc + b + ac + c + ab + a + b + c 

⎝ a ⎠ ⎝ b ⎠ ⎝ c ⎠ 

( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 6( ) 

4 4 4 

≥ 2 . a + 2 . b + 2 . c + 2 2abc + + 2 2abc + + 2 2abc + 6 a + b + c 

a b c 

( a b c abc ) 

≥ 12 + 6 + + + 2 ≥ 72 

72 

⇒ A ≥ = 6 6 

24 

Vây với a = b = c = 2 thì GTNN của A là 6 6 

( )

CHUYÊN ĐỀ KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM - PHẠM MAI TRANG - ĐHSPHN2

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?