DẠY TỰ HỌC HỌC PHẦN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CHO SINH VIÊN CAO ĐẲNG SƯ PHẠM NƯỚC CỘNG HÒA DÂN CHỦ NHÂN DÂN LÀO THÔNG QUA HỆ THỐNG BÀI TẬP PHÂN HÓA

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN 

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM 

–––––––––––––––––––––– 

PHOUANGSAENG PHANHBOUDDI 

DẠY TỰ HỌC HỌC PHẦN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 

CHO SINH VIÊN CAO ĐẲNG SƯ PHẠM 

NƯỚC CỘNG HÕA DÂN CHỦ NHÂN DÂN LÀO 

THÔNG QUA HỆ THỐNG BÀI TẬP PHÂN HÓA 

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC 

THÁI NGUYÊN - 2015 

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 

http://www.lrc.tnu.edu.vn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN 

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM 

–––––––––––––––––––––––– 

PHOUANGSAENG PHANHBOUDDI 

DẠY TỰ HỌC HỌC PHẦN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 

CHO SINH VIÊN CAO ĐẲNG SƯ PHẠM 

NƯỚC CỘNG HÕA DÂN CHỦ NHÂN DÂN LÀO 

THÔNG QUA HỆ THỐNG BÀI TẬP PHÂN HÓA 

Chuyên ngành: Lý luận và Phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán 

Mã số: 60 14 01 11 

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC 

Hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. Trịnh Thanh Hải 

THÁI NGUYÊN - 2015 

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 

http://www.lrc.tnu.edu.vn

https://twitter.com/daykemquynhon 

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 

www.facebook.com/daykem.quynhon 

http://daykemquynhon.blogspot.com 

LỜI CAM ĐOAN 

http://daykemquynhon.ucoz.com 

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / 

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định 

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. 

Trong quá trình làm luận văn, Tôi có tham khảo các tài liệu (đã liệt kê ở 

phần tài liệu tham khảo). 

Các kết quả thực nghiệm sư phạm là trung thực. 

Thái Nguyên, ngày 30 tháng 4 năm 2015 

Tác giả luận văn 

Phouangsaeng Phanhbouddi 

DIỄN ĐÀN TOÁN - LÍ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM 

HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO) 

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN 

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN i 

http://www.lrc.tnu.edu.vn 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú 

www.facebook.com/daykemquynhonofficial 

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial





LỜI CẢM ƠN 




Để hoàn thành luận văn này, tôi xin trân trọng cảm ơn: 

1). Khoa Toán- Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên-Việt Nam. 

2). Trường CĐSP Bankeun-Viêng Chăn-CHDCND Lào. 

3). PGS.TS. Trịnh Thanh Hải-Trường Đại học Khoa học-ĐHTN. 

Tôi cũng xin chuyển lời cảm ơn đến đồng nghiệp, bạn bè và gia đình. 

Thái Nguyên, ngày 30 tháng 4 năm 2015 

Tác giả luận văn 

Phouangsaeng Phanhbouddi 






Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN ii 









MỤC LỤC 




Lời cam đoan ........................................................................................................ i 

Lời cảm ơn ........................................................................................................... ii 

Mục lục ............................................................................................................... iii 

Danh mục các chữ viết tắt .................................................................................. iv 

Danh mục các bảng .............................................................................................. v 

MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1 

1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................. 1 

2. Mục đích nghiên cứu ....................................................................................... 3 

3. Nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................................... 3 

4. Giả thuyết khoa học ......................................................................................... 4 

5. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................. 4 

6. Kết cấu luận văn .............................................................................................. 4 

Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ............................................ 5 

1.1. Vấn đề tự học ................................................................................................ 5 

1.2. Vai trò tự học trong dạy học ......................................................................... 6 

1.3. Quá trình Dạy – Tự học ................................................................................. 8 

1.4. Các hình thức tự học ................................................................................... 10 

1.5. Các cấp độ tự học ....................................................................................... 10 

1.6. Dạy – Tự học ............................................................................................... 11 

1.7. Vấn đề tự học trong trường CĐSP ở CHDCND Lào ................................. 13 

1.8. Thực trạng việc dạy học đại số tuyến tính cho SV trường CĐSP nước 

CHDCND Lào ................................................................................................... 16 


1.9. Định hướng đổi mới phương pháp dạy học trong trường CĐSP nước 

CHDCND Lào ................................................................................................... 18 





Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN iii 












Chƣơng 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN 

THEO ĐỊNH HƢỚNG PHÂN HÓA ............................................................. 23 

2.1. Định hướng xây dựng hệ thống bài tập phân hóa....................................... 23 

2.2. Xây dựng hệ thống bài tập phân hóa cho môn đại số tuyến tính ............... 24 

2.2.1. Hệ thống bài tập mức độ "Thông hiểu" ................................................... 24 

2.2.2. Hệ thống bài tập mức độ "Vận dụng"...................................................... 31 

2.2.3. Hệ thống bài tập mức độ "Phân tích" ...................................................... 41 

Chƣơng 3: SỬ DỤNG BÀI TẬP PHÂN HÓA TRONG DẠY ĐẠI SỐ 

TUYẾN TÍNH NHẰM TĂNG CƯỜNG VIỆC TỰ HỌC CỦA SINH VIÊN .. 61 

3.1. Định hướng chung ...................................................................................... 61 

3.2. Các biện pháp sử dụng hệ thống bài tập phân hóa trong dạy học nội 

dung đại số tuyến tính cho SV CĐSP nước CHDCND Lào ............................. 61 

3.3. Tổ chức thực nghiệm sư phạm ................................................................... 62 

3.3.1. Mục đích dạy thực nghiệm sư phạm ....................................................... 62 

3.3.2. Thời gian, địa điểm và đối tượng thực nghiệm sư phạm ........................ 62 

3.3.3. Nội dung thực nghiệm sư phạm .............................................................. 63 

3.3.4. Kết quả thực nghiệm ................................................................................. 63 

KẾT LUẬN ....................................................................................................... 70 

TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 71 

PHỤ LỤC 






Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN iv 












Viết tắt 

CHDCND 

CĐSP 

DHPH 

ĐCHT 

ĐTGV 

GV 

HĐHT 

HĐD 

HĐH 

HS 

PPDH 

MTĐT 

NLTH 

NCKH 

NCS 

NXB 

SV 

THCS 

TNSP 

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT 

Viết đầy đủ 

Cộng hòa dân chủ nhân dân 

Cao đẳng sư phạm 

Dạy học phân hóa 

Động cơ học tập 

Dào tạo giáo viên 

Giáo viên 

Hoạt động học tập 

Hoạt động dạy 

Hoạt động học 

Học sinh 

Phương pháp dạy học 

Môi trường đào tạo 

Năng lực tự học 

Nghiên cứu khoa học 

Nghiên cứu sinh 

Nhà xuất bản 

Sinh viên 

Trung học cơ sở 

Thực nghiệm sư phạm 






Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN iv 









DANH MỤC CÁC BẢNG 




Bảng 3.1: Kết quả kiểm tra lớp thực nghiệm (Lớp 3A) .................................... 66 

Bảng 3.2: Kết quả kiểm tra lớp đối chứng (Lớp 3B) ........................................ 67 

Bảng 3.3: So sánh kết quả hai lớp thực nghiệm và đối chứng .......................... 69 






Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN v 









MỞ ĐẦU 




1. Lý do chọn đề tài 

Vấn đề tự học đã được nhiều tác giả ở Việt Nam như: Nguyễn Cảnh 

Toàn, Nguyễn Kỳ, Vũ Văn Tảo, Bùi Tường, Trần Kiều, Bùi Văn Nghị nghiên 

cứu. Các chuyên gia đã khẳng định: Tự học là năng lực của người học, nhân tố 

quyết định sự phát triển của bản thân người học. Có tự học tốt thì mới phát 

triển được tư duy độc lập, từ chỗ có tư duy độc lập mới có tư duy phê phán, có 

khả năng phát hiện vấn đề và nhờ đó mới có tư duy sáng tạo. Người học giỏi là 

người biết tự học, có năng lực tự học và thói quen học tập suốt đời. Người dạy 

giỏi là người biết cách làm cho SV tự học tốt nhất. Phát huy năng lực tự học 

của người học vừa là mục tiêu, vừa là phương pháp, vừa là con đường để phát 

triển giáo dục. 

Về việc dạy tự học trong các trường sư phạm ở Việt Nam cũng đã có nhiều 

học viên, NCS tìm hiểu, chẳng hạn như Lê Trọng Dương đã đề cập đến việc hình 

thành và phát triển năng lực tự học cho SV ngành toán hệ cao đẳng sư phạm… 

Khác rất nhiều đối với quan điểm dạy học khác, điểm khá đặc thù của 

dạy học phân hóa là nhằm phát hiện và bù đắp lỗ hổng kiến thức, tạo động lực 

thúc đẩy học tập; biến niềm đam mê trong cuộc sống thành động lực trong học 

tập. Nói cách khác, dạy học phân hóa là con đường ngắn nhất để đạt mục đích 

của dạy học đồng loạt. 

Đặc điểm của dạy học phân hóa (DHPH) là phát hiện và bù đắp lỗ hổng 

kiến thức, tạo động lực thúc đẩy học tập; biến niềm đam mê trong cuộc sống 

thành động lực trong học tập; DHPH là con đường ngắn nhất để đạt mục đích 

của dạy học đồng loạt. DHPH có thể thực hiện ở 2 cấp độ: Phân hóa ở cấp vĩ 

mô (phân hóa ngoài), là sự tổ chức quá trình dạy học thông qua cách tổ chức 


các loại hình trường, lớp khác nhau cho các đối tượng người học khác nhau, 

xây dựng các chương trình giáo dục khác nhau; phân hóa ở cấp vi mô (phân 





Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN 1 












hóa trong, đặc biệt quan trọng), là tổ chức quá trình dạy học trong một tiết học, 

một lớp học có tính đến đặc điểm cá nhân người học, là việc sử dụng những 

biện pháp phân hóa thích hợp trong một lớp học, cùng một chương trình và 

sách giáo khoa. 

Tư tưởng chủ đạo của DHPH là lấy trình độ phát triển chung của người 

học trong lớp làm nền tảng; tìm cách đưa diện yếu kém lên trình độ chung; 

tìm cách đưa diện khá, giỏi đạt những yêu cầu nâng cao trên cơ sở đạt được 

những yêu cầu cơ bản. Bỡi vậy, nguyên tắc của DHPH là GV phải thừa 

nhận người học là khác nhau; xem trọng chất lượng hơn số lượng; tập trung 

vào người học, học tập là sự phù hợp và hứng thú; hợp nhất dạy học toàn 

lớp, nhóm và cá nhân… 

Như vậy, có thể thấy DHPH có chức năng làm cho quá trình và hệ thống 

dạy học thích ứng cao hơn với cá nhân người học, với những đặc điểm của 

nhóm đối tượng để đảm bảo chất lượng học tập, đồng thời đáp ứng hiệu quả 

mục tiêu giáo dục, nhu cầu và lợi ích xã hội. 

DHPH được tổ chức dưới các hình thức như: phân hóa theo hứng thú 

(căn cứ vào đặc điểm hứng thú học tập của SV để tổ chức cho người học tìm 

hiểu khám phá nhận thức); phân hóa theo sự nhận thức (lấy sự phân biệt nhịp 

độ làm căn cứ phân hóa. Nhịp độ được tính bằng lượng thời gian chuyển từ 

hoạt động này sang hoạt động khác, từ nhiệm vụ này sang nhiệm vụ 

khác); phân hóa giờ học theo học lực (căn cứ vào trình độ học lực có thực của 

người học để có những tác động sư phạm phù hợp với người học. Dựa trên 

trình độ khá, trung bình, yếu mà GV giao cho người học những nhiệm vụ tương 

ứng); phân hóa giờ học theo động cơ, lợi ích học tập của người học (với nhóm 

SV có nhu cầu tìm tòi, hiểu biết cao cần xác định nhiệm vụ học tập cao hơn và 

đưa thêm nhiều nội dung, tài liệu học tập cho HS tự học. Với nhóm SV có nhu cầu 


học tập không cao thì việc phân hóa dạy học phải chú ý đến nhiệm vụ, nội dung 

cơ bản và bổ sung những vấn đề thực tiễn giúp người học hào hứng học tập). 

















Ở trường cao đẳng sư phạm nước Cộng hòa dân chủ nhân dân 

(CHDCND) Lào, trong khối kiến thức toán cao cấp môn đại số tuyến tính là 

môn bắt buộc trong chương trình đào tạo nhóm ngành tự nhiên nhằm cung cấp 

cho SV những kiến thức cơ bản về đại số tuyến tính như Ma trận, định thức, 

ánh xạ tuyến tính, hệ phương trình, không gian véc tơ, cơ sở của không gian 

véc tơ và ứng dụng của chúng trong nội dung Toán học và thực tiễn... 

Đã có một số học viên, NCS nước CHDCND Lào như Jab Vongthavy 

tìm hiểu về một số phương pháp dạy học nhằm tích cực hóa hoạt động học tập 

của SV trong dạy học Giải tích ở trường Cao đẳng Sư phạm nước CHDCND 

Lào... nhưng chưa có ai đi sâu vào nghiên cứu xây dựng và sử dụng hệ thống 

bài tập theo định hướng phân hóa trong dạy tự học học phần đại số tuyến tính 

cho SV cao đẳng sư phạm nước CHDCND Lào. 

Với mong muốn được ứng dụng những kiến thức về vận dụng lý luận 

phương pháp dạy học tự học vào thực tế giảng dạy, chúng tôi quyết định chọn 

đề tài: 

“DẠY TỰ HỌC HỌC PHẦN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CHO SINH VIÊN CAO ĐẲNG 

SƯ PHẠM NƯỚC CỘNG HÕA DÂN CHỦ NHÂN DÂN LÀO THÔNG QUA HỆ 

2. Mục đích nghiên cứu 

THỐNG BÀI TẬP PHÂN HÓA” 

Nghiên cứu biện pháp dạy tự học học phần đại số tuyến tính cho SV 

trường Cao đẳng sư phạm nước CNDCND Lào thông qua việc biên tập và sử 

dụng hệ thống các bài tập theo định hướng phân hóa. 

3. Nhiệm vụ nghiên cứu 

- Nghiên cứu lý luận về các vấn đề: Tự học; Dạy học phân hóa... 

- Tìm hiểu thực trạng việc tự học học phần đại số tuyến tính tại trường 


Cao đẳng sư phạm Bankeun-CHDCND Lào và một số trường sư phạm khác 

của CHDCND Lào. 

















- Xây dựng hệ thống bài tập theo định hướng phân hóa và đề xuất các biện 

pháp sư phạm khai thác hệ thống bài tập trong dạy tự học học phần đại số tuyến 

tính cho SV nhóm ngành tự nhiên trường Cao đẳng sư phạm CHDCND Lào. 

pháp đề ra. 

-Tổ chức thử nghiệm để tìm hiểu tính khả thi và hiệu quả của các biện 

4. Giả thuyết khoa học 

Nếu xây dựng được hệ thống bài tập học phần đại số tuyến tính theo định 

hướng phân hóa và đề ra được các biện pháp sư phạm phù hợp để sử dụng 

chúng trong dạy tự học thì sẽ góp phần nâng cao hiệu quả tự học học phần đại 

số tuyến tính cho SV Cao đẳng sư phạm nhóm ngành tự nhiên. 

5. Phƣơng pháp nghiên cứu 

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu một số tài liệu liên quan 

đến các vấn đề như: Đổi mới phương pháp dạy học, tự học, dạy học phân hóa, 

dạy học giải bài tập... 

- Điều tra, quan sát: Dự giờ, phỏng vấn, điều tra, thu thập ý kiến của GV, 

SV một số trường cao đẳng sư phạm về việc dạy học học phần đại số tuyến tính. 

- Thực nghiệm sư phạm: Nhằm bước đầu kiểm nghiệm tính khả thi và 

hiệu quả của các biện pháp sư phạm do luận văn đề xuất. 

6. Kết cấu luận văn 

chương sau: 

phân hóa. 

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo luận văn gồm 3 

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn. 

Chương 2: Xây dựng hệ thống bài tập đại số tuyến theo định hướng 

Chương 3: Sử dụng bài tập phân hóa trong dạy đại số tuyến tính nhằm 

tăng cường việc tự học của sinh viên. 















Chƣơng 1 

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 




1.1. Vấn đề tự học 

Trong lịch sử giáo dục, vấn đề tự học được quan tâm từ rất sớm. Ý tưởng dạy 

học coi trọng người học, chú ý đến tự học đã có từ thời cổ đại, tùy theo từng giai 

đoạn lịch sử và mức độ phát triển của xã hội mà ý tưởng này đã phát triển và trở 

thành quan điểm dạy học tiến bộ ngày nay. 

Ở Liên Xô (cũ) nhiều tài liệu về vấn đề tự học và vấn đề tự đọc sách được 

xuất bản. Chẳng hạn: N.A. Rubakin có nhiều tài liệu chuyên bàn về vấn đề tự 

học như: “Tự học như thế nào” (Nước Nga Xôviết, M. 1962, NXB Thanh niên, 

Hà Nội, 1982), “Tâm lý người đọc và sách” (Nhà nước, M.1992)…A 

A.Gorơxepxky và M. I. Liubinxưna (Đại học Tổng hợp Lêningrad) trong “Tổ 

chức công tác tự học của HS Đại học”, đã và tổng kết những kinh nghiệm cá 

nhân trong công tác dạy học ở trường Đại học và đưa ra một số đề nghị về cách 

học có hiệu quả của SV. 

Những năm cuối thế kỷ XX giáo dục toàn cầu càng nhấn mạnh đến giáo 

dục lấy HS làm trung tâm, coi trọng tự học, tự đào tạo. Quan niệm mới về “học 

tập suốt đời: một động lực xã hội” sẽ giúp con người đáp ứng những yêu cầu 

thế giới thay đổi nhanh chóng. Điều này thể hiện những đòi hỏi chẳng những có 

thật mà còn đang ngày càng mãnh liệt.“Không thể thỏa mãn những đòi hỏi đó 

được, nếu mỗi con người không học cách học”. Học cách học chính là học cách 

tự học, tự đào tạo. 

Ở Việt Nam, vấn đề tự học cũng đã có từ xa xưa. Thời phong kiến, thầy đồ 

dạy học thường kèm cặp một nhóm học nhiều đối tượng có trình độ khác nhau. 

Các thầy phải chú ý trình độ, đặc điểm tính cách từng đối tượng và có biện 


pháp dạy thích hợp. Người học tự học thông qua hình thức có thầy trực tiếp 

hoặc gián tiếp. Từ sau những năm 1970, với tinh thần “Biến quá trình đào tạo 

















thành quá trình tự đào tạo”, ở các trường Cao đẳng, Đại học đã có nhiều chuyển 

biến tích cực trong việc tăng cường các hoạt động tự học của SV. Đã có nhiều 

chuyên gia nghiên cứu về tự học, tiêu biểu như: Nguyễn Cảnh Toàn, Nguyễn Kỳ, 

Vũ Văn Tảo, Lê Khánh Bằng, Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Bá Kim, Trần Kiều, Phạm 

Gia Đức, Trần Thúc Trình, Hoàng Chúng, Bùi Tường,… 

Nhiều tác giả như: Nguyễn Đình Xuân, Ngô Công Hoàn, Lê Khánh Bằng, Vũ 

Quốc Chung … cũng công bố các bài báo, tài liệu có liên quan đến việc hướng dẫn 

tự học, tự nghiên cứu cho SV. 

Trong dạy học Toán đã có những nghiên cứu dạy - tự học là một hướng 

nghiên cứu đổi mới PPDH. Ví dụ: Khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội đã có 

những nghiên cứu và thể nghiệm về dạy – tự học và thu được những kết quả 

đáng khích lệ. Theo Giáo sư Bùi Văn Nghị: Chương trình vẫn đảm bảo được 

mà SV lại được học một cách sâu sắc hơn. 

1.2. Vai trò tự học trong dạy học 

Các Nguyễn Cảnh Toàn, Nguyễn Kỳ, Lê Khánh Bằng, Vũ Văn Tảo,…, 

đã nêu rõ vai trò của tự học với tư cách là nội lực: Học về cơ bản là tự học. Nói 

đến tự học là nói đến nội lực của người học và ngoại lực của người học. Nội lực 

của người học bao gồm các yếu tố: một nền tảng học vấn nhất định; mục đích, 

động cơ, nhu cầu học, ý chí, nghị lực học tập; cách học hiệu quả; khả năng vận 

dụng kiến thức, kỹ năng; tận dụng những thuận lợi, khó khăn để tự học tốt. 

Ngoại lực của người học là toàn bộ các yếu tố của các cơ chế, môi trường, điều 

kiện, phương tiện…có liên quan đến tự học. Ngoại lực là quá trình những 

chuyển đổi bên ngoài, nội lực là quá trình những chuyển đổi bên trong của 

người học, hai quá trình này thống nhất và đối lập nhau tạo nên sự phát triển 

của tự học. Chất lượng đào tạo cao nhất khi dạy học - ngoại lực cộng hưởng với 

tự học - nội lực, tạo ra năng lực tự học một cách sáng tạo của người học. 


Các nhà Tâm lý học đã chứng minh rằng năng lực của mỗi cá nhân được 

hình thành và phát triển chủ yếu trong quá trình hoạt động và giao lưu của con 

















người. Con đường tối ưu nhất, có hiệu quả nhất để nâng cao chất lượng đào tạo 

và đạt được mục tiêu giáo dục – đào tạo là: học bằng hoạt động tự học, tự 

nghiên cứu của SV, thông qua chính bằng hoạt động tự lực chiếm lĩnh kiến 

thức, mà hình thành năng lực và thái độ cho SV. 

Hoạt động học tập (HĐHT) của SV là quá trình tự giác, tích cực, tự lực 

chiếm lĩnh tri thức khoa học, nghề nghiệp bằng hành động của chính mình 

hướng tới để đạt những mục đích nhất định. Vì vậy, quá trình tổ chức đào tạo 

phải làm cho hoạt động học tập của SV thực sự chủ động trong học tập, mà cụ 

thể là tăng cường nhiều hơn quá trình tự học, tự nghiên cứu của SV. HĐHT của 

SV diễn ra trong điều kiện có kế hoạch, nội dung chương trình đào tạo, mục 

tiêu, phương thức đào tạo, thời gian đào tạo đã được xác định. Trong hình thức 

dạy học tập trung, người GV trực tiếp tổ chức và hướng dẫn quá trình nhận 

thức của SV, còn SV đóng vai trò chủ thể nhận thức, tích cực huy động mọi 

phẩm chất tâm lý cá nhân của mình để tiến hành HĐHT nhằm chiếm lĩnh tri thức, 

hình thành kỹ năng và thái độ. Nếu SV thụ động, không có sự vận động tích cực 

các thao tác tư duy của bản thân, thì không thể chiếm lĩnh được tri thức và không 

thể hoàn thành nhân cách được. Một thực trạng hiện nay là ở trường CĐSP, có 

GV thường làm thay SV theo kiểu cầm tay chỉ việc: từ khâu xác định nhiệm vụ 

nhận thức, trình bày nội dung tri thức, rèn luyện nghiệp vụ sư phạm,...đến các 

bước đi, kế hoạch học tập cụ thể. Cách dạy học như vậy tất yếu dẫn đến tính ỷ lại 

của số đông SV, sẽ không phát triển năng lực tự học (NLTH) cho SV. 

HĐHT nhằm mục tiêu cải tạo, phát triển chính SV là hoạt động không ai có 

thể làm thay. Vì thế, đòi hỏi SV phải tự giác, tích cực, sáng tạo, phải có NLTH. 

Các nghiên cứu về dạy học phát triển đã cho kết quả rằng trong quá trình phát 

triển của mỗi cá nhân đều có tính tích cực bên ngoài và tính tích cực bên trong. 

Tính tích cực bên ngoài thể hiện ở ý chí quyết tâm thực hiện các yêu cầu học tập 


của GV, nhà trường. Các thao tác hành vi bên ngoài có thể kiểm soát được. Tính 

tích cực bên trong thể hiện ở chỗ người SV có ĐCHT, mục đích học tập tiếp thu 

















các tác động bên ngoài để biến thành nhu cầu nhận thức, tích cực đào sâu suy nghĩ 

một cách chủ động tự giác, tự lực. Tính tích cực bên trong dẫn đến sự độc lập phát 

triển của mỗi cá nhân SV, là cơ sở cho tự học suốt đời. Người GV Toán cần quán 

triệt tư tưởng dạy học là sự hợp tác giữa GV và SV. 

1.3. Quá trình Dạy – Tự học 

Dạy là truyền lại những kiến thức, kinh nghiệm, đưa đến những thông tin 

khoa học cho người khác tiếp thu một cách có hệ thống, có phương pháp nhằm 

mục đích tự nâng cao trình độ văn hóa, năng lực trí tuệ và kỹ năng thực hành 

trong đời sống thực tế. 

Dạy học là quá trình kích thích và điều khiển tính tích cực bên ngoài và 

bên trong của SV mà kết quả là ở SV hình thành được những tri thức, kỹ năng và 

kỹ xảo xác định. 

Quan niệm về tự học: 

- Tự học là không ai bắt buộc mà tự mình tìm tòi học hỏi để hiểu biết 

thêm. Có thầy hay không ta không cần biết. Người tự học hoàn toàn làm chủ 

mình, muốn học môn nào tuỳ ý, muốn học lúc nào cũng được: đó mới là điều 

kiện quan trọng. 

- Tự học là tự tìm tòi, tự đặt câu hỏi, tự tìm hiểu để nắm được vấn đề, 

hiểu sâu hơn, thậm chí hiểu khác đi bằng cách sáng tạo, đi đến một đáp số, 

kết luận khác. 

- Tự học là tự mình động não, suy nghĩ, sử dụng các năng lực trí tuệ và có khi 

cả cơ bắp, cùng các phẩm chất của mình, rồi cả động cơ tình cảm, cá nhân sinh 

quán (như trung thực, khách quan, có chí tiến thủ, không ngại khó, ngại khổ, kiên 

trì, nhẫn nại, lòng say mê khoa học, ý muốn thi đỗ, biết biến khó khăn thành luận lợi 

v.v..) để chiếm lĩnh một lĩnh vực hiểu biết nào đó của nhân loại, biến lĩnh vực đó 

thành sở hữu của mình. 


- Tự học là quá trình tự mình hoạt động lĩnh hội tri thức khoa học và rèn 

kỹ năng thực hành không có sự hướng dẫn trực tiếp của GV và sự quản lý trực 

tiếp của cơ sở giáo dục, đào tạo. 

















- Tự học có các đặc trưng cơ bản sau: Tự mình tổ chức xây dựng, kiểm tra, 

kiểm soát tiến trình học tập với ý thức trách nhiệm ; Tự quyết định trong việc 

lựa chọn mục tiêu học tập, lựa chọn các HĐHT. Chú ý đến cách học tập: bởi vì 

kiến thức kỹ năng có thể thay đổi theo tiến bộ khoa học kỹ thuật ; Tự lựa chọn 

các hình thức, phương pháp kiểm tra, đánh giá ; tự học chuẩn bị cho việc học 

suốt đời. 

Như vậy: Tự học là người học tự quyết định việc lựa chọn mục tiêu học 

tập, các hoạt động học tập và các hình thức phương pháp kiểm tra, đánh giá 

thích hợp, từ đó tổ chức, xây dựng, kiểm tra, kiểm soát tiến trình học tập của cá 

nhân với ý thức trách nhiệm. 

Quá trình tự học: Từ quan niệm về tự học, có thể hiểu quá trình tự học là quá 

trình xuất phát từ sự ham muốn, khát khao nhận thức, người học ấp ủ trong mình 

những dự định, dựa vào những phương tiện nhận thức để tích luỹ kinh nghiệm, tri 

thức và hành động để đạt kết quả nhận thức. Có thể biểu diễn quá trình tự học theo 

sơ đồ sau: 

HAM 

MUỐN 

ẤP 

Ủ 

Quy trình tự học được minh họa bằng vòng tròn tự học. 

ĐIỀU 

CHỈNH 

TÍCH 

LŨY 

LẬP 

KẾ 

HOACH 

H 

NGƢỜI 

HỌC 

KIỂM 

TRA 

HÀNH 

ĐỘNG 

THỤC 

HIỆN 

MỤC 

TIÊU 


















1.4. Các hình thức tự học 

Xét về mức độ, cách thức biểu hiện sự giao tiếp giữa người học và tài liệu 

học tập, GV, trường học,...mà ta có thể có các hình thức tự học cơ bản sau: 

Tự học hoàn toàn: Là hình thức tự học ở mức độ cao nhất, người học 

không đến trường, không cần sự hướng dẫn của GV, người học tự quyết định 

việc lựa chọn mục tiêu học tập, lựa chọn các HĐHT và các hình thức phương 

pháp kiểm tra, đánh giá, từ đó tổ chức, xây dựng, kiểm tra, kiểm soát tiến trình 

học tập của cá nhân với ý thức trách nhiệm. 

Tự học qua phƣơng tiện truyền thông: Người học không tiếp xúc trực 

tiếp với thầy mà chủ yếu nghe GV giảng giải qua phương tiện truyền thông. 

Tự học có hƣớng dẫn qua tài liệu hƣớng dẫn: Người học trực tiếp làm 

việc với tài liệu hướng dẫn. Trong tài liệu trình bày mục tiêu, nội dung, phương 

pháp xây dựng kiến thức, chỉ dẫn cách tra cứu để tìm kiếm, bổ sung kiến thức. 

Tự học trong một giai đoạn hay một khâu của quá trình học tập: Học 

bài và làm bài ở nhà theo nhiệm vụ học tập là việc thường xuyên của bất cứ 

người học nào. 

Tự học trong quá trình học tập ở trƣờng: có hướng dẫn của GV – biến 

quá trình dạy học thành quá trình tự đào tạo, hay nói cách khác là quá trình Dạy 

- Tự học. 

1.5. Các cấp độ tự học 

Xét về Tâm lý học, có thể phân hoạt động tự học theo hai cấp độ: 

Cấp độ thấp: Viện sĩ Pavlop đã cho rằng: “bản chất thiên tài” đã biết dự 

liệu ban cho tổ tiên con người một khả năng quí giá đó là phản xạ hướng về 

đích. Phản xạ hướng về đích là mong muốn mang tính bản năng của con người, 

mong muốn làm cho thuộc về mình những hiểu biết mới, những thông tin mới. 

Nhiều nhà tâm lý học cho rằng hoạt động sáng tạo của một nhà bác học bắt 


nguồn từ nhu cầu bẩm sinh và sinh lý của con người, nhu cầu thúc đẩy bản 

năng mạnh mẽ tự nhiên. Theo họ, bản năng sáng tạo hoà nhập với phản xạ 

















hướng về đích. Pavlop cho rằng: Phản xạ hướng về đích là biểu hiện năng 

lượng sống của mỗi cá nhân. Cấp độ thấp của tự học thể hiện ở cơ chế học có 

cấu trúc hai thành phần: 

Kích thích Phản ứng (sơ đồ S R). 

Ở cấp độ này thì việc tự học của con người là hiện tượng tự nhiên, mang 

nhiều bản năng. 

Cấp độ cao: Cấp độ cao của hoạt động tự học là hoạt động nhận thức thể 

hiện ở trong cơ chế học: học kết hợp học cá nhân với học hợp tác. Tự học cấp 

độ cao gắn liền với vốn kinh nghiệm của người học, gắn liền với phát triển sâu 

sắc ngôn ngữ khoa học của người học. Tự học ở cấp độ cao là cốt lõi của hoạt 

động học (HĐH), là quá trình phát triển nội tại, quá trình kết hợp học cá nhân 

với học hợp tác, trong đó chủ thể tự biến đổi mình từ trình độ phát triển hiện tại 

đến trình độ tiềm tàng. 

Cũng có thể chia ra nhiều cấp độ tự học: tự học ở cấp độ thấp là bước đầu 

làm quen để học cách học; cấp độ cao hơn là hình thành và rèn luyện kỹ năng tự 

học; Cấp độ tiếp theo là ý thức được việc học, biết chủ động tự học; cuối cùng là 

đam mê tự học. 

1.6. Dạy – Tự học 

Bản chất cốt lõi của hoạt động dạy (HĐD) là phải hình thành và phát 

triển tính tích cực trong HĐH của SV và rèn luyện cho SV có được những kỹ 

năng cơ bản của NLTH, tự nghiên cứu, làm cho SV biết chiếm lĩnh toàn bộ bộ 

máy khái niệm của môn học, cấu trúc lôgich của môn học đó, các phương pháp 

đặc trưng của khoa học, ngôn ngữ của khoa học đó và biết ứng dụng những hiểu 

biết đó vào việc tiếp tục học tập và lao động. Dạy thực chất là Dạy - Tự học. 

Theo Nguyễn Kỳ: Thầy dạy để trò tự học: thầy dạy nhằm mục tiêu giúp 

cho trò tự học, biết tự học suốt đời, có NLTH sáng tạo. Dạy và tự học có mối 


quan hệ về mục tiêu giáo dục. Thành công trong tự học là mục tiêu cuối cùng 

của nhà giáo: Tất cả vì NLTH sáng tạo của SV. Thầy dạy thế nào cho trò biết 

















cách tự học và phát triển NLTH; tác động dạy bên ngoài của thầy vật chất hoá 

hoạt động tự học bên trong của trò: dạy và tự học có mối quan hệ về phương 

pháp dạy và học, về ngoại lực với nội lực. 

Dạy – Tự học là một quá trình hoạt động có điều khiển ít nhất ở hai cấp độ 

quản lý và thực hiện: 

(1) Ở cấp độ quản lý có mối quan hệ điều khiển dọc giữa cấp trên (cơ quan 

quản lý) và cấp dưới (người thực hiện) dựa trên các tiêu chuẩn chất lượng của 

ngành. Để đảm bảo dạy – tự học đạt yêu cầu chất lượng thì cấp quản lý phải tạo đủ 

điều kiện cần thiết cho dạy – tự học và phải theo dõi, kiểm tra, đánh giá thường 

xuyên quá trình và kết quả của việc dạy học; 

(2) Ở cấp độ thực hiện có mối quan hệ điều khiển ngang giữa người dạy và 

người học trên cơ sở hợp tác và bình đẳng, cùng đảm bảo chất lượng theo yêu cầu. 

Trong thực tế ở cấp độ thực hiện luôn tồn tại mối quan hệ điều khiển dọc 

nhất định từ phía người dạy. 

Ở bậc Cao đẳng, Đại học, do đặc điểm tâm lý, sinh lý độ tuổi của SV mà 

tính chất của mối quan hệ chiều ngang trong quá trình dạy học ở mức độ cao 

hơn ở phổ thông rất nhiều. 

Ở CĐSP, người GV bộ môn khoa học đồng thời phải là người nghiên cứu, 

tìm tòi phát hiện, mở rộng và làm phong phú sâu sắc hơn những tri thức khoa học 

của bộ môn mình giảng dạy. Hoạt động dạy có hai chức năng trực tiếp thường 

xuyên tương tác với nhau, thâm nhập vào nhau, sinh thành ra nhau, đó là truyền 

đạt thông tin dạy học và điều khiển hoạt động học. Chức năng điều khiển học là 

chức năng quan trọng của quá trình dạy - tự học, thể hiện ở chổ người GV phải 

định hướng, tổ chức giúp SV tối ưu hoá quá trình tự lực chiếm lĩnh kiến thức, hình 

thành kỹ năng, kỹ xảo, thông qua đó hình thành phát triển NLTH, nghề nghiệp, 

hình thành và phát triển nhân cách. Nội dung việc định hướng bao gồm: định 


hướng mục tiêu, nội dung, cách học. Nội dung công việc tổ chức, dẫn dắt của GV 

gồm: kế hoạch hành động, hệ thống tài liệu hướng dẫn tự học và các test tự kiểm 

















tra, bài toán nhận thức, hướng dẫn seminar, làm việc theo cá nhân, cặp, 

nhóm,...với GV là cố vấn, trọng tài để SV tự tổ chức nhằm giải quyết nhiệm vụ 

học tập. 

Kết quả cuối cùng của quá trình đào tạo ở CĐSP là kiến thức nghề nghiệp, 

phương pháp và thái độ của SV. Kiến thức nghề: làm cho SV nắm vững tri 

thức, những kỹ năng và kỹ xảo tương ứng về khoa học sư phạm ở trình độ hiện 

đại để sau khi ra trường có khả năng hành nghề. Về phương pháp: Giúp SV 

phát triển các năng lực, phẩm chất hoạt động trí tuệ và thể chất, các phương 

pháp tự học, tự nghiên cứu. Về thái độ: bồi dưỡng cho SV lý tưởng, niềm tin, 

đạo đức, thái độ, tác phong người GV Toán. 

1.7. Vấn đề tự học trong trƣờng CĐSP ở CHDCND Lào 

Vấn đề tự học trong đào tạo GV ở nước CHDCND Lào cũng được đặt ra 

tương tự như ở Việt Nam và một số nước khác và được thể hiện rõ qua các văn 

bản chỉ đạo của Bộ Giáo dục. Có thể liệt kê một số định hướng cụ thể sau: 

Một là: Phải trang bị kiến thức chuẩn môn học, kiến thức ngoại ngữ, tin học 

làm cơ sở cho việc hiểu biết, luyện tập, hoạt động theo đúng mục đích yêu cầu 

việc tự học; 

Hai là: Phải hướng dẫn phương pháp tự học cho người học; 

Ba là: Phải có tài liệu phục vụ cho việc tự học của người học; 

Bốn là: Phải dành thời gian cho việc tự học của người học một cách phù hợp 

với trình độ đào tạo; 

tự học; 

Năm là: Phải giúp người học có nhận thức đúng và quyết tâm cao trong 

Sáu là: Phải nghiên cứu, đưa ra quy trình đào tạo, cơ chế thuận lợi và đảm 

bảo cơ sở vật chất, trang thiết bị tốt nhất có thể để triển khai các hoạt động tự học 

Quá trình học tập của SV là một quá trình tự thân vận động, tự phát triển 


thông qua việc giải quyết các mâu thuẫn bên trong, giữa một bên là nhu cầu 

hiểu biết ngày càng cao, khối lượng học tập ngày càng lớn, đáp ứng nhu cầu 

















kiến thức của thực tiễn nghề nghiệp,... với một bên là điều kiện hiện có và có 

nhiều hạn chế về NLTH. Mâu thuẫn này luôn luôn tồn tại, liên tục nảy sinh, 

liên tục được khắc phục giải quyết bởi chính bản thân SV. Quá trình này là một 

quá trình phủ định biện chứng liên tục, là quá trình giải quyết các mâu thuẫn 

tạo nên quá trình chuyển đổi bên trong người SV, là quá trình tích luỹ tri thức 

để SV đi đến một trình độ cao hơn, tiến tới có phương pháp tự học, tự đào tạo, 

tự giải quyết các vấn đề trong lý luận và thực tiễn một cách độc lập, sáng tạo, 

qua đó mà có được ý chí và NLTH sáng tạo suốt đời. 

Theo quan điểm giáo dục hiện đại, HĐD trong đào tạo GV là cần thiết 

phải ưu tiên sử dụng các PPDH tích cực, tổ chức và hướng dẫn SV thực hiện 

các hành động nhận thức để họ tái tạo lại kiến thức, kinh nghiệm xã hội biến 

chúng thành tài sản của mình và biến đổi bản thân, hình thành và phát triển ở 

họ những phẩm chất, năng lực chuyên môn, nghề nghiệp. Muốn vậy, cần quán 

triệt các quan điểm sau: 

Quan điểm thứ nhất: Dạy học thực chất là Dạy Tự học. 

Đây là hai hoạt động có mối quan hệ biện chứng với nhau. HĐD được 

thiết kế trên cơ sở HĐH. Muốn dạy tốt phải thường xuyên nắm được cách học 

của SV. Không thể có một HĐH mà không có HĐD. Ngược lại, HĐD chỉ tồn 

tại trong hoàn cảnh có HĐH đang được triển khai. Nắm vững quan điểm này 

người GV Toán cần quán triệt quan điểm hợp tác trong quá trình Dạy – Tự học. 

Người GV dạy làm sao để nhiệm vụ của SV là phải đọc nhiều tài liệu tham 

khảo khác nhau để hoàn thiện các vấn đề toán học và dạy học toán THCS đã 

định hướng trong bài giảng. Xu hướng hiện đại của các chương trình ĐTGV là 

chuyển từ đào tạo kiến thức là chủ yếu sang đào tạo các năng lực trong đó có 

NLTH, tự nghiên cứu, bảo đảm cho SV tốt nghiệp hành động có hiệu quả trong 

các hoạt động nghề nghiệp. Hình thành và phát triển NLTH, tự nghiên cứu là 


một trong những MTĐT quan trọng của công tác ĐTGV nói chung, đào tạo 

GV Toán THCS nói riêng. 

















Quan điểm thứ hai: Dạy học một môn khoa học trong đào tạo thực chất 

là dạy nghề cho SV. 

Dạy SV biết tìm tòi nghiên cứu xây dựng kiến thức, rèn kỹ năng đặc thù 

của môn khoa học đó, dạy cho SV biết hoạt động theo phương pháp nhận thức 

của môn học đó, đồng thời vận dụng, rèn luyện những kỹ năng nghề dạy Toán 

cho SV. Với vai trò người cố vấn, tổ chức hướng dẫn SV hoạt động nhận thức, 

trước hết GV phải nắm chính xác, sâu sắc kiến thức cần dạy, lựa chọn được 

logic giảng dạy thích hợp để chuyển tri thức khoa học thành tri thức dạy học 

phù hợp với trình độ đối tượng. 

Quan điểm thứ ba: Việc dạy học trong đào tạo nghề phải xuất phát từ kiến 

thức trình độ, kinh nghiệm của người SV. 

Cần dạy theo cách sao cho SV nắm vững tri thức, kỹ năng nghề nghiệp và 

sẵn sàng vận dụng vào thực tiễn. Muốn vậy, cần tổ chức cho SV học nghề dạy Toán 

trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo, thực hiện 

trong hoạt động độc lập hay trong giao lưu. Quan điểm dạy học này dựa trên tư 

tưởng cho rằng con người phát triển trong hoạt động và học tập diễn ra trong hoạt 

động. Với quan điểm này áp dụng cho SV, có thể tổ chức dạy học theo cách 

NCKH, giao cho SV nghiên cứu trình bày chuyên đề, dạy học theo phương pháp dự 

án, phương pháp điều phối… 

Quan điểm thứ tƣ: Dạy học, đặc biệt là ở CĐSP là đào tạo cách dạy cách 

học cho SV. 

Trong đào tạo GV ở trường sư phạm cần chú ý những điểm sau đây: 

Về đối tượng và phương pháp nghiên cứu: Mỗi môn học trong chương trình 

đều có đối tượng riêng và phương pháp nghiên cứu đặc thù. Việc đổi mới PPDH ở 

CĐSP đòi hỏi GV không chỉ chú ý truyền thụ các kiến thức của môn học, chú 

trọng rèn luyện cho SV không những nắm vững tổng hợp các phương pháp, mà 


còn nghiên cứu phương pháp đặc thù của môn học. Mặt khác, Toán học nếu nhìn 

dưới góc độ trình bày lại kết quả đã đạt được thì đó là một khoa học suy diễn, 

















nhưng nếu xét trong quá trình hình thành và phát triển thì trong phương pháp 

nghiên cứu vẫn có dự đoán, “thực nghiệm” và quy nạp. Vì vậy, trong giảng dạy 

toán học, cần chú ý cả hai khía cạnh đó, đặc biệt khía cạnh thứ hai giúp ích rất 

nhiều việc phát huy NLTH của SV. 

Về các tình huống ứng dụng toán học: Một trong các đặc điểm của toán học là 

những tri thức toán học không nhất thiết bao giờ cũng được ứng dụng trực tiếp 

trong đời sống, mà nhiều khi phải thông qua những nấc trung gian. Vì vậy, dạy các 

ứng dụng toán học vào thực tiễn không phải chỉ đưa ra các ứng dụng trực tiếp trong 

đời sống, hoặc các ứng dụng thông qua các môn học khác, mà phải chú ý khai thác 

cả các ứng dụng ngay trong nội bộ toán học. 

Tóm lại, muốn trong học Toán, dạy Toán, nghiên cứu Toán phải lưu ý tới 

nhiều khía cạnh của phương pháp nghiên cứu và giảng dạy Toán mới có thể khai 

thác được đầy đủ tiềm năng của môn Toán để thực hiện mục tiêu đào tạo, trong đó 

có mục tiêu đào tạo NLTH. 

1.8. Thực trạng việc dạy học đại số tuyến tính cho SV trƣờng CĐSP nƣớc 

CHDCND Lào 

Nước Cộng hòa Dân chủ Nhân dân Lào có 8 trường cao đẳng Sư phạm. 

miền Bắc có 3 trường cao đẳng Sư phạm, miền Trung có 3 trường cao đẳng Sư 

phạm và miền Nam có 2 trường cao đẳng Sư phạm. 

Các trường cao đẳng Sư phạm có 3 học phần đại số: đại số 1, đại số 2, đại 

số 3. Trong đó học phần Đại số tuyến tính học ở năm học thứ ba học kỳ I. Học 

phần Đại số tuyến tính có 48 tiết, 16 tuần, một tuần dạy 3 tiết (theo sách giáo 

khoa của Bộ Giáo dục hướng dẫn). 

Mỗi trường cao đẳng Sư phạm phải sắp xếp bảng học cho các GV trong 

trường của mình, mọi GV phải soạn giáo trình, soạn giáo án, lên lớp dạy SV đủ 

theo tiết đã xác định. 


Nghiên cứu đánh giá – giảng dạy của môn Đại số tuyến tính là: Lên lớp đủ 

tiết 10%, làm bài tập hoặc nộp bài tập đủ 10%, làm hoạt động nhóm 10%, kiểm 

















tra 20% và thi học kỳ 50%. Nếu SV nào tổng điểm tất cả đánh giá môn nào 

giảm 50% được học lại môn đó, nếu SV nào tổng tất cả điểm đánh giá được 

nhiều hơn 50% của môn đó (qua môn đó). 

Việc tự học ở CHDCND Lào là một việc khó khăn. Để tìm hiểu vấn 

đề này, chúng tôi đã tiến hành thăm dò ý kiến và trao đổi với các giảng viên 

tham gia dạy học ở các trường Sư phạm, kết quả thu được cho thấy có nhiều 

nguyên nhân chủ quan và khách quan, ví dụ: 

Nguyên nhân 

Do không có GV hướng dẫn nên SV không biết 

học cái gì. 

Do thiếu giáo trình, sách bài tập, tài liệu tham khảo 

phù hợp. 

Do SV không biết lượng sức mình, chưa biết được 

đại cương về vấn đề mình định học, đã vội đọc, tìm 

hiểu quá cao. 

Tỷ lệ SV 

đồng tình/Tổng số SV 

đƣợc hỏi 

82,5% 

54,4% 

38,8% 

Do SV thiếu kiến thức, kỹ năng cơ bản về tự học. 75,4% 

Do SV không có động cơ tự học rõ ràng. 68,3% 

Do kỹ năng về CNTT và năng lực ngoại ngữ kém 58,8% 

SV sau giờ học chính khóa còn phải đi làm thêm, 

học thêm các nội dung khác 

GV không quan tâm đến việc tự học của SV, chỉ lo 

truyền đạt cho hết nội dung bài học, không có định 

hướng, giao nhiệm cho SV tự học. 

Giáo trình, bài giảng thiếu nội dung hướng dẫn hỗ 

trợ cách học cho SV 

28,6% 

62,8% 

71,2% 


Việc quản lý tự học cho SV còn hình thức 32,2% 

















Ngoài ra, SV cũng đưa ra một số những nguyên nhân dẫn đến không thành 

công trong tự học là do tự thỏa mãn, tự phụ, chủ quan, hẹp hòi, cố chấp, hoặc mặc 

cảm, tự ti, tự tôn,...Phải vượt qua được những khó khăn đó mới nói đến tự học. 

1.9. Định hƣớng đổi mới phƣơng pháp dạy học trong trƣờng CĐSP nƣớc 

CHDCND Lào 

Trong nhiệm kỳ của phát triển kinh tế xã hội quốc gia, giáo dục là yếu tố 

chính của phát triển đất nước trên toàn thế giới. Tại nước CHDCND Lào, các 

nền tảng cơ bản là quan trọng nhất cho việc giáo dục năng động mới, đặc biệt là 

cho giáo dục đại học. 

Theo thông tin thu thập được từ các tài liệu quản lý giáo dục "Kế hoạch 

hành động Giáo dục (2000-2020) Bộ Giáo dục". Để giảm nghèo và phát triển 

các vùng giáo dục kém phát triển trên phạm vi cả nước Lào trong năm 2020. 

Do đó, có một nhu cầu để tăng cơ hội giáo dục cho tất cả các SV Lào, đặc biệt 

là tại trường CĐSP Bankeun. 

Trường CĐSP Bankeun là một trường công lập của Chính phủ nằm ở 

tỉnh Vientiane ở phần giữa của Lào. Nhà trường cung cấp giáo dục cho tất cả 

SV, những người muốn du học tại đại học này. Ngày nay, số lượng SV đã tăng 

đáng kể trong trường này; Những SV đại học này là từ ba tỉnh chính: tỉnh 

Viêng Chăn, thủ đô Viêng Chăn, tỉnh Bolikhamxay. Vì vậy, nó là thuận tiện 

cho HS lựa chọn để học tập tại đây và các SV có hay tham gia ở trường đại học 

này phải hoàn thành nghiên cứu của họ trong ba năm. Họ phải ghi danh vào tất 

cả các đối tượng mà các trường CĐSP Bankeun tổ chức như các chính phủ Lào 

cung cấp. 

i). Chƣơng trình tập trung (chính quy) 

Chương trình 1: SV nhập học, lựa chọn chương trình, chọn GV. 

Mục đích: Để GV có thể đáp ứng các nhu cầu của phát triển giáo dục ở 


từng địa phương. 

1. Đặt âm lượng của GV các loại Viện Giáo dục có chỉ cần một GV và có 

thể GV thông qua các cuộc điều tra cho GV trong các trường học địa phương, 

















GV xây dựng đường ống dẫn theo chính thức thực tế trường học và học bổng 

(trợ cấp) cho SH đi học sư phạm, chọn HS, HS suy nghĩ của các tỉnh, thành phố 

để đi học sư phạm chia sẻ kế hoạch để GV tinh thần mới của GV. 

2. Chạy xây dựng GV phụ nữ dân tộc thiểu số là một quan hệ đối tác với 

viện trợ của Úc để cung cấp GV lớp tại vùng sâu vùng xa. 

3. Cải thiện các phương pháp thử nghiệm tiêu chuẩn và thử nghiệm lựa 

chọn SV vào trường học GV. 

4. Nghiên họp và xác thực SV / GV SV mỗi năm. 

ii). Chương trình 2: Chƣơng trình cải tiến và phát triển chƣơng trình giảng 

dạy và đào tạo GV. 

Mục đích: Để phát triển một chương trình giảng dạy và GV có chất 

lượng, phù hợp với các chương trình đào tạo và nhu cầu của địa phương và liên 

kết đến các khu vực và quốc tế. 

Hoạt động: 

1. Rà soát và cập nhật các hệ thống giáo dục và chương trình giảng dạy 

bằng cách tập trung vào hiệu suất và độ dương quốc gia và một GV tập trung 

vào các chương trình đào tạo trình độ đại học, cho phép tích hợp với xu hướng 

khu vực quốc tế. 

2. Khuyên bạn sử dụng các chương trình mới đã được sửa đổi và cập nhật. 

3. Tham quan học tập và các bài học trong việc điều chỉnh quá trình đào 

tạo GV để hội nhập khu vực và quốc tế. 

iii). Chương trình thứ 3: Xây dựng năng lực phát triển của GV và cơ sở vật 

chất để tạo điều kiện học tập trong các cơ sở giáo dục. 

Mục đích: Phát triển các viện GV kiến thức GV, kỹ năng và hệ thống 

giảng dạy giáo trình giảng dạy một cách hiệu quả vào việc thực hiện của các 

HS / GV SV thiết lập. 



1. Hội nghị Hội thảo phát triển chất lượng giáo dục - giảng dạy bởi các 

trung tâm Chính phủ và các GV SV/HS có thể tìm hiểu về riêng của họ, có thể 

















sử dụng Internet để truy cập tài nguyên - Tin tức và truyền thông với một cơ 

hội để tìm hiểu suy nghĩ, hành động và thực sự khám phá bản thân. 

2. Tổ chức đào tạo GV trong mỗi tổ chức về giáo dục kỹ thuật - dạy học, 

sản xuất và sử dụng các phương tiện truyền thông, quản lý và làm việc theo 

nhóm, kỹ năng ngôn ngữ nước ngoài, đặc biệt là tiếng Anh và công nghệ thông 

tin cơ bản. 

3. Tăng cường năng lực của GV bằng cách cung cấp các cơ sở giáo dục 

để nâng cao trong và ngoài nước. 

4. Tiến hành nghiên cứu trong lớp học để khuyến khích và thúc đẩy các 

viện GV GV trở thành nhà lãnh đạo người dân địa phương như: vật liệu học đại 

học, viết bài, kỹ thuật, tư vấn, kỹ thuật và khác. 

5. Đào tạo về việc sử dụng các phòng thí nghiệm thử nghiệm chịu trách 

nhiệm vật lý, hóa học và sinh học, và các đối tượng khác. 

6. Đào tạo giảng viên cơ sở (Master Trainer) đề trong giáo dục trung học. 

iv) Chương trình 4: Phát triển chƣơng trình - Trang chủ và phát triển hệ 

thống phân cấp chuyên nghiệp. 

Mục đích: Để cung cấp cho GV với các chính sách của các cấp giáo dục 

và năng lực đủ hướng dẫn - hướng dẫn trong các lớp có trách nhiệm sớm để đạt 

được sự hợp tác giữa các cơ quan tổ chức, cơ sở giáo dục tại địa phương với. 


1. Cải thiện phát triển mạng lưới chuyên nghiệp tiếp tục hoạt động bình 

thường, có quan hệ gần Viện Giáo dục học / Phát triển cho thành phố và các 

trường học tham gia vào việc lập kế hoạch để nâng cao chất lượng giảng dạy và 

học tập - giảng dạy. 

2. Phát triển các tài liệu với năng lực của GV mầm non, tiểu học và trung 

học phù hợp với năng lực của tăng gấp đôi trong khu vực. 


3. Xây dựng chương trình đào tạo GV của các loại khác nhau. 

4. Đào tạo GV Giáo dục và Viện Nghiên cứu Phát triển tại các tỉnh. 

















5. Giáo dục đào tạo GV dựa trên đánh giá nhu cầu đào tạo, Viện Trung 

tâm phát triển giáo dục, hoặc các nghiên cứu về. 

6. Thực hiện giám sát và đánh giá đào tạo trong tỉnh. 

7. Đại hội để thiết lập các chính sách để nâng cấp GV nguy cơ của việc 

lãnh đạo, kỷ luật và một khóa học chuyên môn quan trọng dạy. 

v). Chương trình 5: Chƣơng trình đảm bảo chất lƣợng trong các cơ sở giáo 

dục và các giấy phép để dạy cho GV. 

Mục đích: 

- Để đảm bảo chất lượng của SV / GV sinh học được những năng lực 

trên phim trường. 

- Để cung cấp cho GV một điều khiển chuyên nghiệp mà GV phải có 

một giấy phép để dạy 

- Để trở thành GV, chuyên gia và hỗ trợ hội nhập khu vực, quốc tế. 


1. Các cuộc thi dạy tốt - hạnh phúc ngày hôm qua để nắm bắt các nội dung 

kiến thức, kỹ năng, kỹ năng giảng dạy trong giao tiếp và quan hệ con người. 

2. Mỗi cơ sở giáo dục tiến hành nghiên cứu để cải thiện chất lượng giáo 

dục - giảng dạy. 

3. Viện Giáo dục có kế hoạch phát triển SV GV / HS toàn diện, GV 

SV / HS từng chơi thể thao và nghệ thuật thể loại, các chương trình tham gia 

giải trí một. 

4. Nghiên cứu và áp dụng các điều kiện khung nghiên cứu của GV. 

5. Cải thiện công cụ để đảm bảo chất lượng trong các cơ sở giáo dục. 

6. Đánh giá của SV / GV Giáo dục theo khả năng. 

7. Kiểm tra, đánh giá chất lượng hỗ trợ bên ngoài cho các tổ chức giáo 

dục như là trung tâm của sự xuất sắc và trung tâm phát triển. 


khác nhau. 

8. Bài học hội nghị thượng đỉnh về chất lượng của các cơ sở giáo dục 

9. Thu và quản lý trong việc thực hiện giấy phép giảng dạy ở các cấp độ 

















10. Nhà quản lý nghiên cứu để phục vụ cấp giấy phép giảng dạy. 

11. Khuyến nghị tài liệu, nội dung và đào tạo để thử nghiệm áp dụng để 

có được một giấy phép để dạy. 

vi). Chương trình 6: Chƣơng trình để cải thiện sự tuân thủ, các tổ chức 

giáo dụcvà vai trò của GV trong xã hội. 

Mục tiêu: 

quả cao hơn. 

- Để làm cho việc điều hành và quản lý của các tổ chức giáo dục có hiệu 

- Phát huy phẩm giá của GV trong xã hội lên. 


1. Cải thiện pháp luật liên quan đến hệ thống giáo dục và làm thế nào để 

làm việc với viện giáo dục, từ trụ sở chính ở trên. 

2. Tổ chức thể thao và nghệ thuật văn học giữa các cơ sở giáo dục. 

3. Parade để chào mừng GV Quốc gia. 

4. Hội nghị thường niên cho Nhân viên Viện giáo dục, Hiệp hội GV, Hội 

đồng Tư vấn Giáo dục và các sự kiện khác liên quan đến kế hoạch 5 năm III 

cho GV. 

5. Theo dõi, đánh giá và tổ chức cuộc họp những bài học đạo đức thực 

tiễn của GV của mình. 


















Chƣơng 2 

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN 

THEO ĐỊNH HƢỚNG PHÂN HÓA 

2.1. Định hƣớng xây dựng hệ thống bài tập phân hóa 

Quan niệm về hệ thống bài tập phân hóa 

Bài tập phân hóa được hiểu là những bài tập có ý đồ để những SV khác 

nhau có thể tiến hành những hoạt động phù hợp với trình độ phát triển của họ. 

Bài tập phân hóa có thể được sắp xếp theo các dạng: đáp ứng phong cách học 

của SV, theo mức độ tư duy của thang Bloom, theo yêu cầu SV làm việc độc 

lập và bài tập có sự trợ giúp SV ở các mức độ khác nhau, theo nội dung... 

Những bài tập phân hóa sau khi được xây dựng, tổng hợp và sắp xếp lại sẽ tạo 

thành các hệ thống bài tập phân hóa có thể được sử dụng trong quá trình giảng 

dạy và học tập. 

Qua việc trả lời hệ thống bài tập phân hóa, SV bộc lộ rõ năng lực, trình 

độ, sở trường, điểm mạnh, điểm yếu về kiến thức, kĩ năng của họ. Có thể phân 

hóa bằng cách sử dụng những câu hỏi và bài tập phân bậc với mức độ khó, dễ 

khác nhau hoặc phân hóa về số lượng. 

Để kiến tạo một kiến thức, rèn luyện một kĩ năng nào đó, một số SV này 

có thể cần nhiều câu hỏi và bài tập cùng loại hơn một số SV khác. Do vậy, cần 

ra đủ liều lượng câu hỏi và bài tập cho từng loại đối tượng. Những SV còn thừa 

thời gian, đặc biệt là SV khá giỏi sẽ nhận thêm những câu hỏi và bài tập thêm 

để đào sâu và nâng cao. 

Định hướng chung trong việc xây dựng hệ thống bài tập phân hóa 

Dựa vào sự phức tạp của đối tượng hoạt động. 


Dựa vào mức độ khó, dễ của nội dung. 

Dựa vào yêu cầu phát triển trí tuệ của SV. 

















Căn cứ vào năng lực nhận thức của SV trường CĐSP nước CHDCND 

Lào; Căn cứ vào chương trình nội dung đại số tuyến tính và những yêu cầu đối 

với SV khi học nội dung này, chúng tôi phân lớp các bài tập đại số tuyến tính 

thành 3 mức theo chiều tăng dần về mức độ hiểu, vận dụng, phân tích và sáng 

tạo mà người SV cần đạt, cụ thể 

Mức độ 1: „Thông hiểu’: Bao gồm các bài tập cơ bản, đơn giản, bám sát 

lý thuyết. SV chỉ cần hiểu đúng lý thuyết là có thể giải quyết được về cơ bản 

các bài tập thuộc nhóm này. 

Mức độ 2:‟Vận dụng’: Bao gồm các bài tập có mục đích giúp SV hệ 

thống hóa lại các kiến thức cơ bản và vận dụng vào giải quyết các bài tập 

cụ thể. 

Múc độ 3:‟Phân tích‟: Đây là các bài tập có tác dụng hoàn thiện bổ sung 

nội dung lý thuyết đã học đồng thời đòi hỏi SV phải có khả năng phân tích để 

thấy được mối liên hệ giữa lý thuyết và bài tập, giữa các dạng bài tập với nhau 

trong quá trình đi tìm lời giải cho bài toán. 

2.2. Xây dựng hệ thống bài tập phân hóa cho môn đại số tuyến tính 

2.2.1. Hệ thống bài tập mức độ "Thông hiểu" 

Yêu cầu về mức độ nhận thức của SV: SV hiểu các khái niệm cơ bản, có 

khả năng diễn đạt được kiến thức đã học theo ý hiểu của mình; có thể làm được 

các bài tập tương tự hoặc gần với các ví dụ SV đã được học trên lớp. 

Bài 1.1: Cho ma trận 

Bài giải: 

 

 

3 

Vậy 

 

2 

 

3 

1 

1 

 

1 

 

1 

1 

1 

và 

 

2 

2 

1 

4 

 

31 

1 

 

1 

2 1 

1 

 

2 

1 

4 

. 

 

2 

4 

. Tính ? 

 

2 

1 

 

1 

4 

 

2 


1 

4 

 

 


















Bài giải: 

1 

( ) 

 

 

 

3 

 

5 

Vậy 

 

1 

( 4) 

 

3 

( 5) 

3 

( 

5) 

 

5 

 

 

3 

 

 

2 

22 

 

5 


Bài giải: 

2 

 

4 

Vậy 

2 

 

4 

1 

 

 

 

3 

 

5 

4 

2 

 

 

; 

0 

 

4 

 

4 

2 

 

 

 

( 1) 5 

 

0 

 

3 

 

 

5 

 

 

4 

5 

 

3 

 

 

5 

1 

1 

2 

8 

 

 

 

3 

9 

 

5 

 

1 

4 ( ) 

2 

3 

 

3 

8 

2 

0 ( 9) 

22 

 

5 

7 

2 

 

11 

9 

 

 

2 

 

4 

1 

1 

 

5 2 

 

3 1 

 

5 

1 

 

2 

 

3 5 

 

9 

 

2 

 

9 

 

 

1 

 

7 

. 

 

2 

. 

1 

; 

3 

2 

5 2 

 

1 

4 

10 

5 

2 

 

2 

2 

1 

4 

5 

2 

 

1 

 

5 2 

 

1 

 

1 

2 

8 

 

9 

 

7 

2 

 

11 

9 

 

 

. Tính ( ) 

? 

 

4 

 

4 

 

3 

 

 

 

5 

0 

 

3 

 

5 

2 

5 

1 

 

10 

1 

1 

 

5. 

2 

 

3 5.1 

 

1 

 

2 

 

8 

9 

 

 

. Tính A + B = ? 

2 

5. 

5 

1 

5. 

10 

9 

( 1) 

2 

 

2 

1 

3 9 

2 


 

1 

 

7 

 

2 


















Bài giải: 

2 

 

 

 

1 

 

3 

Vậy 

0 

5 

2 

7 

 

 

 

2 

 

9 


Bài giải: 

Vậy 

2 

 

 

 

1 

 

3 

1 

5 

4 

 

 

 

 

3 

0 

 

6 

1 

5 

2 

1 

 

 

0 

 

a 

 

1 

 

 

 

 

 

 

3 

6 

 

 

7 

. 

1 

 

 

0 

 

a 

 

1 

0 

1 

b 

1 

1 

0 

1 

 

= 

 

1 

a 

1 

 

0 


Bài giải: 

 

 

6 

Vậy 

0 1 

a 1 

0 

5 

2 

1 

1 

1 

c 

1 

0 

4 

0 

1 

b 

1 

1 1 

1 

1 

1 

a b 

b 1 

3 

 

6 

1 

4 

 

 

0 

và 

5 

 

 

 

3 

 

6 

2 

2 5 

2 

 

 

 

 

1 

3 

7 

 

3 6 

1 

1 

c 

1 

1 

0 

1 

 

 

1 

d 1 

 

0 1 

1 

1 

 

 

d 

 

0 

và 

1 

0 

a 

b 

1 

0 

4 

2 

2 

 

 

7 

0 1 

5 0 

. Tính ? 

1 

2 

4 2 

2 4 0 7 

0 

 

 

1 

 

1 

 

1 

1 

a 

0 

c 

1 

b 

 

 

c 

 

0 

0 1 

1 1 

1 

1 0 1 

a 1 

b a 

b 

0 

a 1 

c 

c 1 

5 

1 

và 

 

c 0 

1 

c 

0 

b 1 

 

 

c d 

 

0 

. 

2 

 

 

3 

1 

b 

 

 

d c 

 

0 0 

1 

0 

a 

b 

1 

a 

0 

c 

1 

b 

 

 

c 

 

0 

1 

2 

. Tính ? 

 

3 5 2 1 

32 

5 

3 

31 

52 

 

1 

3 

2 

 

 

62 

1 

3 

61 

1 2 

9 

 

15 

13 

4 

. 

 

. Tính ? 
















2 

 

3 

1 

0 

1 

1 

 

và 

3 

 

 

 

2 

 

1 

1 

1 

 

 

0 

. Tính ? 




Bài giải: 

2 

 

3 

Vậy 

1 

0 

9 

 

10 


Bài giải: 

1 

 

3 

3 

1 

 

 

2 

1 

 

1 

3 

3 

. 

 

1 

 

3 

2 

det 

4 

 

 

1 

2312 

11 

1 

 

 

33 

02 

11 

0 

211110 

31 

0110 

 

 

2 

4 

. Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A. 

 

1 

14 

32 

2. 

Trước hết, ta tìm ma trận phụ hợp A * . Ta có: 

nên 

Vậy 

 

11 

12 

11 ( 1) 

4 4; 12 

( 1) 

3 3; 

* 

 

2 1 

2 2 

( 1) 

 

2 2; 

( 1) 

1 1 . 

21 22 

 

 

 

 

11 

12 

 

 

21 

22 

4 

 

3 

3 

2 

4 

2 

1 

 

 

2 1 

1 1 * 1 4 2 

. 3 1 

det( ) 

2 

3 1 

2 2 

Bài 1.9: Giải hệ phương trình sau: 

Bài giải: 

2x1 

5x 

 

4x1 

5x 

2 

 

4 

2 

2 

1 

5 


5 

25 

45 

10 

0 

5 

Hệ có nghiệm duy nhất: 

















x 

x 

1 

5 

5 5 5 25 

 

10 

1 

 

 

2 

1 

4 5 10 

4 

 

10 

2 

 

 

Vậy nghiệm của hệ đã cho là: 


 

Bài giải: 

x1 

2x 

 

2x1 

x 

2 

2 

4 

3 

1 

 

2 

3 

7 

5 

7 

x 

1 

3; 

x2 

. 

5 

Nhân phương trình (1) với – 2 rồi cộng vào phương trình (2). 

Cộng phương trình (1) vào phương trình (2) ta có hệ mới 

 

 

Từ (2) ta có 

x1 

2x2 

 

3x2 

x 

2 

 

4 

5 

1 

 

2 


5 

. Thay vào (1) ta được x 

3 

Trình bày tóm tắt trong bảng sau: 

x 

............................................... 

1 

2 

............................................... 

1 

0 

1 

x 

2 

1 

2 

2 

3 

: 

: 

: 

: 

: 

 

4 

3 

4 

5 

2 

x , x 

3 

1 2 

 

5 

3 

5 

2 

4 x1 

3 

1 

 

2 

x1 

4 2x2 

x1 

 

3 

5 

3x2 

5 

x2 

 

3 

Bài 1.11: Giải hệ phương trình sau theo tham số a,b: 


x1 

3x2 

a 

( ) 

 

2x1 

2x2 

b 

(1) 

(2) 

2 

3 

















Bài giải: 

Nhân phương trình (1) với – 2 rồi cộng vào phương trình (2). 

Cộng phương trình (1) vào phương trình (2) ta có hệ mới: 

x1 

3x 

( ) 

4x 

2 

2 

a 

2a 

b 

2a 

b 1 

Từ (2) ta có x2 (24 b) 

. Thay vào (1) ta được: 

4 4 

(1) 

(2) 

1 

3 

6a 

3b 

1 

x1 3 

(2a 

b) 

a x1 

(2a 

b) 

a a (3b 

2a). 

4 

4 

4 4 

1 

1 

Vậy nghiệm của hệ đã cho là: x1 (3b 

2a); 

x2 

(24 b). 

4 

4 


x 

............................................... 

1 

2 

1 

x 

3 

2 

2 

............................................... 

1 

0 

3 

4 

Bài 1.12: Tìm hạng của ma trận 

Bài giải: 

Cách 1: 

1 

2 

 

 

 

2 5 

 

1 4 

1 

2 

 

0 

1 2 

Ta có: 1 0 

0 1 

Vậy rank (A) = 2. 

: 

: 

: 

: 

: 

 

a 

b 

3 

1 

 

 

 

7 

2 3 

1 5 

 

 

1 

1 

a x1 

a 3 

(2a 

b) 

x1 

(3b 

2a) 

4 

4 

1 

2a 

b 4x2 

2a 

b x2 

(2a 

b 

4 

1 

 

 

 

2 

 

1 

1 

1 

 

 

 

0 

 

0 

2 

5 

4 

2 

1 

0 

3 L 

1 

 

 

L 

7 

L 

3 

L2 

2L1 

L2 

5 

 

 

L3 

L1 

L3 

0 

 


1 

2 

3 

















Cách 2: 

A là ma trận ba hàng, ba cột. Hạng của ma trận A phải nhỏ hơn 3. 

Trước hết, ta tính định thức cấp 3 trước, ta có: 

1 2 3 

det 

1 

. 

2 5 1 (35 2 24) ( 15 

4 28) 0 

1 

4 

7 

Hạng của ma trận A phải nhỏ hơn 3; tiếp theo ta tính định thức cấp 2, 

1 2 

ta có : 1 

0 

2 5 


Bài 1.13: Tính định thức sau đây: 

Bài giải: 

det 

 

 

 

2015 

 

2014 

 

2015 

2014 

2014 

2015 

 

 

2014 

2015 

Vậy det (A) = 4029. 

Bài 1.14: Tính định thức của ma trận sau: 

Bài giải: 

3 

 

 

 

0 

 

2 

4 

5 

3 

2015 

2015 2014 

2014 2015 

 

1 

2 

 

 

1 

Cách 1: Khai triển theo cột hoặc hàng. 

det 

2014 

2015 

20142015 

2014 1 

4029 4029 

1 5 2 4 1 

4 

3 1 

3 1 

5 

1 

21 

31 

1 3 1 0 1 

2 


3 5 

3 

23 

1 

3 

2 

0 

41 

31 

2 

4 

2 51 

1 0 

7 

 

2 

13 

3 

0 26 

2 

2 

1 

2 

















Cách 2: Áp dụng quy tắc Sarus ta có: 

det 

 

 

 

 

 

2 

35 

1 

 

 

42 2 

1 

0 

3 

25 

1 

 

32 

3 1 

0 

4 

15 16 

0 10 

18 

0 

23 

3 

0 

4 

5 

3 

1 

2 

1 

3 

0 

2 

4 

2.2.2. Hệ thống bài tập mức độ "Vận dụng" 

5 

3 

Yêu cầu về mức độ nhận thức của SV: SV vượt qua cấp độ hiểu đơn 

thuần và có thể sử dụng, xử lý các khái niệm của chủ đề trong các tình huống 

tương tự nhưng không hoàn toàn giống như tình huống đã gặp trên lớp. SV có 

khả năng sử dụng kiến thức, kĩ năng đã học trong những tình huống cụ thể, tình 

huống tương tự nhưng không hoàn toàn giống như tình huống đã học ở trên lớp 

(thực hiện nhiệm vụ quen thuộc nhưng mới hơn thông thường) 

Bài 2.1: Cho ma trận: 

Bài giải: 

2 

1 3 1 

 

 

 

5 

2 2 2 

 

4 

Vậy 

2 

1 

 

 

 

5 

2 

 

 

4 

5 

1 

 

 

 

4 

2 

 

10 

2 

 

 

 

5 

 

4 

8 

3 

6 

26 

6 

3 

5 

2 

1 3 

2 

2 2 

 

5 

 

8 

3 

6 

8 

3 

6 

1 

1 

3 

2 

 

 

3 

2 

9 

 

2 

1 

3 

2 

 

 

 

 

9 

9 

 

6 

1 

2 

 

 

; 

9 

6 

1 

1 

18 

3 

3 

1 

 

.5 

13 

2 

 

1 

17 

 

.4 

 

2 

27 

1 

.10 

 

2 

13 

3 

3 

2 

13 

2 

17 

. 

2 

27 

2 

1 

 

 

 

3 

 

2 

6 

1 

1 

4 

 

2 

1 

5 

 

 

 

 

5 

2 

6 

 

 

 

4 

4 

5 

 

 

6 

1 

2 

3 

2 

. Tính: ? 

8 

3 

6 

12 

2 3 

 

1 

15 

 

 

 

 

( 5) 

9 

2 

18 

 

 

4 6 

1 1 5 

.26 .13 

2 2 2 

1 1 

.6 .17 

2 

2 2 

1 1 

.3 .27 

 

5 

2 2 

 

1 

1 

2 

 

 

 

 

3 

 

3 

9 

 

2 

8 18 

3 

3 

6 ( 3) 

13 

3 

3 

2 

13 

2 

17 

 

2 

27 

2 

6 

1 

1 

4 

 

5 

 

 

 

6 

 

 

112 

2 15 

 

 

9 18 
















3 

 

 

 

2 

 

1 

1 

1 

2 

1 

2 

 

 

3 

và 

1 

 

 

 

2 

 

1 

1 

1 

0 

1 

1 

 

 

1 

. Tính ? 




Bài giải: 

3 

 

 

 

2 

 

1 

1 

1 

2 

1 

1 

2 

 

 

2 

3 

 

1 

3112 

11 

 

 

 

2112 

21 

 

11 

22 

31 

Vậy 

6 

 

 

 

6 

 

8 

2 

1 

1 

1 

1 

0 

211 

1 

1 

 

 

1 

311 

11 

2 

1 

1 

 

 

4 

Bài 2.3: Hãy tính AB + BA = ?. Nếu 

Bài giải: 

. 

1 10 

31 

1111 

 

1 20 

21 

11 

21 

1 

30 

1 

1 

21 

31 

1 

 

 

 

2 

 

1 

2 

1 

2 1 

4 1 1 

 

 

 

2 1 2 

 

4 2 0 

 

 

1 2 3 

 

1 2 1 

1.4 

( 2)( 

4) 

( 1).1 

1.1 

( 2).2 

( 1).2 

 

 

 

2.4 1.( 

4) 

2.1 2.11.2 

2.2 

 

1.4 2.( 4) 

3.1 1.1 

2.2 3.2 

11 

5 0 

 

 

 

6 8 4 

 

 

1 

11 4 

4 1 1 

1 

2 1 

 

 

 

4 2 0 

 

2 1 2 

 

 

1 2 1 

 

1 2 3 

1 

2 

1 

2 

 

 

; 

3 

4 

 

 

 

4 

 

1 

1 

2 

2 

1 

0 

 

 

1 

1.1 

( 2).0 

( 1).1 

2.11.0 

2.1 

 

 

1.1 

2.0 3.1 


. 

















4.11.2 

1.1 

 

 

 

( 4).1 

2.2 0.1 

 

1.1 

2.2 1.1 

7 

5 1 

 

 

 

0 10 8 

 

 

6 2 6 

11 

 

 

 

6 

 

1 

Vậy 

5 

8 

11 

18 

 

 

 

6 

 

5 


Bài giải: 

 

 

x 

4.( 2) 

1.11.2 

( 4).( 

2) 

2.1 

0.2 

0 

7 

4 

 

 

 

 

0 

4 

 

6 

10 

2 

18 

13 

2x 

1.( 2) 

2.11.2 

3 

5 

10 

2 

1 

12 

 

 

10 

x 1 

Trước hết, tính det(A), ta có: 

det( ) 

 

x 

2 

2x 

3 

x 1 

. 

x 1 

 

1 

x 1 

2x 

1 

2x 

1 

18 

8 

 

 

 

 

6 

6 

 

5 

3 

3 

4.( 1) 

1.2 

1.3 

 

( 4).( 

1) 

2.2 0.3 

 

 

1.( 1) 

2.2 1.3 

 

10 

18 

13 

1 

12 

 

 

10 

1 

. Hãy tìm ma trận nghịch đảo 

( x 1)( 

x 

x 

3 

2 

1 

x 

x 1) 

2x 

3 

1 

3 

Điều kiện để có ma trận nghịch đảo là: x 1 

0 x 1. 

Ta tìm ma trận phụ hợp 

nên 

 

. Ta có: 

3 

( x 

11 

12 

2 

2 

11 ( 1) 

.11; 

12 

( 1) 

.( x x 1) 

( 

x x 1) 

 

Ta suy ra 

2 

1 

22 

3 

21 

1) 

.( x 1) 

( 

x 1); 

22 

( 1) 

.2x 

2 

 

 

 

( x 

 

 

 

 

( x 

( x 1) 

 

2x 

 

* 11 21 

 

2 

3 

12 

22 

x 1) 

1 

 

 

1 1 * 1 1 ( x 1) 

. 

3 

 

2 

3 

det( ) x 1 

 

 

( x x 1) 

2x 

 

1 

3 

 

x 1 

2 

 

x x 1 

 

3 

x 1 

x 1 

 

 

3 

x 1 

3 

2x 

 

 

3 

x 1 

 


3 

3 

1) 

. 

















Vậy ma trận nghịch đảo của ma trận A đã cho là: 


Bài gải: 

trận phụ hợp 

1 x 1 

 

 

 

 

3 

3 

1 

 

x 1 

x 1 

2 

3 . 

 

x x 1 

2x 

 

 

3 

3 

x 1 

x 1 

 

2 

 

 

 

6 

 

5 

5 

3 

2 

7 

4 

 

 

3 

1 

. Tìm ma trận nghịch đảo 

Trước hết tính det(A). Khai triển theo cột 1 ta có: 

det 

2 

3 

 

6 3 4 2 6 5 1 

5 

5 

2 

7 

3 

2 

4 

3 

5 

2 

7 

3 

5 

3 

7 

4 

. 

Do đó, nó có ma trận nghịch đảo. Để tìm ma trận nghịch đảo . Ta tìm ma 

 

. Ta có: 

1 

1 

3 4 

12 

6 4 

13 

6 3 

11 ( 1) 

1; 

12 

( 1) 

38; 13 

( 1) 

27 

2 3 

5 3 

5 2 

2 

1 

5 7 

22 

2 7 

23 

2 5 

21 ( 1) 

1; 

22 

( 1) 

41; 

23 

( 1) 

29 

2 3 

5 3 

5 2 

31 

5 7 

32 

2 7 

33 

2 5 

31 ( 1) 

1; 

32 

( 1) 

34; 33 

( 1) 

24 

3 4 

6 4 

6 3 

11 

21 

31 

1 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12 22 32 

 

38 

 

 

13 23 33 

 

27 

Vậy 

 

1 

1 

 

det 

 

 

1 

1 

 

 

 

38 

1 

 

27 

1 

41 

29 

1 

41 

29 

1 

 

34 

 

 

24 

1 

1 

34 

 

 

 

 

38 

24 

 

27 

1 

Bài 2.6: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận 

Bài giải: 

1 

 

 

 

i 

 

1 

i 

Trước hết, tính det (A). Khai triển theo cột 1 ta có: 

1 

41 

29 

i 

1 

0 

1 

34 

 

 

24 

1 

i 

0 

 

 

1 


. 














det( ) 

( 1) 

11 

1 

(1) 

0 

0 

( 1) 

1 

21 

i 

( i) 

0 

1 

i( 

i) 

(1 i)(1 

i) 

1 

i 

2 

i 

1 

i 

( 1) 

1 

2 

1 

2i 

2 

31 

2. 

i 

(1 i) 

1 

1 

i 

0 




Do đó, nó có ma trận nghịch đảo. Để tìm ma trận nghịch đảo. Ta tìm ma 

trận phụ hợp . Ta có: 

Nên 

Vậy 

 

 

 

 

 

 

11 

12 

13 

31 

32 

33 

( 1) 

( 1) 

( 1) 

( 1) 

( 1) 

( 1) 

11 

12 

13 

31 

32 

33 

1 

0 

i 

1 

i 

i 

1 

i 

1 

1 

1 

i 

1 

i 

0 

1; 

1 

1 

i 

0 

0 

i; 

1 

1 

1 

i; 

0 

1 

i 

0 

1 

i; 

i 

0. 

1 

1 

i; 

 

 

 

21 

22 

23 

( 1) 

( 1) 

( 1) 

21 

22 

23 

i 

0 

1 

1 

i 

1 

1 

i 

11 

21 

31 

1 i 1 

i 

 

 

 

 

 

 

 

12 

22 

32 

 

i 1 

1 

i 

 

 

 

 

1 

1 

0 

13 23 33 

i i 

 

1 

1 

 

det 

 

 

1 

1 

 

 

 

i 

2 

 

1 

i 

i 

1 

1 

i 

1 

i 

1 

i 

 

 

0 

1 

i 

1 

i; 

1 

i 

1 

1; 

i 

1 

i; 

0 

Bài 2.7: Xác định a để hệ sau có nghiệm không tầm thường và giải hệ đó: 

Bài giải: 

(1 

a) 

x 2y 

0 

 

2x 

(4 a) 

y 0 

 

1 

a 

2 

2 

2 

(1 a)(4 

a) 

4 a 

4 a 

5a. 


Điều kiện cần và đủ hệ thuần nhất đã cho có nghiệm không tầm thường 

2 

là: 0, tức là 5a 

0 a 0 hay a 5 

a . 














- Nếu a = 0, hệ trên trở thành: 

x 

2y 

0 

 

2x 

4y 

0 




cặp số 

cặp số 

1 

Có 4 4 0 , nên hệ có nghiệm không tầm thường. Mỗi 

2 

2 

4 

1 

x, y trong đó y x, 

( x, 

y) 

R 

2 

- Nếu a = 5, hệ trên trở thành: 

1 

; đều là nghiệm của hệ. 

 

4x 

2y 

0 

 

2x 

y 0 

Có 4 4 0, nên hệ có nghiệm không tầm thường. Mỗi 

2 

2 

4 

x, y trong đó y x, 

( x, 

y) 

R 


Bài giải: 

3x1 

5x2 

7x3 

 

x1 

2x2 

3x3 

 

 

2x1 

x2 

5x3 

2 ; đều là nghiệm của hệ. 

1 

2 

2 

1 

 

2 

3 

Trong hệ (I) ta đổi phương trình (1) và (2) cho nhau, ta được: 

x1 

2x2 

3x3 

2 

 

3x1 

5x2 

7x3 

1 

 

 

2x1 

x2 

5x3 

2 

1 

 

2 

3 

Nhân phương trình (1) với -3 rồi cộng vào phương trình (2). 

Nhân phương trình (1) với 2 rồi cộng vào phương trình (3). 

Ta có hệ mới như sau: 

 

 

 

 

 

x 

1 

 

2x 

2 

11x 

2 

5x 

2 

 

3x 

3 

16x 

3 

12x 

3 

 

5 

 

2 

6 

Trong hệ (III) ta nhân (2) với 5 và nhân (3) với 11 rồi cộng (2) vào (3) ta có: 


< IV > 

x 

 

 

 

 

1 

 

2x 

2 

11x 

2 

 

3x 

3 

16x 

3 

41x 

3 

 

5 

 

2 

41 

1 

 

2 

3 

1 

 

2 

3 














Từ (3) ta có x 3 

1 . Thay vào (2) ta được: 1 




11x 

161 5 

11x2 

11 

x2 

 

2 

 

Thay tiếp vào (1) ta được: 

x 2x 

3x 

2 2131 

1. 

1 

2 

2 3 

 

Vậy nghiệm của hệ đã cho là: x , x 1, 

x 1. 


x 

1 

.......................................................... 

3 

1 

2 

........................................................... 

1 

3 

2 

x 

5 

2 

1 

2 

5 

1 

2 

7 : 

7 

x 

3 

5 

3 

5 

3 

........................................................... 

1 

0 

0 

.......................................................... 

0 

0 

2 

11 

5 

11 

0 

3 

16 

12 

16 

41 

: 

: 

: 

: 

: 

: 

: 

: 

: 

: 

: 

: 

1 

1 

2 

3 

 

 

1 

2 

2 

2 

1 

2 

2 x 

5 

6 

1 

5 11x 

41 41x 

Bài 2.9: Giải hệ phương trình sau theo a,b, c: 

Bài giải: 

x1 

x2 

x3 

a 

 

x1 

2x2 

2x3 

b 

 

2x1 

x2 

2x3 

c 

(1) 

(2) 

(3) 

2 2x 

3 

2 

2 

3x 

5 

16x 

41 x 

3 

3 

3 

1 

1 

x 

2 

1 

Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) và nhân phương trình (1) với 2 

rồi trừ đi phương trình (3). Ta có hệ mới như sau: 


 

x 

 

 

 

 

1 

x 

2 

x 

2 

3x 

x 

2 

3 

x 

3 

4x 

a 

a b 

3 

(1) 

(2) 

2a 

c (3) 

















Nhân phương trình (2) với 3 rồi cộng vào phương trình (3), ta có: 

 

 

Từ (3) ta có 

x 

 

 

 

 

1 

x 

2 

x 

x 

2 

3 

x 

x 

a 

3 

3 

a b 

5a 

3b 

c 

(1) 

(2) 

(3) 

x3 5a 

3b 

c . Thay vào (2) ta được: 

x a 3b 

c a b 

x 6a 

4b 

c 

2 

5 

2 

. 

Thay tiếp vào (1) ta được: 

x1 6a 

4b 

c ( 

5a 

3b 

c) 

a x1 

2a 

b. 


x1 2a 

b, 

x2 

6a 

4b 

c, 

x3 

5a 

3b 

c. 


x 

1 

.......................................................... 

1 

1 

2 

........................................................... 

1 

0 

0 

x 

1 

2 

1 

1 

1 

3 

2 

x 

3 

1 

2 

2 

1 

1 

4 

2a 

c 

........................................................... 

0 

0 

1 

0 

1 

1 

Bài 2.10: Tìm hạng cử ma trận sau: 

Bài giải: 

Cách 1: 

2 

 

 

 

4 

 

2 

2 

 

 

 

4 

 

2 

1 

2 

1 

3 

5 

1 

1 

2 

1 

3 

5 

1 

2 

1 

 

 

 

8 

: 

: 

: 

: 

: 

: 

: 

: 

: 

 

a 

b 

c 

a x 

a b 

a b x 

5a 

3b 

c x 

2 

L 

1 

 

 

L 

8 

L 

1 

2 

 

 

 

0 

 

0 

1 

2 

3 

1 

0 

0 

2 

3 

1 

2 

1 

x 

x 

3 

3 

2 

x 

3 

a x 

a b x 

5a 

3b 

c x 

2 

L 22L1 

L2 

5 

 

 

L3 

L3 

L1 

10 

 

2 

2 

2a 

b. 

6a 

4b 

c. 

3 

5a 

3b 

c. 















 

2 

2 

 

 

 

0 

 

0 

1 

0 

0 

3 

1 

0 

2 

5 

 

 

 

L3 2L2 

L3 

0 

2 

 

0 

1 

3 

2 

 

 

 

3 

 

0 1 5 




3 2 

Ta có: 13 

0 

1 5 


Cách 2: 

A là ma trận ba hàng, bốn cột. Hạng ma trận A phải nhỏ hơn 3. 

Trước hết ta tính định thức cấp 3 trước, ta có: 

2 1 

3 2 3 3 1 

3 2 

det 

1 

. 

4 2 5 4 5 5 2 5 1 0 

2 

1 

1 

2 

1 

1 

1 

Hạng của ma trận A phải nhỏ hơn 3; tiếp theo ta tính định thức cấp 2, 

1 

3 

ta có : 1 

0 

2 5 


Bài 2.11: Tìm hạng cử ma trạn sau: 

Bài giải: 

Cách 1: 

1 

 

2 

 

5 

 

7 

1 

 

 

2 

 

5 

 

7 

 

2 

3 

1 

1 

7 

3 

1 

1 

7 

1 

 

 

0 

 

0 

 

0 

5 

3 

1 

9 

5 

3 

3 

7 

0 

0 

1 

9 

5 

13 

0 

0 

1 

L 

4 

 

 

L 

7 L 

 

1 L 

1 

2 

3 

4 

1 

4 

 

 

7 

 

1 

1 

1 

1 

 

 

0 

 

0 

 

0 

8 

3 

7 

14 

14 

5 

13 

26 

26 

1 

6 

 

 

L 

 

3 2L2 

L3 

0 

L4 

2L2 

L4 

4 

3 

1 

L2 

2L1 

L2 

6 

 

 

L3 

5L1 

L3 

12 

 

L4 

7L1 

L4 

8 


1 

 

 

 

0 

 

0 

3 

7 

0 

5 

13 

0 

1 

6 

 

 

4 

















1 

Ta có: 0 7 6 1 

7 4 28 

0 

3 

0 

1 

4 


Cách 2: 

A là ma trận vuông cấp 4, trước hết ta tính định thức cấp 4 trước, ta có: 

det 

 

 

1 

2 

 

 

5 

7 

1 

1 

7 

3 

1 

1 

7 

3 

1 

9 

16 

2 

5 

3 

1 

9 

4 

3 

7 21 

1 

1 

4 

7 

1 

7 

5 

1 

9 

1 

7 

1 

32 

516 

7 0 0 

3 

51 

7 

5 

3 

9 

1 

4 

1 

3 

7 1 

Định thức A bằng 0, tiếp theo ta tính định thức cấp 3 ta có: 

1 

1 1 

7 16 (định thức cấp ba khác 0) 

7 

3 

det 

1 

 

Vậy rank (A) = rank (A 3 ) = 3. 

Bài 2.12: Tính định thức của ma trận sau đây: 

Bài giải: 

13547 

 

28423 

13547 

det( ) 

28423 

13547 

 

28423 

9 

4 

1 

13647 

28523 

 

 

13647 13547 

 

28523 28423 

13547 100 

28423100 

13547 100 

13547 

13547 

 

28423 100 

28423 28423 


Vậy det( ) 1487600. 

100(13547 28423) 1487600 

100 

100 

1 

5 

3 

1 

1 

4 

7 


















Bài giải : 

246 

 

 

 

1014 

 

342 

det( ) 

246 

1014 

342 

427 

543 

721 

427 

543 

721 

327 

443 

 

 

621 

327 

443 

621 

Ta lấy cột thứ ba trừ cột thứ hai, ta có : 

det( ) 

 

246 

1014 

342 

427 

543 

721 

246 

100 

1014 

342 

327 427 

443 543 

621 

721 

427 

543 

721 

1 

1 

1 

246 

1014 

342 

427 

543 

721 

100 

100 

100 

Ta lấy hàng thứ hai, hàng thứ ba trừ hàng thứ nhất, ta có: 

246 

det( ) 

100 

1014 246 

342 246 

768 

100 

588 

det( ) 

29400000. 

427 

543 427 

721 

427 

1 

0 

116 

768 

100.294 

294 

2 

2.2.3. Hệ thống bài tập mức độ "Phân tích" 

246 

0 100 

768 

588 

427 

116 

294 

116 

294000(768 

232) 

1 

Yêu cầu về mức độ nhận thức của SV: SV có khả năng sử dụng các khái 

niệm cơ bản để giải quyết một vấn đề mới hoặc không quen thuộc chưa từng 

được học hoặc trải nghiệm trước đây, nhưng có thể giải quyết bằng các kỹ năng 


và kiến thức đã được dạy ở mức độ tương đương; SV có khả năng vận dụng 

linh hoạt các kiến thức đã học để phân tích và giải quyết các vấn đề gặp phải. 

1 

0 

0 

















Bài 3.1: Chứng minh rằng: 

0 

 

 

 

0 

 

0 

Bài giải: 

0 

0 

0 

0 

0 

 

 

0 

. Nếu 

2 

 

 

 

1 

 

1 

1 

1 

2 

0 

2 

 

 

1 

2 1 0 

3 1 2 

 

 

 

 

1 1 2 

 

3 2 4 

 

 

1 

2 1 

 

3 5 1 

2.31.3 

0.( 3) 

2.11.( 

2) 

0.5 

 

 

 

1.3 1.3 

2.( 3) 

1.11.( 

2) 

2.5 

 

( 1).3 

2.3 1.( 

3) 

( 1).1 

2.( 2) 

1.5 

9 

0 0 

 

 

 

0 9 0 

 

 

0 0 9 

3 1 2 

2 1 0 

 

 

 

 

3 2 4 

 

1 1 2 

 

 

3 5 1 

 

1 

2 1 

3.2 1.1 

( 2).( 

1) 

 

 

 

3.2 ( 2).1 

4.( 1) 

 

( 3).2 

5.1 

( 1).( 

1) 

9 

 

 

 

0 

 

0 

0 

9 

0 

9 

 

 

 

0 

 

0 

0 

0 

 

 

9 


Bài giải: 

Muốn tính 

 

0 

9 

0 

cos 

. 

 

sin 

0 

9 

0 

 

 

 

 

0 

9 

 

0 

0 

9 

0 

cos 

 

sin 

3.11.1 

( 2).2 

3.1 

( 2).1 

4.2 

( 3).1 

5.1 

( 1).2 

0 

0 

0 

 

 

 

 

0 

9 

 

0 

sin 

 

cos 

 

n 

trước hết ta tính thử 

sin 

cos 

cos 

 

sin 

2 

2 

cos 

sin 

 

2sin 

cos 

0 

0 

0 

; 

0 

0 

 

 

0 

3 

 

 

 

3 

 

3 

1 

2 

5 

2 

4 

 

 

1 

2.( 2) 

1.4 

0.( 1) 

 

1.( 2) 

1.4 

2.( 1) 

 

 

( 1).( 

2) 

2.4 1.( 

1) 

 

. Vậy 

3.0 1.2 

( 2).1 

 

3.0 ( 2).2 

4.1 

 

 

( 3).0 

5.2 ( 1).1 

0 

 

 

 

0 

 

0 

. Hãy thực hiện phép tính n ? 

sin 

 

cos 

 

 


2 

2sin 

cos 

cos 2 

 

2 

2 

cos sin 

sin 2 

sin 2 

 

cos 2 

 

 

. 

0 

0 

0 

0 

0 

 

 

0 

. 

















Do đó ta dự đoán quy luật: 

 

n 

cos 

 

 

sin 

 

sin 

cos 

 

 

n 

cos 

n 

 

sin 

n 

sin n 

 

cos n 

 

 

Ta chứng minh công thức này bằng quy nạp. Giả sử nó đã đúng với 

n = m tức là: 

 

m 

cos 

 

 

sin 

 

sin 

cos 

 

 

m 

cos 

m 

 

sin 

m 

( ) 

sin m 

 

cos m 

 

Ta sẽ chứng minh nó vẫn còn đúng với n = m + 1. Thật vậy, ta có: 

 

m1 

m1 

cos 

sin cos 

sin cos 

sin 

 

sin cos 

 

sin cos 

 

sin cos 

 

 

cos 

m 

sin m 

cos 

sin 

 

sin cos 

 

sin cos 

 

m 

m 

 

cos 

m 

cos 

sin m 

sin cos m 

sin sin m 

cos 

 

 

sin cos cos sin sin sin cos cos 

 

m 

m 

m 

m 

 

cos( 

m 1) 

sin( m 1) 

 

 

. 

sin( 1) cos( 1) 

 

m m 

Ta đã biết công thức (*) đúng với n = 1. 

 

v. 

v... 

cos 

 

 

sin 

 

sin 

cos 

 

 

1 

cos 

 

 

sin 

 

sin 

cos 

 

 

1 

nên nó sẽ đúng với 

n 11 

2; 

n 2 1 

3; 

 

 

11 

21 

cos 

 

sin 

cos 

 

sin 

sin 

 

cos 

 

 

2 

sin 

 

cos 

 

 

3 

m 

cos 2 

 

sin 2 

cos3 

 

sin3 

sin 2 

 

cos 2 

 

 

sin3 

 

cos 

 

 

Nghĩa là công (*) đúng với n (nguyên dương) bất kì. 


3 

 

 

3 

 

 

5 

 

8 

5 

4 

7 

8 

2 


5 

7 

5 

4 

3 

 

 

5 

 

6 

1 

. Tìm ma trận nghịch đảo . 

















Bài giải: 

Trước hết, tính det(A). Khai triển theo cột thứ nhất, ta có: 

det 

 

 

4 

3 7 

8 

5 

7 

5 

3 

5 

6 

3 

5 

7 

8 

2 

7 

5 

4 

5 

6 

5 

5 

4 

8 

2 

5 

 

5 

33558 

6 159 

25 

48 17 

3 



 

 

 

 

 

 

 

 

11 

12 

13 

14 

31 

32 

33 

( 1) 

( 1) 

( 1) 

( 1) 

( 1) 

( 1) 

( 1) 

11 

12 

13 

14 

31 

32 

33 

4 

7 

8 

3 

5 

8 

3 

5 

8 

3 

5 

8 

5 

4 

8 

3 

3 

8 

3 

3 

8 

3 

5 

7 

5 

5 

7 

5 

4 

7 

8 

4 

7 

8 

2 

5 

5 

2 

5 

5 

5 

4 

8 

3 

5 

6 

3 

5 

6 

3 

5 

6 

5 

7 19 

5 

4 

3 

6 

4 

3 

6 

4 

3 

6 

5 

8 

2 

155 

43 

2 

 

 

 

 

 

 

 

21 

22 

23 

24 

41 

42 

43 

5 

( 1) 

( 1) 

( 1) 

( 1) 

( 1) 

( 1) 

( 1) 

4 

3 

6 

21 

22 

23 

24 

41 

42 

43 

8 

5 

7 

8 

3 

5 

8 

3 

5 

8 

3 

5 

8 

5 

4 

7 

3 

3 

5 

3 

3 

5 

5 

4 

7 

2 

7 

5 

2 

7 

5 

5 

7 

8 

5 

7 

8 

2 

5 

7 

2 

5 

7 

5 

4 

7 

2 

5 

7 

4 

5 

6 

4 

5 

6 

4 

5 

6 

2 

4 

3 

5 

7 60 

5 

4 

3 

5 

4 

3 

5 

4 

3 

5 

3 

53 

8 

6 

4 

1 

3 4 

44 

( 1) 

3 4 5 49 

( 1) 

3 4 5 1 

8 

5 

34 

 

8 

2 


5 

3 

5 

5 

44 

 

7 

2 

7 

















11 

21 

31 

41 

5 

 

 

 

 

 

 

12 22 32 42 

 

 

8 

 

 

13 23 33 43 

2 

 

 

14 

24 

34 

44 

19 

Vậy: 

 

1 

1 

 

det 


Bài giải: 

 

 

5 

 

1 

8 

 

17 2 

 

19 

1 

x 

 

 

1 

 

1 

 

1 

3 

53 

8 

60 

1 

1 

x 

1 

1 

155 

43 

2 

49 

1 

1 

1 

y 

1 

3 

53 

8 

60 

155 

43 

2 

49 

5 

 

 

6 

17 

8 

4 

 

17 

1 

2 

 

 

 

1 

17 

19 

 

17 

1 

1 

 

 

1 

 

1 

y 

6 

4 

 

 

1 

 

1 

3 

 

17 

53 

 

17 

8 

 

17 

60 

17 

155 

 

17 

43 

17 

2 

17 

49 

17 

6 

17 

4 

 

17 

1 

 

 

17 

1 

 

17 

1 

. Tìm ma trận nghịch đảo 

Trước hết, tính det(A). Trừ cột thứ hai vào cột thứ nhất, cột thứ ba vào 

cột thứ hai, cột thứ tư vào cột thứ ba ta được: 

x 

x 

det( ) 

 

0 

0 

0 

x 

y 

0 

0 

0 

y 

y 

1 

1 

1 

1 

y 

Lấy dòng thứ hai trừ hàng thứ nhất, ta được: 

x 

0 

det( ) 

 

0 

0 

0 

x 

y 

0 

0 

0 

y 

y 

1 

0 

1 

1 

y 

Khai triển theo cột thứ nhất, ta có: 

x 

det( ) 

x y 

0 

0 

y 

y 

0 


1 

1 

y 

Khai triển theo hàng thứ nhất ta có: 

. 

















det( 

y 

1 

2 

2 2 

2 2 

) x 

x 

( y y y) 

x y . 

y 

1 

y 

Điều kiện để có ma trận nghịch đảo là: 0; 

y 0 

x . 



11 

12 

13 

14 

1 

x 1 1 

1 1 y 1 (1 x)(1 y ) 111 y 1 x 1 y ( x 1) 

y 

1 1 1 

y 

1 1 1 

 

2 2 

1 1 y 1 (1 y 111 y 11 y) ( y ) y 

1 1 1 

y 

1 1 

x 1 

2 2 2 

1 1 1 1 y 1 x 111 (1 x)(1 y) 

xy 

1 1 1 

y 

1 1 

x 1 

1 1 1 y 1 (1 x)(1 y) 111 y 1 x ( 

x y) xy 

21 

1 1 1 

 

2 2 2 

2 

22 

1 1 1 (1 )(1 ) 111 1 1 

23 

1 1 1 

1 1 y 1 (1 y 111 y 11 y) ( y ) y 

1 1 1 

y 

1 

x 1 1 

y 

x y y x y 

 

1 1 1 

y 

1 

x 1 1 

( x 1)(1 y ) ( x 1) ( x 1)(1 y 1) ( x 1) 

y 

2 2 2 

1 1 1 (1 x)(1 y) 1111 x 1 y ( xy) 

xy 

1 

x 

1 1 1 

y 

1 

x 1 

y 11 

(1 y)(1 

x) 

xy 

1 1 1 

y 

1 

24 

1 

1 

1 

1 

1 

1 1 1 

 


31 

1 x 1 1 1 y 1 1 x 1 1 (1 y)(1 x) 

xy 

1 1 1 y 

 

 

 

















1 

x 1 1 

 

32 

1 1 1 (1 x)(1 y) 1111 x 1 y ( xy) 

xy 

1 1 1 

y 

1 

x 

1 

1 

2 

2 

(1 

x )(1 y) 

111 

x 1 

x 1 

y x ( y 1) 

33 1 1 

x 1 

 

1 1 1 

y 

1 

x 1 1 

1 1 1 1 

2 

1 1 1 1 1 ( 

2 

) 

2 

34 x x x x x x 

 

 

1 1 1 

1 1 1 

 

 

41 

1 x 1 1 1 1 (1 x)(1 y) 1 1 y 1 x 

1 1 y 1 

( xy) 

xy 

1 x 1 1 

 

42 

1 1 1 (1 x 1 1 y 1 1 x y xy 1) xy 

1 1 y 1 

1 x 1 1 

2 2 2 

 

43 

1 1 x 1 (1 x 1 1 1 x 1 x 1) ( x ) x 

1 1 1 

1 x 1 1 

2 

 

44 

1 1 x 1 (1 x )(1 y) 1 1 1 x 1 x 1 y 

 

 

1 1 1 y 

2 x ( y 1) 

 

* 

 

 

 

 

 

 

 

 

11 

12 

13 

14 

 

 

 

 

( 

x 1) 

y 

2 

y 

xy 

 

xy 

2 

21 

22 

23 

24 

 

 

 

 

31 

32 

33 

34 

y 

2 

( x 1) 

y 

xy 

xy 

 

 

 

 

41 

42 

43 

44 

2 

 

 

 

 

 

 

xy 

xy 

x 

2 

2 

x ( y 1) 

xy 

 

xy 

2 

x 

2 

 

x ( y 1) 

 


 

 

















1 

Vậy ma trận nghịch đảo của ma trận A là: 

 

1 

1 

. 

det( ) 

 

x 1 

2 

x 

 

 

1 

2 

x 

1 

 

xy 

1 

 

xy 

1 

2 

x 

x 1 

 

2 

x 

1 

xy 

1 

 

xy 


Bài giải: 

x1 

2x2 

3x3 

2x 

 

2x1 

x2 

2x3 

3x 

 

3x1 

2x2 

x3 

2x 

 

2x1 

3x2 

2x3 

x 

Định thức của hệ là 

Khai triển theo cột 1 ta có : 

 

1 

2 

3 

2 

1 

2 

3 

2 

1 

2 

324. 

2 

2 

3 

1 

2 

4 

4 

4 

4 

6 

8 

4 

8 

2 

3 

1 

 

xy 

1 

xy 

1 

2 

y 

y 1 

2 

y 

3 

2 

1 

xy 

 

1 

 

xy 

1 

 

2 

y 

y 1 

 

2 

y 

 

2 

2 1 

2 3 

 

. 

3 2 1 

2 

3 

1 

2 

2 

2 

1 

2 

3 1 

3 

1 

3 

2 

2 

2 

2 

3 2 1 

18 

236 

354 

236 

18 

144 

162 

Hệ có nghiệm duy nhất. 

Tính 

1 

, 2, 

3, 

4 

giải tương tự tính trên, ta có: 

 

1 

 

6 

8 

4 

8 

2 

1 

2 

3 

3 

2 

1 

2 

2 

3 

2 

1 

1 

2 3 

2 3 2 

2 

6 

 

2 1 2 

 

8 

 

2 1 2 

 

4 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 

 

3 2 1 

 

3 2 1 

 

3 

618 

836 

454 

836 

324 

1 

3 

2 

2 

2 

3 

2 

1 

2 

2 

3 

 

8 

 

 

 

 

1 

1 

 

2 


2 

3 

2 

3 

2 

1 

2 

3 

 

 

2 

















 

 

 

2 

3 

4 

1 

2 

 

3 

 

2 

8 

4 

8 

6 

8 

4 

8 

2 

1 

2 

3 

2 

1 

2 

3 

2 

1 

2 

3 

2 

8 

1 

0 290 

372 

2126 

648 

1 

2 

 

3 

 

2 

1 

2 

3 

2 

1 

2 

3 

8 

4 

8 

6 

8 

4 

8 

3 

2 

1 

2 

1 

2 

3 

2 

6 

4 

3 

3 

2 

8 

2 

72 

0 336 

272 

324 

1 

2 

 

3 

 

2 

1 

2 

3 

2 

1 

2 

3 

2 

1 

2 

3 

2 

1 

2 

8 

4 

8 

2 

1 

6 

8 

4 

8 

2 

2 

2 

3 

6 

4 

1 

2 

1 

2 

0 218 

3144 

290 

648 

Ta suy ra : 

2 

2 

3 

2 

2 

1 

6 

4 

8 

1 

324 

x1 

1 

324 

 

 

2 

648 

x2 

2 

324 

 

3 

324 

x3 

1 

324 

 

648 

 

4 

x4 

2 

324 


3 

6 

8 

8 

2 

3 1 

3 

2 

3 1 

x 

 

x 

 

x 

 

x 

3 

3 

2 

2 

6 

8 

8 

3 

2 

2 

2 

6 

3 2 8 

1 

2 

4 

2 

3 2 1 

1 

6 

8 

8 

2 

2 

2 1 


1 

2 

3 

4 

1 

2 

1 

2 

2 

3 

2 

1 

6 

8 

4 

3 

2 

1 

2 

3 

2 

2 

3 

2 

6 

8 

4 

















Bài 3.6: Giải hệ phương trình sau và biện luận theo các tham số: 

Bài giải: 

Định thức của hệ là: 

x1 x2 

x3 

1 

 

ax1 

bx2 

cx3 

d 

2 2 2 

a 

x1 

b x2 

c x3 

d 

 

1 

a 

a 

Lấy cột thứ hai, cột thư ba trừ đi cột thứ nhất, ta có: 

 

1 

a 

a 

2 

1 

b 

b 

2 

1 

c 

c 

2 

 

1 

a 

a 

2 

b 

2 

0 

2 

b a 

a 

2 

1 

b 

b 

c 

2 

2 

2 

0 

1 

c 

c 

2 

c a 

a 

Khai triển theo hàng thứ nhất, ta có: 

b a 

 

2 

b a 

2 

( b a) 

c 

c a 

2 

a 

2 

( b a)( 

c 

2 

( 

c a)( 

c a) 

( b a)( 

c a) 

( b a)( 

c a)( 

c b) 

2 

2 

a ) ( b 

2 

2 

a )( c a) 

Tính định thức 

1 

, 2, 

3 

tương tư tính , ta có: 

 

 

 

1 

2 

3 

 

 

 

Nếu 

x 

x 

1 

2 

d 

1 

d 

1 

a 

1 

a 

2 

a 

a 

2 

2 

1 

b 

b 

d 

2 

1 

1 

b 

b 

a b, 

c 

d 

2 

2 

1 

c 

c 

d 

2 

1 

c 

c 

1 

d 

2 

2 

( b d)( 

c d)( 

c b). 

( d a)( 

c a)( 

c d). 

( b a)( 

d a)( 

d b). 

, khác nhau thì 0 và hệ có nghiệm duy nhất. 

1 

( b d)( 

c d)( 

c b) 

( b d)( 

c d) 

 

 

. 

( b a)( 

c a)( 

c b) 

( b a)( 

c a) 


( d a)( 

c a)( 

c d) 

( d a)( 

c d) 

 

 

. 

( b a)( 

c a)( 

c b) 

( b a)( 

c b) 

















x 

3 

tham số. 

( b a)( 

d a)( 

d b) 

( d a)( 

d b) 

 

 

. 

( b a)( 

c a)( 

c b) 

( c a)( 

c b) 

i) Nếu a b, a c, 

d a hay d c thì hệ có vô số nghiệm phụ thuộc một 

ii). Nếu 

một tham số. 

iii). Nếu 

một tham số. 

iv). Nếu 

b c a b, 

d a hay d b 

, thì hệ cũng có vô số nghiệm phụ thuộc 

a c, a b, 

d a hay d b thì hệ cũng có vô số nghiệm phụ thuộc 

a b c d thì hệ có vô số nghiệm phụ thuộc hai tham số. 

Trong tất cả các trường hợp cón lại, hệ vô nghiệm. 

Bài 3.7: Giải hệ phương trình: 

ax1 

x2 

x3 

x 

 

x1 

ax2 

x3 

x 

 

x1 

x2 

ax3 

x 

 

x1 

x2 

x3 

ax 

(Ở đây x 

1 

, x2, 

x3, 

x4 

là ẩn, a là tham số). 

Bài giải: 

4 

4 

4 

4 

1 

1 

1 

1 

Trước hết ta tính định thức ma trận các hệ số, ta có: 

 

a 

1 

1 

1 

1 

a 

1 

1 

1 

1 

a 

1 

1 

0 

( a 3) 

0 

0 

1 

1 

1 

a 

1 

a 1 

0 

0 

a 3 

a 3 

 

a 3 

a 3 

1 

0 

a 1 

0 

1 

a 

1 

1 

1 

0 

0 

1 

1 

a 

1 

a 1 

1 

1 

1 1 

( a 3) 

1 1 

a 

1 

( a 3)( a 1) 

- Nếu a 3 & a 1 thì hệ trên trở thành hệ Cramer 


3 

Khi đó: ( a 3)( a 1) 

, 

1 

a 

1 

1 

3 

. 

; 

1 

1 

a 

1 

1 

1 

1 

a 

















 

 

1 

2 

1 

1 

 

1 

 

1 

a 

1 

1 

1 

1 

a 

1 

1 

1 

a 

1 

1 

1 

1 

a 

1 

1 

1 

a 

1 

1 

1 

3 

( a 1) 

, 

1 

a 

1 

1 

1 1 

 

1 1 

3 

Tương tự D D ( a 1) . 

a 

1 

3 4 

 

a 

1 

1 

1 

1 

1 

a 

1 

1 

1 

1 

2 

1 

( 1) 

1 1 

Vậy x x x x 

. 

1 

2 

3 

4 

a 

3 

( a 1) 

( a 3)( a 1) 

3 

1 

1 

a 3 

1 

a 

1 

1 

1 

1 

a 

1 

1 

1 

3 

( a 1) 

, 

1 

i) Nếu a = 1, khi đó hệ trên tương đương với một phương trình: 

x x x x 1, từ đó : x1 1 

x2 

x3 

x4 

1 2 3 4 

 

(Coi x 

2 

, x3, 

x4 

là những tham số) 

ii). Nếu a = -3, thì định thức của hệ bằng 0. 

Vậy hệ trên vô nghiệm. 

Baì 3.8: Giải hệ phương trình sau: 

 

Bài giải: 

x1 

2x2 

x3 

2x4 

2 

 

2x1 

x2 

x3 

x4 

3 

 

 

x1 

3x2 

2x3 

x4 

5 

 

3x1 

x2 

2x3 

x4 

1 

1 

 

2 

3 

4 

Nhận phương trình (1) với -2 rồi cộng vào phương trình (2). 

Cộng phương trình (1) vào phương trình (3). 

Nhân phương trình (1) với -3 rồi cộng vào phương trình (4). Ta có hệ mới: 

 

x1 

2x 

 

5x 

 

x 

 

7x 

2 

2 

2 

2 

x 

3 

x 

3 

3x 

5x 

2x 

3x 

3 

3 

x 

4 

4 

4 

5x 

4 

2 


7 

3 

7 

1 

 

2 

3 

4 

a 

















Trong phương trình mới ta đổi phương trình (2) và (3) cho nhau: 

 

x1 

2x2 

x3 

2x4 

 

x2 

3x3 

x4 

 

5x2 

x3 

3x4 

 

7x2 

5x3 

5x4 

2 

3 

7 

7 

Trong hệ ta nhân phương trình (2) với -5 cộng vào (3) và nhân 

phương trình (2) với -7 cộng vào (4) ta có: 

 

x1 

2x 

 

x 

 

 

 

 

2 

2 

x 

3 

3x 

16x 

26x 

2x 

3 

x 

3 

3 

4 

4 

8x 

4 

12x 

4 

2 

 

3 

8 

14 

1 

 

2 

3 

4 

1 

 

2 

3 

4 

Trong hệ chia phương trình (3) cho -16 ta có: 

 

x1 

2x 

 

 

x 

 

 

 

 

2 

2 

x 

3 

3x 

2x 

3 

x 

1 

x3 

x4 

2 

26x 

12x 

3 

4 

4 

4 

 

 

2 

3 

1 

 

2 

14 

1 

 

2 

3 

4 

Trong hệ nhân phương (3) với 26 cộng vào (4) ta có: 

 

x1 

2x 

 

 

x 

 

 

 

 

2 

2 

x 

3 

3x 

x 

3 

2x 

3 

x 

4 

4 

1 

x 

2 

1x 

4 

4 

 

 

2 

3 

1 

 

2 

14 

Từ (4) ta có x 1. Thay vào (3) ta được x 1 thay tiếp vào (2) ta có 

4 

 

x 

2 

1, cuối cùng thay vào (1) ta được x 

1 

1. 

1 

 

2 

3 

4 

Vậy nghiệm của hệ đã cho là x ; x 1; 

x 1; 

x 1. 


3 

1 

1 

2 3 4 

 


















x 

1 

..................................................................... 

1 

2 

1 

3 

x 

2 

2 

1 

3 

1 

x 

3 

1 

1 

2 

2 

2 

1 

1 

1 

..................................................................... 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

5 

1 

7 

1 

16 

26 

1 

0 

1 

3 

5 

3 

8 

12 

1 

 

2 

1 

: 

: 

x 

4 

1 

: 

: 

: 

: 

: 

14 

 

2 x 

...................................................................... 

...................................................................... 


x1 

x3 

x4 

x 

 

 

2x1 

2x2 

x3 

9x 

( ) 

3x1 

x2 

x3 

8x4 

4x 

6x1 

x2 

x3 

16x4 

5x 

 

 

x1 

3x2 

2x3 

x4 

2x 

: 

: 

: 

3 

5 

: 

: 

: 

3 

x 

8 

3 

5 

1 

7 

3 

7 

2 

1 

3 3x 

2 

2x 

1 1 1 

x3 

x4 

1 

2 2 2 

1 

1x 

1 

x 1 

5 

4 

5 

5 

5 

3 

2 

2 

3 

2 

4 

(1) 

(2) 

(3) 

(4) 

(5) 

3 

x 

4 

4 

2 

1 

Bài giải: Ta biến đổi ma trận bổ sung của hệ trên, ta có: 

1 

 

 

2 

3 

 

6 

 

1 

0 

2 

1 

1 

3 

1 

1 

1 

1 

2 

1 

9 

8 

16 

1 

1 

0 

4 

5 

2 

3 

2 

 

 

2 

 

3 

2 

 

x 

3 

2x 

Nhân hàng thứ nhất với 2, 

3, 

6, 

1 

rồi cộng vào hàng hai, thứ ba, thứ tư, 


hàng năm theo thứ tự, ta được: 

4 

1 

















1 

 

 

0 

0 

 

0 

 

0 

0 

2 

1 

1 

3 

1 

3 

4 

7 

1 

1 

11 

11 

22 

0 

1 

2 

1 

1 

3 

3 

8 

 

 

7 

 

15 

1 

 

Ta đổi hàng thứ hai và hàng thư ba cho nhau, ta có: 

1 

 

 

0 

0 

 

0 

 

0 

0 

1 

2 

1 

3 

1 

4 

3 

7 

1 

1 

11 

11 

22 

0 

1 

1 

2 

1 

3 

3 

7 

 

 

8 

 

15 

1 

 

Nhân hàng thứ hai với 2 rồi cộng vào hàng thứ ba, hàng thứ hai cộng vào 

hàng thứ tư, nhân hàng thứ hai với 3 cộng vào hàng thứ năm, ta được: 

1 

 

 

0 

0 

 

0 

 

0 

0 

1 

0 

0 

0 

1 

4 

11 

11 

11 

1 

11 

33 

33 

33 

1 

1 

0 

0 

0 

3 

7 

 

 

22 

 

22 

22 

 

Ta lấy hàng thứ ba trừ hàng thứ tư, hàng thứ năm theo thứ tự, ta được: 

1 

 

 

0 

0 

 

0 

 

0 

0 

1 

0 

0 

0 

 

 

 

 

 

1 

4 

11 

0 

0 

1 

11 

33 

0 

0 

1 

1 

0 

0 

0 

3 

7 

 

 

22 

 

0 

0 

 

2x 

Từ đó suy ra x 4x 

11x 

x 7 

x x x 1 

; x , x R. 

2 

x x 

1 

3 

3 

11x 

x 

3 

4 

4 

x 

5 

5 

33x 


4 


3 

22 

x 

 

 

 

x 

( 

5 

1 

2 

3 

4 

4 

3x 

2x4 x5 

1, 

x4 

x5 

1, 

3x4 

2); ( x4, 

x ) R. 

4 

x 

5 

5 

2 

1 

4 

5 

















Bài 3.10: Tìm các giá trị của α để ma trận 

3 

 

 

 

 

1 

 

2 

1 

4 

7 

2 

1 

10 

17 

4 

4 

1 

 

 

3 

 

3 

có hạng nhỏ nhất. 

Hạng bằng bao nhiêu với các giá trị tìm được của α và bằng bao nhiêu với các 

giá trị α khác? 

Bài giải: 

Đưa ma trận về dạng chuẩn bằng các biến đổi sơ cấp: 

3 

 

 

 

 

1 

 

2 

1 

4 

7 

2 

1 

10 

17 

4 

4 

1 

 

 

3 

 

3 

Hoán vị vòng cột thứ nhất, thứ hai, thứ ba, thứ tư cho nhau ta có: 

1 

 

 

4 

 

7 

 

2 

1 

10 

17 

4 

4 

1 

3 

3 

3 

 

 

 

1 

 

2 

Hoán vị vòng hàng thứ hai, hàng thư ba, hàng thứ tư cho nhau ta có: 

1 

 

 

7 

 

2 

 

4 

1 

17 

4 

10 

4 

3 

3 

1 

3 

1 

 

 

2 

 

 

Nhân hàng thứ nhất với 7, 2, 4 rồi trừ hàng thứ hai, thư ba, thứ tư theo 

thứ tự ta được: 

1 

 

 

0 

 

0 

 

0 

1 

10 

2 

6 

4 

25 

5 

15 

3 

20 

 

 

4 

 

12 

 

Chia hàng thứ hai cho 5, ta có: 

1 

 

 

0 

 

0 

 

0 

1 

2 

2 

6 

4 

5 

5 

15 

3 

4 

 

 

4 

 

12 

 


















Hàng thứ hai trừ hàng thứ 3 và nhân hàng thứ hai với 3 rồi cộng vào 

hàng thứ tư, ta được: 

1 

 

 

0 

 

0 

 

0 

1 

2 

0 

0 

4 

5 

0 

0 

3 

4 

 

 

0 

 

 

- Nếu 0 rank( 

) 

2. 

- Nếu 0 rank( 

) 

3. 

Bài 3.11: Tính hạng của ma trận sau: 

1 

 

 

0 

 

1 

 

0 

Bài giải: 

2 

1 

2 

0 

3 

0 

1 

0 

4 

1 

2 

0 

5 

0 

1 

0 

6 

1 

2 

4 

7 

1 

 

 

1 

 

5 

Hiển nhiên rank(A) không lớn hơn 4. Trong trường hợp này a 0. 

Nhân hàng thứ nhất với -1 rồi cộng kết quả vào hàng thứ ba ta có: 

 

1 

1 

 

 

0 

 

0 

 

0 

2 

1 

0 

0 

3 

0 

2 

0 

4 

1 

2 

0 

5 

0 

4 

0 

6 

1 

4 

4 

7 

1 

 

 

6 

 

5 

Tiếp theo là nhân cột thứ nhất với số -2, -3, -4,… ,-7 rồi cộng kết quả vào 

các cột thứ hai, thứ ba,…, thứ bảy ta được: 

 

2 

1 

 

 

0 

 

0 

 

0 

0 

1 

0 

0 

0 

0 

2 

0 

0 

1 

2 

0 

0 

0 

4 

0 

0 

1 

4 


4 

0 

1 

 

 

6 

 

5 

Trong cột thứ hai ta có a 1 

0 và các phần thử còn lại đều bằng 

22 

 

không. Nhân cột thứ hai với -1 rồi cộng vào cột thứ tư, thứ sáu, thứ bảy. 

11 

 

















Ta có: 

 

3 

1 

 

 

0 

 

0 

 

0 

0 

1 

0 

0 

0 

0 

2 

0 

0 

0 

2 

0 

0 

0 

4 

0 

0 

0 

4 

4 

0 

0 

 

 

6 

 

5 

Tiếp theo là nhân cột thứ ba với số -1, -2, -2, -3 theo thứ tự rồi cộng kết 

quả vào các cột thứ tư, thứ năm, thứ sáu, thứ bảy, ta được: 

 

4 

1 

 

 

0 

 

0 

 

0 

0 

1 

0 

0 

0 

0 

2 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

4 

0 

0 

 

 

0 

 

5 

Nhân cột thứ sáu với 5, nhân cột thứ bảy với 4 rồi lấy cột thứ sáu trừ cột 

thứ năm, ta được: 

 

5 

1 

 

 

0 

 

0 

 

0 

0 

1 

0 

0 

0 

0 

2 

0 

0 

0 

0 

4 

0 

0 

 

 

0 

 

0 

6 

1 

 

 

0 

 

0 

 

0 

0 

1 

0 

0 

0 

0 

2 

Ta được ma trận cuối cùng là ma trận chéo cấp 4. Ta có: 

0 

0 

0 

 

 

0 

 

4 

8 

0. Do đó rank (A) = rank (A 6 ) = 4. 

det 

6 

 


Bài giải: 

1 

 

 

1 

 

2 

 

2 

1 

2 x 

1 

2 

3 

3 

2 

1 

3 

2 

2 

1 

1 

3 

3 

5 

9 x 

2 

1 

2 

 

 

 

 

 

 

2 

1 2 x 2 3 

det 

. 

2 3 1 5 

3 


9 x 

2 

















Đổi hàng tứ nhất và hàng thứ hai cho nhau, ta có: 

det 

 

1 

1 

 

2 

2 

2 x 

1 

3 

3 

2 

2 

2 

1 

1 

3 

3 

5 

9 x 

2 

Nhân hàng thứ nhất với -1, -2, -2 rồi cộng vào hàng thứ hai, thứ ba, thứ 

tư theo thứ tự, ta được: 

det 

det 

det 

 

1 

0 

 

0 

 

 

0 

x 

2 

2x 

2x 

2 

2 

2 x 

x 

2 

2x 

2x 

2 

2 

1 

1 

1 

2 

1 

1 

1 

3 

0 

3 

3 

2 

0 

3 

3 

0 

1 

3 

x 

3 

0 

1 

3 

x 

2 

2 2 

x 

1 x 

1 3x 

9 3 

3 

1 

3 

x 

2 2 

2 2 

x 

1 3x 

12 

3x 

1 x 4 

2 2 

Vậy det 3x 1 x 4. 

Bài 3.13: Tính định thức của ma trận sau đây: 

Bài giải: 

1 

 

 

2 

1 

 

 

2 

 

2 

det( ) 

1 

1 

4 

4 

1 

2 

4 

1 

2 

2 

2 

5 

0 

4 

4 

4 

1 

1 

4 

4 

2 

2 

6 

1 

2 

5 

0 

4 

7 

4 

2 

2 

1 

2 

 

 

1 

 

1 

1 

 

2 

2 

6 

1 

7 

2 

. Khai triển theo cột một ta có: 

. Khai triển theo hàng một ta có: 


1 

2 

1 

1 

1 

Nhân hàng thứ nhất với 2 rồi trừ hàng thứ hai, cộng hàng thứ tư, trừ hàng 

thứ năm và hàng thứ nhất cộng vào hàng thứ ba. Ta được: 

















1 

0 

det( ) 0 

0 

0 

1 

3 

3 

6 

6 

2 

1 

2 

0 

0 

2 

2 

4 

3 

3 

Khai triển theo cột thứ nhất ta được: 

det( ) 

3 

3 

6 

6 

1 

2 

0 

0 

2 

4 

3 

3 

Nhân hàng thứ nhất với 2 cộng vào hàng thứ hai ta được: 

det( ) 

3 

3 

6 

6 

1 

0 

0 

0 

2 

0 

3 

3 

Khai triển theo cột thứ hai ta có: 

det( ) 

( 1) 

1 

2 

3 

( 1) 

6 

6 

0 

2 

3 

3 

0 

2 

3 

3 

0 

3 

1 

0 

2 

3 

3 

3 

2 

3 18. 

Vậy định thức của ma trận đã cho là: 

det( ) 

1 

2 

1 

2 

2 

1 

1 

4 

4 

4 

2 

5 

0 

4 

4 

2 

2 

6 

1 

7 


3 

1 

2 

1 

1 

1 

18. 

















Chƣơng 3 

SỬ DỤNG BÀI TẬP PHÂN HÓA TRONG DẠY ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 

NHẰM TĂNG CƢỜNG VIỆC TỰ HỌC CỦA SINH VIÊN 

3.1. Định hƣớng chung 

Việc thiết kế giáo án giảng dạy nội dung đại số tuyến tính cho SV CĐSP 

nước CHDNND Lào theo hướng trú trọng việc tự học của SV với việc sử dụng 

hệ thống bài tập phân hóa được triển khai trên cơ sở các định hướng chung sau: 

1). Đặc biệt quan tâm đến việc tạo động cơ để SV tự học. 

2). Vận dụng các mô hình tự học một cách phù hợp với đặc thù của SV 

CĐSP nước CHDCND Lào. 

3). Việc tự học của SV được thực hiện thông qua các hoạt động trong và 

ngoài giờ lên lớp. 

4). Sử dụng hệ thống bài tập phân hóa phù hợp với nhận thức của từng 

SV, từng nhóm SV. 

5). Nhiệm vụ tự học được chuyển tải bới hệ thống các câu hỏi gợi mở và 

các nhiệm vụ vận dụng lý thuyết vào giải bài tập. 

6). Yêu cầu SV tự đánh giá kết quả tự học của mình. 

3.2. Các biện pháp sử dụng hệ thống bài tập phân hóa trong dạy học nội 

dung đại số tuyến tính cho SV CĐSP nƣớc CHDCND Lào 

Biện pháp 1: Sử dụng các bài tập „Thông hiểu‟ trong quá trình lên lớp để tổ 

chức cho SV tham gia các hoạt động tự học ngay trong khi tiếp thu kiến thức mời. 

Biện pháp 2: Sử dụng các bài tập „Vận dụng‟ để củng cố, hệ thống hóa 

kiến thức sau mỗi tiết học lý thuyết và các giờ dạy bài tập. 

Biện pháp 3: Sử dụng các bài tập „Phân tích‟ trong các giờ dạy bài tập, 

giờ ôn tập chương. 


Biện pháp 4: Thông qua các bài tập „Thông hiểu‟ để SV hình thành niềm 

tin vào khả năng của bản thân qua đó hình thành động cơ tự học. Sau đó căn cứ 

















vào lực học của SV để giao nhiệm vụ giải các bài tập phù hợp với năng lực của 

mỗi SV. 

Biện pháp 5: Giao cho SV giải quyết các bài tập theo thứ tự tăng dần: 

"Thông hiểu", "Vận dụng", "Phân tích" để SV từng bước hoàn chỉnh hệ thống 

kiến thức, tích lũy dần kỹ năng vận dụng kiến thức vào giải bài tập. 

Việc vận dụng các biện pháp trên được thể hiện qua các giáo án. Chúng 

tôi chọn chương "Hệ phưong trình tiến tính" để thiết kế giáo án. Nội dung 

chương "Hệ phương trình tuyến tính" gồm các bài: 

1. Hệ 2, 3 phương trình và 2, 3 ẩn. 

2. Điều kiện tương thích, phương pháp Cramer và phương pháp Gauss. 

3. Hệ phương trình thuần nhất. 

4. Giải hệ phương trình đại số tuyến tính tổng quát. 

(Nội dung giáo án được trình bày chi tiết ở phần phụ lục). 

3.3. Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm 

3.3.1. Mục đích dạy thực nghiệm sư phạm 

(1). Đánh giá tính khả thi, tính hiệu quả của việc khai thác hệ thống bài tập 

phân hóa hỗ trợ SV tự học với các giáo án đã thiết kế trong việc góp phần nâng 

cao hiệu quả tự học học phần đại số tuyến tính cho SV Cao đẳng sư phạm 

nhóm ngành tự nhiên. 

(2). Thu thập số liệu, xử lý theo phương pháp thống kê để có những nhận 

định về mặt định lượng về kết quả thực nghiệm sư phạm. 

3.3.2. Thời gian, địa điểm và đối tượng thực nghiệm sư phạm 

Chúng tôi chọn một trường thực nghiệm là: Trường CĐSP Bankeun của 

tỉnh Viêng chăn. 


Thực nghiệm sư phạm được tiến hành từ tháng 10 năm 2014 đến tháng 

12 năm 2014. Mỗi tuần chúng tôi dạy 1 buổi, một buổi dạy 3 tiết, cho SV năm 

học thứ ba, học kỳ I. 

















Đối tượng thực nghiệm là SV lớp (3A) và lớp (3B) năm thứ 3. Chúng tôi 

đã chọn 02 lớp để thực nghiệm như sau: 

- Lớp thực nghiệm là lớp (3A) gồm có 30 SV, lớp đối chứng là lớp (3B) 

gồm có 45 SV. 

- Các lớp trên đều có mặt bằng nhận thức ở mức độ trung bình khá. 

Các lớp thực nghiệm và lớp đối chứng được đánh giá thông qua bài kiểm tra. 

3.3.3. Nội dung thực nghiệm sư phạm 

Nội dung 1: Điều tra, phỏng vấn GV và SV 

Phát phiếu điều tra cho GV và SV; quan sát các hoạt động dạy của GV 

và hoạt động học của SV, phỏng vấn để tìm hiểu các nguyên nhân liên quan 

đến các tồn tại việc khai thác hệ thống bài tập phân hóa trong tự học của SV; 

phân tích số liệu điều tra để rút ra kết luận về nội dung TNSP. 

Nội dung 2: Tổ chức dạy học các giáo án đã soạn 

Tổ chức dạy thực nhiệm với 4 bài thuộc chương „Hệ phương trình tuyến tính‟ 

học phần đại số tuyến tính. 

Cách thức tiến hành: 

Đối với lớp (3A) (lớp thực nghiệm): Dạy với các giáo án được tác giả 

luận văn thiết kế. 

Đối với lớp (3B) (lớp đối chứng): Việc tự học và dạy học được tiến hành 

theo các giáo án được thiết kế theo phương án không có sự hỗ trợ của hệ thống 

bài tập phân hóa. 

Sau các tiết thực nghiệm, tổ chức cho làm bài kiểm tra. 

3.3.4. Kết quả thực nghiệm 

Nhận xét về mặt định tính: 

Sau khi triển khai thực nghiệm sư phạm thì hầu hết SV ở lớp thực nghiệm 

đã thấy thích thú hơn với tự học có sử dụng hệ thống bài tập phân hóa. Đặc biệt 


đối việc giải các bài toán về phương trình, hệ phương trình tuyến tính và các bài 

toán có liên quan đã nhanh chóng và hiệu quả hơn so với lớp đối chứng. 

















Không khí trong giờ học bớt căng thẳng và buồn tẻ. 

Đa số SV tự tin trình bày hiểu biết và cách giải quyết vấn đề của mình, 

các đối tượng SV yếu kém đã tích cực phát biểu xây dựng bài hơn. 

Hầu hết SV dưới lớp đều hào hứng nhận xét kết quả trả lời của bạn. 

Nhận xét về mặt định lượng: Sau giờ dạy bài 3 “Hệ phương trình tuyến 

tính” chúng tôi tiến hành tổ chức kiểm tra 50 phút với nội dung như sau: 

I. Trắc nghiệm (4 điểm) 

Câu 1: Cho hệ phương trình: 

A. 

B. 

Đề kiểm tra 

x 

7y 

z 2 

 

 

5x 

y z 1 

 

x 

y 2z 

0 

, tổng của nghiệm là: 

40 

73 

C. 40 

73 

41 

73 

D. 41 

73 

Câu 2: Cho hệ phương trình thuần nhất 3 ẩn: 

Khi đó, hệ chỉ có nghiệm tầm thường nếu: 

2 

a 

 

 

1 

 

1 

1 

a 

3 

0 x 

0 

1 

 

 

 

 

y 

 

0 

 

1 

a 

 

z 

 

0 

A. a 2 

C. a 2và a 1 

B. a 1 

D. a 2 hoặc a 1 

Câu 3: Xét hệ phương trình đại số tuyến tính 

A. Nếu det (A) = 0 thì hệ vô nghiệm. 

x b 

B. Nếu det (A) 0 thì hệ có vô số nghiệm. 

. Khi đó: 

C. Nếu x 0 có nghiệm không tầm thường thì det (A) = 0. 

D. Nếu x 0 có nghiệm không tầm thường thì det (A) 0 

Câu 4: Xét hệ phương trình: 

x 

3y 

5z 

t 0 

 

4x 

7y 

3z 

t 0 

 

3x 

2y 

7z 

8t 

0 

Khi đó: 


. 

A. Hệ có nghiệm duy nhất C. Hệ chỉ có nghiệm tầm thường 

B. Hệ vô nghiệm D. Hệ có nghiệm không tầm thường 

















II. Tự luận (6 điểm) 

Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss: 

Đáp án: 

Phần 1: Trắc nghiệm (Mỗi đáp án đúng được 1đ) 

Câu 1 

Mức: Thông hiểu 

Câu 2 

Mức: Vận dụng 

Câu 3 

Mức: Thông Hiểu 

x 

2y 

z 2t 

2 

 

2x 

y z t 3 

 

 

x 3y 

2z 

t 5 

 

3x 

y 2z 

t 1 

Câu 4 

Mức: Vận dụng 

B C C D 

Phần 2: Tự luận (Mức độ: Phân tích) 

Câu Nội dung Thang điểm 

1 

x 

1 

1 

2 

1 

3 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

x 

2 

2 

1 

3 

1 

5 

1 

7 

1 

16 

26 

1 

0 

x 

3 

1 

1 

2 

2 

1 

3 

5 

3 

8 

12 

1 

 

2 

2 

2t 

2 

t 1; 

y 3 3z 

t 1; 

x 

4 

2 

1 

1 

1 

3 

1 

: 

: 

: 

: 

: 

5 

: 

: 

: 

: 

: 

: 

: 

: 

3 

8 

14 

1 

2 

2 

 

2 

1 1 

z t 1; 

2 2 

x 2 

2y 

z 2t 

1 



(x, y, z, t) = (1, 1, 1,1). 

3 

5 

1 

7 

3 

7 

0,5 

1,5 

1,5 

1 

1 

0,5 












ີ 






Kết quả bài kiểm tra 

Bảng 3.1: Kết quả kiểm tra lớp thực nghiệm (Lớp 3A) 

າະລາຄ 3.1: ກາກວຈກາຫຽ ຄ ຈລຄ(ຫຽ ຄ 3ກ) 

ືຼ 

ີ ິ 

ິ 

ິ ິ 

ມິ 

ຽ ີ 

ິ 

ິ ິ 

ິ 

ິ 

ພິ 

ິ 

ີ 

ີ ີ 

ຼ 

ິ 

ີ 

ິ 

ີ 

ລ/ຈ 

ແລະ າມສະກຸ ະແ 

1 . ລັ ຈມະ ຍພະວ ຄ 6,50 

2 . ສຸ ວມ ແກຽ ວສ ມຍູ 6,00 

3 . ພັ ກລາ ໄງະສຈ 5,00 

4 . ໄາ 5,50 

5 . ຫົ າສະ 

5,00 

6 . ກຄລຽ 4,00 

7 . ຄລັ ກ ແສສ ມລຈ 6,50 

8 . ສສະຫວັ ສວຈ 7,00 

9 . ເກສ ວັ ະສາ 7,00 

10 . ໄກສ ັ ວ ຄ 6,50 

11 . ຽ ງຈາວັ 4,50 

12 . ຍໄລພ 4,00 

13 . ມວ 5,00 

14 . ວຽຄາ ຈາວັ ະວ ຄ 4,50 

15 . ໄງະລາຈ 5,00 

16 . ລຸ ຄ ສະຫວັ 

5,50 

17 . ມ 6,00 

18 . າຸ ກ 5,50 

19 . ຢ ຄຢຼ າຄ 8,50 

20 . ຍ ຄຢຼ າຄ 8,00 

21 . າສ ລໄາວ 7,50 

22 . ເຢກລ ລເລງູ 7,00 

23 . ເງຼ ງ ຍ ວຫວຼ າຄ ຄ 8,50 

24 . າວາ ັ ະວ ຄ 8,50 

25 . ໄມສັ ກ 6,00 

26 . ຼ ຢຼ າຄ ເຼ ງຢັ ຄ 7,00 

27 . ຍ ຄເອ ຫວັ ຄເັ ຄ 9,00 

28 . ສະຊຽ ັ ະວ ຄ 6,50 

29 . ສຸ ວັ ະລຈ 9,00 

30 . ສສຸ ວັ ຫວຼ າຄ 5,50 













ິ 






Bảng 3.2: Kết quả kiểm tra lớp đối chứng (Lớp 3B) 

າະລາຄ 2: ກາກວຈກາຢັ ຽ ຄຢ ື ລະຈັ ຍ(ຫຽ ຄ 3ຂ) 

ືຼ 

ິ 

ີ 

ິ 

ີ 

ຼ 

ີ 

ີ 

ີ ີ 

ິ 

ິ 

ີ 

ິ 

ິ 

ີ 

ີ 

ີ 

ີ ີ 

ິ 

ລ\ຈ 


1 . ັ ຈສະພ ະວ ຄສັ ກ 5,50 

2 . ເພັ ຈສະໝ ຈາລາສັ ກ 8,50 

3 . ຂາວ ໄພະສ 

7,00 

4 . ຫວຄ ໄວຸ ຈ 5,50 

5 . ສເພັ ຈ າເພັ ຄ 8,50 

6 . ລັ ຈະະພ ຂຸ ະເສຈ 5,00 

7 . ໄມຢຼ າຄ ເຢັຽ ງເຢຄຢຼ າຄ 7,50 

8 . າຽ ງ ວ ຄພະັ 4,50 

9 . ກາເລງລ ືຼາວເຍົ ງຢຽ າວ 6,00 

10 . ກ ສພາຍມໄ 4,50 

11 . ມ ລະຈ ງ ຄະຍຸ 5,50 

12 . ເພັ ຈມະ ຄວັ 

6,50 

13 . ສຸ ພາຈ ສວໄລ 5,50 

14 . ສ ມເພັ ຈ ຼ າມະໂລາ 4,00 

15 . ພຸ ຈ ໄງະວ ຄ 4,50 

16 . ພຈ 4,00 

17 . ະເລສັ ກ 5,00 

18 . າໄພວັ 6,00 

19 . າໄພຈ ພ ມມະລາຈ 7,00 

20 . ເພັ ຄພ ຄສະຫວຼ າຄ 5,50 

21 . ໄ ຄາວ 7,00 

22 . ຸຼ ະວ ຄ 6,50 

23 . າໃຍ ພວຽຄໄ 4,50 

24 . ແສຄລັ ຄສ ຫົ ວຄໂຈ 6,00 

25 . າງ ພັ ະວ ຄ 5,50 

26 . ສ ມໄ ສສະໝ 5,00 

27 . າວຢຼ າຄ ກ ຄ 

7,50 

28 . າຈ ແກຽ ວວ ຄກ ຈ 4,00 

29 . ວຽຄເອ ລຽຄເ 

5,50 

30 . ພຸ ຈພ ໄງະລາ 4,50 













ຼ 

ຼ 






ືຼ 

ິ 

ີ 

ຼ ຼ 

ລ\ຈ 


31 . ໂກມິ ະຈຈ 4,00 

32 . ວັ ຈຢຼ າຄ 6,50 

33 . ເັ ຄມ ວ ຄເັ ຄມ ວ 5,00 

34 . ີອໂຼ ວ ຄຍຸ ຈໄ 8,50 

35 . ງັ ຄ ິັ ງາ 7,50 

36 . ຸ ໄ ໂພ ິ ສາ 4,50 

37 . າັ ພຸ ຈະວ ຄສາ 5,00 

38 . າຸ ລັ ກ ແສຄຈາວ ຄ 5,00 

39 . ມແພຄ ສຸ ວັ ະວ ຄ 8,00 

40 . າພ ສຼ ພະັ 7,50 

41 . ູ ວ ເຢຍກ ວວຼ າຄ 7,00 

42 . ຢາວ ືຼ 6,50 

43 . ສຸ ກສາ ແກຽ ວມະ ີ ວ ຄ 5,00 

44 . ັ ະ ພ ມຈ ີ 4,50 

45 . ພ ມ ໄງະສ ິ ຈ 4,00 


















Bảng 3.3. So sánh kết quả hai lớp thực nghiệm và đối chứng 

Ta có: 

Điểm số Lớp thực nghiệm Lớp đối chứng 

9,0 02 0 

8,5 03 03 

8,0 01 01 

7,5 01 04 

7,0 04 04 

6,5 04 04 

6,0 03 03 

5,5 04 07 

5,0 04 07 

4,5 02 07 

4,0 02 05 

X 

X 

Nhận xét: 

9 

nx 

i i 

i 4 

TN 

= 190 30 = 6,33 

9 

N 

nx 

i i 

i 4 

DC 

= 260, 5 45 = 5,78 

N 

1). Về mặt định lượng: Lớp thực nghiệm có kết quả kiểm tra tốt hơn lớp 

đối chứng; Lớp thực nghiệm có tỷ lệ SV đạt điểm từ trung bình trở lên cao hơn 

lớp đối chứng. 

2). Về mặt định tính: Do lớp thực nghiệm được hệ thống hóa, bồi dưỡng 

kỹ năng giải bài tập từng bước, từng bước qua việc giải các bài tập phân hóa 

nên hầu hết các Em đều giải quyết được các bài tập ở dạng „Thông hiểu‟ và 

„Vận dụng‟. Một số Em đã thể hiện rõ năng lực của mình qua việc hoàn thiện 


các bài kiểm tra dạng „Phân tích‟ 

Lớp đối chứng thì kết quả hạn chế hơn. 

















KẾT LUẬN 

Luận văn đã hoàn thành các nhiệm vụ sau: 

1). Nghiên cứu lý luận về vấn đề tự học và dạy học phân hóa. 

2). Tìm hiểu về chương trình, nội dung đại số tuyến tính và thực trạng tự 

học của SV trường CĐSP Bankeun của tỉnh Viêng chăn. 

3). Phân loại các bài tập nội dung đại số tuyến tính thành 3 nhóm với các 

yêu cầu cao dần: Thông hiểu; Vận dụng; Phân tích phù hợp với đặc thù về tâm 

sinh lý, năng lực nhận thức của SV trường CĐSP nước CHDCND Lào. 

4). Ngoài các bài tập có trong giáo trình dành riêng cho SV trường CĐSP 

của Bộ Giáo dục Lào quy định, luận văn còn tham khảo thêm các tài liệu, giáo 

trình học phần đại số tuyến tính của các trường Sư phạm Việt Nam để đưa vào 

hệ thống bài tập. 

5). Biên tập lại, đưa ra lời giải chi tiết cho các bài tập theo định hướng bổ 

sung thêm các chỉ dẫn để SV có thể đọc và hiểu. 

6). Đưa ra 5 biện pháp sử dụng hệ thống bài tập phân hóa trong dạy học 

nội dung đại số tuyến tính cho SV trường CĐSP nước CHDCND Lào. 

7). Cụ thể hóa các biện pháp sư phạm thông qua việc thiết kế các giáo án 

dạy đại số tuyến tính. 

8). Tổ chức thử nghiệm sư phạm để kiểm chứng hiệu quả của hệ thống 

các bài tập phân hóa. Kết quả thực nghiệm sư phạm bước đầu đã thể hiện được 

mục đích của hệ thống bài tập phân hóa đó là đã giúp SV tự học tốt hơn. 

Kết quả của luận văn là mở, luận văn sẽ tiếp tục nghiên cứu để bổ sung 

hoàn thiện hệ thống bài tập phân hóa học phần đại số tuyến tính và triển khai cụ 

thể các biện pháp đã đề ra trên phạm vi rộng hơn để góp phần tổ chức cho SV 

tự học, góp phần nâng cao chất lượng đào tạo GV ở trường CĐSP nước 


CHDCND Lào. 

















Tiếng Việt 

TÀI LIỆU THAM KHẢO 

1. Lê Khánh Bằng (1998), "Phương hướng cơ bản nâng cao chất lượng tự 

học - tự đào tạo của học sinh, sinh viên", Tạp chí Đại học và Giáo dục 

THCN số 7/98. 

2. Bernhard Muszynski, Nguyễn Thị Phương Hoa (2003), Con đường nâng cao 

chất lượng cải cách các cơ sở đào tạo giáo viên, cơ sở lý luận và giải pháp, 

NXB ĐHSP. 

3. Đậu Thế Cấp (2008), Đại số tuyến tính, NXB Giáo dục. 

4. Carl Rogers (2001), Phương pháp Dạy và Học hiệu quả, NXB Trẻ, Thành 

phố Hồ Chí Minh. 

5. Vũ Quốc Chung - Lê Hải Yến (2004), Để tự học đạt được hiệu quả, NXB 

Giáo dục. 

6. Hoàng Chúng (1978), Phương pháp dạy học Toán học, (Giáo trình dùng cho 

các trường Cao đẳng sư phạm), NXB Giáo dục. 

7. Phạm Văn Hoàn (chủ biên), Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình (1981), Giáo 

dục học môn toán, Nxb Giáo dục Hà Nội. 

8. Đặng Vũ Hoạt, Hà Thị Đức (2003), Lý luận dạy học đại học, NXB ĐHSP 

Hà Nội. 

9. Jean – Marc Denommé et Madeleine Roy (2000), Tiến tới một phương pháp 

sư phạm tương tác, người dịch: Nguyễn Quang Thuấn - Tống Văn Quán, 

NXB Thanh niên. 

10. Nguyễn Bá Kim (2002), Phương pháp dạy học môn Toán, NXB ĐHSP 

Hà Nội. 

11. Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy, Phạm Văn Kiều (1997), Phát triển lý 

luận dạy học môn toán, Nxb Giáo dục. 


12. Ngô Thúc Lanh (1970), Đại số tuyến tính, NXB Đại học và trung học 

chuyên nghiệp. 












ິ 






13. Nguyễn Hiến Lê (2003), Tự học một nhu cầu của thời đại, NXB Văn hóa 

thông tin. 

14. Lưu Xuân Mới (2003), "Rèn luyện kỹ năng tự học cho sinh viên đại học", 

Tạp chí khoa học số 2, Trường ĐHSP Hà Nội. 

15. Patrice Pelpel (1998), Tự đào tạo để dạy học, NXB Giáo dục. 

16. Phan Huy Phú, Nguyễn Doãn Tuấn (2004), Bài tập Đại số tuyến tính, NXB 

Đại học Quốc gia Hà Nội. 

17. Đoàn Quỳnh, Khu Quốc Anh, Nguyễn Anh Kiệt, Tạ Mân, Nguyễn Doãn 

Tuấn (1997), Giáo trình Toán đại cương - Phần I: Đại số tuyến tính, NXB 

Đại học Quốc gia Hà Nội. 

18. Hoàng Xuân Sính, Trần Phương Dung (2009), Bài tập Đại số tuyến tính (tái 

bản lần thứ năm), NXB Giáo dục. 

19. Nguyễn Duy Thuận (Chủ biên), Phí Mạnh Ban, Nông Quốc Chinh (2003), 

Đại số tuyến tính, NXB Đại học Sư phạm. 

20. Nguyễn Cảnh Toàn, Nguyễn Kỳ (1997), Quá trình Dạy - Tự học, NXB 

Giáo dục. 

21. Nguyễn Cảnh Toàn (2001), Dạy - tự học, NXB Giáo dục. 

22. Nguyễn Đình Xuân (chủ biên), Ngô Công Hoàn (2000), Qui trình học tập 

và tự học, NXB Đại học quốc gia Hà Nội. 

Tài liệu nƣớc CHDCND Lào (ເກະສາ ສ.ລາວ) 

23. ກະວຄສ ຶ ກສາກາ ແລະ ກິ ລາ ສ.ລາວ (1997). ເກະສາຍາລຸ ຄູ ະ ິ ຈສາຈ 

ໂອຄອຽ ມັ ຈະງ ມ ຽ ແລະ ມັ ຈະງ ມາງ. ໂອຄພີ 

ແລະ ກິ ລາ. 

24. ກະວຄສ ຶ ກສາິ 

ມກະວຄສ ຶ ກສາິ 

ກາ 

ກາ ແລະ ກິ ລາ ສ.ລາວ (2006). ງຸ ຈະສາຈກາສ ຶ ກສາ ຂຄ 

ກ ມສຽ າຄູ ີ 2006-2015 ແລະ ແຼ ກາະ ິ ຍັ ຈ ີ 2006-2010. 


25. ພຶ ຈະະ ິ ຈ3 ກຸຼ ມວ ິ າສະເພາະາມສາງ ສາລັ ຍວ ິ ະງາໄລູ ີ III 2010. 

ໂອຄພ ີ ມກະວຄ ຶສກສາ 

ິ ກາ ແລະ ກິ 

ລາ. 












ິ 

ິ 

ິ 

ິ 



ີ 

ີ 




26. ສູ ພ ມມະສ ພຶ ຈະະ ິ ຈ ສາລັ ຍວະງາໄລູ ີ II – 1998. 

ກະວຄສ ຶ ກສາ ິ ກາ ແລະ ກິ ລາ, ສູ ພັ ຈະາູ . 

27. ແສຄເຈ ື 

ຫົ ຽ າັ ະຍຸ ະຈສາຈພື ຽ ຊາ II ສາລັ ຍວ ິ ະງາໄລູ 1998. 

ກະວຄສ ຶ ກສາ ິ ກາ ແລະ ກິ ລາ, ສູ ພັ ຈະາູ . 

28. ະຈສາຈ 1 ສາລັ ຍວ ິ ະງາໄລວ ິ ະງາສາຈພື ຽ ຊາ, ມ. 2001. 

29. ສູ ພ ມມະສ ູຼ ມື ູ ພຶ ຈະະຈ ສາລັ ຍວ ິ ະງາໄລູ ີ II – 1998. 

ກະວຄສ ຶ ກສາ ິກາ ແລະ ກິ ລາ, ສູ ພັ ຈະາູ . 
















PHỤ LỤC 

Giáo án 

Môn: Đại số tuyến tính 

Bài 3 Hệ phưong trình tiến tính 

Tiết 1) Hệ 2, 3 phương trình và 2, 3 ẩn; Tiết 2) Điều kiện tương thích, phương pháp Cramer và phương pháp Galoa 

3) Hệ phương trình thuần nhất; Tiết 4) Giải hệ phương trình đại số tiến tính tổng quát 

Mục tiêu Nội dung Hoạt động của giáo viên 

Cho sinh 

viên có 

thi hành 

kỳ luật. 

Sau khi 

học xong 

bài cũ SV 

nắm được 

cách tính 

định thức 

Bài giải: 

Khi tính định thức 

b . ' 


, ', 

' 

' , ta có: 

1. Bƣớc lời chào hỏi 

- GV chào lại SV. 

- Kiểm tra sinh viên vắng 

Lý do... 

2. Bƣớc kiểm tra bài cũ 

- GV cho bài toán: 

1. Xét các định thức: 

a b c a b 

 

'' 

 

a 

a 

1 

2 

a 

a 

2 

1 

a 

b 

b 

1 

2 

b 

b 

2 

1 

b 

Khi đó: 

a. 

' 

c 

c 

1 

2 

c 

c 

2 

1 

c 

b. 

, ' 

 

c. 

'' 

d. 

'' 

- GV cho SV lên bảng giải bài tập 

- GV tóm lại bài giải của SV. 

a 

1 

2 

a 

' 

b 

1 

2 

b 

c 

c 

Hoạt động 

của sinh viên 

- SV xin chào GV. 

- Lớp trưởng báo cáo cho 

GV biết. 

1 

2 

c 

- SV lên bảng giải bài 

tập một người 

- Các SV kiểm trả bài 

giải của mình. 




Tiết 

3 

phút 

5 

phút 

Vật 

liệu 

Đánh 

giá 

Quan 

sát 

hiểu 

biết 

bài cũ 

của 

SV 

giải 

bài 

tập. 













Bài 3 Hệ phƣong trình tiến tính 

Cho SV I. Hệ 2, 3 phƣơng trình và 2,3 ẩn 

nắm được 1.1. Hệ hai phƣơng trình tuyến 

định tính 

nghĩa của a1x 

b1 

y h1 

hệ 2, 3 

1.1 

 

a2x 

b2 

y h2 

phương 

- Trong đó x, y là các ẩn số. 

trình và 2, 

3 ẩn - a 

1 

, a2, 

b1 

, b2 

, h1 

, h2 

là các số đã biết. 

Hệ I là không thuần nhất nếu ít 

nhất một trong hai số h 1,h2 

khác 

không; được gọi là thuần nhất, 

nếu h 

1 

h2 

0. 

Ta gọi nghiệm của hệ 1 .1 

là cặp 

( x , y) 

thỏa mãn cả hai phương 

trình của hệ ấy. 

Hệ được gọi là tương thích nếu có 

ít nhất một nghiệm, là không tương 

thích trong trường hợp ngược lại. 

1.2. Hệ ba phƣơng trình ba ẩn 

a1x 

b1 

y c1z 

h1 

 

a2x 

b2 

y c2z 

h2 

1.2 

 

a3x 

b3 

y c3z 

h3 


 

3. bƣớc dạy bài mới 

- GV viết đề bài trên bảng. 

- Giáo viên đưa ra hệ 2, 3 

phương trình và 2, 3 ẩn 

- GV viết dạng hệ 2, 3 phương 

trình và 2, 3 ẩn trên bảng và 

giải thích. 

Ta cũng có các định nghĩa tương 

tự cho hệ 1 .2 

như đối với 

hệ 1 

.1 


của sinh viên 

- SV chép đề bài 

- SV nghe, xem và 

chép nội dung của bài 

trên bảng 

Vật 

Tiết 

liệu 

5 

phút SGK, 

Giáo 

án, 

Phấn 




Đánh 

giá 












Mục tiêu 

Sau khi 

học xong 

phương 

pháp 

Cramer 

này, SV 

sẽ nắm 

được 

phương 

pháp giải 

hệ 2, 3 

phương 

trình và 

2, 3 ẩn ; 

hệ 

phương 

trình có 

số bằng 

Nội dung 

II. Điều kiện tƣơng thích 

phƣơng pháp Cramer - 

phƣơng pháp Gaus 

1. 2.1. Phƣơng pháp 

Cramer 

Ta xét hệ 1 .1 

và cũng 

đúng hệ 1 .2. 

Giải: Nhân phương trình 

(1) với a 

2 

, phương trình (2) 

với a 

1 

, ta có hệ phương 

trình: 

a1a2 

x b1a 

2 

y a2h1 

 

a1a2 

x b2a1 

y a1h2 

( a b a b ) y a h 

 

1 

a 

a 

1 

2 

2 

b 

b 

1 

2 

2 

1 

a b 

1 

2 

1 

2 

2 

a 

a b ; 

a1 

h1 

 

y 

a1h2 

a2h 

a2 

h2 

Vậy nếu 0 thì ta có 

 

y 

y . 

 


1 

1 

2 

h 

1 


của giáo viên 

- GV cho SV xét hệ 

 

 

1 .1 và 

Cũng đúng cho hệ 

1 .2. Ta có hệ .1 

a1x 

b1 

y h1 

 

a2x 

b2 

y h 

2 

1 : 

(1) 

(2) 

- GV giới thiệu SV sử 

dụng pháp cộng đại số 

để tìm nghiệm của hệ 

 

 

1 .1 . 

Bƣớc 1: Nhân phương 

trình (1) với a 

2 

, 

phương trình (2) với 

a , ta có hệ 

1 

I =? 

Hoạt động của sinh viên 

- SV tập luyện theo hướng dẫn của 

giáo viên. 

Bƣớc 1: Các sinh viên tập luyện, 

nhân phương (1) với a 

2 

, phương 

trình (2) với a 

1 

a1a 

 

a1a 

2 

2 

x b a 

1 

x b a 

2 

y a h 

2 

1 

2 

y a h 


1 

1 

2 



Tiết 

7 

phút 

Vật 

liệu 

Đánh 

giá 

Quan 

sát SV 

tập 

luyện 

hoạt 

động 

của 

giáo 

viên 












nhau theo 

phương 

pháp 

Cramer. 

Tương tự, nếu nhân (1) với 

b 2 , phương trình (2) với b 1 , 

ta có hệ phương trình: 

a1b2 

x b1b2 

y b2h1 

 

b1 

a2 

x b2b1 

y b1h2 

( a b a b ) x h b 

 

x 

 

1 

h 

h 

2 

1 

2 

b 

b 

2 

1 

2 

1 

a b 

1 

2 

1 

2 

a 

Vậy nếu 0 thì ta có 

 

x 

x . 

 

h b 

Định lý 1: Nếu định thức 

0 thì hệ ( 1.1) 

có 

nghiệm duy nhất cho bởi 

công thức Cramer: 

y 

x x 

; y (nếu 

 

0 mà x 

0 thì 

phương trình vô nghiệm). 


2 

b 

1 

2 

1 

Bƣớc 2: Trừ (1) cho 

(2), ta suy ra y = ? 

Bƣớc 3: 

Đặt 

 

và 

 

y 

 

a 

a 

1 

2 

a 

a 

1 

2 

b 

b 

1 

2 

h 

h 

a b 

1 

2 

1 

1 

2 

a h 

a 

2 

2 

b 

a 

Bƣớc 4: Kết luận nếu 

0 thì ta có y = ?. 

- Tương tự như trên nếu 

0 

thì ta có x ? . 

- Từ bài giải hệ .1 

2 

1 

1 giáo 

viên đưa ra định lý 1. 

- 

h 

1 

Bƣớc 2: Các SV lấy phương trình 

(1) trừ phương trình (2) 

( a y a h a h 

1 

b2 

a2b1 

) 

Bƣớc 3: Đặt 

 

 

y 

 

a 

a 

1 

2 

a 

a 

1 

2 

b 

b 

1 

2 

h 

h 

a b 

1 

2 

Bƣớc 4: Vậy 

 

x 

x ; 

 

- SV chép ĐL 1. 

1 

1 

1 

2 

a h 

2 

a 

2 

2 

b 

a 

2 

2 

1 

h 

 

y 

y ( 0) 

 


1 

1 














Hệ Cramer có thể giải bằng 

phương pháp ma trận 

AX Bnếu det( A ) 0 thì 

1 

X A B trong đó B là 

véc tơ cột vế phải. 


- GV cho SV 2 người 

lên bảng làm ví dụ, các 

hệ phương trình tuyến 

tính sau đây theo quy 

tắc Cramer. 

1. 

2. 

x 

2y 

1 

 

x 

2y 

5 

2x 

3y 

z 1 

 

x 

y z 6 

 

3x 

y 2z 

1 

- GV cho SV lên bảng 

hai người làm ví dụ 1 

và 2 sử dụng định lý 1 

GV hướng dẫn SV các 

bước 

để giải quyết ví dụ và 

yêu cầu SV tuân thủ 

đúng các bước đó 

Bước 1: Tính 

1 

 

1 

2 

? 

2 

1 2 

x 

? ; 

5 2 

- SV lên bảng hai người 

Làm ví dụ 1 một ngươi, làm ví dụ 2 

một người 

- Các SV trong lớp làm ví dụ 1 và 

2 theo bước hướng dẫn của GV. 

Ví dụ 1. 

1 2 

Bước 1: 4 

1 2 

1 2 1 1 

x 

12 

y 

4 

5 2 1 5 




10 

phút 

Quan 

sát SV 

tập 

luyện 

Các ví 

dụ. 













y 

1 

 

1 

1 

? 

5 

(nếu 0 hệ PT có 

nghiệm duy nhất) 

Bước 2: tính 

 

x 

y 

x ; y 

 

Bước 3: Kết luận cặp 

( x ; y) 

=? 

Các bước giải tương tự 

như ví dụ 1. 

12 4 

Bước 2: x 3; y 1 

4 4 

Bước 3:Vậy ( x , y) 

(3; 1) 

Ví dụ 2: 

Bước 1: 

2 

1 1 1 23 

3 

3 

1 

1 

2 

x 

23; y 

46; 69 

Bước 2: 

 

x 

x 

 

 

y 

y 

 

23 

1 

23 

46 

2 

23 

69 

z 

z 3 

23 

Bước 3: 

Vậy ( x , y, 

z) 

(1, 2, 3) 


z 















Sau khi 

học xong 

III. Hệ phƣơng trình thuần 

nhất 

- GV giải thích và viết nội dung 

hệ phường 1. 3.1. Hệ phƣơng trình thuần của hệ phương trình thuần nhất 

trình thuần nhất hai phƣơng trình, hai ẩn và định lý 2 trên bảng. 

nhất các a1x 

b1 

y 0 

- Sau đó, GV cho SV xét hai ví 

(1.4) 

SV nắm 

 

a2x 

b2 

y 0 

dụ cụ thể sau: 

được Hệ này bao giờ cũng có nghiệm Ví dụ 1: Cho hệ phương trình: 

phương x 0, 

y 0 

3x 

4x 

0 

 

pháp giải 

Nên nghiệm này còn được 

2x 

3y 

0 

hệ phương 

gọi là nghiệm tầm thường. Ví dụ 2: cho hệ phương trình: 

trình thuần 

Vấn đề là xem khi nào hệ 

3x 

4y 

0 

nhất 2 

 

(1.3) ngoài nghiệm tầm thường 

6x 

8y 

0 

phương 

còn có nghiệm không tầm - Áp dụng định lý 2, giải ví dụ 

trình 2 ẩn 

thường nữa không? 

1, ví dụ 2: ?; hệ có nghiêm 

và 3 

Ta có: 

không? 

phương 

a1 

b1 

0 b1 

trình 3 ẩn. ; 

x 

0 ; 

a b 0 b 


 

y 

2 

 

a 

2 

a 

1 

2 

0 

0 

0 

Vậy theo định lý 1: 

Nếu 0thì hệ (1.3) có nghiệm 

2 

Hoạt động của sinh 

viên 

SV nghe GV giải 

thích và chép nội 

dung ; định lý của hệ 

phương trình thuần 

nhất. 

Ví dụ 1: D0 

 

3 

2 

4 

1 0 

3 

nên hệ chỉ có nghiệm 

tầm thường. 

Ví dụ 2: Có 

 

3 

6 

4 

0 

8 

nên hệ có nghiệm 

không tầm thường. 

Mỗi cặp số x, y 

trong đó 

3 

y x, 

( x, 

y) 

R ; 

4 

đều là nghiệm của hệ. 




Tiết 

10 

phút 

Vật 

liệu 

Đánh 

giá 

Quan sát 

hiểu biết 

của SV 

làm ví dụ 

cụ thể 

của hệ 

phương 

trình 

thuần 

nhất 2 

phương 

trình 2 ẩn 

và 3 

phương 

trình 3 

ẩn. 













Duy nhất là là nghiệm tầm 

thường. 

Nếu 0 thì do 0, hệ 

1 2 

 

(1.3) có vô số nghiệm không tầm 

thường nữa. 

Vậy ta có định lý : 

Định lý 2: Hệ phương trình 

thuần nhất (1.4) có nghiệm 

không tầm thường khi và chỉ khi 

định thức 0 . 

(Định lý đúng cho cả hệ n 

phương trình n ẩn). 















Mục tiêu Nội dung Hoạt động của giáo viên Hoạt động của sinh viên Tiết 


2. 3.2. Hệ thuần nhất 3 phƣơng 

trình 3 ẩn. 

- GV cho các SV làm ví dụ 

sau: 

a1x 

b1 

y c1z 

0 

Ví dụ 3: 

 

a2x 

b2 

y c2z 

0 (1.5) x1 

2x2 

3x3 

0 

 

 

a3x 

b3 

y c3z 

0 

2x1 

x2 

x3 

0 

 

Đới với hệ này, các kết quả đã nêu x1 

3x2 

4x3 

0 

cho hệ 2 phương trình 2 ẩn vẫn 

đúng. 

- GV dùng cách dạy giải 

thích và hướng dẫn SV làm 

ví dụ các bước giải hệ 

phương trình thuần nhất 3 

phương trình 3 ẩn: 

Bước 1: 

- Xét định thức cấp 3 ( ?) 

- Nếu định thức cấp 3 bằng 

không, xét định thức cấp 2 

tiếp. 

Bước 2: 

- Nếu định thức cấp 2 khác 

không, ta lấy 2 phương trình 

đầu. 

Bước 1: 

1 

Ta có: 2 1 1 

0 

1 

2 

3 

Hệ có vô số nghiệm. 

Xét định thức cấp 2: 

1 

2 

2 

5 0 

1 

3 

2 

Bước 2: 

Bởi vậy, ta lấy hai phương 

trình đầu: 




10 

phút 

Vật 

liệu 

Đánh 

giá 













Bước 3: 

- Xét hệ 2 phương trình, 3 ẩn 

theo cách giải cộng đại số. 

Bước 4: 

- Kết luận cặp nghiệm của hệ 

đã cho. 

x1 

2x 

 

2x1 

x 

2 

2 

3x 

x 

3 

3 

0 

0 

Bước 3: 

Chuyển x 

3 

sang vế phải: 

x1 

2x 

 

2x1 

x 

2 

2 

3x 

x 

3 

3 

( a) 

( b) 

Lấy (b) nhân với 2 rồi cộng 

với (a), ta có: 

1 

5x1 

x3 

x1 

x3 

5 

2 

x2 

x3 

2x1 

x3 

x3 

5 

7 x 

3 

5 

Bước 4: Vậy hệ đã cho có 

vô số nghiệm xác định bởi: 

1 7 

( x1 , x2 

) ( x3, 

x3), 

x3 

5 5 




R 












Mục tiêu Nội dung Hoạt động của giáo viên Hoạt động của sinh viên Tiết 

Sau khi 

học xong 

hệ 

phương 

trình đại 

số tổng 

quát các 

SV: 

- nắm được 

phương 

pháp giải 

hệ 

phương 

trình đại 

số tuyến 

tính tổng 

quát cho 

hai 

trường 

hợp: hệ 

phương 

trình 

IV. Hệ phƣơng trình đại số tuyến 

tính tổng quát 

4.1. Dạng của hệ phƣơng trình - 

đại số tuyến tính 

Dạng tổng quát của hệ phương 

trình đại số tuyến tính được viết 

như sau: 

GV viết nội dung dạng hệ - 

phương trình đại số tuyến 

tính trên bảng và giải thích. 

SV tai nghe, mắt xem, tay 

viết. 

a11x1 

a12x2 

... a1 

n 

xn 

b1 

 

a21x1 

a22x2 

... a2n 

xn 

b2 

 

(1.6) 

................................................ 

 

am1x1 

am2x2 

... amn 

xn 

bn 

Hệ này được viết dưới dạng ma 

trận là: x b , ở đay A là ma trận 

được thành lập từ các hệ số của các 

biến ( a ) 

i j 

mn 

x : véc tơ cột của các biến: 

x1 

 

 

 

x2 

x 

 

 

x n 

b: véc tơ cột các số hạng tự do: 





7 

phút 

Vật 

liệu 

Đánh 

giá 

Quan 

sát 

hiểu 

biết nội 

dung 

và hiểu 

biết 

làm ví 

dụ cụ 

thể của 

hệ 

phương 

trình 

đại số 

tuyến 

tính 

tổng 

quát. 












thuần b1 

 

nhất và 

 

b2 

b 

hệ 

 

phương 

 

b m 

trình có 

Hệ phương trình đại số tuyến tình 

vế phải 

được gọi là: Thuần nhất nếu tất cả 

khác 0; 

các 

- Giải được 

b i 

0, 

i 1,2,..., 

m ; không thuần 

Các bài 

nhất nếu có ít nhất một b 

i 

0 ; 

toán về 

hệ 

tương thích nếu hệ có ít nhất một 

phương 

nghiệm, tức là tồn tại một bộ giá trị 

trình đại 

của x 

1 

, x2,..., 

xn 

mà khi thay vào sẽ 

số tuyến 

tính. 

có một đồng nhất thực; không 

tương thích nếu không có một 

nghiệm nào; 

- xác định nếu hệ chỉ có một nghiệm 

duy nhất; bất định nếu tồn tại quá 

một nghiệm. 

1. 4.2. Giải hệ phƣơng trình đại số - GV sử dụng cách dạy giải - SV nghe GV giải thích 

tuyến tính. 

Khi giải hệ phương trình đại số 

tuyến 

tính có thể xảy ra hai trường hợp: 

thích nội dung, định lý và 

hướng dẫn cho SV biết các 

bước giải hệ phương trình 

đại số tuyến tính hai trường 

và chép nội dung bài học 

GV viết trên bảng. 

m n & m n . 

hợp. 

- Các SV tự giải ví dụ 





20 

phút 













a) Trường hợp m = n 

Lúc này ma trận A có dạng: 

- GV cho SV giải ví dụ sau: 

Ví dụ 1: Giải hệ phương 

a 

a a 

n 

trình: 

11 12 

1 

 

 

 

a a a 

 

x 

21 22 

2n 

1 

6x2 

2x3 

4 

 

 

 

2x1 

2x2 

x3 

2 

 

 

 

an1 

an2 

ann 

3x1 

4x2 

2x3 

1 

Nếu cho là định thức của hệ số 

ma trận A của hệ (1.6). - 

Bước 1: 

Ở đây m ?, n ? 

Điều đó có nghĩa là muốn tìm x 

i 

- 

thì phải chia định thức 

i 

thiết lập 

Tính 

?, 1 ?, 2 

?, 3 

? 

từ định thức bằng cách thay Bước 2: 

- Tính 

cột i bởi cột số hạng tự do cho định 

1 

 

2 

thức , tức là: 

x 

1 

?, x2 

? 

 

i 

xi 

i 1,2,..., 

n (1.7) 3 

 

x 

3 

? 

 

Vì vậy, có thể phát biểu quy tắc 

Cramer: nếu đjnh thức gồm các hệ 

số của hệ n phương trình tuyến với 

n ẩn khác 0 thì có một nghiệm duy 

nất được tính bằng công thức (1.6) 

trường hợp m n 

ta gọi ( a ) là ma trận của 

i j 

mn 

hệ. Sau khi thêm cột các số hạng tự 

do b vào vào ma trân A, ta lập 

được ma trận mở rọng B. 

theo bước hướng dẫn của 

GV. 

Bước 1: 

Ở đây m = n = 3. 

1 

6 2 

 

2 

3 

2 

4 

1 

2 0 

2 

Bước 2: Theo quy tắc 

Cramer: 

4 6 2 

x 

x 

 

 

2 

1 

2 

4 

2 

4 

1 

2 

1 

1 

 

 

 

 

1 

2 

3 

2 

1 

2 

2 

1 

2 

2 

2 

 

 

1 

2 

1 

2 

4 

3 

3 

 

 


x 

 

 

2 

6 

4 

2 

1 



3 

1 

2 

5 













a 

a a 

n 

b Bước 3: 

11 12 

1 1 

 

 

 

a a a 

n 

b Kết luận cặp nghiệm của hệ 

21 22 

2 2 

 

 

đã cho. 

 

 

am1 

am2 

amn 

bm 

 

Để giải trường hợp này, ta dựa vào 

Ví dụ 2: Giải hệ phương 

định lý sau: 

trình : 

Định lý 3 (Croneke - Capeli): 

x1 

3x2 

x3 

x4 

7 

Điều kiện cần và đủ để hệ (1.6) có 

nghiệm là hạng của ma trận A 

2x1 

5x2 

x3 

2x4 

22 

 

bằng hạng của ma trận mở rộng B. 3x1 

8x2 

x3 

x4 

24 

Nếu r( ) r( 

) 

n thì hệ (1.6) có Bước 1: 

một nghiệm duy nhất. Nếu - Ở đây m 3, 

n 4 

r( ) r( 

) 

n thì hệ (1.6) có vô - Tính r ( A) 

?, r( 

B) 

?. Viết 

số nghiệm. 

(bài chứng minh xem theo sách 

ma 

trận 

giáo khoa). 

1 

3 1 1 

7 

Định lý 4: 

 

 

 

 

2 5 1 

2 22 

 

Nếu r( ) n thì hệ thuần nhất chỉ 

3 8 1 1 

24 

có nghiệm tầm thường, nếu Nhân hàng thứ nhất với (-2) 

r( ) n thì hệ thuần nhất có vô số rồi cộng với hàng thứ hai, 

nghiệm, do đó ngoài nghiệm tầm 

thường phải có nghiệm không tầm 

thường. 

lấy hàng thứ hai cộng với 

hàng thứ ba. 

Bước 2: 

(bài chứng minh xem theo sách 

giáo khoa) 

Hệ quả: Đối với hệ thuần nhất n 

- Từ bước 1, ta có: 

r ( A) 

r( 

B) 

3 n 4 

Hệ có vô số nghiệm. 

Bước 3: 

Vậy nghiệm của hệ là: 

1 

( x 

1, 

x2, 

x3) 

(3, , 5) . 

2 

Bước 1: 

Ở đây: m 3, 

n 4 

1 

 

 

 

2 

 

3 

1 

 

 

0 

 

0 

3 

1 

1 

3 

5 

8 

1 

3 

2 

1 

1 

1 

1 

4 

2 

1 

2 

1 

7 

22 

 

 

 

24 

7 

8 

 

 

 

3 

1 

3 1 1 

7 

 

 

 

0 1 

3 4 8 

 

 

0 0 1 2 5 

Bước 2: Ta có: 

r ( ) 

r( 

) 

3 n 4 

Vậy hệ có vo số nghiệm. 
















phương trình n ẩn số thì điều kiện - Với ma trận cuối cùng, hãy 

cầ và đủ để hệ có nghiệm không viết hệ phương trình đó? 

tầm thường là định thức 0 . 

Thật vậy, vì 0 thì 

r( ) r( 

) 

n . Do đó hệ thuần 

nhất có vô số nghiệm, tức là có 

nghiệm không tầm thường. 

Bước 3: 

- Hệ phương trình viết lại 

trong bước 3 có 3 phương 

trình 4 ẩn. Để giải hệ này 

trước hết ta 

đặt x4 c R. 

Hãy giải hệ 

này? 

Bước 4: 

- Kết luận cặp nghiệm của hệ 

đã cho? 

Với ma trận cuối cùng ta 

có: 

x1 

3x2 

x3 

x4 

7 

 

x2 

3x3 

4x4 

8 

 

x3 

2x4 

5 

Bước 3: 

Đặt x c . Ta được: 

4 

R 

x1 

3x2 

x3 

7 c 

 

x2 

3x3 

8 4c 

 

 

x3 

5 

2c 

x3 

5 

2c 

 

 

x2 

8 

4c 

15 

6c 

7 2c 

x1 

7 c 21 

6c 

5 2c 

 

 

9 

5c 

Bước 4: Các nghiệm có 

dạng: 

x1 

9 

5c 

 

x2 

7 2c 

, c R 

 

x3 

5 

2c 

Với mỗi giá trị của c ta có 

một nghiệm. 















Cho SV 

nắm được 

bài học 

điểm 

chính yếu 

Cho SV 

chú ý 

xem bài 

học và 

làm bài 

tập 


4. Bƣớc củng cố bài dạy 

- Yêu cầu SV hiểu được cách 

giải hệ phương trình, phân 

biết được các dạng hệ 

phương trình sử dụng các 

cách giải nào hợp và nhanh 

hơn. SV nắm được các tri 

thức phương pháp là các 

bước giải hệ phương trình 

của mỗi dạng. Bài tập rèn 

luyện: Câu 4, câu 5 trang 

69, 70 theo SGK. 

5. 5. Bƣớc căn dặn SV và cho 

bài tập. 

- GV căn dặn SV khi về nhà 

Phải xem lại bài học và xem 

bài mới, bài 4 không gian 

véc tơ. 




2 

phút 

1 

phút

DẠY TỰ HỌC HỌC PHẦN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CHO SINH VIÊN CAO ĐẲNG SƯ PHẠM NƯỚC CỘNG HÒA DÂN CHỦ NHÂN DÂN LÀO THÔNG QUA HỆ THỐNG BÀI TẬP PHÂN HÓA

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?