CURVAS PARAM´ETRICAS: TEORÍA LOCAL DE CURVAS - IMERL

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CURVAS PARAMÉTRICAS: TEORÍA LOCAL DE CURVAS
PREFACIO
Estas notas son una segunda reedición de las notas del curso de Análisis I escritas por Fernando Paganini
en la década del ’90 (la primer reedición fue realizada por Heber Enrich en el año 2003).
Este material completa el tema de curvas paramétricas presentado en el CD, guía del curso, en lo que
respecta al curso 2004.
1. Teoría Local de Curvas
1.1. Introducción
Marzo 2004
Freddy Rabín
Responsable de esta edición
Se buscará definir parámetros locales (en los alrededores de un punto dado) que describan propie-
dades geométricas de las curvas. Consideraremos curvas representadas a través de parametrizaciones
P : I → IR 3 , de clase C 3 , regulares ( ˙
P (t) = 0).
Para que la estructura geométrica aparezca en forma “pura” es conveniente trabajar en curvas parametrizadas
respecto a la longitud del arco (s). De este modo nos movemos “con velocidad 1” y nos
independizamos de propiedades “cinemáticas” que dependen de la velocidad con que se recorren los
puntos.
Trabajamos entonces, en casi toda la sección, con curvas representadas por la parametrización α(s),
parametrizadas respecto a la longitud de arco, es decir que cumple |α ′ (s)| ≡1.
El siguiente lema será usado en toda la sección.
Lema 1.1.
Si β : I → IR 3 , función diferenciable tal que |β(s)| = cte para todo s ∈ I, entonces β ′ (s)⊥β(s) ∀ s ∈ I.
Demostración:
|β(s)| = C ⇒ β(s).β(s) =C 2 (producto escalar).

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Derivando 1 se tiene:
β ′ (s).β(s)+β(s).β ′ (s) =0 ⇒ β ′ (s).β(s) =0 ⇒ β ′ (s)⊥β(s)
1.2. Definiciones y justificaciones
Definiciones 1.1.
Sea α(s) curva parametrizada respecto a la longitud de arco.
El versor t(s) =α ′ (s) se llama versor tangente a la curva en α(s).
El número k(s) =|α ′′ (s)| se llama curvatura de la curva α(s).
Observar que |t(s)| = |α ′ (s)| =1,(t es un versor, vector de módulo 1).
L.Q.Q.D.
Observar que en este caso definimos la curvatura siempre positiva a diferencia de lo hecho en el caso
plano.
Para motivar la denominación de “curvatura” para |α ′′ (s)| = k(s), veremos que k(s) nos da una idea
de la rapidez con que la curva cambia su dirección.
Para eso, sean so,s∈ I y ϕ(s) el ángulo que forman t(s) yt(so).
Como |t(s)| = |t(so)| = 1, se tiene que
ϕ(s)
|t(s) − t(so)| =2sen
2
Cuando s → so, ϕ(s) → 0=ϕ(so) y|t(s) − t(so)| ≈ϕ(s) =ϕ(s) − ϕ(so). Por lo tanto,
α ′′ (so) = lim
s→so
|t(s) − t(so)|
s − so
= lim
s→so
ϕ(s) − ϕ(so)
s − so
= ϕ ′ (s)
O sea que k(so) =ϕ ′ (so) mide la rapidez con que cambia el ángulo de la tangente con respecto a una
tangente fija.
En una recta, ϕ(s) es siempre 0 y por lo tanto la curvatura es 0 para todo s. Como veremos a
continuación, la recta es la única curva que cumple esto.
1
Los productos escalares y vectoriales se derivan siguiendo la regla de derivación de productos numéricos, “la derivada
del primero por el segundo más el primero por la derivada del segundo”. En el caso del producto vectorial debe mantener
el orden del producto pues no es conmutativo.

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Teorema 1.2.
Sea α : I → IR 3 / |α ′ (s)| ≡1yk(s) =|α ′′ (so)|.
Entonces
Demostración:
k(s) ≡ 0 en todo I ⇔ α(I) está contenido en una recta
α ′′ (s) ≡ 0 en todo I ⇔ α ′ (s) =
cte = v en todo I ⇔ α(s) =sv+ u con v, u constantes
Las ecuaciones α(s) =sv+ us∈ I, definen segmentos de rectas en el espacio, por lo que el teorema
queda probado.
Ejemplo 1.1.
L.Q.Q.D.
Sea P (t) =(rcos(t), rsen(t)), parametrización de la circunferencia de centro (0, 0) y radio r. Una
parametrización respecto a la longitud de arco será
s
s
α(s) = rcos , rsen
r r
⇒ α ′′ (s) =− 1
s
s
cos , sen ⇒ k(s) =
r r r
1
r
El ejemplo concuerda con lo señalado más arriba sobre la interpretación de la curvatura: cuanto mayor
es el radio de la circunferencia, más lentamente se “dobla” y menor es la curvatura.
Este ejemplo nos lleva a la siguiente definición.
Definición 1.2.
Sea α(s), una curva parametrizada respecto a la longitud del arco, k(s) = 0. El número ρ(s) = 1
k(s) se
llama radio de curvatura de la curva en α(s).
Definición 1.3.
Sea α(s), una curva parametrizada respecto a la longitud del arco, k(s) = 0. El versor n(s) = α′′ (s)
k(s) se
llama versor normal a la curva en α(s).
Observación 1.1.
Como t(s) =α ′ (s) tiene módulo constante, del lema 1.1 obtenemos que α ′ (s) ⊥ α ′′ (s) ⇒ t(s) ⊥ n(s).

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Definiciones 1.4.
Sea α(s), una curva parametrizada respecto a la longitud del arco, k(s) = 0.
Al plano que pasa por α(s), determinado por los vectores t, n se le llama plano osculador a la curva en
α(s).
Al punto Q = α(s)+ρ(s) n(s) se le llama centro de curvatura a la curva en α(s).
A la circunferencia contenida en el plano osculador, de centro Q y radio ρ(s) se le llama circunferencia
osculatriz a la curva en α(s).
Observaciones 1.2.
La curva α(s) no está, en general, contenida en un plano. El plano osculador es, sin embargo, el
que “está más cerca” de la curva en un entorno de α(s). No daremos aquí una versión precisa
de esta afirmación.
Por otra parte, la circunferencia osculatriz es la circunferencia que mejor aproxima a la curva en
una entorno de α(s), hecho que tampoco probamos.
En adelante nos restringiremos a curvas con curvatura k(s) = 0. Tenemos definido aquí el versor n(s)
y es natural completar con un tercer versor para tener una terna ortonormal.
Definiciones 1.5.
Sea α(s), una curva parametrizada respecto a la longitud del arco, k(s) = 0.
El vector b(s) =t(s) ∧ n(s) se llama versor binormal a la curva en α(s).
La terna { t, n, b} se llama triedro de Frenet de la curva en α(s).
El plano por α(s) con vectores b, n se llama plano normal a la curva en α(s).
El plano por α(s) con vectores t, b se llama plano rectificante a la curva en α(s).
Completamos las definiciones con un último parámetro escalar, la torsión, para ello veamos antes la
siguiente propiedad.
Proposición 1.3.
Sea α(s), una curva parametrizada respecto a la longitud del arco, k(s) = 0.
Entonces, el vector b ′ (s) es colineal con n(s).

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Demostración:
Como |b(s)| = 1, constante, del 1.1 tenemos que b ′ (s)⊥b(s) (i).
Por otra parte, derivando la expresión b = t ∧ n, tenemos:
de donde b ′ ⊥t (ii).
b ′ = t ′ ∧ n + t ∧ n ′ = kn∧ n + t ∧ n ′ = t ∧ n ′
Combinando (i) y(ii), se tiene que b ′ es colineal con n, la tesis.
Definición 1.6.
Al escalar τ(s) tal que b ′ (s) =−τ(s) n(s) le llamaremos torsión de la curva en α(s) 2 .
L.Q.Q.D.
Observar que la variación de b con s corresponde a la variación del plano osculador (perpendicular a b),
por lo tanto τ(s) mide con que rapidez la curva “se sale” de un plano. Para reforzar esta interpretación,
tenemos el siguiente teorema.
Teorema 1.4.
Sea α(s), una curva parametrizada respecto a la longitud del arco, k(s) = 0.
Entonces,
Demostración (⇒):
τ(s) ≡ 0 en todo I ⇔ α(I) está contenido en un plano
τ(s) ≡ 0 en todo I ⇒ b ′ (s) ≡ 0 en todo I ⇒ b(s) =bo (constante) en todo I
Así (α(s).bo) ′ = α ′ (s).bo = t.bo =0.
Entonces α(s).bo = C (constante) y por lo tanto
(α(s) − α(so)) .bo =0 ∀ s ∈ I
probándose que α(s) pertenece al plano perpendicular a bo por α(so) para todo s ∈ I.
2 Algunos autores definen τ con el signo opuesto.

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Demostración (⇐):
Si α(s) pertenece a un plano π para todo s y u un versor perpendicular a π, entonces α(s) − α(so)⊥u
para todo s osea(α(s) − α(so)) .u =0 ∀ s ∈ I.
Derivando, tenemos t(s).u =0.
Derivando nuevamente queda k(s) n(s).u =0 ∀ s ∈ I.
Si juntamos las últimas dos conclusiones se tiene t(s) ⊥ u y n(s) ⊥ u ∀ s ∈ I, por lo tanto b(s) es
colineal con u ∀ s ∈ I y b(s) =±u ∀ s ∈ I.
Como b(s) es continua, b(s) es constante y por lo tanto b ′ (s) ≡ 0, lo que significa que τ(s) ≡ 0, lo que
se quería probar.
Observación 1.3.
L.Q.Q.D.
La torsión, a diferencia de la curvatura, es una magnitud con signo. Existe una interpretación de ese
signo en términos de la orientación en el espacio que define la curva, tema en el que no entramos.
Observación 1.4.
El triedro de Frenet {t, n, b}, la curvatura y la torsión no dependen del sistemas de coordenadas, su
definición se hizo independiente de cualquier referencial, tampoco lo hacen del origen que se tomen
para las longitudes de arco ni de la parametrización, dicho con otras palabras son intrínsecos a la curva.
1.3. Fórmulas de Frenet
Las siguientes fórmulas nos dan las derivadas de los versores del triedro de Frenet:
⎧
⎪⎨ t
⎪⎩
′ = kn
n ′ = −kt+ τb
b ′ = −τ n
o también (notación):
Demostración:
La primera es la definición de n (t ′ = α ′′ ).
⎛
t
⎜
⎝
′
n ′
b ′
⎞ ⎛
0
⎟ ⎜
⎠ = ⎝ −k
k
0
⎞ ⎛ ⎞
0 t
⎟ ⎜ ⎟
τ ⎠ ⎝ n ⎠
0 −τ 0 b

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La última es la definición de τ.
La segunda se obtiene derivando la expresión n = b ∧ t :
n ′ = b ′ ∧ t + b ∧ t ′ = −τ (n ∧ t)+k (b ∧ n) =τb− kt
1.4. Fórmulas explícitas para determinar el triedro de Frenet, curvatura y torsión 3
Caso en que la curva está parametrizada respecto de la longitud de arco
t(s) =α ′ (s) , n(s) = α′′ (s)
|α ′′ (s)|
Caso general, parametrización cualquiera
, b(s) =t(s) ∧ n(s) = α′ (s) ∧ α ′′ (s)
|α ′ (s) ∧ α ′′ (s)|
k(s) =|α ′′ (s)| , τ(s) = (α′ (s),α ′′ (s),α ′′′ (s))
k(s) 2
Para una curva P (t), cualquiera, un camino para hallar t, b, n, k y τ, sería reparametrizar respecto a la
longitud del arco y luego aplicar las fórmulas anteriores. Es más cómodo, sin embargo, tener fórmulas
explícitas, que presentamos a continuación.
Ejemplo 1.2.
t = ˙ P
| ˙ P |
, b = ˙
P ∧ ¨ P
| ˙
P ∧ ¨ P |
k =
| P˙ ∧ ¨ P |
| ˙ P | 3
, n = b ∧ t =
, τ =
P˙ ∧ P¨
∧ ˙ P
|( ˙ P ∧ ¨ P ) ∧ ˙ P |
( P, ˙ ¨ P, ...
P )
| ˙ P ∧ ¨ P | 2
Consideremos la parametrización de la hélice
s
s
α(s) = a cos , a sen ,b
c c
s
con c =
c
a2 + b2 , a > 0yb>0
Verifique que se trata de una parametrización respecto de la longitud de arco.
Calculemos los elementos de l triedro de Frenet, la curvatura y la torsión.
t(s) =α ′
(s) = − a
c sen
s
,
c
a
c cos
s
,
c
b
c
α ′′ (s) =− a
c2
s
s
cos , sen , 0 ⇒ k(s) =
c c
a
=
c2
s
s
n(s) =− cos , sen , 0
c c
3 ( u,v,w)=(u ∧ v).w es el producto mixto.
a
a 2 + b 2

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Observar que el versor normal es horizontal.
i
b(s) =t(s) ∧ n(s) = −
j k
a
c sen
s
c
a − c cos −cos
s
c
b
c
s
c
s −sen c 0
b ′ (s) =
b
cos
c2
s
c
, b
sen
c2
s
, 0
c
Verificar este resultado con la fórmula explícita.
= − b
c
=
b
c sen
s
, −
c
b
c cos
b
n(s) ⇒ τ(s) = =
2 c2
s
,
c
a
c
b
a 2 + b 2
Observar que en el caso de la hélice, la curvatura y la torsión son constantes (iguales en todos los
puntos).
Ejemplo 1.3.
Curvatura de una curva plana dada por una función y = f(x) x ∈ I.
Parametrizamos la curva de la siguiente forma P (x) =(x, f(x)) x ∈ I.
Las derivadas de la curva serán
Por lo tanto | ˙
P ∧ ¨ P | = |f ′′ (x)| y
P ′ (x) =(1,f ′ (x)) , P ′′ =(0,f ′′ (x))
|f
k(x) =
′′ (x)|
1+(f ′ (x)) 2
1.5. Teorema fundamental de la teoría local de curvas
Teorema 1.5 (Teorema fundamental de la teoría local de curvas).
Dadas funciones k(s) > 0yτ(s) con s ∈ I, con condiciones de regularidad que no explicitaremos aquí,
existe una curva regular α : I → IR 3 tal que s es la longitud de arco, k(s) es su curvatura y τ(s) su
torsión. Además, α es única a menos de un movimiento rígido.
Demostración: Se omite.
Corolario 1.6.
Las circunferencias (o parte de ellas) son las únicas curvas que poseen curvatura constante y
torsión idénticamente nula.
Si una curva posee curvatura y torsión constantes, entonces la curva está incluida en una hélice.
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