4. Cambio de variables en integrales dobles y triples. - IMERL

Integrales paramétricas e integrales dobles y triples. Eleonora Catsigeras. 19 Julio 2006. 55
Observamos que el área de Φ(Ri,j) es igual a la integral doble 17 en Φ(Ri,j) de la función 1, luego:
I = lím
∆u→0 lím
∆v→0
n
i=1 j=1
m
Φ(Ri,j)
f(xi, yj)dxdy (13)
Pero por otro lado, por la continuidad uniforme de f ◦ Φ en E, dado ɛ > 0 existe δ > 0 tal que si
∆u < δ y ∆v < δ, entonces 18
Sustituyendo (14) en (13) se concluye:
|f(xi, yj) − f(x, y)| < ɛ ∀(x, y) ∈ Φ(Ri,j) (14)
I = lím
∆u→0 lím
∆v→0
n
i=1 j=1
m
Φ(Ri,j)
f(x, y)dxdy (15)
Observando que los dominios Φ(Ri,j) tienen interiores dos a dos disjuntos, (porque lo tienen los
rectángulos Ri,j y Φ es un cambio de variables), podemos aplicar la propiedad de aditividad en el
dominio de las integrales dobles:
n
i=1 j=1
m
Φ(Ri,j)
f(x, y)dxdy =
D
f(x, y)dxdy (16)
En esta última igualdad hemos usado que f(x, y) = 0 si (x, y) ∈ D.
Luego, sustituyendo (16) en (15) y observando que la integral doble en D de la función f no
depende de ∆u ni ∆v, se concluye:
I = f(x, y)dxdy
D
Esta última igualdad, recordando la definición del número I en la igualdad (1), es la tesis que
queríamos probar.
4.1.3. Cambios de variables en dominios de R 3 .
En lo que sigue el conjunto E, contenido en R 3 de variables (u, v, w), es un dominio descomponible
(en dominios simples respecto a algún orden de las variables).
Se dice que una función φ : E ↦→ R es de clase C 1 si es continua en E, diferenciable, con
derivadas parciales continuas para todo (u, v, w) en el interior de E, y tal que las derivadas
parciales se extienden en forma continua al borde de E.
Sea Φ(u, v, w) = (α(u, v, w), β(u, v, w), γ(u, v, w)), tal que Φ : E ↦→ R 3 . Se dice que de clase
C 1 si α, β y γ lo son.
Se dice que Φ : E ↦→ D es un cambio de variables de clase C 1 si, además de todo lo anterior,
se cumple:
17 Como se dijo antes en otra llamada al pie, el dominio Φ(Ri,j) es descomponible en simples.
18 La desigualdad (14) vale solo si Φ(Ri,j) no corta al borde de D porque f es continua en D e idénticamente nula
fuera de D, pero quizás discontinua en el borde de D. Habría que probar que la sumas para i, j tal que Ri,j corta
al borde de D tienden a cero cuando ∆u y ∆v tienden a cero.