Morfismos, Primer Teorema de Isomorfismo, Grupo de ... - IMERL

Universidad de la República Matemática Discreta 2
Facultad de Ingeniería Curso 2011
Instituto de Matemática y Estadística
PRÁCTICO 7: Teoría de Grupos - Morfismos, Primer Teorema de Isomorfismo, Grupo
de permutaciones.
Ejercicio 1. Sea G un grupo finito y N un subgrupo normal de G.
i) Probar que si a ∈ G entonces o(Na)|o(a).
ii) Si mcd([G : N], |N|) = 1, probar que si x ∈ G es tal que x |N| = e, entonces x ∈ N.
Ejercicio 2. Verificar si las siguientes funciones son o no morfismos de grupo.
i) La función traza tr : (Mn×n(R), +) → (R, +)
ii) La función f : (Mn×n(R), +) → (R, +) dada por f(A) = tr(A 2 ).
iii) La función determinante det : (Gln(R), ·) → (R ∗ , ·) (recordar que Gln(R) es el conjunto de
matrices invertibles n × n con coeficientes en R).
iv) La función f : (Gln(R), ·) → (R ∗ , ·) dada por f(A) = det(A 2 ).
v) La función f : (R ∗ , ·) → (Gln(R), ·) dada por f(λ) = λA donde A ∈ Gln(R) es una matriz dada
(en caso de no serlo siempre, hallar condiciones sobre A para que si lo sea).
vi) La función trasponer T : (Mn×n(R), +) → (Mn×n(R), +) dada por T (A) = A t .
vii) La función trasponer T : (Gln(R), ·) → (Gln(R), ·) dada por T (A) = A t .
viii) La función f : (R 3 , +) → (R ∗ , ·) dada por f(x, y, z) = e x−2y+z (sug. pensarlo como composición
de dos morfismos).
Ejercicio 3. Sea ϕ : G1 → G2 un isomorfismo de grupos y g ∈ G1. Probar que el orden de g en G1 es
igual al orden de ϕ(g) en G2.
Ejercicio 4. En cada caso verificar si los siguientes grupos son isomorfos o no; en caso que lo sean,
encontrar un isomorfismo entre ellos.
i) Los grupos (Z4, +) y (U10, ·).
ii) Los grupos D3 y S3 (ambos con la composición).
iii) Los grupos Z2 × Z2 y Z4 (ambos con la suma).
Ejercicio 5. Sea G un grupo con 4 elementos.
i) Probar que G es abeliano.
ii) Probar que o bien G Z4 o bien G Z2 × Z2.

Ejercicio 6. Sea f : G1 → G2 un morfismo de grupos. Probar los siguientes resultados:
i) Si K ⊳ G2 entonces f −1 (K) es un subgrupo normal de G1 que contiene a ker(f).
i) Si N ⊳ G1 y f es sobreyectivo entonces f(N) ⊳ G2.
iii) Si |G1| y |G2| son coprimos entonces f es el morfismo nulo (es decir, f(g) = eG2 ∀ g ∈ G1).
Ejercicio 7. Sea f : Z 2 → Z definida por f(x, y) = x − 3y.
i) Probar que f es un morfismo de grupos sobreyectivo (la operación en Z es la suma y en Z 2 la
suma coordenada a coordenada). ¿Es f inyectiva?
ii) Hallar N = kerf y hallar todos los elementos de Z 2 /N. Visualizar geometricamente lo anterior.
iii) Probar que Z 2 /N y Z son isomorfos. Hallar la imagen de 〈(1, 2)〉 por ese isomorfismo.
Ejercicio 8. En cada parte utilizar el Primer Teorema de Isomorfismo para probar que los grupos
dados son isomorfos.
i) (R ∗ /{1, −1}, ·) y (R + , ·).
iii) (R ∗ /R + , ·) y ({1, −1}, ·).
iv) (Zn, +) y G, donde G es un grupo cíclico con n elementos.
v) (Gln(R)/Sln(R), ·) y (R ∗ , ·) donde Sln(R) = {A ∈ Gln(R) : det(A) = 1}.
vi) (R 2 /∆, +) y (R, +) donde ∆ = {(x, x) : x ∈ R}.
Ejercicio 9. En cada parte, ver si existe un morfismo no trivial (es decir, que no mande todos los
elementos al neutro) entre los siguientes pares de grupos. En caso de que existan construir dicho
morfismo, y si no existe explicar porque.
i) S6 con la composición y Z3 con la suma.
ii) Z7 con la suma y S6 con la composición.
Ejercicio 10. Calcular:
1
1.
6
2
4
3
5
4
2
5
1
6
3
2.
1 2 3 4 5
4 1 3 2 5
1 2 3 4 5 6
2 3 4 5 6 1
−1 1 2 3 4 5
2 1 3 4 5
.
1 2 3 4 5
4 1 3 2 5
Ejercicio 11. Expresar las siguientes permutaciones como producto de ciclos disjuntos y calcular su
orden:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 2 3 4 5 6
i)
ii)
3 1 4 2 7 6 9 8 5
6 5 4 3 2 1
iii) (12357)(2476) iv) (12)(13)(14) v) (123)(3579)(123) −1
.

Ejercicio 12. Expresar las permutaciones del ejercicio anterior como producto de trasposiciones.
Ejercicio 13.
i) Probar que un k-ciclo tiene orden k.
ii) Probar que si σ ∈ Sn y τ es un k-ciclo entonces στσ −1 es un k-ciclo.
Más aún si τ = (a1, · · · , ak) entonces σ(a1, · · · , ak)σ −1 = (σ(a1), · · · , σ(ak)). Deducir de aqui
que la conjugación preserva el tipo de una permutación.
iii) Encontrar una permutación σ tal que σ(12)σ −1 = (13).
iv) Probar que no existe σ tal que σ(12)σ −1 = (123).
v) Sea τ = (1 3)(2 6) ∈ S6 calcular µ = στσ −1 para σ = (12)(135).
vi) Consideremos las permutaciones τ = (1 3)(2 6) y µ = (2 5)(1 6). Calcular cuantas permutaciones
σ ∈ S6 verifican que µ = στσ −1 .
Ejercicio 14.
i) Determinar el signo de las siguientes permutaciones:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
a) (123)(12) b)(45)(123)(12345) c)
2 4 5 1 3 7 8 9 6
ii) Demostrar que un k-ciclo es una permutación par si k es impar y es una permutación impar si
k es par
1
iii) Dada la permutación σ =
2
2
5
3
12
4
3
5
8
6
7
7
4
8
1
9
11
10
9
11
10
12
, calcular σ
6
107 .
1
iv) Supongamos que la permutación
3
2
1
3
2
4
a
5
b
6
7
7
8
8
9
9
es par. Hallar a y b.
6
Ejercicio 15. Probar que N = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)} es un subgrupo normal de S4 contenido
en A4 y deducir que A4 no es simple (es decir, que tiene un subgrupo normal no trivial). Probar
que A4/N Z3.
Ejercicio 16. Contar en S4 cuantas permutaciones de cada tipo hay. Idem con S5.
.