4. Teorica 2_xxx-xxx - Revista Colombiana de Física

REVISTA COLOMBIANA DE FÍSICA, VOL. 36, No. 2. 2004
La energía cinética del sistema es:
1 2 2 2
T ( r,
r&,
φ&
) = m(
r&
+ r φ&
)
2
(1)
Consideremos un potencial de tipo:
k(
t)
U(
r,
t)
= −
r
(2)
Es decir, un potencial que varía con el inverso de la
distancia pero que además depende explícitamente
del tiempo
Las fuerzas generalizadas que intervienen en este sitema son:
= −br&
(3) Q
2
= −br
φ&
(4)
Q r
Formularemos el problema en forma Hamiltoniana para obtener las ecuaciones diferenciales
que rigen el comportamiento del sistema.
Los momentos del sistema están dados por:
2
= mr&
(5) p = mr φ&
(6)
p r
El Hamiltoniano del sistema, en términos de estos momentos, es entonces:
2 2
p p r φ k(
t)
H ( r,
pr
, pφ
, t)
= + −
(7)
2
2m
2mr
r
Obsérvese que el Hamiltoniano depende explícitamente del tiempo, lo que nos lleva a concluir
que en este sistema, la energía no se conserva.
De las cuatro ecuaciones de Hamilton modificadas, podemos resolver analíticamente el momento
angular del sistema para obtener:
( −b
/ m ) t
pφ
( t)
= pφ
0e
(8)
Gráficamente:
Gráfica 1
COMPORTAMIENTO DE LA VELOCIDAD ANGULAR PARA LA PARTÍCULA m
1
Velocidad Angular
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0 1 2 3 4 5
Tiempo
6 7 8 9 10
402
φ
φ
Observemos que el momento angular de la
partícula decae exponencialmente, hasta
hacerse cero luego de cierta cantidad de
tiempo t. Esto debido al efecto que el rozamiento
tiene sobre m.
Reemplazando este resultado en las otras
tres ecuaciones y teniendo en cuenta que
dr / dt = r&
, llegamos a:
dr pr
= ;
dt m