Geometr´ıa y ´Algebra Lineal 1 2007 - Curso anual Trabajo ... - IMERL

Instituto de Matemática y Estadística Facultad de Ingeniería
“Prof. Ing. Rafael Laguardia” Universidad de la República
Geometría y Álgebra Lineal 1 2007 - Curso anual
Trabajo grupal 1
Opción A - Reacciones en un reticulado hiperesttico
Abril de 2007
En este trabajo consideraremos la estructura reticulada, plana, que se representa en la figura 1.
La estructura está anclada en dos apoyos fijos ubicados en los nodos 1 y 5, que son capaces de ejercer
reacciones horizontales y verticales para mantenerla fija. Nuestro objetivo será determinar los valores
2
4
✉ ✉ ✲
❅ 4
❅ g
❅❅❅❅❅❅❅ ❅❅❅❅❅❅❅❅
1
3
❅
1 ✉
❅
2 ❅
❅❅ ✉
❄
3
f
6 ❅
❅❅ ✉ 5
❅
5
7
Figure 1: Una estructura de barras firmemente anclada
de las tensiones Ti, i = 1, . . . , 7 en las barras, y de las reacciones en los anclajes, cuando la estructura
debe equilibrar cargas f y g en los nodos 3 y 4 como se muestra en la figura.
1. Ecuaciones de equilibrio. Plantear las ecuaciones de equilibrio en los nodos, que vinculan a
los valores de las tensiones en las barras y de las reacciones en los anclajes.
2. Un sistema hiperestático. Se llama isostática a una estructura cuando los esfuerzos en cada
parte de ella pueden calcularse a partir de las ecuaciones de equilibrio, e hiperestática cuando las
ecuaciones de equilibrio no determinan completamente a la solución. Mostrar que la estructura que
se muestra en la figura 1 es hiperestática 1 .
3. Energía de deformación. En esta parte vamos a incorporar al modelo que estamos empleando
para estudiar el equilibrio de una estructura de barras el concepto de energía de deformación 2 . Supondremos
que cada barra tiene asociada una constante positiva ki, i = 1, . . . , 7, tal que al ser sometida
a una tensión Ti sufre una variación ∆li en su longitud, que satisface
Ti = ki∆li.
En estas condiciones, la energía de deformación almacenada en la barra i es
y la energía total en el sistema de barras es
Ei = ki
2 (∆li) 2 =
E =
7
Ei.
i=1
1 En la parte 1 del ejercicio 1.8 (Capítulo 1 de ejercicios del curso), consideramos la misma estructura de barras, pero
anclada de modo tal que no podía haber reacciones horizontales en el nodo 5. En ese caso el problema era isostático.
2 Es un concepto similar al de energía de deformación almacenada en un resorte
1
T 2
i ,
2ki

Incorporaremos a nuestro modelo el siguiente principio de mínima energía: entre todos las posibles
determinaciones de las tensiones Ti en las barras, el sistema adopta aquella que hace
mínimo el valor de la energía de deformación E.
Supongamos que el valor de la constante ki es un valor conocido k para todas las barras, salvo la 3
y las 7 para las que k3 = k7 = k/ √ 2. Aplicar el principio de mínima energía para calcular los valores
de las tensiones y reacciones en el sistema de la figura 1.
Observación En el nuevo modelo las barras ya no son rígidas. De todos modos, despreciaremos
las variaciones en la geometría del reticulado que se producen por los cambios de longitud en las barras
para escribir las ecuaciones que relacionan las tensiones en las distintas barras.
2