4. Teorica 2_xxx-xxx - Revista Colombiana de Física

REVISTA COLOMBIANA DE FÍSICA, VOL. 36, No. 2, 2004
MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA EN UN CAMPO DE FUERZA CENTRAL
VARIABLE CON TÉRMINOS DISIPATIVOS
Juan R. Martínez, Johan A.Bocanegra, Diógenes Campos
Departamento de Física. Universidad Nacional de Colombia
RESUMEN
Resolvemos las ecuaciones de movimiento para una partícula en un campo de fuerza central
que varía en el tiempo. También consideramos un término de fricción proporcional a la veloc idad
de la partícula. Formulamos el problema en forma Hamiltoniana y usamos análisis numérico
(Método de Runge-Kutta) para resolver las ecuaciones resultantes. Consideramos varias
condiciones iniciales de posición y momentum y concluimos que se trata de un sistema disipativo
sin puntos de equilibrio.
1. INTRODUCCIÓN.
Los campos de fuerza central con que estamos más familiarizados (campos gravitacional y
electrostático) son de carácter constante. Es decir, no presentan una dependencia temporal
explícita sino que para una posición particular en el espacio, conservan su valor inicial. La
tierra, por ejemplo, siente la misma fuerza gravitacional debida al Sol cada vez que pasa por
el perihelio, o por cualquier otro punto, y esto hace que su órbita sea estable y siempre la
misma. ¿Qué pasaría si, por ejemplo, el Sol comienza a perder masa y, en consecuencia, el
campo gravitacional que él produce empieza a decrecer? ¿Cuál sería entonces el comportamiento
de la trayectoria de un planeta como la tierra? ¿Y si el campo decrece, o aún más
interesante, si oscila?. En este trabajo nos proponemos estudiar dichos comportamientos, con
una complicación adicional: un término disipativo, debido a un fenómeno de fricción proporcional
a la velocidad de la partícula. Consideramos condiciones iniciales distintas para la
partícula (en nuestro caso el planeta Tierra) y observamos cómo evoluciona el sistema.
¿Existen puntos de equilibrio o ciclos límites para alguna combinación de condiciones iniciales?
A partir del estudio de las ecuaciones de Hamilton modificadas para el sistema intentaremos
descifrar estas preguntas.
2. ECUACIONES DE MOVIMIENTO.
Consideramos una partícula de masa m que se mueve en presencia de un campo central con
un potencial U(t) (Fig. 1). Las coordenadas generalizadas que utilizaremos para describir la
trayectoria de dicha partícula son su distancia desde la fuente del campo ( r ) y el ángulo
formado por el radio-vector con una dirección determinada ( φ ).
Las variables de estado para nuestro sistema, serán las mismas coordenadas r, φ y sus res-
pectivos momentos p r, pφ . Los parámetros que afectan nuestro sistema son: la masa m de la
partícula, una constante b debida a la fricción, y una cantidad k(t) que tiene que ver con el
potencial del campo. Este es un sistema sin ligaduras, pero restringido al plano, ya que la
dirección del momento angular se conserva.
401

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La energía cinética del sistema es:
1 2 2 2
T ( r,
r&,
φ&
) = m(
r&
+ r φ&
)
2
(1)
Consideremos un potencial de tipo:
k(
t)
U(
r,
t)
= −
r
(2)
Es decir, un potencial que varía con el inverso de la
distancia pero que además depende explícitamente
del tiempo
Las fuerzas generalizadas que intervienen en este sitema son:
= −br&
(3) Q
2
= −br
φ&
(4)
Q r
Formularemos el problema en forma Hamiltoniana para obtener las ecuaciones diferenciales
que rigen el comportamiento del sistema.
Los momentos del sistema están dados por:
2
= mr&
(5) p = mr φ&
(6)
p r
El Hamiltoniano del sistema, en términos de estos momentos, es entonces:
2 2
p p r φ k(
t)
H ( r,
pr
, pφ
, t)
= + −
(7)
2
2m
2mr
r
Obsérvese que el Hamiltoniano depende explícitamente del tiempo, lo que nos lleva a concluir
que en este sistema, la energía no se conserva.
De las cuatro ecuaciones de Hamilton modificadas, podemos resolver analíticamente el momento
angular del sistema para obtener:
( −b
/ m ) t
pφ
( t)
= pφ
0e
(8)
Gráficamente:
Gráfica 1
COMPORTAMIENTO DE LA VELOCIDAD ANGULAR PARA LA PARTÍCULA m
1
Velocidad Angular
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0 1 2 3 4 5
Tiempo
6 7 8 9 10
402
φ
φ
Observemos que el momento angular de la
partícula decae exponencialmente, hasta
hacerse cero luego de cierta cantidad de
tiempo t. Esto debido al efecto que el rozamiento
tiene sobre m.
Reemplazando este resultado en las otras
tres ecuaciones y teniendo en cuenta que
dr / dt = r&
, llegamos a:
dr pr
= ;
dt m

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2
dpr po
( −2b
/ m)
t k(
t)
bpr
= e − −
3
2
dt mr r m
403
;
d φ po
( −b
/ m)
t
= e 2
Nótese que el sistema, además de ser no-lineal es no-autónomo pues las expresiones a la
derecha de las igualdades dependen explícitamente del tiempo. Podríamos convertirlo en un
sistema autónomo mediante la transformación τ = t − to
, pero esto agregaría una ecuación
más al sistema: dt/dτ = 1, y sería imposible encontrar candidatos a puntos de equilibrio. De
hecho, el sistema no posee dichos puntos, como lo indica la ecuación anterior, pues en ningún
caso 0=1.
3. RESULTADOS
En lugar de esto, se resolvió el sistema numéricamente mediante métodos de Runge-Kutta de
orden superior, y se modificaron los parámetros, las condiciones iniciales, y el tipo de potencial
para observar el comportamiento del sistema en el diagrama de fase de tres dimensiones.
A continuación mostramos algunas de las órbitas obtenidas para la partícula; la condición
inicial utilizada corresponde a un punto sobre la órbita del planeta Tierra en el campo gravitacional
del Sol. Los potenciales decrecientes se comportan segúnl (k(t)=k0e-at, con
a=1*108), mientras que el caso oscilante se refiere a una oscilación de tipo sinusoidal
(k(t)=k0sen ( ω t ), con (ω = 9*10-8).
150
210
120
240
90
2.000000e+011
60
1.500000e+011
1.000000e+011
5.000000e+010
180 0
270
300
30
330
dt
mr
1.000000e+011
5.000000e+010
Potencial Constante (b=1*10 17 ) Potencial Constante (b = 1*10 18
)
(9)

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5.000000e+010
Potencial Constante (b = 5*1018) Potencial Decreciente (a=1*10-8; b =1*1014)
Distancia (m)
11
x 10
15
10
5
Potencial Oscilante
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
x 10 9
0
Tiempo (s)
404
210
1.500000e+012
60
1.000000e+012
5.000000e+011
Distancia radial contra tiempo, y orbita para el potencial oscilante (b = 1*10 17 )
4. CONCLUSIÓN
Para valores por debajo del orden de 1017 N.sm-1, el término disipativo b no tiene influencia
notable sobre la partícula en la escala de tiempo que hemos considerado. Más allá de ese
valor su presencia puede producir una órbita en espiral o la pérdida del momento angular de
la partícula en períodos cortos de tiempo. Este efecto se ve reforzado en el caso de un potencial
creciente o atenuado por un potencial decreciente. El caso oscilante se comporta de muy
diversas maneras dependiendo del valor del parámetro de rozamiento y la órbita puede tender
a ser espiralada alrededor del centro del campo, o puede convertirse en una órbita abierta,
haciendo que la partícula escape de la fuente del campo. No hemos encontrado puntos de
equilibrio.
REFERENCIAS
[1] MCCORMICK, John. Numerical Methods in FORTRAN. Ed. Prentice Hall, 1964.
[2] CAMPOS, Diógenes. Prolegómenos a Sistemas Dinámicos. Universidad Nacional de Colombia,
2002.
[3] KARTTUNEN, H. Fundamental Astronomy. Ed. Springer, 1984.
[4] KLEPPNER, Daniel. An Introduction to Mechanics. Ed McGraw-Hill, 1973.
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