4. Cambio de variables en integrales dobles y triples. - IMERL
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52 Integrales paramétricas e <strong>integrales</strong> <strong>dobles</strong> y <strong>triples</strong>. Eleonora Catsigeras. 19 Julio 2006.<br />
<strong>4.</strong> <strong>Cambio</strong> <strong>de</strong> <strong>variables</strong> <strong>en</strong> <strong>integrales</strong> <strong>dobles</strong> y <strong>triples</strong>.<br />
<strong>4.</strong>1. Teorema <strong>de</strong> cambio <strong>de</strong> <strong>variables</strong>.<br />
<strong>4.</strong>1.1. <strong>Cambio</strong>s <strong>de</strong> <strong>variables</strong> <strong>en</strong> dominios <strong>de</strong> R 2 .<br />
En lo que sigue el conjunto E, cont<strong>en</strong>ido <strong>en</strong> el plano <strong>de</strong> <strong>variables</strong> (u, v), es un dominio <strong>de</strong>scomponible<br />
<strong>en</strong> dominios simples respecto <strong>de</strong> u o respecto <strong>de</strong> v.<br />
Se dice que una función α : E ↦→ R es <strong>de</strong> clase C 1 si es continua <strong>en</strong> E, difer<strong>en</strong>ciable, con<br />
<strong>de</strong>rivadas parciales continuas para todo (u, v) <strong>en</strong> el interior <strong>de</strong> E, y tal que las <strong>de</strong>rivadas parciales<br />
se exti<strong>en</strong><strong>de</strong>n <strong>en</strong> forma continua al bor<strong>de</strong> <strong>de</strong> E.<br />
Sea Φ(u, v) = (α(u, v), β(u, v)), tal que Φ : E ↦→ R 2 . Se dice que <strong>de</strong> clase C 1 si α y β lo son.<br />
Se dice que Φ : E ↦→ D es un cambio <strong>de</strong> <strong>variables</strong> <strong>de</strong> clase C 1 si, a<strong>de</strong>más <strong>de</strong> todo lo anterior,<br />
se cumple:<br />
D = Φ(E) y<br />
Φ es inyectiva (y por lo tanto invertible) <strong>de</strong>l interior <strong>de</strong> E al interior <strong>de</strong> D. 12<br />
Teorema <strong>4.</strong>1.2. <strong>Cambio</strong> <strong>de</strong> <strong>variables</strong> <strong>en</strong> <strong>integrales</strong> <strong>dobles</strong>.<br />
Sea (x, y) = Φ(u, v) = (α(u, v), β(u, v)) un cambio <strong>de</strong> <strong>variables</strong> <strong>de</strong> clase C 1 que transforma<br />
(u, v) ∈ E <strong>en</strong> (x, y) ∈ D = Φ(E).<br />
Si el Jacobiano 13<br />
J(u, v) = 0<br />
<strong>en</strong> el interior <strong>de</strong> E, <strong>en</strong>tonces, para toda función continua f <strong>en</strong> D, se cumple:<br />
<br />
<br />
f(x, y)dx dy = f(α(u, v), β(u, v)) · |J(u, v)| dudv<br />
D<br />
E=Φ −1 (D)<br />
Demostración: En la sigui<strong>en</strong>te prueba hay varios <strong>de</strong>talles técnicos, que especificamos como<br />
llamadas al pie, cuya <strong>de</strong>mostración rigurosa es <strong>en</strong>gorrosa y omitimos.<br />
Se presupone <strong>en</strong> el <strong>en</strong>unciado que E y D son <strong>de</strong>scomponibles <strong>en</strong> simples; <strong>de</strong> lo contrario (hasta<br />
ahora) no t<strong>en</strong>dríamos <strong>de</strong>finida las <strong>integrales</strong> <strong>dobles</strong> iteradas <strong>en</strong> E o <strong>en</strong> D. No es restrictivo suponer<br />
que E es simple, ya que la integral <strong>en</strong> los dominios <strong>de</strong>scomponibles <strong>en</strong> simples, por la <strong>de</strong>finición<br />
2.3.2, es la suma <strong>de</strong> las <strong>integrales</strong> <strong>en</strong> los dominios simples que lo compon<strong>en</strong>; si probamos la igualdad<br />
<strong>de</strong> la tesis para todo conjunto simple E, sumando esas igualda<strong>de</strong>s, se cumple para todo conjunto<br />
<strong>de</strong>scomponible <strong>en</strong> simples. Consi<strong>de</strong>remos E ⊂ [a, b]×[c, d] <strong>en</strong> el plano (u, v), suponi<strong>en</strong>do para fijar<br />
i<strong>de</strong>as que E es simple respecto <strong>de</strong> u; si fuera simple respecto <strong>de</strong> v los argum<strong>en</strong>tos son los mismos<br />
intercambiando los roles <strong>de</strong> las <strong>variables</strong> u y v <strong>en</strong>tre sí.<br />
Sea<br />
<br />
I = f(α(u, v), β(u, v)) · |J(u, v)| dudv (1)<br />
E=Φ −1 (D)<br />
12<br />
Se pue<strong>de</strong> probar que, con dominio <strong>en</strong> el interior <strong>de</strong> D e imag<strong>en</strong> <strong>en</strong> el interior <strong>de</strong> E, existe y es continua la función<br />
inversa (u, v) = (Φ) −1 (x, y) = (u(x, y), v(x, y)).<br />
13<br />
Se <strong>de</strong>fine el Jacobiano J(u, v) <strong>de</strong> la función (x, y) = (α(u, v), β(u, v)) como el <strong>de</strong>terminante <strong>de</strong> la matriz cuadrada<br />
2 × 2 que ti<strong>en</strong>e como primera fila (αu, αv) y como segunda fila (βu, βv), don<strong>de</strong> αu, αv indica las <strong>de</strong>rivadas parciales<br />
<strong>de</strong> α respecto <strong>de</strong> u y <strong>de</strong> v (y análogam<strong>en</strong>te βu y βv). Es <strong>de</strong>cir :<br />
J(u, v) = αu · βv − αv · βu
Integrales paramétricas e <strong>integrales</strong> <strong>dobles</strong> y <strong>triples</strong>. Eleonora Catsigeras. 19 Julio 2006. 53<br />
Aplicaremos la proposición 2.1.7 que iguala la integral doble iterada I a un límite iterado <strong>de</strong><br />
sumas <strong>de</strong> Riemann. Se cumple:<br />
I = lím<br />
∆u→0 lím<br />
∆v→0<br />
n<br />
i=1 j=1<br />
m<br />
f(α(ui, vj), β(ui, vj)) · |J(ui, vj)| ∆u∆v (2)<br />
don<strong>de</strong> para cada pareja <strong>de</strong> naturales n y m mayores que uno, se eligió la partición <strong>de</strong>l intervalo<br />
[a, b] <strong>en</strong> n subintervalos iguales <strong>de</strong> longitud ∆u = (b − a)/n y la partición <strong>de</strong>l intervalo [c, d] <strong>en</strong> m<br />
subintervalos iguales , ∆v = (d − c)/m; con respectivos puntos intermedios :<br />
a = u0 < u1 < . . . < ui−1 < ui < . . . < un = b tales que ui+1−ui = ∆u <strong>en</strong> el intervalo [a, b] (3)<br />
c = v0 < v1 < . . . < vj−1 < vj < . . . < vm = d tales que vj+1−vj = ∆v <strong>en</strong> el intervalo [c, d] (4)<br />
A<strong>de</strong>más por conv<strong>en</strong>ción <strong>en</strong> la igualdad (2), es f(x, y) = 0 si (x, y) ∈ D = Φ(E); es <strong>de</strong>cir, el<br />
sumando <strong>de</strong> la suma <strong>de</strong> Riemann a la <strong>de</strong>recha <strong>de</strong> la igualdad (2) es nulo si (ui, vj) ∈ E.<br />
Llamaremos Ri,j al rectangulito <strong>en</strong> el plano u, v <strong>de</strong>terminado por las particiones anteriores <strong>de</strong><br />
los intervalos [a, b] y [c, d]; es <strong>de</strong>cir: Ri,j = [ui, ui+1] × [vj, vj+1].<br />
Aplicando el cambio <strong>de</strong> <strong>variables</strong> 14 Φ : (u, v) ↦→ (x, y), se obti<strong>en</strong>e Φ(Ri,j) que es un “cuadrilátero<br />
curvo”<strong>en</strong> el plano (x, y), con lados que no son necesariam<strong>en</strong>te segm<strong>en</strong>tos <strong>de</strong> recta 15 , sino que son<br />
las curvas imag<strong>en</strong> por Φ <strong>de</strong> los lados <strong>de</strong>l rectángulo Ri,j; y con vértices que son la imag<strong>en</strong> por Φ<br />
<strong>de</strong> los cuatro vértices <strong>de</strong> Ri,j:<br />
A = Φ(ui, vi), B = Φ(ui+1, vj), C = Φ(ui, vj+1), y Φ(ui+1, vj+1)) (5)<br />
Aproximaremos16 el cuadrilátero curvo Φ(Ri,j) por el paralelogramo Pi,j <strong>de</strong> vértices A, B, C y<br />
D; don<strong>de</strong> A, B y C son los tres primeros vértices <strong>de</strong> Φ(Ri,j) dados <strong>en</strong> (5). Esta aproximación la<br />
<strong>de</strong>notamos con<br />
(6)<br />
área Φ(Ri,j) área Pi,j<br />
Por otra parte, observemos que el área <strong>de</strong> un paralelogramo Pi,j con vértices A, B, C y D es<br />
igual a<br />
área Pi,j = ||B − A|| · ||C − A|| · s<strong>en</strong> θ (7)<br />
don<strong>de</strong> θ es el ángulo que forman los vectores B − A y C − A <strong>en</strong>tre sí.<br />
14 1<br />
Hay previam<strong>en</strong>te que ext<strong>en</strong><strong>de</strong>r <strong>en</strong> forma C la función Φ al rectángulo [a, b] ×[c, d] que conti<strong>en</strong>e a E <strong>en</strong> el plano<br />
u, v.<br />
15<br />
De la hipótesis J(u, v) = 0 se pue<strong>de</strong> probar que para ∆u y ∆v sufici<strong>en</strong>tem<strong>en</strong>te pequeños, el cuadrilátero curvo<br />
Φ(Ri,j) es <strong>de</strong>scomponible <strong>en</strong> simples, y por lo tanto ti<strong>en</strong>e <strong>de</strong>finida un área y por lo tanto D (que es unión <strong>de</strong> los<br />
dominios Φ(Ri,j)) también es <strong>de</strong>scomponible <strong>en</strong> simples. Las <strong>integrales</strong> <strong>dobles</strong> <strong>en</strong> D <strong>en</strong>tonces son iguales a la suma<br />
<strong>de</strong> las <strong>integrales</strong> <strong>dobles</strong> <strong>en</strong> Φ(Ri,j).<br />
16<br />
La aproximación <strong>de</strong> Φ(Ri,j) con Pi,j significa que<br />
área Φ(Ri,j) − área Pi,j<br />
área Ri,j<br />
= área Φ(Ri,j) − área Pi,j<br />
→ 0<br />
∆u∆v (∆u,∆v)→0<br />
Omitimos la prueba <strong>de</strong> esta última afirmación. Observamos que ella implica que, si sustituimos el área <strong>de</strong> Φ(Ri,j)<br />
por el área <strong>de</strong> Pi,j <strong>en</strong> una suma <strong>de</strong> Riemann, al tomar <strong>de</strong>spués los límites cuando ∆u y ∆v ti<strong>en</strong><strong>de</strong>n a cero, el error<br />
cometido ti<strong>en</strong><strong>de</strong> a cero.
54 Integrales paramétricas e <strong>integrales</strong> <strong>dobles</strong> y <strong>triples</strong>. Eleonora Catsigeras. 19 Julio 2006.<br />
Pero por otro lado, apliquemos la <strong>de</strong>finición y propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong>l producto vectorial vistas <strong>en</strong> el<br />
curso <strong>de</strong> Álgebra Lineal. Si b ∧c es el producto vectorial <strong>de</strong> dos vectores b y c <strong>en</strong> R 2 , que forman<br />
ángulo θ <strong>en</strong>tre sí, <strong>en</strong>tonces se cumple:<br />
Luego:<br />
|| b ∧ c|| = || b|| · ||c|| · θ<br />
b = (xb, yb), c = (xc, yc) ⇒ b ∧ c = (0, 0, xbyc − ybxc) ⇒ || b ∧ c|| = |xbyc − ybxc|<br />
|| b|| · ||c|| · θ = |xbyc − ybxc| (8)<br />
Sustituimos b = B − A y c = C − A <strong>en</strong> la igualdad (8), usamos las igualda<strong>de</strong>s (7) y (5), y a<strong>de</strong>más<br />
Φ(u, v) = (x, y) = (α(u, v), β(u, v)). Resulta:<br />
don<strong>de</strong><br />
área Pi,j = |xbyc − ybxc| (9a)<br />
xb = xB−A = α(ui+1, vj) − α(ui, vj), yb = yB−A = β(ui+1, vj) − β(ui, vj) (9b)<br />
xc = xC−A = α(ui, vj+1) − α(ui, vj), yc = yC−A = β(ui, vj+1) − β(ui, vj) (9c)<br />
Usando el teorema <strong>de</strong>l valor medio <strong>de</strong>l cálculo difer<strong>en</strong>cial para la función α <strong>en</strong> las igualda<strong>de</strong>s (9b)<br />
y (9c), se <strong>de</strong>duce:<br />
xb = ∂α<br />
∂u (ξi, vj)(ui+1 − ui), xc = ∂α<br />
∂v (ui, ηj)(vj+1 − vj) (9d)<br />
don<strong>de</strong> ξi ∈ [ui, ui+1], ηj ∈ [vj, vj+1]. Recordando que ui+1 − ui = ∆u, vj+1 − vj = ∆v,<br />
consi<strong>de</strong>rando que ∆u, ∆v se harán t<strong>en</strong><strong>de</strong>r a cero <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> las sumas <strong>de</strong> Riemann, aproximamos<br />
las igualda<strong>de</strong>s <strong>en</strong> (9d) por las sigui<strong>en</strong>tes:<br />
xb ∂α<br />
∂u (ui, vj)(ui+1 − ui), xc ∂α<br />
∂v (ui, vj)(vj+1 − vj) (10a)<br />
Análogam<strong>en</strong>te, usando y <strong>en</strong> vez <strong>de</strong> x y usando β <strong>en</strong> vez <strong>de</strong> α se obti<strong>en</strong>e:<br />
yb ∂β<br />
∂u (ui, vj)(ui+1 − ui), yc ∂β<br />
∂v (ui, vj)(vj+1 − vj) (10b)<br />
Reemplazando las afirmaciones (10a) y (10b) <strong>en</strong> (9a) se obti<strong>en</strong>e:<br />
<br />
<br />
<br />
área Pi,j <br />
∂α ∂β ∂β ∂α<br />
· − · <br />
∂u ∂v ∂u ∂v<br />
· ∆u∆v = |J(ui, vj)| ∆u∆v (11)<br />
Reuni<strong>en</strong>do (6) y (11) se <strong>de</strong>duce:<br />
(ui,vj)<br />
área Φ(Ri,j) |J(ui, vj)| ∆u∆v (12)<br />
Sustituy<strong>en</strong>do (12) <strong>en</strong> (2), y llamando (x, y) = Φ(u, v) se obti<strong>en</strong>e:<br />
I = lím<br />
∆u→0 lím<br />
∆v→0<br />
n<br />
i=1 j=1<br />
m<br />
f(xi, yj) · área Φ(Ri,j)
Integrales paramétricas e <strong>integrales</strong> <strong>dobles</strong> y <strong>triples</strong>. Eleonora Catsigeras. 19 Julio 2006. 55<br />
Observamos que el área <strong>de</strong> Φ(Ri,j) es igual a la integral doble 17 <strong>en</strong> Φ(Ri,j) <strong>de</strong> la función 1, luego:<br />
I = lím<br />
∆u→0 lím<br />
∆v→0<br />
n<br />
i=1 j=1<br />
m<br />
<br />
Φ(Ri,j)<br />
f(xi, yj)dxdy (13)<br />
Pero por otro lado, por la continuidad uniforme <strong>de</strong> f ◦ Φ <strong>en</strong> E, dado ɛ > 0 existe δ > 0 tal que si<br />
∆u < δ y ∆v < δ, <strong>en</strong>tonces 18<br />
Sustituy<strong>en</strong>do (14) <strong>en</strong> (13) se concluye:<br />
|f(xi, yj) − f(x, y)| < ɛ ∀(x, y) ∈ Φ(Ri,j) (14)<br />
I = lím<br />
∆u→0 lím<br />
∆v→0<br />
n<br />
i=1 j=1<br />
m<br />
<br />
Φ(Ri,j)<br />
f(x, y)dxdy (15)<br />
Observando que los dominios Φ(Ri,j) ti<strong>en</strong><strong>en</strong> interiores dos a dos disjuntos, (porque lo ti<strong>en</strong><strong>en</strong> los<br />
rectángulos Ri,j y Φ es un cambio <strong>de</strong> <strong>variables</strong>), po<strong>de</strong>mos aplicar la propiedad <strong>de</strong> aditividad <strong>en</strong> el<br />
dominio <strong>de</strong> las <strong>integrales</strong> <strong>dobles</strong>:<br />
n<br />
i=1 j=1<br />
m<br />
<br />
Φ(Ri,j)<br />
<br />
f(x, y)dxdy =<br />
D<br />
f(x, y)dxdy (16)<br />
En esta última igualdad hemos usado que f(x, y) = 0 si (x, y) ∈ D.<br />
Luego, sustituy<strong>en</strong>do (16) <strong>en</strong> (15) y observando que la integral doble <strong>en</strong> D <strong>de</strong> la función f no<br />
<strong>de</strong>p<strong>en</strong><strong>de</strong> <strong>de</strong> ∆u ni ∆v, se concluye:<br />
<br />
I = f(x, y)dxdy<br />
D<br />
Esta última igualdad, recordando la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong>l número I <strong>en</strong> la igualdad (1), es la tesis que<br />
queríamos probar. <br />
<strong>4.</strong>1.3. <strong>Cambio</strong>s <strong>de</strong> <strong>variables</strong> <strong>en</strong> dominios <strong>de</strong> R 3 .<br />
En lo que sigue el conjunto E, cont<strong>en</strong>ido <strong>en</strong> R 3 <strong>de</strong> <strong>variables</strong> (u, v, w), es un dominio <strong>de</strong>scomponible<br />
(<strong>en</strong> dominios simples respecto a algún or<strong>de</strong>n <strong>de</strong> las <strong>variables</strong>).<br />
Se dice que una función φ : E ↦→ R es <strong>de</strong> clase C 1 si es continua <strong>en</strong> E, difer<strong>en</strong>ciable, con<br />
<strong>de</strong>rivadas parciales continuas para todo (u, v, w) <strong>en</strong> el interior <strong>de</strong> E, y tal que las <strong>de</strong>rivadas<br />
parciales se exti<strong>en</strong><strong>de</strong>n <strong>en</strong> forma continua al bor<strong>de</strong> <strong>de</strong> E.<br />
Sea Φ(u, v, w) = (α(u, v, w), β(u, v, w), γ(u, v, w)), tal que Φ : E ↦→ R 3 . Se dice que <strong>de</strong> clase<br />
C 1 si α, β y γ lo son.<br />
Se dice que Φ : E ↦→ D es un cambio <strong>de</strong> <strong>variables</strong> <strong>de</strong> clase C 1 si, a<strong>de</strong>más <strong>de</strong> todo lo anterior,<br />
se cumple:<br />
17 Como se dijo antes <strong>en</strong> otra llamada al pie, el dominio Φ(Ri,j) es <strong>de</strong>scomponible <strong>en</strong> simples.<br />
18 La <strong>de</strong>sigualdad (14) vale solo si Φ(Ri,j) no corta al bor<strong>de</strong> <strong>de</strong> D porque f es continua <strong>en</strong> D e idénticam<strong>en</strong>te nula<br />
fuera <strong>de</strong> D, pero quizás discontinua <strong>en</strong> el bor<strong>de</strong> <strong>de</strong> D. Habría que probar que la sumas para i, j tal que Ri,j corta<br />
al bor<strong>de</strong> <strong>de</strong> D ti<strong>en</strong><strong>de</strong>n a cero cuando ∆u y ∆v ti<strong>en</strong><strong>de</strong>n a cero.
56 Integrales paramétricas e <strong>integrales</strong> <strong>dobles</strong> y <strong>triples</strong>. Eleonora Catsigeras. 19 Julio 2006.<br />
D = Φ(E) y<br />
Φ es inyectiva (y por lo tanto invertible) <strong>de</strong>l interior <strong>de</strong> E al interior <strong>de</strong> D. 19<br />
Con argum<strong>en</strong>tos parecidos a los usados <strong>en</strong> el teorema <strong>4.</strong>1.2, se obti<strong>en</strong>e el sigui<strong>en</strong>te teorema:<br />
Teorema <strong>4.</strong>1.<strong>4.</strong> <strong>Cambio</strong> <strong>de</strong> <strong>variables</strong> <strong>en</strong> <strong>integrales</strong> <strong>triples</strong>.<br />
Sea (x, y, z) = Φ(u, v, w) = (α(u, v, w), β(u, v, w), γ(u, v, w)) un cambio <strong>de</strong> <strong>variables</strong> <strong>de</strong> clase<br />
C 1 que transforma (u, v, w) ∈ E <strong>en</strong> (x, y, z) ∈ D = Φ(E).<br />
Si el Jacobiano 20<br />
J(u, v, w) = 0<br />
<strong>en</strong> el interior <strong>de</strong> E, <strong>en</strong>tonces, para toda función continua f <strong>en</strong> D, se cumple:<br />
<br />
D<br />
<br />
f(x, y, z)dx dy dz =<br />
E=Φ −1 (D)<br />
f(α(u, v, w), β(u, v, w), γ(u, v, w)) · |J(u, v, w)| dudvdw<br />
<strong>4.</strong>2. Ejemplos <strong>de</strong> cambio <strong>de</strong> <strong>variables</strong>. Coor<strong>de</strong>nadas polares <strong>en</strong> el plano.<br />
Ver sección 71 sub 2 <strong>de</strong>l libro <strong>de</strong> Burgos, <strong>en</strong> la bibliografía al final <strong>de</strong> este texto.<br />
Consi<strong>de</strong>remos <strong>en</strong> el plano x, y, para cada punto P = (x, y) distinto <strong>de</strong>l orig<strong>en</strong> O = (0, 0), las<br />
sigui<strong>en</strong>tes coor<strong>de</strong>nadas ρ, ϕ, no cartesianas, llamadas coor<strong>de</strong>nadas polares, que están dadas por<br />
las sigui<strong>en</strong>tes <strong>de</strong>finiciones (hacer dibujo):<br />
La distancia ρ = x2 + y2 > 0 <strong>de</strong>l punto P = (x, y) al orig<strong>en</strong> 0 = (0, 0).<br />
El ángulo ϕ ∈ [0, 2π), medido <strong>en</strong> radianes, que forma la semirrecta OP con el semieje horizontal<br />
x ≥ 0 <strong>de</strong> las abscisas positivas.<br />
Se cumple:<br />
x = ρ cos ϕ, y = ρ s<strong>en</strong> ϕ (1)<br />
que son las ecuaciones <strong>de</strong>l cambio <strong>de</strong> varibles a coor<strong>de</strong>nadas polares, y val<strong>en</strong> para todos los<br />
puntos, incluso el orig<strong>en</strong>. En efecto, para obt<strong>en</strong>er (x, y) = (0, 0), usamos ρ = 0 y a ϕ le po<strong>de</strong>mos<br />
dar cualquier valor <strong>en</strong> el intervalo [0, 2π).<br />
Para obt<strong>en</strong>er las ecuaciones (1), consi<strong>de</strong>ramos el triángulo rectángulo OPP ′ , don<strong>de</strong> P ′ es<br />
la proyección ortogonal <strong>de</strong>l punto P sobre el eje <strong>de</strong> las abscisas. Cuando el ángulo ϕ es agudo<br />
(0 < ϕ < π/2), observemos que el cateto adyac<strong>en</strong>te al ángulo ϕ <strong>en</strong> el triángulo rectángulo OPP ′<br />
ti<strong>en</strong>e longitud x, y el cateto opuesto ti<strong>en</strong>e longitud y, mi<strong>en</strong>tras que la hipot<strong>en</strong>usa ti<strong>en</strong>e longitud<br />
ρ. Luego, por <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> cos<strong>en</strong>o y s<strong>en</strong>o, se ti<strong>en</strong>e cos ϕ = x/ρ, s<strong>en</strong> ϕ = y/ρ. Estas son las<br />
igualda<strong>de</strong>s (1). Para ϕ ≥ π/2 hay que discutir según el cuadrante <strong>en</strong> el que se <strong>en</strong>cu<strong>en</strong>tra el punto<br />
P, obt<strong>en</strong>iéndose que el signo <strong>de</strong> cosϕ coinci<strong>de</strong> con el signo <strong>de</strong> x; y el signo <strong>de</strong> s<strong>en</strong>ϕ con el signo<br />
<strong>de</strong> y.<br />
El Jacobiano J(ρ, ϕ) <strong>de</strong>l cambio <strong>de</strong> <strong>variables</strong> (1) es:<br />
J(ρ, ϕ) = <strong>de</strong>t<br />
xρ xϕ<br />
yρ yϕ<br />
19<br />
Se pue<strong>de</strong> probar que, con dominio <strong>en</strong> el interior <strong>de</strong> D e imag<strong>en</strong> <strong>en</strong> el interior <strong>de</strong> E, existe y es continua la función<br />
inversa Φ −1 .<br />
20<br />
Se <strong>de</strong>fine el Jacobiano J(u, v, w) <strong>de</strong> la función (x, y, z) = (α(u, v, w), β(u, v, w), γ(u, v, w) como el <strong>de</strong>terminante<br />
<strong>de</strong> la matriz cuadrada 3 ×3 que ti<strong>en</strong>e como primera fila (αu, αv, αw), como segunda fila (βu, βv, βw), y como tercera<br />
fila (γu, γv, γw), don<strong>de</strong> αu, αv, αw indica las <strong>de</strong>rivadas parciales <strong>de</strong> α respecto <strong>de</strong> u, <strong>de</strong> v y <strong>de</strong> w respectivam<strong>en</strong>te<br />
(análogam<strong>en</strong>te para las funciones β y γ).<br />
<br />
(2)
Integrales paramétricas e <strong>integrales</strong> <strong>dobles</strong> y <strong>triples</strong>. Eleonora Catsigeras. 19 Julio 2006. 57<br />
don<strong>de</strong> xρ, xϕ indican las <strong>de</strong>rivadas parciales respecto <strong>de</strong> ρ y <strong>de</strong> ϕ respectivam<strong>en</strong>te, <strong>de</strong> la función<br />
x = x(ρ, ϕ) dada <strong>en</strong> (1). Análogam<strong>en</strong>te yρ e yϕ.<br />
Desarrollando (2) se obti<strong>en</strong>e:<br />
<br />
cos ϕ −ρ s<strong>en</strong> ϕ<br />
J(ρ, ϕ) = <strong>de</strong>t<br />
= ρ(cos ϕ)<br />
s<strong>en</strong> ϕ ρ cos ϕ<br />
2 + ρ(s<strong>en</strong> ϕ) 2 = ρ ≥ 0<br />
Por lo tanto, el Jacobiano <strong>de</strong>l cambio <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas a polares, excepto para el orig<strong>en</strong> que correspon<strong>de</strong><br />
a ρ = 0, es positivo e igual a ρ para todo punto <strong>de</strong>l plano. Luego,<br />
|J(ρ, ϕ)| = ρ<br />
Ejemplo <strong>4.</strong>2.1. Área <strong>de</strong> un sector circular.<br />
Halla el área <strong>de</strong>l sector <strong>de</strong> círculo <strong>de</strong> radio r compr<strong>en</strong>dido <strong>en</strong>tre dos semirrectas que pasan por<br />
el c<strong>en</strong>tro y forman ángulo α <strong>en</strong>tre sí. En particular, cuando α = 2π, hallar el área <strong>de</strong>l círculo.<br />
Sea S el sector <strong>de</strong> círculo señalado <strong>en</strong> el <strong>en</strong>unciado. El área <strong>de</strong> S es la integral doble sigui<strong>en</strong>te:<br />
<br />
área (S) = dxdy<br />
Pasando a coor<strong>de</strong>nadas polares <strong>en</strong> el plano x = ρ cos ϕ, y = ρ s<strong>en</strong> ϕ, se observa que<br />
S<br />
(x, y) ∈ S ⇔ 0 ≤ ρ ≤ r, 0 ≤ ϕ ≤ α<br />
don<strong>de</strong> r y α están fijos, y ρ y ϕ son las <strong>variables</strong> <strong>de</strong>l sistema <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas polares. Luego:<br />
α r α r α r<br />
área (S) = dxdy = dϕ |J(ρ, ϕ)| dρ = dϕ ρ dρ =<br />
2 αr2<br />
dϕ =<br />
2 2<br />
0<br />
En particular, si α = 2π obt<strong>en</strong>emos el área <strong>de</strong>l círculo <strong>de</strong> radio r que es πr 2 .<br />
0<br />
Ejemplo <strong>4.</strong>2.2. Área <strong>de</strong> la elipse.<br />
Calcular el área <strong>en</strong>cerrada por la elipse <strong>de</strong> semiejes a, b positivos. Es <strong>de</strong>cir, la región D:<br />
El área <strong>de</strong> D es:<br />
Hacemos el cambio <strong>de</strong> <strong>variables</strong>:<br />
Se obti<strong>en</strong>e:<br />
x 2<br />
a<br />
2 + y2<br />
S<br />
≤ 1<br />
b2 <br />
área(D) =<br />
D<br />
x = au, y = bv<br />
0<br />
dxdy<br />
(x, y) ∈ D ⇔ (u, v) ∈ E : u 2 + v 2 ≤ 1<br />
Por lo tanto E es un círculo <strong>en</strong> el plano u, v, incluido su interior, <strong>de</strong> radio 1.<br />
Calculemos el Jacobiano <strong>de</strong>l cambio <strong>de</strong> <strong>variables</strong>:<br />
<br />
xu xv a 0<br />
J(u, v) = <strong>de</strong>t = <strong>de</strong>t = ab > 0<br />
0 b<br />
yu yv<br />
0<br />
0
58 Integrales paramétricas e <strong>integrales</strong> <strong>dobles</strong> y <strong>triples</strong>. Eleonora Catsigeras. 19 Julio 2006.<br />
El Jacobiano, <strong>en</strong> este caso, es constante. Por el teorema <strong>de</strong> cambio <strong>de</strong> <strong>variables</strong>, se ti<strong>en</strong>e:<br />
<br />
<br />
área(D) = dxdy = |J(u, v)|dudv = (ab) dudv<br />
D<br />
E<br />
Observamos que la última integral a la <strong>de</strong>recha <strong>de</strong> la igualdad anterior es el área <strong>de</strong> E <strong>en</strong> el plano<br />
u, v; es <strong>de</strong>cir el área <strong>de</strong>l círculo <strong>de</strong> radio 1, que es π, según lo visto <strong>en</strong> el ejercicio anterior. Por lo<br />
tanto se <strong>de</strong>duce:<br />
<br />
área(D) = (ab) dudv = π · ab<br />
En el caso particular que a = b = r > 0 el elipsoi<strong>de</strong> es un círculo <strong>de</strong> radio r, cuya área es πr 2 .<br />
Ejemplo <strong>4.</strong>2.3. Volum<strong>en</strong> <strong>de</strong> la esfera.<br />
Calcular el volum<strong>en</strong> <strong>de</strong> la esfera sólida<br />
E<br />
E : x 2 + y 2 + z 2 ≤ r 2<br />
<strong>de</strong> c<strong>en</strong>tro <strong>en</strong> el orig<strong>en</strong> (0, 0, 0) y radio r > 0.<br />
En el ejemplo <strong>4.</strong><strong>4.</strong>1, se calculará el volum<strong>en</strong> <strong>de</strong> la esfera sólida E <strong>de</strong> radio r, como integral<br />
triple <strong>de</strong> la función constante igual a 1 <strong>en</strong> Er.<br />
En este ejercicio calcularemos el volum<strong>en</strong> <strong>de</strong> E como integral doble <strong>de</strong> una cierta función<br />
f(x, y) ≥ 0 <strong>en</strong> un dominio plano D. Esta integral doble es, según lo <strong>de</strong>finido <strong>en</strong> 2.<strong>4.</strong>4, el volum<strong>en</strong><br />
<strong>de</strong>l sólido Vf compr<strong>en</strong>dido abajo <strong>de</strong> la superficie gráfica <strong>de</strong> la función z = f(x, y), don<strong>de</strong> (x, y) ∈ D,<br />
y arriba <strong>de</strong>l plano z = 0. Es <strong>de</strong>cir:<br />
Vf = {(x, y, z) ∈ R 3 : (x, y) ∈ D, 0 ≤ z ≤ f(x, y)}<br />
<br />
Vol.(Vf) = f(x, y) dxdy<br />
Calcularemos el volum<strong>en</strong> <strong>de</strong> la mitad E + <strong>de</strong> arriba (que correspon<strong>de</strong> a z ≥ 0) <strong>de</strong> la esfera E,<br />
y luego multiplicaremos por 2.<br />
La semiesfera E + es el sólido compr<strong>en</strong>dido <strong>en</strong>tre el plano z = 0 y la gráfica <strong>de</strong> la función<br />
z = r2 − x2 − y2 para (x, y) ∈ D, si<strong>en</strong>do D el círculo <strong>en</strong> el plano x, y <strong>de</strong> c<strong>en</strong>tro <strong>en</strong> el orig<strong>en</strong> y<br />
radio r > 0, que correspon<strong>de</strong> a la proyección <strong>de</strong> la semiesfera sobre el plano z = 0. Se obti<strong>en</strong>e:<br />
Vol. (E) = 2Vol. (E + <br />
<br />
) = 2 r2 − x2 − y2 dxdy<br />
Haci<strong>en</strong>do el cambio a coor<strong>de</strong>nadas polares, según las ecuaciones (1) observamos (gráficam<strong>en</strong>te)<br />
que para recorrer todo el dominio circular D (es un círculo, incluido su interior, <strong>de</strong>l plano x, y<br />
c<strong>en</strong>trado <strong>en</strong> el orig<strong>en</strong> y <strong>de</strong> radio r), <strong>de</strong>bemos hacer variar las coor<strong>de</strong>nadas polares ρ, ϕ <strong>en</strong> el<br />
dominio:<br />
(x, y) ∈ E ⇔ 0 ≤ ρ ≤ r, 0 ≤ ϕ ≤ 2π<br />
Por lo tanto usando el teorema <strong>de</strong> cambio <strong>de</strong> <strong>variables</strong> (don<strong>de</strong> <strong>en</strong> vez <strong>de</strong> u, v usamos las coor<strong>de</strong>nadas<br />
polares ρ, ϕ), se <strong>de</strong>duce:<br />
<br />
Vol. (E) = 2<br />
<br />
2π r <br />
r2 − (ρ cos ϕ) 2 − (ρ s<strong>en</strong> ϕ) 2 ·|J(ρ, ϕ)| dρdϕ = 2 dϕ r2 − ρ2 ·ρ dρ (3)<br />
E<br />
0 0<br />
D<br />
D<br />
E
Integrales paramétricas e <strong>integrales</strong> <strong>dobles</strong> y <strong>triples</strong>. Eleonora Catsigeras. 19 Julio 2006. 59<br />
Por un lado la integral <strong>de</strong> la extrema <strong>de</strong>recha se pue<strong>de</strong> resolver con el cambio s = r 2 − ρ 2 , ds =<br />
−2ρdρ, s = r 2 si ρ = 0, y s = 0 si ρ = r. Resulta:<br />
r<br />
Sustituy<strong>en</strong>do <strong>en</strong> (3) resulta:<br />
0<br />
r 2 − ρ 2 · ρ dρ = − 1<br />
2<br />
0<br />
r 2<br />
√ 1<br />
s ds = −<br />
3 (√s) 3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2π r <br />
2π r<br />
Vol. (E) = 2 dϕ r2 − ρ2 · ρ dρ = 2<br />
0 0<br />
0<br />
3<br />
3<br />
s=0<br />
s=r 2<br />
dϕ = 2 · r3<br />
3<br />
= r3<br />
3 .<br />
· 2π = 4<br />
3 πr3<br />
Ejemplo <strong>4.</strong>2.<strong>4.</strong> Volum<strong>en</strong> <strong>de</strong>l elipsoi<strong>de</strong>.<br />
Calcular el volum<strong>en</strong> <strong>de</strong>l elipsoi<strong>de</strong> sólido <strong>de</strong> semiejes a, b, c positivos, que ti<strong>en</strong>e por ecuación:<br />
El volum<strong>en</strong> <strong>de</strong> E es<br />
Haci<strong>en</strong>do el cambio <strong>de</strong> <strong>variables</strong>:<br />
se obti<strong>en</strong>e:<br />
E : x2<br />
a<br />
b<br />
y2 z2<br />
+ + 2 2<br />
<br />
Vol.(E) =<br />
E<br />
≤ 1<br />
c2 dxdydz<br />
x = au, y = bv, z = cw<br />
(x, y, z) ∈ E ⇔ u 2 + v 2 + w 2 ≤ 1<br />
Por lo tanto (u, v, w) varían <strong>en</strong> la esfera ˜ E <strong>de</strong> c<strong>en</strong>tro <strong>en</strong> el orig<strong>en</strong> <strong>de</strong>l sistema <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas <strong>en</strong><br />
el espacio (u, v, w) y radio 1.<br />
El Jacobiano <strong>de</strong>l cambio <strong>de</strong> <strong>variables</strong> es<br />
⎛<br />
J(u, v, w) = <strong>de</strong>t ⎝<br />
xu xv xw<br />
yu yv yw<br />
zu zv zw<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠ = <strong>de</strong>t ⎝<br />
a 0 0<br />
0 b 0<br />
0 0 c<br />
Usando el teorema <strong>de</strong> cambio <strong>de</strong> <strong>variables</strong>:<br />
<br />
<br />
Vol.(E) = dxdydz = |J(u, v, w)| dudvdw = abc<br />
E<br />
˜E<br />
⎞<br />
⎠ = abc > 0<br />
˜E<br />
|J(u, v, w)| dudvdw (5)<br />
Observamos que la integral <strong>de</strong> la <strong>de</strong>recha <strong>en</strong> (5) es el volum<strong>en</strong> <strong>de</strong>l sólido ˜ E <strong>en</strong> el espacio <strong>de</strong><br />
coor<strong>de</strong>nadas u, v, w. Pero este sólido ˜ E, vimos que es una esfera <strong>de</strong> radio 1. Entonces, por lo<br />
calculado <strong>en</strong> el ejemplo anterior, el volum<strong>en</strong> <strong>de</strong> ˜ E es 4/3π.<br />
Se concluye:<br />
Vol.(E) = 4<br />
· π · abc <br />
3
60 Integrales paramétricas e <strong>integrales</strong> <strong>dobles</strong> y <strong>triples</strong>. Eleonora Catsigeras. 19 Julio 2006.<br />
<strong>4.</strong>3. Coor<strong>de</strong>nadas cilíndricas <strong>en</strong> el espacio.<br />
Ver sección 71 sub 3 <strong>de</strong>l libro <strong>de</strong> Burgos, <strong>en</strong> la bibliografía al final <strong>de</strong> este texto.<br />
En lo que sigue, hacer un dibujo.<br />
Consi<strong>de</strong>remos <strong>en</strong> el espacio tridim<strong>en</strong>sional R 3 un punto P = (x, y, z), y su proyección ortogonal<br />
P ′ sobre el plano x, y, es <strong>de</strong>cir sobre el plano z = 0. La altura zP ′ <strong>de</strong>l punto P ′ es cero, pero sus<br />
abscisa y or<strong>de</strong>nada son las mismas que la <strong>de</strong>l punto P. Es <strong>de</strong>cir: P ′ = (x, y,0).<br />
Excepto cuando el punto P = (x, y, z) se <strong>en</strong>cu<strong>en</strong>tra <strong>en</strong> el eje <strong>de</strong> las z (es <strong>de</strong>cir, excepto cuando<br />
(x, y) = (0, 0)), el punto P ′ = (x, y,0) es difer<strong>en</strong>te <strong>de</strong>l orig<strong>en</strong>. Llamemos ϕ al ángulo, medido<br />
<strong>en</strong> radiantes <strong>en</strong>tre 0 y 2π que forma la semirrecta OP ′ con el semieje <strong>de</strong> las x positivo. Es <strong>de</strong>cir,<br />
escribimos el punto P ′ = (x, y,0) <strong>en</strong> coor<strong>de</strong>nadas polares <strong>en</strong> el plano x, y. (Ver coor<strong>de</strong>nadas polares<br />
<strong>en</strong> el plano, <strong>en</strong> la sección anterior.)<br />
Se ti<strong>en</strong>e, para el punto P ′ = (x, y,0): x = ρ cos ϕ, y = ρ s<strong>en</strong> ϕ. Luego, para el punto P =<br />
(x, y, z) se obti<strong>en</strong>e:<br />
x = ρ cos ϕ, y = ρ s<strong>en</strong> ϕ, z = z (1)<br />
don<strong>de</strong> las nuevas <strong>variables</strong> son (ρ, ϕ, z) con 0 ≤ ρ, 0 ≤ ϕ ≤ 2π. La última <strong>de</strong> las nuevas <strong>variables</strong><br />
(ρ, ϕ, z) es z, y coinci<strong>de</strong> con la última <strong>de</strong> las viejas <strong>variables</strong> (x, y, z). Observamos que las ecuaciones<br />
(1), val<strong>en</strong> también cuando (x, y) = (0, 0) tomando ρ = 0 y ϕ cualquiera <strong>en</strong>tre 0 y 2π.<br />
Geométricam<strong>en</strong>te <strong>en</strong> el espacio, el lugar <strong>de</strong> puntos P = (x, y, z) que se obti<strong>en</strong>e cuando ρ = r es<br />
una constante positiva, es el lugar <strong>de</strong> puntos tales que sus proyecciones P ′ <strong>en</strong> el plano z = 0 distan<br />
la constante r <strong>de</strong>l orig<strong>en</strong>. Esto es: P ′ se mueve, al variar ϕ, <strong>en</strong> una circunfer<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> radio r con<br />
c<strong>en</strong>tro <strong>de</strong>l orig<strong>en</strong>, <strong>de</strong>l plano z = 0. Por lo tanto, el punto P = (x, y, z) se proyecta sobre P ′ (x, y,0),<br />
ti<strong>en</strong>e altura z real y se <strong>en</strong>cu<strong>en</strong>tra, cuando ρ = r > 0 es constante, sobre una superficie cilíndrica<br />
<strong>de</strong> base circular con radio r, superficie cilíndrica esta que es g<strong>en</strong>erada por rectas verticales.<br />
Por lo anterior, las coor<strong>de</strong>nadas (ρ, ϕ, z), dadas por el cambio <strong>de</strong> <strong>variables</strong> (1), se llaman<br />
coor<strong>de</strong>nadas cilíndricas.<br />
Calculemos el Jacobiano J(ρ, ϕ, z) <strong>de</strong>l cambio <strong>de</strong> <strong>variables</strong> (1) a coor<strong>de</strong>nadas cilíndricas <strong>en</strong> el<br />
espacio:<br />
⎛<br />
J(ρ, ϕ, z) = <strong>de</strong>t ⎝<br />
xρ xϕ xz<br />
yρ yϕ yz<br />
zρ zϕ zz<br />
⎞<br />
⎛<br />
⎠ = <strong>de</strong>t ⎝<br />
cos ϕ −ρ s<strong>en</strong> ϕ 0<br />
s<strong>en</strong> ϕ ρ cos ϕ 0<br />
0 0 1<br />
Ejemplo <strong>4.</strong>3.1. Cálculo <strong>de</strong> volum<strong>en</strong> <strong>de</strong> un sector <strong>de</strong> cilindro circular.<br />
⎞<br />
⎠ = ρ(cos 2 ϕ + s<strong>en</strong> 2 ϕ) = ρ<br />
Sea una horma cilíndrica <strong>de</strong> queso <strong>de</strong> base circular con radio r > 0 y altura h > 0. Se corta<br />
un trozo S, haci<strong>en</strong>do dos cortes verticales <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el c<strong>en</strong>tro <strong>de</strong> la horma hacia su bor<strong>de</strong>, que forman<br />
ángulo α <strong>en</strong>tre sí. Calcular el volum<strong>en</strong> <strong>de</strong>l trozo S.<br />
<br />
Vol. S = dxdydz<br />
Tomemos coor<strong>de</strong>nadas cartesianas x, y, z con orig<strong>en</strong> <strong>en</strong> el c<strong>en</strong>tro <strong>de</strong>l círculo <strong>de</strong> radio r <strong>de</strong>l plano<br />
<strong>de</strong> abajo <strong>de</strong>l queso.<br />
Pasando a coor<strong>de</strong>nadas cilíndricas x = ρ cos ϕ, y = ρ s<strong>en</strong> ϕ, z = z, se obti<strong>en</strong>e:<br />
(x, y, z) ∈ S ⇔ (ρ, ϕ, z) ∈ E : 0 ≤ ρ ≤ r, 0 ≤ ϕ ≤ α, 0 ≤ z ≤ h<br />
S
Integrales paramétricas e <strong>integrales</strong> <strong>dobles</strong> y <strong>triples</strong>. Eleonora Catsigeras. 19 Julio 2006. 61<br />
Luego:<br />
<br />
Vol. S =<br />
S<br />
<br />
dxdydz =<br />
E<br />
<br />
|J(ρ, ϕ, z)| dρdϕdz =<br />
r α h r α r α<br />
Vol. S = dρ dϕ ρ dz = dρ ρhdϕ = dρ<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
0<br />
E<br />
ρ dρdϕdz =<br />
hαρ dρ = hαr2<br />
2<br />
Se observa que el volum<strong>en</strong> <strong>de</strong> S es el producto <strong>de</strong> la altura h por el área α r 2 /2 <strong>de</strong> la base. (La<br />
base es el sector circular <strong>de</strong> radio r y ángulo α, cuya área es α r 2 /2, por lo visto <strong>en</strong> el ejercicio<br />
<strong>4.</strong>2.1.)<br />
Ejemplo <strong>4.</strong>3.2. Cálculo <strong>de</strong> volum<strong>en</strong> <strong>de</strong> un sólido <strong>de</strong> revolución.<br />
Sea el sólido D <strong>en</strong> el espacio, obt<strong>en</strong>ido <strong>de</strong> girar alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje <strong>de</strong> las z la región plana:<br />
Dibujar D y calcular su volum<strong>en</strong>.<br />
A = {x = 0, −2 ≤ z ≤ 1, 0 ≤ y ≤ z 2 }<br />
Primero dibujemos la región plana A. Está cont<strong>en</strong>ida <strong>en</strong> el plano vertical x = 0, o sea <strong>en</strong><br />
el plano y, z; limitado por arriba por la recta x = 0, z = 1; limitado por abajo por la recta<br />
x = 0, z = −2; por la izquierda por la recta x = 0, y = 0 (eje <strong>de</strong> las z); y por la <strong>de</strong>recha por la<br />
curva (parábola) x = 0, y = z 2 . (Esta parábola es simétrica respecto al eje <strong>de</strong> las y, pasa por el<br />
orig<strong>en</strong> y ti<strong>en</strong>e concavidad hacia el semieje <strong>de</strong> y > 0.) Se observa que la región A ti<strong>en</strong>e ”vértices”<strong>en</strong><br />
los puntos T = (0, 0, 1), Q = (0, 0, −2), R = (0, 4, −2), S = (0, 1, 1), todos <strong>de</strong>l plano x = 0.<br />
Entre los vértices T y Q, el lado izquierdo <strong>de</strong> la región A es el segm<strong>en</strong>to <strong>de</strong> recta TQ (cont<strong>en</strong>ido<br />
<strong>en</strong> el eje <strong>de</strong> las z). Entre los vértices Q y R, el lado <strong>de</strong> abajo <strong>de</strong> la región A es el segm<strong>en</strong>to <strong>de</strong><br />
recta horizontal QR a altura −2, cont<strong>en</strong>ido <strong>en</strong> el plano x = 0(plano y, z); análogam<strong>en</strong>te, <strong>en</strong>tre los<br />
vértices T y S, el lado <strong>de</strong> arriba <strong>de</strong> la región A es el segm<strong>en</strong>to <strong>de</strong> recta horizontal TS a altura<br />
+1, cont<strong>en</strong>ido <strong>en</strong> el plano x = 0. Finalm<strong>en</strong>te la parte <strong>de</strong> la frontera <strong>de</strong> la región A que está a la<br />
<strong>de</strong>recha <strong>de</strong> A es la parábola que va <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el vértice R hasta el vértice S, pasando por el orig<strong>en</strong>,<br />
con concavidad hacia afuera <strong>de</strong> la región A.<br />
Al girar A alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje <strong>de</strong> las z se obti<strong>en</strong>e un sólido D con tapa superior que es un disco<br />
horizontal a altura z = 1, <strong>de</strong> radio 1, c<strong>en</strong>trado <strong>en</strong> el punto T <strong>de</strong>l eje <strong>de</strong> las z, cuyo bor<strong>de</strong> es la<br />
circunfer<strong>en</strong>cia que se g<strong>en</strong>era cuando el punto S gira alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje <strong>de</strong> las z. Análogam<strong>en</strong>te, la<br />
tapa inferior <strong>de</strong>l sólido D es un disco horizontal a altura z = −2, <strong>de</strong> radio 4, c<strong>en</strong>trado <strong>en</strong> el punto<br />
Q <strong>de</strong>l eje <strong>de</strong> las z, cuyo bor<strong>de</strong> es la circunfer<strong>en</strong>cia que se g<strong>en</strong>era cuando el punto R gira alre<strong>de</strong>dor<br />
<strong>de</strong>l eje <strong>de</strong> las z. Por otra parte, las pare<strong>de</strong>s o bor<strong>de</strong> lateral <strong>de</strong>l sólido D, es una superficie alabeada<br />
con forma <strong>de</strong> copa o <strong>de</strong> corsé, con cintura que se reduce a un punto <strong>en</strong> el orig<strong>en</strong>, y que se g<strong>en</strong>era<br />
cuando la parábola x = 0, y = z 2 , que une los puntos R y S pasando por el orig<strong>en</strong>, gira alre<strong>de</strong>dor<br />
<strong>de</strong>l eje <strong>de</strong> las z.<br />
Para calcular el volum<strong>en</strong> <strong>de</strong> D aplicamos la <strong>de</strong>finición:<br />
<br />
Vol.(D) = dxdydz (1)<br />
Encontremos, para calcular esa integral triple, las ecuaciones <strong>de</strong>l sólido D.<br />
Un punto P = (x, y, z) está <strong>en</strong> el sólido D, si y solo si está <strong>en</strong> una circunfer<strong>en</strong>cia plana<br />
x 2 + y 2 = r 2 , z = k, horizontal, <strong>de</strong> radio r y c<strong>en</strong>trada <strong>en</strong> el punto (0, 0, k) <strong>de</strong>l eje <strong>de</strong> las z, que<br />
D
62 Integrales paramétricas e <strong>integrales</strong> <strong>dobles</strong> y <strong>triples</strong>. Eleonora Catsigeras. 19 Julio 2006.<br />
pasa por algún punto P0 = (0, y0, z0) <strong>de</strong> la región plana A. (Esto significa que el punto P = (x, y, z)<br />
pert<strong>en</strong>ece al sólido D g<strong>en</strong>erado por la región plana A al girar alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong>l eje vertical <strong>de</strong> las z,<br />
pues P se obti<strong>en</strong>e <strong>de</strong> algún punto P0 <strong>de</strong> A girando P0 a lo largo <strong>de</strong> un arco <strong>de</strong> circunfer<strong>en</strong>cia<br />
horizontal c<strong>en</strong>trada <strong>en</strong> el eje <strong>de</strong> las z.)<br />
Luego, las ecuaciones que <strong>de</strong>be verificar P = (x, y, z) para estar <strong>en</strong> el sólido D son:<br />
x 2 + y 2 = r 2 , z = k, 0 + y 2 0 = r 2 , z0 = k, −2 ≤ z0 ≤ 1, 0 ≤ y0 ≤ z 2 0 (2)<br />
(Las dos primeras significan que P está <strong>en</strong> una circunfer<strong>en</strong>cia horizontal c<strong>en</strong>trada <strong>en</strong> el eje <strong>de</strong> las<br />
z; las dos sigui<strong>en</strong>tes significan que P0 = (0, y0, z0) está <strong>en</strong> la misma circunfer<strong>en</strong>cia; las dos últimas<br />
significan que P0 está <strong>en</strong> la región plana D.)<br />
Combinando las ecuaciones <strong>de</strong> (2), para eliminar y0, z0, r y k, resulta:<br />
D = {(x, y, z) ∈ R 3 : −2 ≤ z ≤ 1, 0 ≤ x 2 + y 2 ≤ z 4 } (3)<br />
Pasemos a coor<strong>de</strong>nadas cilíndricas: Φ : x = ρ cos ϕ, y = ρ s<strong>en</strong> ϕ, z = z. Observamos que<br />
ρ = x 2 + y 2 es la distancia <strong>de</strong> P = (x, y, z) al eje <strong>de</strong> las z, y que ϕ, <strong>en</strong> cada circunfer<strong>en</strong>cia<br />
horizontal con c<strong>en</strong>tro <strong>en</strong> el eje <strong>de</strong> las z, varía <strong>en</strong>tre 0 y 2π. Obt<strong>en</strong>emos, pasando (3) a coor<strong>de</strong>nadas<br />
cilíndricas, las ecuaciones <strong>de</strong>l conjunto E = Φ −1 (D):<br />
(x, y, z) ∈ D ⇔ (ρ, ϕ, z) ∈ E = {0 ≤ ϕ ≤ 2π, −2 ≤ z ≤ 1, 0 ≤ ρ 2 ≤ z 4 } (4)<br />
Usamos el teorema <strong>de</strong> cambio <strong>de</strong> <strong>variables</strong> <strong>en</strong> (1):<br />
<br />
<br />
Vol.(D) = dxdydz =<br />
|J(ρ, ϕ, z)|dρdϕdz =<br />
D<br />
E=Φ −1 (D)<br />
E=Φ −1 (D)<br />
ρdρdϕdz<br />
Usando las ecuaciones <strong>de</strong>l conjunto E dadas <strong>en</strong> (4), se obti<strong>en</strong><strong>en</strong> los sigui<strong>en</strong>tes límites <strong>de</strong> integración:<br />
<br />
Vol.(D) =<br />
E=Φ −1 (D)<br />
ρdρdϕdz =<br />
2π<br />
0<br />
1 z2 dϕ dz ρdρ<br />
−2 0<br />
En efecto, para ϕ y z constantes, los límites <strong>de</strong> integración <strong>de</strong> ρ dada por la última <strong>de</strong>sigualdad<br />
<strong>de</strong> (4) son 0 ≤ ρ ≤ z 2 . (Hemos tomado raíz cuadrada positiva <strong>de</strong> ρ 2 ≤ z 4 , pues ρ ≥ 0, <strong>de</strong>bido a la<br />
<strong>de</strong>finición <strong>de</strong> esta coor<strong>de</strong>nada <strong>en</strong> el cambio a <strong>variables</strong> cilíndricas.)<br />
Calculando la última integral triple iterada obt<strong>en</strong>emos:<br />
1<br />
= 2π<br />
−2<br />
ρ 2<br />
2<br />
ρ=z <br />
2<br />
ρ=0<br />
Vol.(D) ==<br />
1<br />
dz = π<br />
−2<br />
2π<br />
0<br />
1 z2 dϕ dz ρdρ =<br />
−2 0<br />
z 4 dz = π · z5<br />
5<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
z=1<br />
z=−2<br />
<br />
1 32<br />
= π · + =<br />
5 5<br />
33<br />
· π <br />
5
Integrales paramétricas e <strong>integrales</strong> <strong>dobles</strong> y <strong>triples</strong>. Eleonora Catsigeras. 19 Julio 2006. 63<br />
<strong>4.</strong><strong>4.</strong> Coor<strong>de</strong>nadas esféricas <strong>en</strong> el espacio.<br />
Ver sección 71 sub 4 <strong>de</strong>l libro <strong>de</strong> Burgos, <strong>en</strong> la bibliografía al final <strong>de</strong> este texto.<br />
Sea P = (x, y, z) un punto <strong>de</strong>l espacio. Llamemos ρ a la distancia <strong>de</strong> P al orig<strong>en</strong> O = (0, 0, 0).<br />
Es <strong>de</strong>cir:<br />
ρ = x 2 + y 2 + z 2<br />
Los puntos con ρ = r, don<strong>de</strong> r es una constante positiva dada, están <strong>en</strong> la superficie esférica<br />
Sr <strong>de</strong> c<strong>en</strong>tro <strong>en</strong> el orig<strong>en</strong> O y radio r.<br />
Para i<strong>de</strong>ntificar cada punto P = (x, y, z) <strong>de</strong> esa superficie esférica Sr, usaremos coor<strong>de</strong>nadas<br />
similares a la latitud y longitud <strong>en</strong> la superficie <strong>de</strong> la Tierra.<br />
En lo que sigue hacer una figura.<br />
Sea N = (0, 0, r) el punto llamado polo norte <strong>de</strong> la superficie esférica Sr, y sea S = (0, 0, −r)<br />
el punto llamado polo sur. Sea el eje vertical <strong>de</strong> la superficie esférica Sr la recta que une el polo<br />
norte con el polo sur. El eje vertical coinci<strong>de</strong> con el eje <strong>de</strong> las z.<br />
Sea el ecuador <strong>de</strong> la superficie esférica Sr, la circunfer<strong>en</strong>cia que resulta <strong>de</strong> intersectar Sr con<br />
el plano z = 0. El plano z = 0 se llama plano <strong>de</strong>l ecuador. Es el plano <strong>de</strong> las <strong>variables</strong> x, y.<br />
Sea P = (x, y, z) un punto <strong>de</strong> la superficie esférica Sr. Es <strong>de</strong>cir:<br />
ρ = x 2 + y 2 + z 2 = r<br />
Llamamos meridiano que pasa por P a la semicircunfer<strong>en</strong>cia que resulta <strong>de</strong> intersectar la<br />
superficie esférica Sr con un semiplano vertical que conti<strong>en</strong>e al punto P y al eje vertical <strong>de</strong> la<br />
superficie. El meridiano que pasa por P está bi<strong>en</strong> <strong>de</strong>finido para todos los puntos P <strong>de</strong> la superficie<br />
esférica Sr, excepto para los polos norte y sur. Por los polos pasan todos los meridianos.<br />
Llamemos meridiano <strong>de</strong> refer<strong>en</strong>cia, al meridiano que pasa por el punto x = r, y = 0, z = 0.<br />
Dado un punto P = (x, y, z) <strong>de</strong> la superficie esférica Sr, (tal que P no sea ninguno <strong>de</strong> los<br />
polos), llamemos ϕ, o longitud <strong>de</strong> P, al ángulo que forma el meridiano que pasa por P con el<br />
meridiano <strong>de</strong> refer<strong>en</strong>cia, medido <strong>en</strong> radianes <strong>en</strong>tre 0 y 2π.<br />
Llamamos P ′ = (x, y,0) a la proyección ortogonal <strong>de</strong> P = (x, y, z) ∈ Sr sobre el plano x, y<br />
<strong>de</strong>l ecuador (plano z = 0). Este punto P ′ <strong>en</strong> g<strong>en</strong>eral cae <strong>en</strong> el interior <strong>de</strong> la esfera <strong>de</strong> radio<br />
r = ρ = x 2 + y 2 + z 2 y c<strong>en</strong>tro <strong>en</strong> el orig<strong>en</strong>; el punto P ′ no necesariam<strong>en</strong>te pert<strong>en</strong>ece a la<br />
superficie esférica Sr. (Más precisam<strong>en</strong>te: P ′ no pert<strong>en</strong>ece a la superficie esférica Sr, excepto<br />
cuando el punto P está <strong>en</strong> el ecuador, <strong>en</strong> cuyo caso P ′ = P. )<br />
Consi<strong>de</strong>rando el plano z = 0 y <strong>en</strong> él el punto P ′ = (x, y,0), y llamando ϕ a la longitud <strong>de</strong>l<br />
punto P = (x, y, z) <strong>de</strong>finida más arriba, se observa que ϕ es el ángulo que forma la semirrecta<br />
OP ′ con el semieje positivo <strong>de</strong> las x. Luego:<br />
x = ||P ′ − 0|| · cos ϕ, y = ||P ′ − 0|| · s<strong>en</strong> ϕ (1)<br />
Las ecuaciones (1) se obti<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>de</strong> la misma forma que se obtuvieron las ecuaciones <strong>de</strong> las coor<strong>de</strong>nadas<br />
polares <strong>en</strong> el plano, <strong>en</strong> la subsección <strong>4.</strong>2, consi<strong>de</strong>rando que ahora la distancia <strong>de</strong> P ′ al<br />
orig<strong>en</strong> no se llama ρ, sino ||P ′ − O||.
64 Integrales paramétricas e <strong>integrales</strong> <strong>dobles</strong> y <strong>triples</strong>. Eleonora Catsigeras. 19 Julio 2006.<br />
Llamemos θ o complem<strong>en</strong>to <strong>de</strong> latitud <strong>de</strong>l punto P = (x, y, z) al ángulo que forma la semirrecta<br />
OP con el semieje <strong>de</strong> las z > 0 (semirrecta ON que une el orig<strong>en</strong> con el polo norte N), medido<br />
<strong>en</strong> radianes y variando <strong>en</strong>tre 0 y π.<br />
El ángulo θ es como la latitud <strong>en</strong> la superficie <strong>de</strong> la Tierra, pero <strong>en</strong> vez <strong>de</strong> tomar como refer<strong>en</strong>cia<br />
<strong>de</strong> latitud 0 al ecuador, como se hace <strong>en</strong> la Tierra, tomamos como refer<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> ángulo θ = 0 al<br />
polo norte. A<strong>de</strong>más, <strong>en</strong> vez <strong>de</strong> medirlo positivam<strong>en</strong>te al movernos hacia el norte y negativam<strong>en</strong>te<br />
hacia el sur, como se hace <strong>en</strong> la Tierra, nuestro ángulo θ aum<strong>en</strong>ta positivam<strong>en</strong>te al <strong>de</strong>sc<strong>en</strong><strong>de</strong>r,<br />
<strong>de</strong>s<strong>de</strong> el polo Norte, hacia el polo Sur. Así, el complem<strong>en</strong>to <strong>de</strong> la latitud es θ = 0, cuando el punto<br />
P coinci<strong>de</strong> con el polo norte N, es θ = π/2 si el punto P se <strong>en</strong>cu<strong>en</strong>tra sobre el Ecuador, y es θ = π<br />
si el punto P coinci<strong>de</strong> con el polo Sur S.<br />
En resum<strong>en</strong>:<br />
Dados ϕ ∈ [0, 2π] y θ ∈ [0, π] se obti<strong>en</strong>e un único punto <strong>de</strong> la superficie esférica Sr que ti<strong>en</strong>e<br />
longitud ϕ y complem<strong>en</strong>to <strong>de</strong> latitud θ.<br />
Consi<strong>de</strong>rando el triángulo rectángulo OPP ′ , don<strong>de</strong> P ′ = (x, y,0) es la proyección ortogonal<br />
<strong>de</strong> P = (x, y, z) sobre el plano z = 0, se observa que el ángulo que forman las semirrectas OP y<br />
<br />
PP ′ <strong>en</strong>tre sí, es igual a θ (porque PP ′ es una recta vertical). A<strong>de</strong>más el cateto PP ′ , adyac<strong>en</strong>te al<br />
ángulo θ <strong>en</strong> el triángulo rectángulo OPP ′ , ti<strong>en</strong>e longitud (con signo) igual a z, que es la altura <strong>de</strong>l<br />
punto P ′ . Por otra parte la hipot<strong>en</strong>usa es la distancia <strong>de</strong> P al orig<strong>en</strong>, que llamamos ρ = r > 0. Por<br />
lo tanto cos θ = z/ρ. El otro cateto OP ′ <strong>de</strong>l triángulo rectángulo OPP ′ , que es el cateto opuesto<br />
al ángulo θ, ti<strong>en</strong>e longitud ||P ′ − 0||. Por lo tanto, s<strong>en</strong>θ = ||P ′ − O||/ρ<br />
Se <strong>de</strong>duce:<br />
||P ′ − O|| = ρ s<strong>en</strong> θ, z = ρ cos θ (2)<br />
Reuni<strong>en</strong>do las ecuaciones (1) con las ecuaciones (2), se obti<strong>en</strong>e:<br />
x = ρ s<strong>en</strong> θ cos ϕ, y = ρ s<strong>en</strong> θ s<strong>en</strong> ϕ, z = ρ cos θ (3)<br />
Las coor<strong>de</strong>nadas (ρ, θ, ϕ) se llaman coor<strong>de</strong>nadas esféricas <strong>en</strong> el espacio. El dominio <strong>de</strong> variación<br />
<strong>de</strong> estas coor<strong>de</strong>nadas es<br />
0 ≤ ρ, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ ϕ ≤ 2π<br />
Las ecuaciones (3) son las ecuaciones <strong>de</strong>l cambio <strong>de</strong> <strong>variables</strong> <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas esféricas a coor<strong>de</strong>nadas<br />
cartesianas.<br />
Encontremos el Jacobiano <strong>de</strong>l cambio <strong>de</strong> <strong>variables</strong> a coor<strong>de</strong>nadas esféricas:<br />
⎛<br />
xρ<br />
J(ρ, θ, ϕ) = <strong>de</strong>t ⎝ yρ<br />
xθ<br />
yθ<br />
⎞ ⎛<br />
⎞<br />
xϕ cos ϕ s<strong>en</strong> θ ρ cos ϕ cos θ −ρ s<strong>en</strong> ϕ s<strong>en</strong> θ<br />
yϕ ⎠ = <strong>de</strong>t ⎝ s<strong>en</strong> ϕ s<strong>en</strong> θ ρ s<strong>en</strong> ϕ cos θ ρ cos ϕ s<strong>en</strong> θ ⎠<br />
cos θ −ρ s<strong>en</strong> θ 0<br />
zρ zθ zϕ<br />
Desarrollando este <strong>de</strong>terminante por la última fila, se obti<strong>en</strong>e:<br />
J(ρ, θ, ϕ) = cos θ(ρ 2 s<strong>en</strong> θ cos θ) + ρ s<strong>en</strong> θ(ρ s<strong>en</strong> 2 θ) = ρ 2 s<strong>en</strong> θ(cos 2 θ + s<strong>en</strong> 2 θ) = ρ 2 s<strong>en</strong> θ<br />
Se observa que como θ ∈ [0, π], por la <strong>de</strong>finición <strong>de</strong> las coor<strong>de</strong>nadas esféricas, <strong>en</strong>tonces s<strong>en</strong> θ ≥ 0,<br />
por lo tanto J(ρ, θ, ϕ) ≥ 0 y se cumple:<br />
|J(ρ, θ, ϕ)| = ρ 2 s<strong>en</strong> θ
Integrales paramétricas e <strong>integrales</strong> <strong>dobles</strong> y <strong>triples</strong>. Eleonora Catsigeras. 19 Julio 2006. 65<br />
para todos los puntos <strong>de</strong>l espacio.<br />
Ejemplo <strong>4.</strong><strong>4.</strong>1. Volum<strong>en</strong> <strong>de</strong> un sector sólido <strong>de</strong> esfera y <strong>de</strong> la esfera sólida <strong>de</strong> radio r.<br />
Sea una sandía esférica <strong>de</strong> radio r > 0. Se efectúan dos cortes verticales <strong>en</strong> la sandía, a los<br />
efectos <strong>de</strong> sacar una tajada D, cortando <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el eje vertical <strong>de</strong> la sandía hacia afuera, primero<br />
<strong>en</strong> un semiplano hacia a<strong>de</strong>lante, y luego <strong>en</strong> otro semiplano que forma ángulo α con el anterior.<br />
Calcular el volum<strong>en</strong> <strong>de</strong> la tajada D obt<strong>en</strong>ida.<br />
En particular, si el ángulo α = 2π, la tajada D es toda la sandía. Calcular el volum<strong>en</strong> <strong>de</strong> toda<br />
la sandía (volum<strong>en</strong> <strong>de</strong> la esfera sólida Er <strong>de</strong> radio r.)<br />
Tomando el c<strong>en</strong>tro <strong>de</strong> la sandía como orig<strong>en</strong> <strong>de</strong> un sistema <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas x, y, z ortogonal<br />
cartesiano, y el eje <strong>de</strong> las z <strong>en</strong> la vertical, se ti<strong>en</strong>e:<br />
<br />
Vol.(D) = dxdydz<br />
Pasando a coor<strong>de</strong>nadas esféricas (ρ, θ, ϕ) con las ecuaciones (3) <strong>de</strong>l parágrafo anterior, se ti<strong>en</strong>e:<br />
(x, y, z) ∈ D ⇔ (ρ, ϕ, θ) ∈ E : 0 ≤ ρ ≤ r, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ ϕ ≤ α<br />
Luego, por el teorema <strong>de</strong> cambio <strong>de</strong> <strong>variables</strong>:<br />
<br />
Vol.(D) = dxdydz =<br />
Se concluye<br />
r<br />
Vol.(D) =<br />
0<br />
r <br />
= α<br />
0<br />
D<br />
π<br />
dρ dθ<br />
0<br />
D<br />
E<br />
α<br />
ρ 2 r<br />
s<strong>en</strong> θ dϕ =<br />
0<br />
−ρ 2 cos θ| θ=π<br />
θ=0<br />
<br />
r<br />
dρ = 2α<br />
|J(ρ, ϕ, θ)| dρdθdϕ<br />
0<br />
0<br />
π<br />
dρ αρ<br />
0<br />
2 s<strong>en</strong> θ dθ =<br />
ρ 2 dρ = 2<br />
· α · r3<br />
3<br />
Vol.(D) = 2<br />
· α · r3<br />
3<br />
En particular, sustituy<strong>en</strong>do α = 2π <strong>en</strong> la fórmula anterior, se obti<strong>en</strong>e el volum<strong>en</strong> <strong>de</strong> la esfera sólida<br />
Er <strong>de</strong> radio r:<br />
Vol. (Er) = 4<br />
π r3<br />
3<br />
Este resultado coinci<strong>de</strong> con el hallado <strong>en</strong> el ejemplo <strong>4.</strong>2.3.<br />
<strong>4.</strong>5. Peso <strong>de</strong> un sólido dada su <strong>de</strong>nsidad puntual.<br />
La <strong>de</strong>nsidad es el coci<strong>en</strong>te <strong>de</strong>l peso sobre el volum<strong>en</strong>, siempre que el peso <strong>de</strong> cada pedacito <strong>de</strong>l<br />
sólido, por más pequeño que sea este, sea el mismo para pedacitos <strong>de</strong> igual volum<strong>en</strong>. En ese caso<br />
la <strong>de</strong>nsidad es constante <strong>en</strong> cada punto <strong>de</strong>l sólido.<br />
<strong>4.</strong>5.1. Peso <strong>de</strong> un sólido dada su <strong>de</strong>nsidad variable con el punto.<br />
Si un sólido S ti<strong>en</strong>e <strong>en</strong> cada punto (x, y, z) <strong>de</strong>nsidad f(x, y, z), variable con el punto, <strong>en</strong>tonces<br />
el peso <strong>de</strong> S es la suma <strong>de</strong> los pesos <strong>de</strong> cada trocito Ri,j,k infinitimam<strong>en</strong>te pequeño, trocitos estos
66 Integrales paramétricas e <strong>integrales</strong> <strong>dobles</strong> y <strong>triples</strong>. Eleonora Catsigeras. 19 Julio 2006.<br />
que part<strong>en</strong> S. Los trocitos Ri,j,k forman una partición <strong>de</strong> S, si<strong>en</strong>do Ri,j,k un pequeño prisma recto<br />
<strong>de</strong> lados ∆x,∆y, ∆z.<br />
Para cada uno <strong>de</strong> esos trocitos Ri,j,k, el peso es el producto <strong>de</strong> la <strong>de</strong>nsidad f(xi, yj, zk) (supuesta<br />
constante <strong>en</strong> el trocito, porque es infinitam<strong>en</strong>te pequeño), por el volum<strong>en</strong> <strong>de</strong>l trocito, que es<br />
∆x · ∆y · ∆z. Luego, se obti<strong>en</strong>e:<br />
Peso(S) = lím<br />
∆x→0 lím<br />
∆y→0 lím<br />
∆z→0<br />
n,m,p <br />
(i,j,k)=(1,1,1)<br />
f(xi, yj, zk)∆x · ∆y · ∆z<br />
Esta última es una suma <strong>de</strong> Riemann, como las <strong>de</strong>finidas <strong>en</strong> 2.1.7. Luego, se obti<strong>en</strong>e, (adaptando<br />
a <strong>integrales</strong> <strong>triples</strong> el resultado <strong>de</strong> la proposición 2.1.7), la sigui<strong>en</strong>te fórmula <strong>de</strong>l peso dada la<br />
<strong>de</strong>nsidad:<br />
<br />
Peso(S) = f(x, y, z) dxdydz don<strong>de</strong> f(x, y, z) es la <strong>de</strong>nsidad <strong>en</strong> el punto (x, y, z) ∈ S<br />
S<br />
Ejemplo <strong>4.</strong>5.2. Cálculo <strong>de</strong>l peso dada la <strong>de</strong>nsidad.<br />
Sea una horma cilíndrica <strong>de</strong> queso <strong>de</strong> base circular con radio r > 0 y altura h > 0. Se corta<br />
un trozo S, haci<strong>en</strong>do dos cortes verticales <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el c<strong>en</strong>tro <strong>de</strong> la horma hacia su bor<strong>de</strong>, que forman<br />
ángulo α <strong>en</strong>tre sí.<br />
El radio r = 10cm., la altura h = 8cm., el ángulo α = π/3 radianes, y la <strong>de</strong>nsidad <strong>de</strong>l queso<br />
<strong>en</strong> el punto (x, y, z) es<br />
Calcular el peso <strong>de</strong>l trozo S.<br />
1<br />
[0, 9] kg/dm3 · · [<br />
[180] cm3 .<br />
x2 + y2 · (z 2 − hz + h 2 )] cm3 .<br />
Si medimos x, y, z, r, h <strong>en</strong> c<strong>en</strong>tímetros, el volum<strong>en</strong> quedará <strong>en</strong> cm3 . Si<strong>en</strong>do 1dm3 = 103cm3 ,<br />
resulta que la <strong>de</strong>nsidad f(x, y, z) es:<br />
<br />
0, 9<br />
[f(x, y, z)] kg./cm3 . =<br />
103 <br />
1<br />
· · [<br />
[180] cm3 x2 + y2 · (z 2 − hz + h 2 )] cm3 kg/cm 3<br />
Y el peso <strong>de</strong> S, por la fórmula <strong>de</strong>l párrafo <strong>4.</strong>5.1, será (siempre que x, y, z, h, r se midan <strong>en</strong> cm.):<br />
<br />
5<br />
[Peso(S)]kg. =<br />
106 · x2 + y2 · (z 2 − hz + h) dxdydz<br />
Pasando a coor<strong>de</strong>nadas cilíndricas:<br />
resulta:<br />
Por lo tanto:<br />
S<br />
x = ρ cos ϕ, y = ρ s<strong>en</strong> ϕ, z = z<br />
(x, y, z) ∈ S ⇔ (ρ, ϕ, z) ∈ E : 0 ≤ ρ ≤ r, 0 ≤ ϕ ≤ α, 0 ≤ z ≤ h<br />
<br />
[Peso(S)]kg. =<br />
S<br />
5<br />
10 6 · x 2 + y 2 · (z 2 − hz + h 2 ) dxdydz =
Integrales paramétricas e <strong>integrales</strong> <strong>dobles</strong> y <strong>triples</strong>. Eleonora Catsigeras. 19 Julio 2006. 67<br />
<br />
=<br />
E<br />
5<br />
106 ·ρ2 ·(z 2 −hz+h 2 r<br />
) |J(ρ, ϕ, z)| dρdϕdz = dρ<br />
0<br />
α<br />
0<br />
h<br />
dϕ<br />
0<br />
Calculando la integral anterior empezando por la extrema <strong>de</strong>recha, se obti<strong>en</strong>e:<br />
[Peso(S)]kg. = 5<br />
106 r α<br />
dρ ρ<br />
0 0<br />
2 <br />
z3 · − hz2<br />
3 2 + h2 z=h <br />
z dϕ =<br />
z=0<br />
= 5<br />
106 r<br />
ρ<br />
0<br />
2 α <br />
h3 · dρ − hh2 + h3 dϕ =<br />
0 3 2 5<br />
r 5h3<br />
· ρ<br />
106 6 0<br />
2 α<br />
· dρ<br />
0<br />
[Peso(S)]kg. = 5 5h3 r3<br />
· · · α<br />
106 6 3<br />
Sustituy<strong>en</strong>do α = π/3, r = 10cm., h = 8cm. se obti<strong>en</strong>e:<br />
[Peso(S)]kg. = 5 5 × 83<br />
· ·<br />
106 6<br />
103 π<br />
·<br />
3 3<br />
= 0, 746 kg.<br />
5<br />
10 6 · ρ 2 ·(z 2 −hz+h 2 )·ρ dz<br />
dϕ =