Ứng dụng vectơ quay để giải một số bài toán dao động cơ

https://twitter.com/daykemquynhon 

plus.google.com/+DạyKèmQuyNhơn 

www.facebook.com/daykem.quynhon 

https://daykemquynhon.blogspot.com 

http://daykemquynhon.ucoz.com 

Nơi bồi dưỡng kiến thức Toán - Lý - Hóa cho học sinh cấp 2+3 / 

Diễn Đàn Toán - Lý - Hóa Quy Nhơn 1000B Trần Hưng Đạo Tp.Quy Nhơn Tỉnh Bình Định 

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC 

TRƯỜNG THPT LÊ XOAY 

HỘI THẢO 

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA 

Chuyên đề: 

“Ứng dụng vectơ quay để giải một số bài 

toán dao động cơ” 

Nhóm giáo viên: Hoàng Trọng Hùng 

Vũ Thị Thái 

Tổ: Lí – Hóa – Công Nghệ 

Đơn vị: Trường THPT Lê Xoay 

Năm học: 2015 – 2016 

DIỄN ĐÀN TOÁN - LÝ - HÓA 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN 

MỌI YÊU CẦU GỬI VỀ HỘP MAIL DAYKEMQUYNHONBUSINESS@GMAIL.COM 

HOTLINE : +84905779594 (MOBILE/ZALO) 

https://daykemquynhonofficial.wordpress.com/blog/ 

DẠY KÈM QUY NHƠN OFFICIAL ST&GT : Đ/C 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN 

Đóng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú 

www.facebook.com/daykemquynhonofficial 

www.facebook.com/boiduonghoahocquynhonofficial








I. LÍ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ. 

Phần MỞ ĐẦU 

Trong chương trình thi đại học (nay là kì thi THPT Quốc gia) thì phần Dao động 

cơ là một phần quan trọng không thể thiếu trong cấu trúc đề thi, với tỉ lệ số câu 

trong đề thi tương đối lớn. Hơn nữa, do thi dưới hình thức trắc nghiệm nên để làm 

nhanh được một bài toán cũng là một vấn đề rất được quan tâm. Hình thức thi trắc 

nghiệm khách quan đòi hỏi học sinh phải có kiến thức rộng, xuyên suốt chương 

trình và có kỹ năng làm bài, trả lời câu trắc nghiệm nhanh chóng. Bởi vậy, với mỗi 

bài toán đề ra, người giáo viên không chỉ hướng dẫn học sinh hiểu bài mà còn phải 

tìm cách giải nhanh nhất. 

Việc sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều (còn 

gọi là phương pháp vectơ quay) để giải các bài tập dao động cơ đã đáp ứng được 

điều đó. Tuy nhiên không phải học sinh nào cũng nắm được thành thạo và nhanh 

nhạy phương pháp này do các em thấy lúng túng khi dùng đường tròn lượng giác 

và khó tưởng tượng được sự tương tự giữa hai loại chuyển động này. Vì vậy, tôi 

đưa ra chuyên đề: “Ứng dụng vectơ quay để giải một số bài toán dao động cơ” 

nhằm giúp các em giải quyết những khó khăn trên. 

II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU. 

Vận dụng các kiến thức vật lí và toán học để đưa ra phương pháp giải một số bài 

tập về dao động cơ một cách đơn giản, dễ hiểu và dễ áp dụng. Từ đó xây dựng một 

hệ thống bài tập để học sinh có thể vận dụng phương pháp trên. 

III. ĐỐI TƯỢNG ÁP DỤNG. 

Chuyên đề áp dụng cho các đối tượng học sinh lớp 12 và học sinh chuẩn bị thi 

THPT quốc gia. 

IV. THỜI LƯỢNG CHUYÊN ĐỀ 

Chuyên đề được giảng dạy trong 9 tiết. 







- 1 - 










I. CƠ SỞ LÍ THUYẾT. 

Phần NỘI DUNG 

* Mối liên hệ giữa chuyển động tròn đều và dao 

động điều hòa (còn gọi là phương pháp vectơ 

quay): 

Để biểu diễn dao động điều hòa x=Acos(ωt+φ) 

của một vật trên trục Ox, người ta dùng một vectơ 

OM 

có độ dài bằng A (biên độ), quay đều quanh 

điểm O ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ góc 

là ω (với O là vị trí cân bằng của vật). 

- Ở thời điểm ban đầu t = 0, góc giữa trục Ox và 

OM 

là φ (pha ban đầu). 

- Ở thời điểm t, góc giữa trục Ox và OM 

sẽ là 

(ωt+φ), góc này chính là pha của dao động. 

- Độ dài đại số của hình chiếu vectơ quay OM 

trên 

Vectơ quay ở thời 

 

điểm t bất kì 

trục Ox sẽ là: ch 

xOM = OP = Acos(ωt + φ) 

Như vậy : Độ dài đại số của hình chiếu trên trục Ox của véctơ quay OM 

biểu 

diễn dao động điều hòa chính là li độ x của dao động. 

Nói cách khác: Khi véctơ OM 

quay đều với tốc độ góc ω quanh điểm O thì 

hình chiếu P của điểm M sẽ dao động điều hòa trên trục x’Ox thuộc mặt phẳng quỹ 

đạo của M với li độ bằng tọa độ hình chiếu của M, biên độ bằng độ dài OM, tần số 

góc đúng bằng tốc độ góc ω và pha ban đầu φ bằng góc xOM ở thời điểm t=0. 

* Chú ý: 

Tại thời điểm ban đầu t = 0: 

- Nếu vật đi theo chiều âm trục Ox thì 

OM 

ở trên Ox → φ > 0. 

- Nếu vật đi theo chiều dương trục Ox 

thì OM 

ở dưới Ox → φ < 0. 

-A P 

O 

φ 

P 

M 

Vectơ quay ở thời 

điểm t = 0 


M 

O 

φ0 

M 

ωt 

φ 

P 

P 

M 

A 

x 

x 

x 






- 2 - 










II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ BÀI TẬP ÁP DỤNG. 

1. Bài toán tìm thời gian. 

1.1. Tìm thời điểm t mà vật đi qua vị trí có li độ x 1 (giả sử kể từ thời điểm t=0). 

1.1.1. Phương pháp giải. 

Phương trình dao động điều hòa có dạng: x=Acos(ωt+φ), trong đó A, ω, φ đã biết. 

Để làm bài toán này, ta dùng Phương pháp vetơ quay, và làm theo các bước: 

- Vẽ đường tròn, biểu diễn trục Ox, các biên, dựa vào pha ban đầu φ đề bài cho để vẽ 

vectơ OM 

0 

tại thời điểm ban đầu t=0. 

- Khi vật đến li độ x 1 , ta vẽ vectơ OM 

1 

. 

- Dựa vào hình vẽ, tìm góc α mà vectơ quay đã quét được khi quay từ OM 

0 

đến 

OM 1 

. 

- Ta có: α = ωt → t = α ω . 

1.1.2. Ví dụ minh họa. 

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 8cos(2πt) cm. Tìm 

thời điểm lần thứ nhất vật đi qua vị trí cân bằng kể từ lúc t=0? 

HD: 

- Vì ϕ = 0 nên ban đầu vectơ quay ở OM 0 

- Vật đi qua vị trí cân bằng O, ứng với vectơ quay 

ở OM 1 và OM 2 . 

→ Thời điểm lần thứ nhất vật qua vị trí cân bằng 

ứng với vectơ quay ở OM 1 . 

- Hình vẽ, góc quét được từ OM 0 đến OM 1 là: 

α = π 2 → Thời điểm cần tìm: α 1 

t = = s 

ω 4 

* Nhận xét: 

Có thể tìm yêu cầu của đề bài theo cách giải phương trình lượng giác như sau: 

- Khi vật đến vị trí cân bằng thì x = 0 ↔ 8cos(2πt) = 0 

π 

1 k 

→ 2π t = + k. π ↔ t = + , với k = 0, 1, 2, ... 

2 4 2 

- Thời điểm lần thứ nhất vật đi qua vị trí cân bằng ứng với k = 0 → 

-8 

O 

M 1 

α 

M 2 

8 


1 

t = s 

4 . 

M 0 

x 






- 3 - 










Ví dụ 2: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 4cos(4πt + π 6 ) cm. 

Tìm thời điểm lần thứ 3 vật qua vị trí x = 2cm theo chiều dương kể từ lúc t=0? 

HD: 

- Tại t = 0, vectơ quay ở OM 0 . 

- Vật qua x = 2cm theo chiều dương tương ứng 

vectơ quay ở OM. 

- Tìm thời điểm lần thứ 3 vật qua vị trí x = 2cm theo 

chiều dương tương ứng vectơ quay quét được 2 

vòng (qua x = 2cm 2 lần) và lần cuối cùng quét từ 

OM 0 đến OM. 

→ Góc quét được trong thời gian đó là: α = 2.2π + 3π 2 

α 11 

→ Thời điểm cần tìm là: t = = s 

ω 8 



- Vật qua li độ x = 2cm theo chiều dương nên ta có thể viết: 

⎧ 

π π π 

x=4cos(4π t + ) = 2 → 4π t + = ± + 2kπ 

⎪ 

6 6 3 

⎨ 

⎪ π 

π 

v = − 4.4 π .sin(4 π t + ) > 0 → sin(4 π t + ) < 0 

⎪⎩ 

6 6 

π π 

1 k 

→ Từ đó ta có : 4π t + = − + 2kπ → t = − + , với k = 1, 2, 3, … 

6 3 8 2 

11 

- Vật qua li độ x = 2cm theo chiều dương lần thứ 3 ứng với k = 3 → t = s 

8 

Ví dụ 3: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 4cos(4πt + π 6 ) cm. 

Tìm thời điểm lần thứ 2015 vật qua vị trí x=2cm kể từ lúc t=0? 

HD: 


- Vật qua x = 2cm tương ứng vectơ quay ở OM 1 

và OM 2 . 

-4 

- Cứ 1 chu kỳ (vectơ quay quay được 1 vòng) thì 

vật qua x = 2cm 2 lần. 

-4 

O 

3π 2 


O 

π 6 

π 6 

2 

M 

M 1 

M 0 

4 

M 0 

M 2 

4 

x 

x 






- 4 - 










→ Vật qua x = 2cm lần thứ 2015 kể từ lúc t = 0 thì vectơ quay phải quét 1007 

vòng (qua x = 2cm 2014 lần) rồi quay tiếp từ OM 0 đến OM 1 . 

→ Góc quét được trong thời gian đó là: 

→ Thời điểm cần tìm là: 


π 

α =1007.2π + 6 

π 

1007.2π + 

α 6 12085 

t = = = s 

ω 4π 24 


- Nếu vật qua li độ x = 2cm theo chiều âm, ta có: 

⎧ 

π π π 

x=4cos(4π t + ) = 2 → 4π t + = ± + 2kπ 

⎪ 

6 6 3 

⎨ 

⎪ π 

π 

v = − 4.4 π .sin(4 π t + ) < 0 → sin(4 π t + ) > 0 

⎪⎩ 

6 6 

π π 

1 k 

→ Từ đó ta có: 4π t 

− 

+ = + 2kπ → t 

− 

= + , với k = 0, 1, 2, 3, … 

6 3 24 2 

- Nếu vật qua li độ x = 2cm theo chiều dương, ta có: 

⎧ 

π π π 

x=4cos(4π t + ) = 2 → 4π t + = ± + 2kπ 

⎪ 

6 6 3 

⎨ 

⎪ π 

π 

v = − 4.4 π .sin(4 π t + ) > 0 → sin(4 π t + ) < 0 

⎪⎩ 

6 6 

π π 

1 k 

→ Từ đó ta có: 4π t 

+ 

+ = − + 2kπ → t 

+ 

= − + , với k = 1, 2, 3, … 

6 3 8 2 

- Vì tại thời điểm ban đầu t = 0, vật qua li độ x = 2 3 cm theo chiều âm nên lần 

đầu tiên vật qua li độ x = 2cm sẽ là theo chiều âm. Mặt khác cứ 1 chu kì thì vật qua 

x = 2cm hai lần (1 lần theo chiều âm, 1 lần theo chiều dương). Do đó lần thứ 2015 

vật qua vị trí x=2cm tương ứng là lần thứ 1008 vật qua x = 2cm theo chiều âm. 

1 k 

→ Thời điểm cần tìm là: t = , 

− 

24 + 2 

với k = 1007 → t = 1 1007 12085 

24 + − 

2 = 24 

s 

Có thể thấy rằng cách giải này là tương đối dài dòng và dễ nhầm lẫn so với 

cách dùng Vectơ quay. 

Ví dụ 4: Một lò xo có khối lượng không đáng kể có độ cứng k=100N/m, một 

đầu treo vào một điểm cố định, đầu còn lại treo một vật nặng khối lượng 500g. Từ 

vị trí cân bằng kéo vật xuống dưới theo phương thẳng đứng một đoạn 10cm rồi 







- 5 - 










buông nhẹ cho vật dao động điều hòa. Lấy g=10m/s 2 . Xác định tỉ số thời gian lò xo 

bị nén và dãn trong một chu kỳ. 

HD: 

- Tần số góc của con lắc: 

ω = 

k 

= 10 2 (rad/s) 

m 

- Độ dãn của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng: 

mg 

∆ l 

0 

= = 0,05m = 5cm ; A=10cm > ∆l 0 

k 

- Trong 1 chu kì: 

+ Thời gian lò xo nén ∆t 1 là thời gian để vật đi từ vị trí lò xo không biến dạng đến 

vị trí cao nhất và lại trở về vị trí lò xo không biến dạng. 

Ta có: ∆t 1 = ∆φ 

ω , với sinβ = ∆l 

0 

1 

= → β = π A 2 6 → ∆ϕ = π - 2β = 2π 3 

→ ∆t 1 = 

∆φ 2π π 

= = s 

ω 3.10 2 15 2 

+ Thời gian lò xo dãn ∆t 2 là thời gian để vật đi từ vị trí lò xo không biến dạng đến 

vị trí thấp nhất và lại trở về vị trí lò xo không biến dạng. 

Ta có: ∆t 2 = 

2π - ∆φ 

= 2π s 

ω 15 2 

∆t1 

1 

- Tỉ số thời gian lò xo bị nén và dãn trong một chu kỳ là: = 

∆t 2 


Mấu chốt của bài toán ở chỗ: phải hiểu được trong 1 chu kì dao động của vật 

thì lò xo bị nén, bị dãn tương ứng khi vật dao động trong phạm vi nào, từ đó dùng 

phương pháp vectơ quay ta tìm được khoảng thời gian lò xo bị nén, bị dãn tương 

ứng. 

Ví dụ 5 (ĐH 2014): Một con lắc lò xo treo vào một điểm cố định, dao động điều 

hòa theo phương thẳng đứng với chu kì 1,2s. Trong một chu kì, nếu tỉ số của thời 

gian lò xo dãn với thời gian lò xo nén bằng 2 thì thời gian mà lực đàn hồi ngược 

chiều lực kéo về là 

A. 0,2 s B. 0,1 s C. 0,3 s D. 0,4 s 

HD: 

- Chọn chiều dương hướng lên, gốc tọa độ tại vị trí cân bằng. 

∆l 0 

O 

(A > ∆l 0 ) 


x 

2 

nén 

dãn 

M 2 

A 

-A 

∆ϕ 

O 

β 

M 1 






- 6 - 










- Gọi độ dãn của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng là ∆l 0 . 

- Gọi ∆ϕ1; 

∆ϕ 

2 

là góc quét ứng vời thời gian lò xo nén và dãn, ta có: 

∆ϕ 

∆ϕ 

ω.t 

= = 2 → ∆ϕ = 2. ∆ϕ 

ω.t 

2 2 

1 1 

- Hình vẽ thấy: 

2 1 

2π 

A 

∆ϕ 

2 

= 2π − ∆ϕ1 → ∆ϕ 

1 

= → ∆ l 

0 

= 

3 2 

- Từ hình vẽ có: ∆ϕ 1 = π - 2β 

π 

→ β = 

6 

- Vì lực kéo về luôn hướng về vị trí cân bằng, còn lực đàn hồi tác dụng lên vật sẽ 

hướng thẳng lên nếu lò xo dãn và hướng thẳng xuống nếu lò xo nén. Do đó, lực 

đàn hồi ngược chiều với lực kéo khi lò xo bị dãn và li độ của vật trong phạm vi: 

A 

0 ≤ x ≤ ∆ l 

0 

= . 

2 

- Trong 1 chu kì, góc quét ứng với thời gian lực đàn hồi ngược chiều lực kéo về là: 

π 

∆ϕ1 

∆ϕ 

1 

= 2β = → Thời gian tương ứng là: t1 

= = 0,2s → Đáp án A. 

3 

ω 


Bài toán này phải vận dụng khá nhiều kiến thức, phải nhớ được đặc điểm của lực 

kéo về là luôn hướng về vị trí cân bằng, còn lực đàn hồi sẽ hướng về phần giữa lò xo 

nếu lò xo dãn, hướng ra xa hai đầu lò xo nếu lò xo nén. 

1.1.3. Bài tập tự giải. 

Bài 1 (CĐ 2009). Một con lắc lò xo gồm lò xo có độ cứng 50 N/m, dao động điều 

hòa theo phương ngang. Cứ sau 0,05 s thì vật nặng của con lắc lại cách vị trí cân 

bằng một khoảng như cũ. Lấy π 2 = 10. Khối lượng vật nặng của con lắc bằng 

A. 250 g B. 100 g C. 25 g D. 50 g 

Bài 2. Vật dao động theo phương trình x = 4cos( 2π t) cm. Kể từ t = 0, vật qua vị trí 

3 

x = 2 3 cm lần thứ 2017 vào thời điểm 

A. 2034,25s B. 3024,15s C. 3024,5s D. 3024,25s 

Bài 3. Vật dao động với phương trình x=5cos( 4πt + π 3) 

cm. Kể từ t = 0, lần thứ 

2025 vật cách VTCB 2,5 2 cm là 

A. 12119 s B. 12149 s C. 11219 s D. 11249 

48 

48 

48 

48 s 

Bài 4. Một lò xo có khối lượng không đáng kể có độ cứng 100N/m, một đầu treo 

vào một điểm cố định, đầu còn lại treo một vật nặng khối lượng 500g. Từ VTCB 


∆l 0 

O 

x 

nén 

dãn 

M 2 

β 

A 

-A 

∆ϕ 1 

O 

M 1 






- 7 - 










kéo vật xuống dưới theo phương thẳng đứng một đoạn 10cm rồi buông nhẹ cho vật 

dao động điều hòa. Lấy g=10m/s 2 . Khoảng thời gian mà lò xo bị nén một chu kỳ là 

π 

A. 

3 2 s B. π 

15 2 s C. π 

6 2 s D. π 

5 2 s 

Bài 5. Một lò xo nhẹ có chiều dài tự nhiên 30cm đầu trên treo vào điểm cố định, 

đầu dưới gắn vật nhỏ. Khi hệ cân bằng, lò xo có chiều dài 31cm. Khi con lắc dao 

động điều hòa theo phương thẳng đứng với biên độ A thì khoảng thời gian lò xo bị 

nén trong mỗi chu kỳ là 0,05s. Tìm A. 

A. 2cm B. 1,7cm C. 1,4cm D. 1cm 

x = 4cos 5π 6 - 0,5πt , trong 

Bài 6. Một vật dao động điều hòa với biểu thức li độ ( ) 

đó x tính bằng cm và t giây. Vào thời điểm nào sau đây vật sẽ đi qua vị trí 

x = 2 3cm theo chiều âm của trục tọa độ? 

A. 6s B. 3s C. 4 3 s D. 2 3 s 

Bài 7. Một vật dao động điều hòa với phương trình: x = Acos(ωt + ϕ). Trong 

khoảng thời gian 1/60 (s) đầu tiên, vật đi từ vị trí x 0 = 0 đến vị trí x = A 3 2 theo 

chiều dương và tại điểm cách vị trí cân bằng 2cm thì nó có vận tốc là 40π 3 cm/s. 

Khối lượng quả cầu là m = 100g. Năng lượng của nó là 

A. 32.10 -2 J B. 16.10 -2 J C. 9.10 -3 J D. 48.10 -2 J 

Bài 8. Con lắc lò xo treo thẳng đứng. Kích thích cho con lắc dao động điều hòa với 

tần số 2,5Hz và biên độ 8cm. Chọn trục tọa độ thẳng đứng, chiều dương hướng lên, 

gốc tọa độ ở VTCB, gốc thời gian khi vật đi qua VTCB và chuyển động ngược 

chiều dương. Lấy g=π 2 . Khoảng thời gian ngắn nhất kể từ thời điểm ban đầu tới 

thời điểm lò xo không biến dạng lần thứ nhất là 

A. 3/10 s B. 4/15 s C. 1/30 s D. 7/30 s 

Bài 9. Lò xo k=25N/m treo thẳng đứng, đầu trên giữ cố định, đầu dưới treo vật 

m=100g. Từ VTCB, kéo vật thẳng xuống một đoạn bằng 2cm rồi truyền cho vật 

tốc độ 10π cm/s hướng xuống. Chọn gốc thời gian là lúc truyền tốc độ, chiều 

dương trục tọa độ hướng thẳng xuống. Cho g=π 2 =10. Kể từ t=0, tìm thời điểm vật 

đi qua vị trí lò xo bị dãn 6cm lần đầu tiên. 

A. 10,3 ms B. 33,3 ms C. 66,7 ms D. 100 ms 

Bài 10. Con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm lò xo nhẹ k=50N/m và vật m=200g. 

Vật đang nằm yên ở VTCB thì được kéo thẳng đứng xuống dưới để lò xo giãn tổng 

cộng 12cm rồi thả cho nó dao động điều hòa. Lấy g=π 2 =10. Thời gian lực đàn hồi 

tác dụng vào giá treo cùng chiều với lực hồi phục trong một chu kỳ dao động là 

A. 1 3 s B. 2 

15 s C. 1 

30 s D. 1 

15 s 

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

ĐA D D B B C A A D D D 







- 8 - 










1.2. Tìm khoảng thời gian ngắn nhất t để vật đi từ vị trí có li độ x 1 đến vị trí có 

li độ x 2 . 

1.2.1. Phương pháp giải. 

Với bài toán này ta có thể dùng Phương pháp vectơ quay và làm theo các bước: 

- Vẽ đường tròn, biểu diễn trục Ox, các biên. 

- Khi vật đến vị trí x 1 , vẽ vectơ OM 

1 

. 

- Khi vật đến vị trí x 2 (mất thời gian ngắn nhất), vẽ vectơ OM 

2 

. 

- Dựa vào đề bài và hình vẽ, tìm qóc α mà vectơ quay đã quét được khi quay từ OM 

 

1 

đến OM 

2 

. 

- Ta có: α = ωt → t = α ω . 


Ví dụ 1: Một vật dao động điều hoà theo phương trình: x = Acos(ωt-π/2). Cho 

biết, từ thời điểm ban đầu vật đến li độ x=A 3 2 trong khoảng thời gian ngắn 

nhất là 1 s và tại điểm cách VTCB 2cm vật có vận tốc 40π 3 cm/s. Xác định tần 

60 

số góc và biên độ A của dao động. 

HD: 

- Theo đề, tại t = 0, véctơ quay ở vị trí OM 0 . 

- Sau khoảng thời gian ngắn nhất 

đến li độ 

1 

t = s thì vật 

60 

A 3 

x = , vectơ quay ở vị trí OM 1 . 

2 

- Từ hình vẽ tìm được 

π 

α = . 3 

- Ta có: α = ω.t ↔ π = ω. 1 → ω = 20π rad s 

3 60 

→ Biên độ của vật là: 

(40 π. 3) 

(20 π) 

2 

2 

A = 2 + = 4cm 

2 

A 3 

2 

-A A 

O 

α 

* Nhận xét: Mấu chốt bài toán ở chỗ: vật đi từ x = 0 (thời điểm ban đầu) đến 


A 3 

x = mất khoảng thời gian ngắn nhất thì tương ứng trong khoảng thời gian 

2 

đó, vectơ quay phải quét từ OM 0 đến OM 1 . 

M 0 

M 1 

x 






- 9 - 










Ví dụ 2: Con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm vật m=100g và lò xo nhẹ 

k=100N/m. Kéo vật xuống dưới theo phương thẳng đứng đến vị trí lò xo dãn 4cm 

rồi truyền cho nó tốc độ 40π cm/s hướng thẳng lên để nó dao động điều hòa. Lấy 

π 2 =10. Tìm thời gian ngắn nhất để vật chuyển động từ vị trí thấp nhất đến vị trí lò 

xo bị nén 1,5cm. 

HD: 

- Tần số góc của con lắc: ω = 

k 

= 10π (rad/s) 

m 

mg 

- Độ dãn của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng: ∆ l 

0 

= = 0,01m = 1cm 

k 

- Chọn trục tọa độ thẳng đứng, gốc O tại vị trí cân bằng của vật, chiều dương 

hướng lên. 

- Theo đề, khi lò xo dãn 4cm, tức vật có li độ x = -3cm thì vật được truyền tốc độ 

40π cm/s hướng thẳng lên. Biên độ của vật được tính là: 

2 2 

2 v 2 (40 π) 

A = x + = 3 + = 5cm 

2 2 

ω (10 π) 

- Khi lò xo nén 1,5cm thì vật ở li độ 

x=2,5cm. 

- Thời gian ngắn nhất để vật chuyển động 

từ vị trí thấp nhất đến vị trí lò xo bị nén 

1,5cm tương ứng với thời gian vectơ quay 

quét từ OM 1 đến OM 2 . 

2π 

1 

Ta có: α = ω.t ↔ = 10 π.t → t = s 

3 15 

Ví dụ 3 (ĐH 2008): Một con lắc lò xo treo thẳng đứng. Kích thích cho con lắc 

dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Chu kì và biên độ dao động của con 

lắc lần lượt là 0,4 s và 8 cm. Chọn trục x’x thẳng đứng chiều dương hướng xuống, 

gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, gốc thời gian t = 0 khi vật qua vị trí cân bằng theo 

chiều dương. Lấy gia tốc rơi tự do g = 10 m/s 2 và π 2 = 10. Thời gian ngắn nhất kể 

từ khi t = 0 đến khi lực đàn hồi của lò xo có độ lớn cực tiểu là 

A. 4 s 

15 

HD: 

B. 7 s 

30 

- Tần số góc của con lắc: 

C. 3 s 

10 

∆l 0 

2,5 

O 

5 

x 

D. 1 s 

30 

A 

O 

-A 

M 2 

α 

M 1 







- 10 - 










2π 2π 

ω = = = 5π rad s 

T 0,4 

- Độ dãn của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng: 

2 

g π 

∆ l 

0 

= = = 0,04m = 4cm 

2 2 

ω (5π) 

- Tại t = 0, vật qua vị trí cân bằng theo chiều 

dương, tức là vectơ quay ở OM 0 . 

- Vì A > ∆l 0 nên lực đàn hồi có độ lớn cực 

tiểu bằng 0 tại vị trí lò xo không biến dạng, 

khi đó vật ở li độ x 1 = -4cm. 

→ Thời gian ngắn nhất kể từ khi t = 0 đến 

khi lực đàn hồi của lò xo có độ lớn cực tiểu 

tương ứng với thời gian vectơ quay quét từ 

OM 0 đến OM 1 . Ta có: 

7π 

7 

α = ω.t ↔ = 5 π.t → t = s → Đáp án B. 

6 30 


Bài 1 (CĐ 2011). Một con lắc đơn có chiều dài dây treo 1m dao động điều hòa với 

π 

biên độ góc 

20 rad tại nơi có gia tốc trọng trường g = 10m/s2 . Lấy π 2 = 10. Thời 

gian ngắn nhất để con lắc đi từ vị trí cân bằng đến vị trí có li độ góc π 3 rad là 

40 

A. 3s B. 3 2 s C. 1 s 

D. 1 s 

3 

2 

Bài 2 (ĐH 2013). Vật nhỏ dao động điều hòa theo phương trình x = Acos4πt (t 

tính bằng s). Tính từ t=0, khoảng thời gian ngắn nhất để gia tốc của vật có độ lớn 

bằng một nửa độ lớn gia tốc cực đại là 

A. 0,083s B. 0,104s C. 0,167s D. 0,125s 

Bài 3. Vật dao động điều hòa với tần số 5Hz, biên độ A. Thời gian ngắn nhất để 

vật đi từ li độ x 1 =-0,5A đến li độ x 2 =0,5A là 

A. 1/10 s B. 1 s C. 1/20 s D. 1/30 s 

Bài 4. Vật dao động điều hòa với biên độ A. Vật đi từ li độ x=A/2 đến li độ x=-A/2 

hết khoảng thời gian ngắn nhất là 0,5s. Tính khoảng thời gian ngắn nhất vật đi từ 

VTCB đến li độ x = A 2 . 

A. 0,25 s B. 0,75 s C. 0,375 s D. 1 s 

Bài 5. Vật dao động điều hòa gọi với biên độ A và tần số f. Khoảng thời gian ngắn 

∆l 0 

x 

M 1 

• -8 

• -4 

• O 

α 

-8 8 

-4 O 


M 0 

x 






- 11 - 










nhất vật đi từ li độ 

A 2 

x = 2 

đến li độ 

A 3 

x = 2 

là 

A. ∆t = 5f 

5 

B. ∆t = 

C. ∆t = f 

1 

D. ∆t = 

24 

24f 

24 

24f 

Bài 6. Một vật dao động điều hòa dọc theo một đường thẳng. Một điểm M nằm cố 

định trên đường thẳng đó, phía ngoài khoảng chuyển động của vạt. Tại thời điểm t 

thì vật xa M nhất, sau đó một khoảng thời gian ngắn nhất là ∆t vật gần M nhất. 

a) Vật cách VTCB một khoảng A vào thời điểm gần nhất là 

2 

∆t 

∆t 

∆t 

∆t 

A. t + B. t + C. t + D. t + 4 3 2 6 

b) Vật cách VTCB một khoảng 0,5A vào thời điểm gần nhất là 

∆t 

∆t 

∆t 

∆t 

A. t + B. t + C. t + D. t + 4 3 2 6 

c) Độ lớn vận tốc của vật bằng nửa tốc độ cực đại vào thời điểm gần nhất là 

∆t 

∆t 

2∆t 

∆t 

A. t + B. t + C. t + D. t + 4 3 3 6 

d) Độ lớn vận tốc của vật đạt cực đại vào thời điểm gần nhất là 

∆t 

∆t 

∆t 

∆t 

A. t + B. t + C. t + D. t + 4 3 2 6 

Bài 7. Thời gian ngắn nhất để một vật dao động điều hòa đi từ vị trí có động năng 

bằng thế năng đến vị trí có động năng bằng ba lần thế năng là 0,1s. Tần số dao 

động của vật là 

A. 2,1Hz B. 0,42Hz C. 2,9Hz D. 0,25Hz 

Bài 8. CLLX nằm ngang gồm vật m=100g và lò xo k=100N/m. Từ VTCB kéo vật 

theo phương ngang một đoạn A, rồi thả ra cho vật dao động điều hòa. Sau khoảng 

thời gian ngắn nhất bằng bao nhiêu kể từ lúc thả vật thì động năng vật bằng 3 lần 

thế năng đàn hồi lò xo? 

A. 1 

15 s B. 1 

30 s C. 1 5 s D. 2 

15 s 

Bài 9. Vật dao động điều hòa với biên độ 8cm. Trong một chu kì, thời gian dài 

nhất vật đi từ vị trí có li độ x 1 =4cm theo chiều dương đến vị trí có li độ 4 3 cm là 

0,45s. Chu kì dao động của vật là: 

A. 2s B. 5,4s C. 0,9s D. 1,8s 

Bài 10. CLLX treo thẳng đứng. Kích thích cho con lắc dao động điều hòa theo 

phương thẳng đứng. Chu kì và biên độ của con lắc lần lượt là 0,4s và 8cm. Chọn 

trục x’x thẳng đứng, chiều dương hướng xuống, gốc tọa độ tại VTCB, gốc thời 

gian t=0 lúc vật qua VTCB theo chiều dương. Lấy g=π 2 =10. Thời gian ngắn nhất 

kể từ khi t=0 đến lúc lực đàn hồi của lò xo đạt cực đại lần thứ hai là 

A. 0,1 s B. 0,5 s C. 0,4 s D. 0,2 s 

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

ĐA C A D C B ABDC B B D B 







- 12 - 










1.3. Các bài toán sau đây đều có thể quy về dạng bài trên: 

1.3.1. Dạng bài và phương pháp giải. 

- Bài toán tìm thời điểm vật có vận tốc (v), gia tốc (a), thế năng (W t ), động năng (W đ ), 

lực hồi phục (F), lực đàn hồi… nào đó. 

→ Có thể tìm li độ x, rồi dùng phương pháp vectơ quay để tìm ra yêu cầu của bài 

toán. 

- Bài toán tìm số lần vật đi qua li độ x (hoặc v, a, W t , W đ , F,… → tìm ra li độ x) từ 

thời điểm t 1 đến t 2 . 

→ Dùng phương pháp vetơ quay, và lưu ý rằng, trong mỗi chu kỳ thì vật qua mỗi vị 

trí biên 1 lần còn các vị trí li độ khác 2 lần. 

- Bài toán tìm li độ x (hoặc v, a, W t , W đ , F,... → tìm ra li độ x) sau (trước) thời 

điểm t một khoảng thời gian ∆t, biết tại thời điểm t vật có li độ x 1 . 

→ Dùng phương pháp vetơ quay, biểu diễn OM 

1 

khi vật ở li độ x 1 , sau đó 1 khoảng 

thời gian là ∆t, vectơ quay quay được góc α, ta biểu diễn vectơ OM 

lúc đó trên 

đường tròn. Sau đó dựa vào hình vẽ để tìm x. 


Ví dụ 1: Một vật dao động điều hoà với phương trình x=8cos(2πt - π ) cm. Tìm 

6 

thời điểm lần thứ 2016 vật qua vị trí có v = -8π cm/s? 

HD: 

- Khi v = -8π cm/s thì vật ở li độ: 

v 

ω 

2 2 

x = A - ( ) = ±4 3cm 

- Vì v < 0 nên vectơ quay ở OM 1 và OM 2 

→ Cứ 1 chu kì (vectơ quay được 1 vòng) thì 

vật có v = -8π cm/s 2 lần. 

→ Thời điểm lần thứ 2016 vật qua vị trí có v = -8π cm/s kể từ lúc t = 0 thì vectơ 

quay phải quét 1007 vòng (qua v = -8π cm/s 2014 lần) rồi quét tiếp từ OM 0 đến 

OM 2 → Góc quét trong thời gian đó là: α = 1007.2π + π 

→ Thời điểm cần tìm là: t = α = 1007.2π + π = 1007,5s 

ω 2π 


Ta có thể làm theo cách khác như sau: 

M 2 M 1 

π 

4 3 

-8 −4 3 O 

8 x 

M 0 







- 13 - 










- Biểu thức vận tốc là: v = 16π.cos(2πt + π 3 ) cm/s 

(Tức là vận tốc có thể biểu diễn theo hàm 

cos nên có thể sử dụng vectơ quay cho 

-16π 

trục vận tốc) 


- Khi v = -8π cm/s thì vectơ quay ở OM 1 và OM 2 . 

-8π 

M 2 

M 0 

π 

O 

- Cứ 1 chu kì (vectơ quay quét được 1 vòng) thì vật có v = -8π cm/s 2 lần. 

→ Thời điểm lần thứ 2016 vật qua vị trí có v = -8π cm/s kể từ lúc t = 0 thì vectơ 

quay phải quét 1007 vòng (qua v = -8π cm/s 2014 lần) rồi quét tiếp từ OM 0 đến 

OM 2 → Góc quét trong thời gian đó là: α = 1007.2π + π 

→ Thời điểm cần tìm là: t = α = 1007.2π + π = 1007,5s 

ω 2π 

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hoà với phương trình x=8cos(2πt - π ) cm. Tìm 

3 

thời điểm lần thứ nhất vật qua vị trí có động năng bằng thế năng? 

HD: 

- Ta có : W đ = W t 

→ 

1 A 

W 

t 

= W → x = ± = ±4 2cm 

2 2 

→ Khi W đ = W t thì vectơ quay ở 4 vị trí là 

OM 1 , OM 2 , OM 3 , OM 4 . 

- Thời điểm đầu tiên vật qua vị trí W đ = W t 

ứng với vectơ quay quét từ OM 0 đến OM 1 

→ Góc quét tương ứng là: 



π π π 

α = - = 

3 4 12 

α 1 

t = = s 

ω 24 

Vì Phương pháp vectơ quay biểu diễn cho dao động điều hòa có dạng tổng quát 

x=Acos(ωt+φ), vì thế ở bài toán này ta phải chuyển điều kiện W đ = W t tương ứng khi 

đó vật ở li độ 

A 

x = ± 

2 

, từ đó ta dùng Phương pháp vectơ quay cho trục li độ x. 

M 3 

M 1 

M 4 

M 0 


α 

4 

4 2 

16π 

M 2 

M 1 

v 






- 14 - 










Ví dụ 3: Một vật dao động điều hoà với phương trình x=8cos(πt - π ) cm. Tìm 

4 

thời điểm lần thứ 2010 vật qua vị trí có động năng bằng 3 lần thế năng? 

HD: 

- Theo đề W đ = 3W t 

1 A 

→ W 

t 

= W → x = ± = ±4cm 

4 2 

→ Khi W đ = 3W t thì vectơ quay ở 4 vị trí là OM 1 , 

OM 2 , OM 3 , OM 4 . 

- Cứ 1 chu kì (vectơ quay quét được 1 vòng) thì 

W đ =3W t 4 lần. 

- Thời điểm vật qua vị trí có W đ = 3W t lần thứ 2010 kể từ lúc t = 0 thì vectơ quay 

phải quét 502 vòng (qua vị trí có W đ = 3W t 2008 lần) rồi quét tiếp từ OM 0 đến 

OM 2 . 

→ Góc quét được trong thời gian đó là: 


α 11 12059 

t = =1004 + = s 

ω 12 12 

π π 11π 

α = 502.2π + π - ( - ) =1004π + 

3 4 12 

Ví dụ 4: Một chất điểm dao động điều hòa có biên độ A = 5cm và chu kỳ 0,2s. 

Tại thời điểm t 1 , chất điểm có li độ x 1 = 2cm đang đi theo chiều dương. Hỏi sau đó 

0,05s chất điểm có li độ là bao nhiêu và chuyển động theo chiều nào? 

HD: 

- Vẽ đường tròn tâm O bán kính A = 5cm, trục Ox 

nằm ngang. 

- Tại thời điểm t 1 , vectơ quay ở OM 1 . 

- Sau thời điểm t 1 0,05s, vectơ quay quét được 

∆t π 

góc: ∆φ = .2π = 

T 2 , tức là vectơ quay ở OM 2. 

→ Tại thời điểm t 1 +0,05 (s), chất điểm có li độ là 

x 2 . Ta có: x 2 = 5.cos(∆φ – α) 

2 

0 

Với: cosα = → α = 66,42 

5 

→ x 2 = 5.cos(90 0 – 66,42 0 ) = 4,583cm 

∆φ 2 

Hình vẽ thấy tại thời điểm t 2 thì chất điểm đang chuyển động theo chiều âm. 

-5 

O 

M 1 

+ 

α 

4 2 

M 2 

x 

x 2 5 







- 15 - 










Ví dụ 5: Một con lắc dao động với phương trình x = 4cos(4πt - π/3) cm. Xác 

định số lần vật qua li độ x = 3cm trong 1,2s đầu tiên. 

HD: 

- Tại thời điểm ban đầu t=0 vật có 

x 0 =2cm và v 0 > 0 (vectơ quay ở OM 0 ). 

- Trong khoảng thời gian t=1,2s, vectơ 

quay quét được góc α = ω.t = 4π.1,2 

= 4π + 0,8π 

- Với góc quét 4π (vectơ quay quét được 

2 vòng), vật qua li độ x = 3cm 4 lần, và 

vectơ quay lại trở về OM 0 . 

- Với góc quét 0,8π = 144 0 , vectơ quay quét từ OM 0 đến OM 1 , do đó vật đi qua li 

độ x = 3cm 2 lần nữa. 

- Vậy tổng số lần vật đi qua vị trí x = 3 cm trong thời gian 1,2s đầu tiên là 6 lần. 

Ví dụ 6: Vật dao động điều hoà với phương trình x=4.cos(2πt)cm 

a) Tính số lần vật đi qua vị trí x = -2cm trong 2s và trong 3,25s. 

c) Tại thời điểm t vật ở li độ 2cm. Xác định trạng thái dao động (x, v) ở thời điểm 

(t + 6) s và (t + 1 3 ) s. 

a) 

HD: 

- Trong thời gian t=2s, véctơ quay quét được góc: 

α = ω.t = 4π rad. 

Vì mỗi vòng quay, vật qua vị trí x=-2cm 2 lần 

→ Trong 2s, vật qua vị trí x=-2cm 4 lần. 

- Trong thời gian t=3,25s, véctơ quay quét được góc: α = ω.t=6,5π rad = 6π + 0,5π. 

+ Với góc quét 6π (vectơ quay quét được 3 vòng), vật qua li độ x = -2cm 6 lần, và 

vectơ quay lại trở về OM 0 . 

+ Với góc quét 0,5π, vectơ quay quét từ OM 0 đến OM 1 , do đó vật không đi qua li 

độ x = -2cm lần nào nữa. 

Vậy tổng số lần vật đi qua vị trí x = -2cm trong thời gian 3,25s đầu tiên là 6 lần. 

c) Xác định vị trí sau thời gian ∆t: 

- Khi ∆t = 6s: Véctơ quay quét góc: α = ω.∆t = 12π → Véctơ quay đã quay 6 vòng 

và trở lại vị trí đầu, do đó x(t+6s) = x(t) = 2cm. 

-4 

M 1 

Q 

O 2 3 4 

-2 

H.1 

M 0 

P 

M 1 

x 

O M 0 


x 






- 16 - 










- Khi ∆t = 1 3 s: Véctơ quay quét góc: α = ω.∆t = 2π 3 

→ Có hai khả năng: 

+ Tại thời điểm t, vật có x=2cm; v>0: Vị trí véctơ ở hai thời điểm t (OM 1 ) và t + 

1 

3 s (OM 2) được biểu diễn như H.2. Từ hình vẽ suy ra: x(t+ 1 ) = 2cm và đang 

3 

chuyển động theo chiều âm. 

+ Tại thời điểm t, vật có x=2cm và v 0 (x và v cùng dấu). 

→ Bài toán trở thành: Kể từ lúc t=0 đến lúc 

vật qua li độ -10cm theo chiều âm lần thứ 

2013, tìm thời gian để có x.v > 0. 

- Cứ 1 chu kì thì vật đi qua x = -10cm theo chiều âm 1 lần, khi đó thời gian mà x.v 

> 0 tương ứng với thời gian vectơ quay quét được góc π (quét từ P đến Q và từ K 

đến H). 

H.2 

O 

2π 

3 

M 2 

2 

M 1 

4 

x 

M 1 

2π 

3 

M 2 x 

-4 

O 2 4 

H.3 


H 

M 1 

-10 

γ 

O 

K 

P 

β 

Q x 

20 

M 0 






- 17 - 










→ Cứ 2012 chu kì thì vật qua x = -10cm theo chiều âm 2012 lần, khi đó thời gian 

mà x.v > 0 tương ứng với thời gian vectơ quay quét được góc 2012π (vectơ quay 

lại trở về OM 0 ) → Muốn vật qua x = -10cm theo chiều âm lần thứ 2013 thì vectơ 

quay quét thêm từ OM 0 đến OM 1 , khi đó thời gian mà x.v > 0 tương ứng với thời 

gian vectơ quay quét được góc β + γ. Hình vẽ có β = γ = π/6. 

- Vậy kể từ lúc t=0 đến lúc vật qua li độ -10cm theo chiều âm lần thứ 2013 thì thời 

gian để có x.v > 0 tương ứng với thời gian vectơ quay quét được góc: 

α = 2012π + β + γ 

5 π π π 

Hay ω.t = 2012π + β + γ ↔ .t = 2012. π + + → t = 1207,4s → Đáp án C 

3 6 6 

Ví dụ 8 (ĐH 2010): Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kì T và biên 

độ 5 cm. Biết trong một chu kì, khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn 

gia tốc không vượt quá 100 cm/s 2 là T/3. Lấy π 2 =10. Tần số dao động của vật là 

A. 4 Hz B. 3 Hz C. 2 Hz D. 1 Hz 

HD: 

- Vì gia tốc biến thiên điều hòa nên ta có thể biểu 

diễn gia tốc bằng một véctơ quay. 

- Trong thời gian T/3, véctơ quay quét được góc: 

∆ϕ = ω.∆t = 2π 3 

→ Các véctơ quay biểu diễn độ lớn của a không vượt quá 100cm/s 2 như hình vẽ. 

→ Từ hình vẽ ta có: α = π 3 → A.ω2 .cos π 3 

= 100 → ω = 2π → f=1Hz → Đáp án D. 

Ví dụ 9 (ĐH 2014): Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang 

với tần số góc ω. Vật nhỏ của con lắc có khối lượng 100g. Tại thời điểm t = 0, vật 

nhỏ qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Tại thời điểm t = 0,95s, vận tốc v và li 

độ x của vật nhỏ thỏa mãn v = −ω x lần thứ 5. Lấy 

2 

π = 

10. Độ cứng của lò xo là 

A. 85 N/m B. 37 N/m C. 20 N/m D. 25 N/m 

HD: 

- Ta có phương trình dao động của vật là: 

⎛ π ⎞ 

x = Acos⎜ 

ωt 

− ⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

- Vận tốc v = −ω x (v và x trái dấu nhau) ứng với 

trường hợp vật hướng về vị trí cân bằng. 

-Aω 2 M 2 

A 

− 

2 

M 2 

-100 

O 

M 3 

M 0 

3π 

4 

α 

M 1 

100 

A 

M 4 

M 1 

2 

Aω 2 

a 


x 






- 18 - 










- Khi t = 0,95s: 

v = ±ω A − x = −ωx → x = ± 

2 2 A 

- Vật qua vị trí thỏa mãn v = −ω x tương ứng vectơ quay ở M 1 và M 2 . 

- Mỗi chu kì vật qua v = −ω x hai lần, do đó lần thứ 5 thỏa mãn thì vectơ quay quét 

được góc: 

- Ta có: 

3π 

α = 2.2π + 

4 

3π 

3π 

k 

α = 2.2 π + = ω.t ↔ 2.2 π + = .0,95 → k = 25N m → Đáp án D. 

4 4 m 

Ví dụ 10 (ĐH 2014): Một con lắc lò xo gồm lò xo nhẹ và vật nhỏ khối lượng 

100g đang dao động điều hòa theo phương ngang, mốc tính thế năng tại vị trí cân 

bằng. Từ thời điểm t 1 = 0 đến t 48 ( s) 

2 

2 

= π , động năng của con lắc tăng từ 0,096J 

đến giá trị cực đại rồi giảm về 0,064J. Ở thời điểm t 2 , thế năng của con lắc bằng 

0,064J. Biên độ dao động của con lắc là 

A. 5,7 cm B. 7,0 cm C. 8,0 cm D. 3,6 cm 

HD: 

- Tại thời điểm t 1 = 0: 

W = 0,096J; W = W − W = 0,032 

đ 

2 2 

Wđ 

A − x A 

3 x 

2 

Wt 

x 2 

→ = = → = ± 

t 

A 

- Tại thời điểm t 2 : Wđ 

= Wt 

→ x = ± 

2 

Có: 

sin 

đ 

x 1 π 2 π 5 A 2 6 A 2 4 12 

x 

0 

α = = → α = ; sinβ = 1 

= → β = → ∆ϕ = α + β = 

∆ϕ ∆ϕ 

1 2 2 2W 

∆ t = t 

2 

− t1 = → ω = = 20rad / s → W = mω A → A = = 8cm 

2 

ω ∆t 2 mω 

→ Đáp án C. 


Bài 1 (ĐH - 2009). Một con lắc lò xo có khối lượng vật nhỏ là 50 g. Con lắc dao 

động điều hòa theo một trục cố định nằm ngang với phương trình x = Acosωt. Cứ 

sau những khoảng thời gian 0,05 s thì động năng và thế năng của vật lại bằng nhau. 

Lấy π 2 =10. Lò xo của con lắc có độ cứng bằng 

A. 50 N/m B. 100 N/m C. 25 N/m D. 200 N/m 

Bài 2. Vật dao động điều hoà có phương trình x=Acos(2πt-π/3) cm. Sau khoảng 

thời gian ngắn nhất là bao nhiêu kể từ thời điểm t=0 thì thế năng của vật tăng lên 3 

lần so với thời điểm ban đầu? 


M 1 

− 

A 

2 

β 

α 

M 0 

A 

2 

x 






- 19 - 










A. 1 4 s B. 1 

12 s C. 1 6 s D. 1 3 s 

Bài 3. Vật dao động điều hòa, trong mỗi chu kì, thời gian vật có động năng lớn hơn 

3 lần thế năng là 0,2s. Trong mỗi chu kì, thời gian để tốc độ của vật nhỏ hơn 1/2 

tốc độ cực đại là 

A. 0,3s B. 0,2s C. 0,6s D. 0,4s 

Bài 4. Con lắc lò xo treo thẳng đứng gồm vật 100g và lò xo có độ cứng 100N/m. 

Kéo vật xuống dưới theo phương thẳng đứng để lò xo giãn 3cm rồi truyền cho vật 

vận tốc đầu là 20π 3 cm/s. Lấy, g=π 2 =10. Biết tại thời điểm t=0,05s thì vật đi qua 

vị trí có động năng bằng 3 lần thế năng theo chiều âm và đang chuyển động nhanh 

dần. Phương trình dao động của vật là 

A. x = 4cos(10πt-π/6) cm B. x = 4cos(10πt+π/3) cm 

C. x = 3 cos(10πt-π/6) cm D. x = 4cos (10πt+π/6) cm 

Bài 5. CLLX treo thẳng đứng. Khi vật ở VTCB thì lò xo dãn ∆l 0 . Kích thích cho 

con lắc dao động điều hòa theo phương thẳng đứng với chu kì T thì thấy thời gian 

mà độ lớn gia tốc của con lắc không lớn hơn gia tốc rơi tự do g tại nơi đặt con lắc 

là T/3. Biên độ dao động A của con lắc bằng 

A. 2.∆l B. 3.∆l C. ∆l 2 D. 2.∆l 

Bài 6. Vật dao động điều hòa với tốc độ cực đại là 3m/s và gia tốc cực đại là 

30π (m/s 2 ). Thời điểm ban đầu vật có vận tốc 1,5 3 m/s và thế năng đang giảm. 

Hỏi vào thời điểm nào sau đây vật có gia tốc bằng 15π (m/s 2 )? 

A. 0,1 s B. 0,15 s C. 0,2 s D. 0,3 s 

Bài 7. Vật dao động điều hòa với phương trình x = 10cos(5πt - π 3)cm . Thời điểm 

vật có tốc độ bằng nửa tốc độ cực đại lần thứ 2014 trong quá trình dao động là 

A. 402,7s B. 204,5s C. 201,3s D. 405,9s 

Bài 8. Vật dao động điều hoà thực hiện 10 dao động trong 5s, khi vật qua VTCB 

thì có vận tốc 62,8cm/s. Chọn gốc thời gian lúc vật qua vị trí có li độ x=2,5 3 cm 

và đang chuyển động về VTCB. Vật có động năng bằng ba lần thế năng lần thứ hai 

kể từ khi bắt đầu chuyển động vào thời điểm 

A. 0, 25s B.1,25s C. 0,125s D. 2,5s 

Bài 9. Con lắc đơn có chiều dài l=144cm. Từ VTCB kéo vật nặng để dây treo lệch 

khỏi phương thẳng đứng một góc nhỏ, rồi thả nhẹ để con lắc dao động điều hòa. 

Lấy g=10m/s 2 , π 2 =10. Thời điểm đầu tiên kể từ lúc thả vật đến lúc véctơ gia tốc 

của vật có phương nằm ngang là 

A. 0,8 s B. 0,2 s C. 0,6 s D. 0,3 s 

Bài 10. Trong dao động điều hòa, thời gian ngắn nhất giữa 2 lần liên tiếp vật đi qua 

vị trí động năng bằng thế năng là 0,66s. Giả sử tại thời điểm nào đó vật đi qua vị trí 

có thế năng W t , động năng W đ , và sau đó 1 khoảng thời gian ngắn nhất ∆t thì vật 

qua vị trí có động năng tăng 3 lần, còn thế năng giảm 3 lần. Tìm ∆t. 

A. 0,11s B. 0,22s C. 0,33s D. 0,44s 

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

ĐA A B B A D C C C D B 







- 20 - 










II.2. Xác định quãng đường vật đi được sau khoảng thời gian ∆t. 

2.1. Phương pháp giải. 

Xét vật dao động điều hòa theo phương trình x=Acos(ωt+φ). 

Để tìm quãng đường s mà vật đi được trong khoảng thời gian t (giả sử kể từ thời 

điểm t=0), ta có thể dùng phương pháp vectơ quay: 

- Tìm góc quét được trong thời gian t: α = ωt. 

- Nếu α = k.2π, với k nguyên hoặc bán nguyên (k=0,5; 1; 1,5; 2;…) thì: s=k.4A. 

- Nếu k không nguyên, không bán nguyên thì phân tích: 

α = k 1 .2π + β, với k 1 nguyên (k 1 =0; 1; 2;…); β < 2π. 

+ Góc quét k 1 .2π tương ứng với vật đi được quãng đường: s 1 = k 1 .4A. 

+ Góc quét β tương ứng với vật đi được quãng đường s 2 . Để tìm s 2 ta có thể làm theo 

các bước: 

• Vẽ đường tròn, biểu diễn vectơ OM 

0 

tại t=0. 

• Sau khi vectơ quay quét được góc k 1 .2π thì nó trở lại OM 

0 

, trên đường tròn ta biểu 

diễn góc β là góc quét từ OM 

0 

đến OM 

1 

. Dựa vào hình vẽ để tìm s 2 . 

2.2. Ví dụ minh họa. 

Ví dụ 1: Cho vật dao động điều hòa có phương trình: x=10sin(10t– π )cm. Tính 

2 

quãng đường mà vật đi được sau khoảng thời gian 8π s kể từ thời điểm t = 0. 

15 

HD: 

- Góc quét trong thời gian 

8π 4π 

α = ω .t = 10. s = 4π + 

15 3 

8π 

t = s 

15 : 

- Với góc quét 4π (vectơ quay lại trở về M 0 ) 

thì vật đi được quãng đường tương ứng là: 

s 1 = 2.4A = 2.4.10 = 80cm 

4π 

- Với góc quét β = (vectơ quay quét từ OM 0 đến OM 1 ) thì vật đi được quãng 

3 

đường tương ứng là: s 2 = 20+5 = 25cm 

- Vậy quãng đường mà vật đi được sau khoảng thời gian 8π s 

15 

là: s = s 1 + s 2 = 80 + 25 = 105cm 

M 1 

-10 O 10 

M 0 O β 

5 


x 

kể từ thời điểm t = 0 






- 21 - 










Ví dụ 2: Cho vật dao động điều hòa có phương trình: x=8cos(3πt- π )cm. Tính 

2 

quãng đường vật đi được sau 11 s kể từ thời điểm t = 0. 

18 

HD: 

- Tại t = 0: x = 0 và v < 0 → vật chuyển động 

theo chiều âm. 

- Tại t = 11 

18 s: α = ω.t = π + 5π 6 

- Từ hình vẽ suy ra quãng đường vật đi được 

là: S = 3.8 + 4 = 28cm 

Ví dụ 3: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x=4cos(2πt + π 3 )cm. 

Tính quãng đường mà vật đi được trong thời gian 3,75s kể từ lúc t = 0. 

HD: 

- Biểu diễn vectơ OM 0 ở thời điểm t = 0. 

- Trong thời gian 3,75s, vectơ quay quét được góc: α = ω.t = 2π.3,75 = 7,5π 

→ Phân tích: α = 3.2π + 1,5π 

M 0 

- Góc quét α 1 = 3.2π, tương ứng vật đi được 

+ 

quãng đường là: s 1 = 3.4A = 3.4.4 = 48cm. 

2 3 x 

- Góc quét α 2 = 1,5π, tương ứng vectơ quay quét từ -4 O 2 ∆φ 4 

OM 0 đến OM, khi đó vật đi được quãng đường là: 

M 

s 2 = 12 + (2 3 − 2) = 13,46 cm. 

- Vậy tổng quãng đường mà vật đi được là: s = s 1 + s 2 = 61,46 cm. 

Ví dụ 4: Con lắc lò xo dao động điều hòa với phương trình x = 12cos(50t - π 2 ) 

cm. Tìm quãng đường vật đi được trong khoảng 

π 

thời gian t = s kể từ lúc bắt đầu dao động. 

12 

s 2= 12cos60 

HD: 

0 

- Ta biểu diễn vectơ quay OM 

-12 0 12 

60 

0 

tại thời điểm t=0 

0 

30 0 

trên vòng tròn. 

N 

π 

- Trong khoảng thời gian t = s kể từ lúc bắt 

M 0 

12 


- 8 

-4 

M 

α 

O 

M 0 

8 

x 






- 22 - 










đầu dao động, vectơ quay quét được góc: α = ω.t = 50. π = 

25π 

12 6 

- Phân tích góc quét: α 

25π (24 +1)π π 

= = = 2.2π + 

6 6 6 ; Vậy ∆φ 1 = 2.2π và ∆φ 2 = π 6 

- Khi quét góc: ∆φ 1 = 2.2π thì s 1 = 2.4.A = 2.4.12 = 96cm, (quay 2 vòng quanh M 0 ) 

- Khi quét góc: ∆φ 2 = π 6 , vectơ quay quét từ M 0 → N thì: s 2 = 12cos60 0 = 6cm 

- Quãng đường tổng cộng là: s = s 1 + s 2 = 96 + 6 = 102cm 

Ví dụ 5: Một vật dao động điều hoà theo phương trình: x = 4cos(4πt+π/3)cm. 

Tính quãng đường vật đi được: 

- trong t=2s từ vị trí ban đầu. 

- trong 3,25s kể từ vị trí x= -2 cm ngược chiều dương. 

- trong 2,325s từ vị trí cân bằng theo chiều dương. 

HD: 


- Trong t=2s: véctơ quay quét được góc : ∆ϕ = 2.4π = 8π 

→ Quãng đường dao động điều hòa đi được là: s=4.4.A = 64 cm. 

- Trong 3,25s: Véctơ quay quét được góc: 

∆ϕ = 3,25.4π = 13π 

→ Quãng đường vật đi là: s = 13.2.A = 104cm 

- Trong 2,325s: Véctơ quay quét được góc ∆ϕ 

= ω.t = 9,3π = 9π + 0,3π. Biểu diễn véctơ quay 

ở vị trí cuối OM 1 như hình vẽ (0,3π = 54 0 ). 

→ Từ hình vẽ, tìm được quãng đường đi được 

là: s = 9.2.4 + 4.sin30 0 + 4.sin24 0 = 75,63cm 

Ví dụ 6: Một vật m=1kg dao động điều hòa theo phương ngang với phương trình 

x=Acos(ωt +ϕ). Lấy gốc tọa độ là vị trí cân bằng O. Từ vị trí cân bằng ta kéo vật 

theo phương ngang 4cm rồi buông nhẹ. Sau thời gian t = π s kể từ lúc buông tay 

30 

vật đi được quãng đường dài 6cm. Tính cơ năng của vật. 

HD: 

- Biên độ dao động: A=4cm. 

- Chọn t=0 là lúc buông tay ở biên dương 

→ vectơ quay ở OM 

0 

. 

x 

-4 2 4 

30 0 

24 0 


-2 

M 0 

M 

M 1 

O 

M 0 

4 x 






- 23 - 










→ Sau t = π s, vật đi quãng đường 6cm thì vật đến vị trí x=-2cm → vectơ quay ở 

30 

OM 

2π 

. Từ hình vẽ ta có: Góc quay: α = ω.t = 3 

2 2 

mω A 

→ ω = 20 rad/s → Cơ năng của vật là: W = = 0,32J. 

2 

Ví dụ 7 (ĐH 2014): Một vật nhỏ dao động điều hòa theo một quỹ đạo thẳng dài 

14cm với chu kì 1s. Từ thời điểm vật qua vị trí có li độ 3,5cm theo chiều dương 

đến khi gia tốc của vật có độ lớn cực tiểu lần thứ hai, vật có tốc độ trung bình bằng 

bao nhiêu? 

A. 27,3cm/s B. 28,0cm/s C. 27,0cm/s D. 26,7cm/s 

HD: 

14 

- Ta có: A = = 7cm . 

2 

- Lần thứ 2 gia tốc của vật có độ lớn cực tiểu thì 

vectơ quay ở OM. 

- Hình vẽ, có: Góc quét từ OM 0 đến OM là: 

11π 

α 11 

α = → t = = s 

6 ω 12 

→ Tương ứng quãng đường vật đi được là: 

s = 3,5 + 14 + 7 = 24,5 cm 

s 

Tốc độ trung bình của vật trong thời gian đó là: vTB 

= ≈ 26,7cm s → Đáp án D. 

t 

Ví dụ 8: Một chất điểm dao động điều hòa biên độ A=5cm tần số 2Hz. 

a) Tìm thời gian ngắn nhất vật đi được đoạn đường S=5cm và thời gian dài nhất 

vật đi một đoạn đường 5cm. 

b) Tìm tổng chiều dài quãng đường mà chất điểm đi được trong thời gian 4,125s kể 

từ lúc nó qua điểm cách vị trí cân bằng 2,5 2 cm theo chiều dương. 

HD: 

a) Ta biết tốc độ của chất điểm khi qua vị trí cân bằng là lớn nhất, như vậy thời 

gian chuyển động của chất điểm trên một đoạn quỹ đạo quanh vị trí cân bằng có 

chiều dài xác định là nhỏ nhất so với bất kỳ đoạn thẳng nào khác có cùng chiều 


dài. Dựa vào lập luận này ta có thể tìm kết quả của bài toán bằng hình vẽ như sau: 

-7 

α 

M 

3,5 

M 0 

7 

x 






- 24 - 










Chọn hai điểm P 1 ; P 2 trên trục quỹ đạo Ox đối 

xứng qua O cách O một đoạn S . Vẽ đường tròn 

2 

tâm O bán kính R=A=5cm, trên đường tròn, ở 

cùng một phần cung âm (hay dương) ta xác định 

hai điểm M 1 ; M 2 sao cho hình chiếu của M 1 lên 

trục Ox là P 1 hình chiếu của M 2 là P 2 . 

Ta có OP 1 = Acosα → 

ứng của giai đoạn này là 

π 

α = → thời gian tương 

3 

∆t 

min 

∆φ 

= = 1 s 2πf 12 . 

- Tương tự khi chất điểm chuyển động ở gần vị trí biên thì tốc độ nhỏ hơn, nên trên 

cùng một chiều dài quãng đường đi thì thời gian chuyển động ở đoạn này là dài 

nhất. Ta có thể tìm kết quả bài toán như sau: 

A 

Trên Ox chọn điểm P sao cho PB = S/2, kẻ đường thẳng 

vuông góc với Ox tại P cắt đường tròn tại hai điểm M 1 ; 

M 2 . Khi vectơ OM 1 quét góc ∆φ đến trùng OM 2 tương 

ứng chất điểm chuyển động từ P 1 đến B rồi trở về 

P 2 ≡P 1 tại P. Ta tính được ∆φ = 2α 

Vậy thời gian để đi được chiều dài S như trên là: 

b) Tìm tổng chiều dài đường đi của chất điểm. 

1 

∆t 

Max 

= s 

6 

- Ta biết mỗi nửa chu kỳ T chất điểm luôn đi được một đoạn đường bằng 2A. Như 

T 

vậy ta chia thời gian khảo sát ∆t = n + ∆t1 

với n là số nguyên; ∆t 1 < T 2 

2 

- Tổng chiều dài quãng đường là S = 2nA + ∆S 

1 

với ∆S 1 là chiều dài quãng đường 

đi dược trong thời gian ∆t 1 . 

- Áp dụng tính chất này ta tìm kết quả bài toán như sau: 

Ta có: 

∆t 4,125 

= =16,5 → ∆t = 16. T + 

T 

T / 2 0,25 

2 4 

- Để tìm quãng đường đi ∆S 

1 

trong khoảng thời gian T 4 

sau: 

O 

M 2 

α 

∆φ P1 

P 2 

M 1 

+ 

B 

x 

A 

M 2 

P 2 

∆φ 

α 

O 


M 1 

P 1 

B 

đầu tiên, ta dùng hình vẽ 

+ 

x 






- 25 - 










Trên trục Ox ta chọn điểm P 1 có tọa độ x 1 = 2,5 2 cm và chọn điểm M 1 trên đường 

tròn ở phần cung dương (hình vẽ). 

Góc quét ∆φ trong thời gian T 4 là π 2 

Ta có ∆φ = α + β 

x1 

Mà cosα = 

A = 2 

2 , suy ra α = π 4 nên β = π 4 . 

Như vậy: ∆S 

1 

= 2P1 

B = 2(5 - 2,5 2 ) = 2,93cm 

Tổng chiều dài quãng đường chất điểm đi được: S = 16.2.5 + 2,93 = 162,93cm 

Ví dụ 9: Một vật dao động điều hòa với phương trình x=Acos(ωt+ϕ) dọc theo 

trục Ox. Tính quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất mà vật đi được trong thời gian ∆t 

cho trước trong các trường hợp: 

a) ∆t < T 2 

HD: 

b) ∆t > T 2 

Vật có vận tốc lớn nhất khi qua VTCB, nhỏ nhất khi qua vị trí biên nên trong 

cùng một khoảng thời gian quãng đường đi được càng lớn khi vật ở càng gần 

VTCB và càng nhỏ khi càng gần vị trí biên. Sử dụng mối liên hệ giữa dao động 

điều hoà và chuyển đường tròn đều. 

Góc quét ∆φ = ω∆t. 

a) Nếu ∆t < T thì ∆φ = ω∆t < π. 

2 

- Quãng đường lớn nhất khi vật đi từ M 1 đến M 2 đối xứng qua trục sin (H.1) 

∆ϕ 

S = 2A sin 2 

→ max 

- Quãng đường nhỏ nhất khi vật đi từ M 1 đến M 2 đối xứng qua trục cos (H.2) 

∆ϕ 

S = 2A(1 − cos ) 

2 

→ min 

A 

M 2 M 1 

P 

∆ϕ 

P 

2 

A 

A 

P 2 O P ∆ϕ 

1 x 

O 

2 

H.1 H.2 


A 

M 2 

O 

M 1 

A 

x 

β 

α 

∆φ 

M 2 

P 2 

P 1 

+ 

M 1 

B 

x 






- 26 - 







b) Nếu ∆t > T 2 

thì ∆φ = ω.∆t > π . 




- Tách ∆φ = n.π + ∆φ 1 → S = n.2A + S 1 , với S 1 là quãng đường vật đi thêm khi 

OM 

quay góc ∆φ 1 sau khi đã đi quãng đường 2.nA 

→ S max = n.2A +S 1max và S min = n.2A + S 1min . 

∆ϕ 

∆ϕ 

- Áp dụng công thức trên ta có: Smax 

= 2A(n + sin ) ; Smin 

= 2A(n + 1 − cos ) 

2 

2 

2.3. Bài tập tự giải. 

Bài 1 (ĐH 2010). Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Trong khoảng 

thời gian ngắn nhất khi đi từ vị trí biên có li độ x = A đến vị trí x = -A 2 

có tốc độ trung bình là 

, chất điểm 

A. 6A B. 9A 

C. 3A 

D. 4A T 

2T 

2T 

T 

Bài 2 (ĐH 2012). Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương ngang với cơ 

năng dao động là 1 J và lực đàn hồi cực đại là 10 N. Mốc thế năng tại vị trí cân 

bằng. Gọi Q là đầu cố định của lò xo, khoảng thời gian ngắn nhất giữa 2 lần liên 

tiếp Q chịu tác dụng lực kéo của lò xo có độ lớn 5 3 N là 0,1 s. Quãng đường lớn 

nhất mà vật nhỏ của con lắc đi được trong 0,4 s là 

A. 40 cm B. 60 cm C. 80 cm D. 115 cm 

Bài 3. Vật dao động với phương trình x=6cos(2πt-π/3) cm. Tính độ dài quãng 

đường vật đi được trong khoảng thời gian t 1 = 1,5 s đến t 2 = 13 

3 s. 

A. 50 + 5 3 cm B. 53 cm C. 46 cm D. 66 cm 

Bài 4. Vật dao động điều hoà xung quanh VTCB O. Ban đầu vật đi qua O theo 

chiều dương. Đến thời điểm t 1 = π s vật chưa đổi chiều chuyển động và vận tốc 

15 

còn lại một nửa. Đến thời điểm t 2 = 0,3π s vật đã đi được 12cm. Vận tốc ban đầu v 0 

của vật là 

A. 20 cm/s B. 25 cm/s C. 3 cm/s D. 40 cm/s 

Bài 5. Vật dao động điều hòa với biên độ A và chu kỳ T. Biết rằng vật thực hiện 12 


dao động hết 6s. Tốc độ của vật khi qua VTCB là 8π cm/s. Quãng đường lớn nhất 

vật đi được trong khoảng thời gian bằng 2/3 chu kỳ T là 

A. 8 cm B. 9 cm C. 6 cm D. 12 cm 

Bài 6. Vật dao động điều hòa với tần số f và biên độ A. Khi vật đi từ li độ x = -A/2 






- 27 - 










đến li độ x = A (đi qua biên x = –A), tốc độ trung bình của vật bằng 

A. v tb = 15Af 

4 

B. v tb = 9Af 

2 

C. v tb = 4Af D. v tb = 13Af 

4 

Bài 7. Vật dao động theo trục phương trình x=3cos(10t – π/3)cm. Tốc độ trung 

bình của vật trong khoảng thời gian t=0,157s kể từ lúc vật bắt đầu chuyển động là 

A. 12,1m/s B. 21,1m/s C. 21,1cm/s D. 12,1cm/s 

Bài 8. Vật dao động điều hòa với chu kì T. Khi vật đi qua vị trí có li độ x 1 =8cm thì 

vật có vận tốc là v 1 =12cm/s. Khi vật có li độ x 2 =-6cm thì vật có vận tốc v 2 =16cm/s. 

Quãng đường lớn nhất và nhỏ nhất mà vật đi được trong khoảng thời gian T/6 là 

A. 8,66cm đến 10cm B. 2,68cm đến 12cm 

C. 10cm đến 17,32cm D. 2,68cm đến 10cm 

Bài 9. Vật dao động điều hoà, khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp vật qua 

VTCB là 0,5s; quãng đường vật đi được trong 2s là 32cm. Tại thời điểm t=2,5s vật 

qua li độ x=2cm theo chiều dương. Phương trình dao động của vật là 

A. 

C. 

2π 

x = 4cos(2πt + )cm 

3 

π 

x = 4cos(2πt - )cm 

3 

B. 

D. 

5π 

x = 4cos(πt - )cm 

6 

π 

x = 8cos(πt + )cm 

6 

Bài 10. CLLX treo thẳng đứng gồm lò xo độ cứng 100N/m và vật nặng khối lượng 

100g. Kéo vật thẳng đứng xuống dưới làm lò xo giãn 3cm, rồi truyền cho nó vận 

tốc 20π 3 cm/s hướng lên. Chọn t=0 lúc truyền vận tốc. Lấy g=π 2 =10. Trong 

khoảng thời gian 1/4 chu kỳ, quãng đường vật đi được kể từ lúc t=0 là 

A. 4cm B. 8cm C. 5,46cm D. 2,54cm 

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

ĐA B B D A C A D D A C 







- 28 - 










II.3. Bài toán về hai chất điểm dao động điều hòa. 

3.1. Ví dụ minh họa. 

Ví dụ 1: Hai chất điểm dao động điều hòa trên hai quỹ đạo gần trùng nhau có 

phương trình lần lượt là x 1 = 4cos4πt (cm) và x 2 = 3sin4πt (cm). Xác định thời 

điểm: 

a) hai chất điểm gần nhau nhất lần đầu tiên. 

b) hai chất điểm cách nhau xa nhất lần đầu tiên. Tính khoảng cách lớn nhất giữa 

chúng. 

HD: 

Ta thấy hai chất điểm này dao động cùng 

tần số, vuông pha nhau với pha ban đầu 

lần lượt là φ 1 =0 và φ 2 = - π . Ta biểu diễn 

2 

các dao động điều hòa bằng các vectơ 

quay OM và ON cùng quay với một tốc độ 

góc là ω=4π rad/s, tại thời điểm ban đầu 

như hình vẽ. 

a) Khi hai chất điểm gần nhau nhất thì đường MN vuông góc với trục Ox, như vậy 

tam giác vuông OMN quay một góc α ( H.1). Ta tính được α ≈ 37 0 . Vậy thời điểm 

α 37.π 

hai chất điểm gần nhau nhất lần đầu tiên là: t 1 

= = ≈ 0,051s 

ω 180.4π 

H.1 

O 

α 

b) Hình chiếu của hai điểm M và N trên trục Ox cách xa nhau nhất khi đoạn MN 

song song với trục Ox. (H.2). Như vậy so với vị trí ban đầu thì tam giác OMN đã 

quay một góc là β. 

N 

M 

- Dựa vào hình vẽ ta thấy: β = 90 0 + α = 127 0 . 

x 


- Vậy thời điểm đầu tiên hai chất điểm cách nhau xa nhất là: 

M 

O 

β 

O 

N 

H.2 

N 

M 

x 

x 






- 29 - 










β 127.π 

t 

2 

= = = 0,176s 

ω 180.4π 

- Khoảng cách lớn nhất giữa 2 chất điểm chính bằng chiều dài đoạn MN, ta có: 

MN = 

2 2 

ON + OM = 5cm 

Ví dụ 2: Hai vật dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau 

và song song với trục tọa độ Ox sao cho không va chạm vào nhau trong quá trình 

dao động. Vị trí cân bằng của hai vật đều ở trên một đường thẳng qua gốc tọa độ 

và vuông góc với Ox. Biết phương trình dao động của chúng lần lượt là 

π 

π 

x 1 =10cos( 4πt + ) và x 2 = 10 2 cos( 4πt + )cm. Tìm thời điểm hai chất điểm 

3 12 

cách nhau 5cm lần đầu tiên kể từ lúc t=0. 

HD: 

- Khoảng cách giữa 2 chất điểm ở thời điểm t bất kì là: 

⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 

d = x 

2 

− x1 

= 10 2cos⎜ 4πt + cm −10cos 4πt + cm 

12 

⎟ ⎜ 

3 

⎟ 

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 

⎛ π ⎞ 

= 10cos⎜ 

4πt - ⎟ cm = y 

⎝ 6 ⎠ 

- Nhận thấy y biến thiên điều hòa với biên độ 10 cm 

và tần số góc ω = 4π rad/s. 

- Thời điểm t = 0: d = 5 3 cm (vectơ quay ở OM 0 ). 

- Khi hai chất điểm cách nhau 5cm lần đầu tiên thì 

vectơ quay ở OM, tương ứng góc quét được là 

π 

α = . Ta có: 2 

π 1 

α = = ωt → t = s 

2 8 

Ví dụ 3: Hai vật dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau 

và song song với trục tọa độ Ox sao cho không va chạm vào nhau trong quá trình 

dao động. Vị trí cân bằng của hai vật đều ở trên một đường thẳng qua gốc tọa độ 

và vuông góc với Ox. Biết phương trình dao động của hai vật lần lượt là 

⎛ π ⎞ 

x = 4cos 4πt + cm 

1 ⎜ ⎟ 

⎝ 3 ⎠ 

1 

t = s 

1 

24 

1 

đến thời điểm t = s 

2 

3 

phương Ox không nhỏ hơn 2 3 cm là bao nhiêu? 

HD: 

⎛ π ⎞ 

và x = 4 2cos 4πt + cm 

2 ⎜ ⎟ . Tính từ thời điểm 

⎝ 12 ⎠ 

M 0 

thì thời gian mà khoảng cách giữa hai vật theo 

O 

α 

5 

M 

5 3 

10 


y 






- 30 - 










- Khoảng cách giữa 2 vật trên trục Ox ở thời điểm t bất kì là: 

⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ 

d = x 

2 

− x1 

= 4 2cos⎜ 4πt + ⎟ cm − 4cos⎜ 4πt + ⎟ cm 

⎝ 12 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 

⎛ π ⎞ 

= 4cos⎜ 

4πt - ⎟ cm = y 

⎝ 6 ⎠ 

- Nhận thấy y biến thiên điều hòa với biên độ 

4 cm và tần số góc ω = 4π rad/s. 

∆φ = 

1 

- Tại thời điểm t = s 

1 

24 : y 1 = 4cm (vectơ 

α β M 1 

−2 3 O 2 3 4 y 

quay ở OM 1 ). 

Dựa vào hình, ta tính được: 

2π 

3 

- Tại thời điểm 

1 

t = s 

2 

3 : y 2 = −2 3 cm M 2 

(vectơ quay ở OM 2 ). 

1 

1 

- Dựa vào hình vẽ, tính từ thời điểm t = s đến thời điểm t = s thì thời gian 

1 

2 

24 

3 

mà khoảng cách giữa hai vật theo phương Ox không nhỏ hơn 2 3 cm tương ứng 

với thời gian để vectơ quay quét được góc: φ = α + β = π + 

π 

3 6 . 

1 

- Ta có: φ = ωt → Thời gian cần tìm là: t = s. 8 

Ví dụ 4: Hai chất điểm có cùng khối lượng dao động trên cùng một phương 

cùng tần số f=2Hz và biên độ A=6cm, tại thời điểm t 1 chúng cùng đi qua vị trí có 

ly độ x=3cm nhưng có chiều ngược nhau. 

a) Tìm độ lệch pha của hai dao động. 

b) Sau bao lâu kể từ thời điểm t 1 , chúng lại có động năng bằng nhau? 

HD: 

M 1 

Ta biểu diễn hai dao động bằng hai 

vectơ quay OM 1 và OM 2 trong cùng 

một gốc quay O: 

∆φ 

x 

- Tại thời điểm t 1 : 

a) Góc hợp bởi hai vectơ tại thời điểm t 1 

là độ lệch pha ∆φ của hai dao động. 

O 3 

M 2 

6 







- 31 - 










b) Hai chất điểm có động năng bằng nhau lần tiếp theo khi chúng qua hai vị trí đối 

xứng nhau đối với vị trí cân bằng (x 1 = - x 2 ) 

Dựa vào hình vẽ, ta thấy đoạn thẳng nối 

M 1 M 2 bây giờ phải song song với trục 

Ox, như vậy hệ thống OM 1 M 2 đã quay 

quanh O một góc α = π/2, tương ứng 

với thời gian là: 

α π 

∆t = = = 0,125s 

ω 2.4π 

Vậy sau thời điểm t 1 0,125s thì động năng của hai chất điểm lại bằng nhau. 

Ví dụ 5: Hai chất điểm dao động điều hoà trên hai trục tọa độ Ox và Oy vuông 

góc với nhau (O là vị trí cân bằng của cả hai chất điểm). Biết phương trình dao 

động của chất điểm (1) là: x = 2cos(5πt + π/2)cm và chất điểm (2) là y = 4cos(5πt – 

π/6)cm. Khi chất điểm thứ nhất có li độ x = − 3 cm và đang đi theo chiều âm thì 

khoảng cách giữa hai chất điểm là 

A. 3 3 cm B. 7 cm C. 2 3 cm D. 15 cm 

HD: 

Tại thời điểm t = 0: vectơ quay 

biểu diễn cho chất điểm (1) ở 

OM 10 ; vectơ quay biểu diễn cho 

chất điểm (2) ở OM 20 . 

- Ở thời điểm t: chất điểm (1) có 

li độ x = − 3 cm và đi theo chiều 

âm thì vectơ quay biểu diễn cho 

nó ở OM 11 . Hình vẽ tìm được góc 

quét từ OM 10 đến OM 11 là π/3. 

Do đó ở thời điểm này vectơ quay 

biểu diễn cho chất điểm (2) là ở 

OM 21 (góc quét từ OM 20 đến 

OM 21 cũng bằng π/3), trên hình 

vẽ tìm được li độ của chất điểm 

(2) tương ứng là y = 2 3 cm. 

→ Khoảng cách giữa hai chất điểm khi đó là: 

→ Đáp án D 

M 1 

x 1 

O 

∆φ 

x 2 

M 2 

4 

M 21 

M 11 

2 3 

d 

M 10 

π/3 

π/3 

M 20 

-2 − 3 O 2 


y 

-4 

2 2 

d = ( 3) + (2 3) = 15cm 

α 

A 

x 

x 






- 32 - 










3.2. Bài tập tự giải. 

Bài 1. Hai vật dao động điều hòa cùng tần số, trên hai đường thẳng cùng song song 

với trục tọa độ Ox. VTCB của chúng nằm trên cùng một đường thẳng đi qua O và 

vuông góc với Ox. Biên độ dao động của chúng lần lượt là 14cm và 48cm. Biết hai 

vật đi qua nhau ở vị trí có li độ x=13,44cm khi chúng đang chuyển động ngược 

chiều nhau. Khoảng cách lớn nhất giữa hai chất điểm đó theo phương Ox là 

A. 62cm B. 48,56cm C. 50cm D. 47,44cm 

Bài 2. Hai chất điểm M và N dao động điều hòa cùng tần số 0,5Hz dọc theo 2 

đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox. VTCB của M và 

N đều trên 1 đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Biết biên độ của M 

bằng 6cm, của N bằng 8cm, và N dao động sớm pha hơn M. Trong quá trình dao 

động, khoảng cách lớn nhất giữa M và N theo phương Ox là 10cm. Tại thời điểm t, 

hai vật đi ngang qua nhau, hỏi sau đó 1 khoảng thời gian ngắn nhất bằng bao nhiêu 

thì khoảng cách giữa chúng bằng 5 2 cm. 

A. 1/3 s B. 1/2 s C. 1/6 s D. 1/4 s 

Bài 3. Hai chất điểm M 1 , M 2 dao động điều hòa trên 2 đường thẳng song song kề 

nhau và song song với trục tọa độ Ox (VTCB của M và N đều trên 1 đường thẳng 

qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox) với cùng tần số f, biên độ tương ứng là 3cm 

và 4cm, và dao động của M 2 sớm pha hơn của M 1 góc π/2. Khi khoảng cách giữa 

M 1 và M 2 là 5cm thì M 1 và M 2 cách gốc tọa độ lần lượt là 

A. 3,2cm và 1,8cm B. 2,86cm và 2,14cm 

C. 2,14cm và 2,86cm D. 1,8cm và 3,2cm 

Bài 4. Hai chất điểm M và N dao động điều hòa dọc theo 2 đường thẳng song song 

kề nhau và song song với trục tọa độ Ox. VTCB của M và N đều trên 1 đường 

thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Biên độ của M bằng 3cm, của N bằng 

4cm. Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất giữa M và N theo phương 

Ox là 5cm. Ở thời điểm mà M cách VTCB 1cm thì N cách VTCB bao nhiêu? 

A. 4 2 

3 cm B. 1 

8 2 

cm C. 3cm D. 

2 3 cm 

Bài 5. Hai chất điểm dao động điều hòa trên hai trục tọa độ song song, cùng chiều, 

cạnh nhau, gốc tọa độ nằm trên đường vuông góc chung. Phương trình dao động 

của 2 vật là x 1 =10cos(20πt+φ 1 )cm và x 2 =6 2 cos(20πt+φ 2 )cm. Hai vật đi ngang 

nhau và ngược chiều khi có tọa độ 6cm. Tìm khoảng cách cực đại giữa 2 vật trong 

quá trình dao động. 


A. 16 2 cm B. 16cm C. 14 2 cm D. 14cm 






- 33 - 










Bài 6. Hai chất điểm M và N cùng khối lượng, dao động điều hòa cùng tần số 2Hz 

dọc theo 2 đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox. VTCB 

của M và N đều trên 1 đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Biết biên 

độ của M bằng 6cm, của N bằng 12cm. Mốc thế năng tại VTCB. Ban đầu M và N 

cùng đi qua VTCB theo chiều ngược nhau. Thời điểm đầu tiên mà khoảng cách 

giữa 2 vật bằng 9cm là 

A. 4 s B. 4/3 s C. 1/24 s D. 3 s 

Bài 7. Hai chất điểm M, N dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song 

kề nhau và song song với trục tọa độ Ox. Vị trí cân bằng của M và của N đều ở 

trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Phương trình dao động 

của chúng lần lượt là x 1 = 10cos(2πt) cm và x 2 = 10 3 cos(2πt + π/2) cm. Hai chất 

điểm gặp nhau khi chúng đi qua nhau trên đường thẳng vuông góc với trục Ox. 

Thời điểm lần thứ 2013 hai chất điểm gặp nhau là 

A. 16 phút 46,42s B. 16 phút 46,92s C. 16 phút 47,42s D. 16 phút 45,92s 

Bài 8. Dao động của một vật là tổng hợp của 2 dao động cùng phương, cùng tần số 

có phương trình là x = 6cos( 10t + π 3) 

cm và ( ) 

1 

x = 8cos 10t - π 6 cm . Lúc li độ 

dao động của vật là 8cm và đang giảm thì li độ của thành phần x 1 lúc đó bằng 

A. 6cm B. 0 C. 3 3 cm D. -3 3 cm 

Bài 9. Hai chất điểm cùng thực hiện dao động điều hòa trên cùng một trục Ox (O 

là vị trí cân bằng), có cùng biên độ A nhưng tần số lần lượt là f 1 = 3Hz và f 2 = 6Hz. 

Lúc đầu cả hai chất điểm đều qua li độ A/2 theo chiều dương. Thời điểm đầu tiên 

các chất điểm đó gặp nhau là 

A. 1 s 

B. 1 s 

C. 1 s 

D. 1 s 

4 

18 

26 

27 

Bài 10 (ĐH 2012). Hai chất điểm M và N có cùng khối lượng, dao động điều hòa 

cùng tần số dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa 

độ Ox. Vị trí cân bằng của M và của N đều ở trên một đường thẳng qua góc tọa độ 

và vuông góc với Ox. Biên độ của M là 6 cm, của N là 8 cm. Trong quá trình dao 

động, khoảng cách lớn nhất giữa M và N theo phương Ox là 10 cm. Mốc thế năng 

tại vị trí cân bằng. Ở thời điểm mà M có động năng bằng thế năng, tỉ số động năng 

của M và động năng của N là 

A. 4 B. 3 C. 9 

D. 16 3 

4 

16 

9 

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

ĐA C D D D D C A B D C 


2 






- 34 - 










1. Kết luận. 

Phần KẾT LUẬN 

Trong việc nâng cao chất lượng giáo dục nói chung - môn vật lí nói riêng thì 

việc cải tiến phương pháp dạy học là một nhân tố rất quan trọng. Tôi đã mạnh dạn 

đưa ra một số ý kiến của mình về vận dụng phương pháp ứng dụng véctơ quay 

trong dạy học vật lí lớp 12. Trong chuyên đề này tôi chỉ mới tìm cho mình một 

phương pháp và chỉ áp dụng cho một vài dạng toán, tất nhiên là không trọn vẹn, 

nhằm mục đích giúp các em học sinh áp dụng cho các bài toán về dao động điều 

hòa một cách nhanh chóng và chính xác. 

Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy rằng học sinh hứng thú hơn trong học 

tập bộ môn và có những cách giải rất sáng tạo, bước đầu đã mang lại những kết 

quả tốt. Hi vọng đây là một phương pháp hay để các giáo viên trong tổ Vật Lí vận 

dụng vào giờ dạy của mình. 

Do thời gian nghiên cứu còn eo hẹp và kinh nghiệm của bản thân còn hạn chế 

nên tài liệu trình bày chưa thật hoàn chỉnh và sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. 

Vì vậy tôi rất mong nhận được những nhận xét, góp ý của các quý thầy cô để xây 

dựng được một tập tài liệu hoàn hảo hơn, giúp quá trình dạy và học của cả thầy và 

trò ngày càng hoàn thiện. 

2. Kiến nghị. 

2.1. Đối với nhà trường. 

Nhà trường trang bị thêm các sách tài liệu cho thư viện để giáo viên và học sinh 

tham khảo. 

Thường xuyên tổ chức các buổi trao đổi, thảo luận về phương pháp dạy học. 

2.2. Đối với Sở Giáo dục và Đào tạo. 

Thường xuyên tổ chức các chuyên đề, hội thảo để giáo viên có điều kiện trao 

đổi và học tập chuyên môn - nghiệp vụ. 

Tôi xin trân trọng cảm ơn! 







- 35 -

Ứng dụng vectơ quay để giải một số bài toán dao động cơ

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?