Tema 9 Equacions en Diferències i Sistemes Dinàmics Lineals

Tema 9
Equacions en Diferències i Sistemes Dinàmics
Lineals
(9.A) Equacions en Diferències Finites Lineals.
9.0.- Introducció.
Les equacions en diferències apareixen de forma natural en diversos àmbits de
l’enginyeria (electrònica, economia, ...) i, en certa manera, podríem dir que
constitueixen l’anàleg discret de les equacions diferencials ordinàries, però essent les
incògnites funcions discretes, en lloc de funcions contínues. En aquest cas es tracta de
trobar una fórmula explícita per al terme k-èsim d’una successió donada per recurrència.
Les progressions aritmètiques i les progressions geomètriques són exemples
d’equacions en diferències. No obstant que aquestes progressions eren conegudes de
molt abans, sembla que el primer en considerar de forma general les equacions en
diferències va ser B. Taylor en el seu llibre titulat “The Method of Increments” que data
aproximadament de l’any 1715 (segons Le Marquis de Laplace).
Potser la primera equació recurrent coneguda a la història apareix en el “Liber Abaci”,
de 1202, recollint un problema sobre la cria de conills, plantejat i resolt per Leonardo de
Pisa, més conegut com Fibonacci. La successió que apareix com a solució d’aquest
problema és
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
anomenats “números de Fibonacci”. L’equació de Fibonacci és, doncs,
Fk = Fk-1 + Fk-2, k 3
F1 = F2 = 1
Els números de Fibonacci verifiquen curioses propietats, com ara:
2
2
(a) F 1 ... + F k = Fk F k 1
(b) Tot número natural és suma d’un nombre finit de números de Fibonacci, tots
diferents.
Fk 1 1 5
(c) lim = , la famosa “relació àuria” (fonamental en l’estètica
k
Fk
2
grega, i d’altra banda freqüent en fenòmens naturals com ara espirals de
cargols, de ramificacions de plantes, ...).
9.1

9.1, 9.2.- Definició i exemples.
Def. –
(1) Indicarem per y(k), k , una funció de variable discreta (o simplement, “funció
discreta”), és a dir, y:
( y ( 0),
y(
1),
, y(
k),
).
. Pot identificar-se amb la successió
(2) Una equació en diferències (EED) lineal amb coeficients constants d’ordre n és una
equació de la forma
y(k n-1
1
0
n) a y(k n -1)
... a y(k 1)
a y(k)
(k) (*)
on aj són constants 0 j n 1,
és una funció discreta donada i y és una funció
discreta a determinar de forma que verifiqui la relació (*).
(2’) Es diu aleshores que y(k) és una solució de (*), amb condicions inicials
y(0), ..., y(n-1).
(2’’) Si = 0 es diu que l’EED és homogènia. En cas contrari, s’anomena completa i
se’n diu homogènia associada la que resulta de substituir (k)
per 0.
(3) S’anomena polinomi característic de (*) al
n
n-1
Q( ) a n-1
... a1
Les seves arrels s’anomenen valors característics.
(3’) Si n’hi ha un simple real i de mòdul estrictament més gran que els altres, es diu
dominant (i el següent, si existeix, subdominant...).
Obs. – Com hem dit a la introducció, (*) indica com construir la successió y(k) per
recurrència, i es tracta com primer objectiu de trobar-ne una expressió explícita
del terme general y(k).
Exemple. – (l’equació geomètrica)
Se’n diu equació geomètrica la de la forma
La seva solució és immediata:
y(k + 1) = y(k) + C, k
- Si = 1: y(k) = y(0) + k C, k .
- Si 1, C = 0: y(k) = k y(0), k .
a
0
9.2

C
- Si 1, C 0: y(k) = ( 0)
1
y k +
C
, k
1
Observeu que hi ha una solució per a cada condició inicial y(0).
Observeu igualment que hi ha un únic valor característic, .
Aplicacions. –
(1) Aquesta equació apareix, per exemple, en problemes de interessos i d’amortització.
Suposem que al començament de cada any s’ingressa en un compte bancari una
quantitat constant b, més el rèdit produït durant l’any anterior a un interès anual i.
Per a l’any k, designem per y(k) la quantitat acumulada al començament d’any,
després de les operacions anteriors. La funció discreta y(k) verifica les relacions
y(1) = b
y(k + 1) = y(k) + iy(k) + b = (1 + i)y(k) + b
que és una equació geomètrica amb = 1 + i, C = b. Per tant
i
b k 1 b 1 1
y(
k)
y(
1)
1i
= b
i i i
(2) De manera anàloga, considerem un procés d’amortització d’un deute D, a un interès
anual i, mitjançant l’abonament anual d’una quota constant B. Designem per d(k) el
deute pendent al cap de k anys i procedint com en l’exemple anterior tindrem,
d’on
d(0) = D
d(k + 1) = d(k) + id(k) – B = (i + 1)d(k) – B
B
i
d(k) = d(
0)
1i k
B
i
D(
1
i)
k
B
k
1 i
Si es vol liquidar el deute en un termini de n anys, ha de ser d(n) = 0, d’on resulta la
quota
n
i(
1
i)
D
( 1
i)
1
B n
9.3.- Existència i unicitat de les solucions.
És evident que:
i
k
1
9.3

Prop. – Donada una EED com (*) i fixades les condicions inicials y0, ..., yn-1, existeix
una única solució y(k) tal que: y(0) = y0, ..., y(n – 1) = yn-1.
Obs. –
(1) De fet, la proposició és certa per a qualsevol EED de la forma
y( k n)
F(
y(
k n 1),...,
y(
k),
k)
sense condicions de linealitat ni de invariància.
Per exemple, (k + 1)y(k + 1) – ky(k) = 1 té com a solució
y ( k)
1,
k 1 i y(0) = (arbitrari)
(2) Si a la solució y(k) de (1) li exigim que verifiqui les condicions inicials següents:
y( k N)
y , k = 0, ..., n – 1
k
aleshores la solució de (*) que verifica aquestes condicions existeix i és única, però
definida per k N .
k 1
Així en l’exemple anterior, si fixem y(1) = 0, la solució és y(
k)
, per a k 1.
k
9.4, ... , 9.7.- Resolució de les EED homogènies.
Prop. – Considerem l’EED homogènia
y( n 1
1
0
k n)
a y(
k n 1)
... a y(
k 1)
a y(
k)
0
(1) El conjunt de solucions S 0 és un espai vectorial de dimensió n.
(1’) De forma més precisa, la correspondència amb les condicions inicials
y( k)
S0
y( 0),
y(
1),
,
y(
n 1)
és un isomorfisme ( lineal bijectiva).
(2) N’és una base tot conjunt de n solucions y1(k), ..., yn(k), amb condicions inicials
l.i., és a dir:
n
9.4

y1(
0)
. . . yn
( 0)
.
.
det
.
. 0
.
.
1(
1)
. . . ( 1)
y n yn
n
(3) Qualsevol altra solució, doncs, n’és una combinació lineal
k)
c y ( k)
c y ( k)
y( 1 1
n n
els coeficients de la qual queden determinats per les condicions inicials:
y(
0)
c1
y1(
0)
cn
yn
( 0)
y(
1)
c1
y1(
1)
cn
yn
( 1)
Def. – En les condicions anteriors, es diu que y1( k),
, yn
( k)
formen un sistema
fonamental de solucions.
Exemple – Un sistema fonamental de solucions de
és:
y ( k 2)
2y(
k 1)
y(
k)
0
y1
( k)
1,
k 0
y
2 ( k)
k,
k 0
ja que són solució:
1
2 1
1
0
(
k 2)
2(
k 1)
k 0
1
0
i les condicions inicials són l.i.: det 0
1 1
Lema – En les condicions anteriors:
(1) Si és un valor característic amb multiplicitat m, aleshores:
són solucions, i són l.i.
k
,
k m1
k
k ,..., k
(2) Si
(no real) és un valor característic (i per tant també ) amb multiplicitat m,
aleshores:
9.5

k
cos k,
k cos k,...,
k
k
sin k,
k sin k,...,
k
k
k
m1
m1
on indica l’argument de , són solucions, i són l.i.
Teorema – Donada l’EED homogènia
cos k,
k
k
sin k
k n)
a y(
k n 1)
... a y(
k 1)
a y(
k)
0
y( n 1
1
0
suposem que els seus valor característics són:
,...,
; amb multiplicitats α1, ..., αp
1 p
1 , 1,...,
q
q
(no reals); amb multiplicitats β1, ..., βq
,
(1) Aleshores, un sistema fonamental de solucions és:
k k
, k
,..., k
1
...
1
k k
, k
,..., k
p
...
k
1
k
1
k
q
k
q
p
11
q
p 1
q
k
,
cos k
, k
sin k
, k
1
k
,
p
k
1
k
1
cos k
, k
sin k
, k
k
q
k
q
on ),..., arg( ) .
1 arg( 1 q
q
1
1
cos k
,..., k
sin k
,..., k
1
1
cos k
,..., k
q
q
sin k
,..., k
1
1
1
1
q 1
q 1
k
1
k
1
sin k
,
k
q
k
q
cos k
,
1
1
cos k
,
sin k
(2) Qualsevol altra solució és, doncs, una combinació lineal de les anteriors,
els coeficients de la qual queden determinats per les condicions inicials.
Obs. –
(1) Les solucions que formen part de la base anterior, s’anomenen modes (bàsics,
fonamentals, ...).
(2) En particular s’anomenen modes principals els de la forma k
i o els seus múltiples.
(2’) També, si y (k)
és una solució combinació lineal dels modes anteriors, els sumands
k
de la forma c s’anomenen les parts principals de y(k).
i
i
q
q
9.6

(2’’) En particular si 1 és valor característic dominant, aleshores el sumand
s’anomena la part dominant de y(k) (i anàlogament,
k
la part subdominant,...).
c2 2
k
c1 1
(3) Els corresponents a valors característics complexos (o a valors característics reals
negatius) són modes oscil·lants, de període 2 / j .
(3’) En particular, si i 1,
els de la forma cos( k j ) , sin( k j ) i els seus múltiples són
oscil·lacions d’amplitud constant (que no s’amplifiquen ni s’esmorteeixen).
Exemples –
(1) A l’exemple anterior
y ( k 2)
2y(
k 1)
y(
k)
0
el polinomi característic és t 2 - 2t + 1, que té una única arrel: 1,
doble. Per tant,
una base de l’espai de solucions és:
k
y1(
k)
1 1
k
y2
( k)
k 1
k
(les que ja havíem trobat).
(1’) Qualsevol altra solució serà de la forma:
y k c c k
) (
1 2 1
Per exemple, la de condicions inicials 2, y -1:
Per tant: y(k) 2 - 3k
En efecte
k
0 2 c1
k
1 1
c
1
c
y 0 1
2
c
c
1
2
2
3
(
2 3(
k 2))
2(
2 3(
k 1))
( 2 3k)
0
y(
0)
2,
y(
1)
1
(1’’) En general: y(0) c1,
y(1) c1
c 2 .
Per tant y(k) y(0) (y(1) - y(0))k .
(2) Per la EED
y ( k 2)
y(
k)
0
Els valors característics són i .
Una base de l’espai de solucions és:
9.7

y1( k)
cos k , y2
( k)
sin k
2
2
Tota solució serà de forma:
y k)
c1
cos k c
2
( 2
sin k
2
Les constants c1, c2 quedaran determinades per:
y(
0)
c1
y(
1)
c2
Corol. (solució general per valors característics reals simples) –
En particular, si els valors característics són 1 ,..., n
aleshores tota solució és de la forma
k
k
y( k)
c1
1 ... cn
n
on c ,..., cn
queden determinades per les condicions inicials:
1
Més explícitament:
y(
0)
c1
... cn
y(
1)
c11
... cn
n
...
n 1
n
y(
n 1)
c11
... cn
n
c1
1
c
2 1
... ...
n
c
n 1
1
1
..
..
..
..
..
..
1
1 y(
0)
n
y(
1)
... ...
n1
n y(
n 1)
, tots diferents ( simples),
on la matriu és efectivament invertible si 1, , n
són diferents (determinant de
Vandermonde).
Exemple – Recordem que els números de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,... varen definirse
mitjançant:
En termes de EED:
Fk = Fk-1 + Fk-2, k 3
F1 = F2 = 1
9.8

Segons el corol·lari anterior
En definitiva:
Fk
y(
k
y(
0)
t
2
2)
0,
t 1
0
y(
k 1)
y(
k)
y(
1)
1
1
5 1
5
1 , 2
2 2
k
k
1 5 1 5
y(
k)
c c
1
2
2 2
1
0
c1
c2
c1
5
1
5 1
5
1
c1
c2
1
2 2 c2
5
1
1
5
5
2
k
k
1 5
, k = 1, 2, ...
2
No deixa de sorprendre que aquesta expressió doni números naturals per tot k : 1, 1,
2, 3, ...
9.8, ... , 9.10.- Resolució de les EED completes.
Prop. – Donada una EED completa
Sigui:
y( k n)
an
1 y(
k n 1)
... a1
y(
k 1)
a0
y(
k)
y0 ( k)
una solució particular (qualsevol).
S 0 l’espai de solucions de la EED homogènia associada (és a dir, substituint
(k ) per 0).
Aleshores, el conjunt de solucions és:
S
y ( k)
S
0
0
( k)
9.9

És a dir, tota solució y(k) és la suma de y 0 ( k)
més una combinació lineal de les d’una
base de S 0 , els coeficients de la qual queden determinats per les condicions inicials
y y .
0 ,..., n1
Exemple –
(1) Per l’equació geomètrica
y( k 1)
y(
k)
C
és clar que una solució particular és
i que una base de S 0 és
y ( k)
kC
0
y ( k)
1
1
k
1
Per tant, tota solució és de la forma:
y( k)
y ( k)
c y ( k)
kC c
El coeficient c 1 queda determinat per k = 0:
En definitiva:
y( 0)
c
1
0
y( k)
kC y(
0)
(2) Per l’equació geomètrica general:
resulta:
En definitiva:
y( k 1)
y(
k)
C , 1
C
y0
( k)
1
k
y ( k)
1
C
k
y(
k)
c1
1
C
y(
0)
c1
1
1
1
1
9.10

C C k
y( k)
y0
1
1
(3) Sigui y ( k 2)
2y(
k 1)
y(
k)
1
Tenim:
En definitiva:
k(
k 1)
y0
( k)
2
y ( k)
1;
y ( k)
k
1
k(
k 1)
y(
k)
c
2
y(
0)
c
1
1
2
y(
1)
c c
2
1
c
k(
k 1)
y ( k)
y(
0)
( y(
1)
y(
0))
k
2
Prop. (EED amb terme independent constant) -
Una EDD completa del tipus
y( n 1
1
0
2
k
k n)
a y(
k n 1)
... a y(
k 1)
a y(
k)
C,
C 0
admet una solució particular de la forma
y ( k)
k
0
amb , s adients.
Una metodologia per obtenir-la és assajar successivament
2
, k,
k
Exemple – Apliquem aquesta metodologia als exemples anteriors:
(1) y ( k 1) y(
k)
C,
C 0
Assagem y0 ( k)
:
C , incompatible.
Assagem, doncs, y0 ( k)
k : (
k 1)
k
C;
C
Per tant, una solució particular és: y ( k)
Ck
(2) y ( k 1) y( k)
C,
C 0,
1
C
Assagem y
0 ( k)
: C;
1
0
s
9.11

Per tant, una solució particular és:
C
y 0 ( k)
1
(3) y ( k 2)
2y(
k 1)
y(
k)
C,
C 0
Per y0 ( k)
: 2
C , incompatible
Per y0 ( k)
k : (
k 2)
2
( k 1)
k
C , incompatible
2
2
2 2
Per y ( k)
k : (
k 2)
2
( k 1)
k
C
0
k
2
( 2
)
k(
4
4
) 4
2
C
C
2
1 2
Per tant, una solució particular és: y0 ( k)
k .
2
Observem que no és la mateixa considerada abans: difereixen en k , que és solució
2
de la homogènia associada, i per tant dóna el mateix conjunt S.
Obs. (obtenció d’una solució particular) –
En general per obtenir una solució particular hi ha diversos mètodes:
(1) Avaluació directa.
Habitualment, amb condicions inicials nul·les. Així, en l’exemple (3) anterior:
y0
( 0)
y0
( 1)
0
y0
( 2)
2y
0 ( 1)
y0
( 0)
1
1
y0
( 3)
2y
0 ( 2)
y0
( 1)
1
2 1
3 ( 1
2)
y0
( 4)
2y
0 ( 3)
y0
( 2)
1
6 ( 1
2 3)
...
Si assagem
k
y 0 ( k)
1
2 ... ( k 1)
( k 1)
2
Resulta:
k k 1
y 0 ( k 1) 2 ( k 1)
( k 2)
1
2 2
1 2
2
( 2k
2k
k 3k
2 2)
2
1 2 k 1
( k k)
k
2
2
quedant confirmat l’assaig.
(2) La transformada Z.
9.12

La transformada Z podria dir-se que és l’anàleg discret a la transformada de
Laplace i permet obtenir solucions particulars a partir d’una taula
d’antitransformades.
(3) El mètode dels coeficients indeterminats
Aquest mètode és també anàleg al emprat per trobar solucions particulars de les
equacions diferencials lineals ordinàries. Consisteix a assajar solucions amb
coeficients indeterminats del mateix tipus que (k)
, de forma anàloga a com
hem fet abans per al cas del terme independent constant:
m k ~
y0
( k)
k R(
k)
,
k
si ( k)
R(
k)
on: m és la multiplicitat de com arrel del polinomi característic Q ( )
~
( m 0 si no n’és arrel), i R ( t)
és un polinomi del mateix grau que
R (t)
, amb coeficients a determinar.
m k
y0
( k)
k ( cosck
sin ck)
,
k k
si( k)
sin ck ó( k)
cosck
on: m és com abans, i, són coeficients a determinar.
La taula adjunta ho detalla més explícitament:
(k)
Solució a assajar
c k c k ... c
k k ...
r r1
r r1
0 1
r
0 1
r
k
k
( Q ( )
0)
k
(essent arrel de ( )
multiplicitat m)
Q amb
m k
k
k r r1
k r r1
( c k c k ... c ) ( Q ( )
0)
( k k ... )
0 1
r
k r r1
( c0k c1k
... cr
) (essent arrel
de Q ( ) amb multiplicitat
m)
0 1
r
m k r r1
k ( k k ... )
0 1
r
sin ck ó cos ck
cosck sin ck
k k k
sin ck ó cosck
( Q ( )
0)
( cosck
sin ck)
k k
sin ck ó cosck
(essent arrel de
Q ( ) amb multiplicitat m)
m k
k ( cosck
sin ck)
9.13

Exemples – Vegem alguns exemples d’obtenció de solucions particulars seguint el
mètode dels coeficients indeterminats.
(1)
k
y( k 2)
4y(
k 1)
4y(
k)
5
3
2
Q( ) 4
4,
Q(
3)
0
k
Per tant assagem y ( k)
3
de on obtenim 5 . Així doncs,
0
y ( k)
5
3
0
k
(2)
k
y( k 2)
4y(
k 1)
4y(
k)
2
2
Q ( ) ( 2)
Per tant, 2 és arrel doble de Q ( ) . Assagem y0 ( k)
doncs,
2 k 3
y ( k)
k 2
2
0
(3) y( k 1)
y(
k)
3sin
2k
Assagem y ( k)
sin 2k
cos 2k
i arribem al sistema
0
cos 2 sin 2
3
sin 2 cos 2 0
de on obtenim i .
2 k
k i obtenim 1 8
. Així
(4) Si 1 és arrel de Q ( ) , cal procedir com si en el terme independent (k)
hi haguès
k
un factor 1.
Així, per l’EED
y ( k 2)
2y(
k 1)
y(
k)
k 1
els assajos amb y 0 ( k)
k i y 0 ( k)
k(
k ) donen sistemes incompatibles
per i (0 = k + 1, 2 = k + 1, respectivament). Si assagem
2
y 0 ( k)
k ( k )
resulta
6k + 6 + 2 = k + 1
amb solucions =1/6, =0. En definitiva, una solució particular és
3
y ( k)
k 6
9.11, 9.12.- Propietats dinàmiques: cas homogeni.
(a) Comportament dels modes bàsics.
0
Vegem en primer lloc el comportament de les solucions, a partir del dels modes bàsics:
Prop. (comportament dels modes bàsics) –
9.14

Donada una EED homogènia, podem considerar esquemàticament tres tipus de
comportament asimptòtic dels modes bàsics:
(i) no acotat (monòtonament o oscil·lant).
(ii) convergent (a l’origen o no; monòtonament o oscil·lant).
(iii) acotat, no convergent.
En efecte, sigui un valor característic (real o complex) i y (k)
un mode bàsic associat.
Aleshores:
(1) 1 y(
k)
és no acotat.
De forma més precisa:
(1.1) Si 0 , és y (k)
monòtonament.
(1.2) Altrament, y (k)
oscil·la amb amplitud creixent ( y (k)
).
(2) 1 y(
k)
0 .
(3) 1:
k
(3.1) Els modes c1 són constants (per tant, y( k)
c ).
k
(3.2) Els modes c ( 1)
i les oscil·lacions del tipus cos k
i sin k
(i els seus
múltiples) són acotades, però no convergents.
(3.3) Els altres modes són no acotats.
Exemple –
Modes corresponents als tres tipus assenyalats són:
(i) no acotats:
k r k r
- monòtons: 2 , k 2 , k .
r k r
r k
- oscil·lants: k ( 1)
, k cos k,
k 2 cos k
.
(ii) convergents:
k
k
1 r 1
- a l’origen, monòtonament: , k .
2 2
r 1 r 1
- a l’origen, oscil·lant: k
, k cos k
.
2 2
- a un límit diferent de l’origen: k
1.
k
(iii) acotat, no convergent: ( 1)
, cos k
.
(b) Comportament de les solucions generals.
El comportament de les altres solucions és pot estudiar com combinacions lineals dels
modes bàsics de la proposició anterior, resultant els mateixos tres tipus esquemàtics.
Vegem-ho en l’exemple següent.
k
k
9.15

Exemple – Considerem l’EDD
3 3
y ( k 3)
y(
k 2)
y(
k 1)
y(
k)
0
2 2
Calculem la solució general:
3 3 2 3
P ( t)
t t t 1
2 2
1
arrels característiques: 2, 1,
(totes simples).
2
Per tant:
k
k
k 1
y( k)
c1
2 c2
( 1)
c3
2
(i) c1 0 y(
k)
no acotada.
(ii) c 1 c2
0 y(
k)
0
(iii) c , c 0 y(
k)
acotada, no convergent.
1
0 2
Podem expressar-ho en termes de les condicions inicials. De:
resulta:
Per tant:
y( 0)
c c c
1
1
y( 1)
2c1
c2
c3
2
1
y( 2)
4c1
c2
c
4
2
1
c1 ( y(
0)
y(
1)
2y(
2))
9
1
c2 ( 2y(
0)
5y(
1)
2y(
2))
9
4
c3 ( 2y(
0)
y(
1)
y(
2))
9
3
3
(i) solucions no acotades per condicions inicials fora del pla:
y ( 0)
y(
1)
2y(
2)
0
(ii) solucions convergents (a 0) per condicions inicials en la recta:
9.16

y(
0)
y(
1)
2y(
2)
0
2y(
0)
5y(
1)
2y(
2)
0
(iii) solucions acotades, no convergents, per les altres condicions inicials.
(c) Convergència asimptòtica cap al mode dominant.
Ara vegem, en segon lloc, que quan hi ha un dominant les solucions hi tendeixen
asimptòticament:
Prop. (convergència asimptòtica cap al mode dominant) –
Donada una EED homogènia, suposem que existeix 1 valor característic dominant. Si
y (k)
és una solució amb part principal
(1)
k
y( k)
c11
, per k , si c 0 .
1
1
1
De forma més precisa:
y(
k)
lim 1,
si
k k
1 0
c
c
(1’) En particular:
y(
k 1)
lim 1
, si 1 0
k y(
k)
c
k
c 1
1 , 1 0 c , aleshores:
(2) Si a més 2 és el valor característic subdominant:
k
y(
k)
c11
lim
1,
si
k
k
2 0
c
c
2
2
Obs. – Es pot dir, doncs, que les solucions genèriques ( 1 0 c , 2 0 c ,...) tendeixen
asimptòticament cap a la seva part dominant
asimptòticament cap a la seva part subdominant.
Exemple –
(1) Per als números de Fibonacci resulta
Fk 1
Fk
k lim
1 5
=
2
(2) Anem a calcular el límit de la successió
2
5 12 29 70
, , , , ,...
1 2 5 12 29
k
c1 1 , i que la diferència tendeix
9.17

És clar que es tracta de calcular
essent y(k) la solució de
y(
k 1)
lim
k
y(
k)
y( k 2)
2y(
k 1)
y(
k)
, k 0
amb condicions inicials y ( 0)
1,
y(
1)
2 .
El seu polinomi característic és
2
P ( t)
t 2t
1
i els seus valors característics
1
2 , 1
2
Així doncs, la solució general és
1
k
k
y ( k)
c1(
1
2)
c2
( 1
2)
les condicions inicials ( 0)
1,
y(
1)
2
2
y permeten calcular c 1 i 2
c .
Segons la proposició anterior, si prenem y(k) amb c 0 tindrem que
y(
k 1)
lim 1
k y(
k)
2
Fem notar que de fet no cal calcular c 1 i c 2 , sinó verificar que per la solució donada
és 1 0 c . Altrament dir, només cal veure que si 1 0 c no tenim la successió
numèrica considerada. En efecte, si 1 0
k
c , y ( k)
c2
( 1
2)
que, clarament, és
incompatible amb les condicions inicials y ( 0)
1,
y(
1)
2 .
9.13.- Punts d’equilibri. Estabilitat.
Finalment, apliquem les proposicions anteriors a l’estudi de l’estabilitat dels punts
d’equilibri.
Def. – Suposem una EED completa, amb (k)
constant:
1
y k n)
an
y(
k n 1)
... a y(
k 1)
a y(
k)
C
( 1
1
0
9.18

(1) Una solució constant y( k)
ye
se’n diu un punt d’equilibri.
(2) Aleshores, el punt d’equilibri es diu:
Exemple –
(2.1) inestable si alguna solució no és acotada.
(2.2) asimptòticament estable si per tota altra solució és
lim y( k)
y
k
e
(2.3) marginalment estable si tota altra solució és acotada, però alguna no
convergeix a y e .
(1) Per l’equació geomètrica
1
y ( k 1) y(
k)
1
2
tenim un punt d’equilibri y e 2 que és asimptòticament estable, ja que per tota altra
solució
(2) Per l’equació geomètrica
1
y ( k)
( y(
0)
2)
2 2
k
2
y ( k 1) 2y(
k)
2
tenim igualment y 2 , però ara inestable ja que
(3) Per l’EED
e
k
y ( k)
( y(
0)
2)
2 2
y ( k 2)
y(
k)
0
és y 0 que és marginalment estable ja que les solucions
e
y k)
c1
cos( k ) c
2
són totes acotades, però no convergeixen a 0.
( 2
sin( k
(4) Quan el punt d’equilibri no és asimptòticament estable, es pot estudiar com abans
quines solucions hi convergeixen, si n’hi ha.
)
2
9.19

Així, si refem l’exemple anterior considerant l’EED completa
3 3
y ( k 3)
y(
k 2)
y(
k 1)
y(
k)
2
2 2
és clar que presenta un únic punt d’equilibri
y e
2
De forma anàloga al cas homogeni associat, estudiat abans, resulta:
(i) solucions no acotades:
k
k 1
y(
k)
2
c1
2 c2
( 1
) c3
, c1
0
2
que corresponen a les condicions inicials:
y ( 0)
y(
1)
2y(
2)
0
(ii) solucions convergents a y 2
:
1
y( k)
2
c3
2
que corresponen a les condicions inicials:
y(
0)
y(
1)
2y(
2)
0
2y(
0)
5y(
1)
2y(
2)
0
(iii) solucions acotades, no convergents:
k
k 1
y(
k)
2
c2
( 1)
c3
, c2
0
2
que corresponen a les condicions inicials:
y(
0)
y(
1)
2y(
2)
0
2y(
0)
5y(
1)
2y(
2)
0
e
Prop. (estabilitat d’un punt d’equilibri) – En les condicions de la definició anterior:
(1) Si C 0 , tenim un únic punt d’equilibri
y
e
0
k
k
9.20

si ... a a 0 . En cas contrari, tots els punts són d’equilibri.
1 an 1
1 0
(1’) Si C 0 , tenim un únic punt d’equilibri
y
e
C
1 a ... a a
n1
si ... a a 0 . En cas contrari, no n’hi ha cap.
1 an 1
1 0
(2) Aleshores:
(2.1) Si 1 per algun valor característic , és inestable.
(2.2) Si 1 per tots els valors característics , és asimptòticament estable.
(2.3) Si 1 per a tots els valor característics i són simples els que 1,
és
marginalment estable.
(2’) En particular, si hi ha valor dominant 1 :
(2’.1) 1 inestable.
1
(2’.2) 1 asimptòticament estable.
1
(2’.3) 1 marginalment estable.
(2’’) Igualment si 1 , 1
són valors característics complexos simples, amb i
a tots els altres valors característics i :
(2’’.1) 1 inestable.
1
(2’’.2) 1 asimptòticament estable.
(2’’.3) Si 1 1
1
i arg 1
1
0
1 per
, hi ha solucions oscil·lacions de període 2
yosc ( k)
ye
c1
cosk
c2
sink
i totes les altres y (k)
hi tendeixen en el sentit que
on c k c sink
( k)
y c cos
k c sink
0
lim y e 1
2
k
1 cos 2 és la part dominant de (k)
y .
9.21

Exemples – Verifiqueu-ho en els exemples anteriors.
Aplicacions -
(1) (El model de la teranyina)
(1.1) Suposem que la demanda D i la producció P d’un determinat producte depenen
linealment del preu p segons
D(
p)
D0
ap
P(
p)
P bp
0
on a, b, D0 són constants positives i P0 és una constant negativa. És evident
que el preu d’equilibri és
p e
D0
P0
a b
(1.2) Considerem ara el cas d’una producció periòdica (agrícola...). La producció
P(k) en el moviment k vindrà donada per
P( k)
P ˆ 0bp( k)
on p ˆ( k)
designa la previsió de preu feta pels productors. Però el preu real p(k)
serà el que permeti vendre tota la producció, és a dir, el determinat per
En definitiva resulta
D(
k)
P(
k)
D(
k)
D ap(
k)
0
b b
p( k)
p 1 pˆ
e ( k)
a a
(1.3) Suposem, per exemple, que els productors determinin la seva producció segons
el preu del període anterior, és a dir
p ˆ( k)
p(
k 1)
El gràfic següent representa la cadena
p( k
1)
pˆ
( k)
P(
k)
D(
k)
p(
k)
9.22

L’equació resultant per a p(k) és
b b
p( k 1)
p(
k)
pe
1
a a
Resulta que pe és, efectivament, el punt d’equilibri i que és estable si b < a.
(1.4) Suposem ara una estratègia de previsió més complexa, segons la qual p ˆ( k)
resulti d’extrapolar linealment l’evolució dels dos períodes immediatament
anteriors:
p ˆ( k)
2 p(
k 1)
p(
k 2)
L’equació resultant per a p(k) serà ara
b b b
p( k 2)
2 p(
k 1)
p(
k)
pe
1
a a a
Observem que pe continua essent un punt d’equilibri, però ara és estable
només si b 3a
. Doncs, aquesta estratègia de previsió més sofisticada pot
inestabilitzar el sistema.
9.23

(2) El cicle del preu de la carn de porc.
Durant gairebé un segle, varen observar-se oscil·lacions en la producció de carn de
tocino als USA, amb cicles força regulars d’aproximadament 4 anys de durada. Es tracta
de trobar una adaptació del model de la teranyina que s’ajusti a aquest comportament.
Cal tenir present que hi ha dues temporades de producció cada any (a la primavera i a la
tardor) i que el període de criança del tocino és aproximadament un any. Per tant, la
variable k correspondrà a semestres i a la separació “decisió/obtenció de producció” serà
de dos d’aquests períodes.
(2.1) L’adaptació del model anterior seria ara
i per tant,
p ˆ( k)
p(
k 2)
b b
p( k 2)
p(
k)
pe
1
a a
que no donaria oscil·lacions quadrimestrals sinó bianuals (ja que 1 i
b a ,
3
és a dir, o ).
2 2
(2.2) Suposem ara que els productors utilitzen com a preu de referència la mitjana
dels dos darrers anys
1
p ˆ( k)
( p(
k 2)
p(
k 3)
p(
k 4)
p(
k 5)
p(
k 6))
5
Resulten aleshores solucions oscil·latòries quadrianuals, d’amplitud constant
per a b=2,07a (valors característics dominants ( 1 i ) 2 ).
(9.B) Sistemes Dinàmics Lineals Discrets.
9.14, ... , 9.16.- Definicions i exemples.
Def. –
(1) Un sistema discret lineal amb coeficients constants és una equació de la forma
x( k 1)
Ax(
k)
b(
k)
, k
0
9.24

on A M n , b( k)
( b1
( k),...,
bn
( k))
són n funcions discretes donades i
x ( x1,...,
xn
) són n funcions discretes a determinar de forma que verifiquin la
igualtat anterior.
(1’) De forma més explícita, si A ( aij
) :
x1
( k 1)
a11x1
( k)
a1n
xn
( k)
xn
( k 1)
an1x1
( k)
ann
xn
( k)
(2) Es diu aleshores que x(k) és una solució amb condicions inicials
x 0)
( x ( 0),...,
x ( 0))
n
.
( 1 n
(3) Si b(k) = 0, es diu que el sistema és homogeni, i en cas contrari, complet.
Exemples –
(1) Considerem el sistema
x( k 1)
Ax(
k)
, o més explícitament
0
A
1
1
2
És immediat comprovar que
x1
( k 1)
x2
( k)
x2
( k 1)
x1
( k)
2x2
( k)
x ( k)
1
k
1 , x2 ( k)
k
és la solució per a les condicions inicials x ( 0)
1,
x ( 0)
1.
(1’) Igualment, per a les condicions inicials x ( 0)
0 , x ( 0)
1 és:
x ( k)
k
1 , x 2 ( k)
k 1
(1”) En general, per a les condicions inicials qualssevol x 0)
( x ( 0),
x ( 0))
:
(2) Sistema associat a una EED
1 k k
x( k)
x(
0)
k k 1
1
1
2
2
( 1 2
9.25

Donada una EED
si definim x ,..., xn
resulta
1 per:
y( k n)
an
1 y(
k n 1)
... a0
y(
k)
x1( 2
n
k)
y(
k),
x ( k)
y(
k 1),...,
x ( k)
y(
k n 1)
0
0
A ..
0
a
0
1
0
..
0
a
x( k 1)
Ax(
k)
b(
k)
1
0
1
..
0
a
2
..
0
0
..
1
a
n1
,
( k)
0
0
b(
k)
0
(
k)
Per tant, la primera coordenada 1( ) k x de la solució x(k) d’aquest sistema és la solució
y(k) de l’EED inicial.
Observem que A és una matriu del tipus “companion” (companya), amb polinomi
característic el de la EED de sortida. Per tant, els VAPs de A són els valors característics
de la EED, amb les mateixes multiplicitats.
Aplicacions –
(1) Model bidimensional de la teranyina
Considereu dos productes parcialment sustitutoris, de forma que la disminució de la
demanda d’un d’ells provoca un augment de la de l’altra. Per exemple, suposeu que les
demandes d1, d2 i els preus p1, p2 de cada producte venen relacionats per
d
d
1
2
p
D
p
1
2
d
d
0
1
0
2
D
on , ,
, són positius, i 0 .
Com en el cas unidimensional, suposeu que les produccions en cada període queden
determinades pels preus del període anterior mitjançant
s
1(
k 1)
s
s2
( k 1)
s
0
1
0
2
p1(
k)
E
p2
( k)
amb E diagonal de coeficients positius, ja que suposem les produccions independents.
9.26

Com en el cas unidimensional, igualant la oferta i la demanda s’obtenen les equacions
dinàmiques dels preus:
(2) Models poblacionals per cohorts
1
p( k 1)
Ap(
k)
b , A D E
Un model clàssic en estudis demogràfics considera la població dividida en grups d’edat
(o “cohorts”) a intervals iguals. Per exemple, si es consideren intervals de 5 anys,
s’indica per x0 ( k),
x1(
k),...
la població que té entre 0 i 5 anys, entre 5 i 10 anys, ...,en el
k-èssim quinquenni. Sovint es suposa que la distribució entre homes i dones és idèntica,
amb la qual cosa ens podem limitar a considerar només la població femenina.
Si indiquem, per cada període:
- i , taxa de supervivència de la cohort i-èssima.
- i , taxa de natalitat de la cohort i-èssima.
- bi (k)
, balanç de migració de la cohort i-èssima.
resulta el model de Leslie
(3) Sistemes de control
0
0
A ..
0
x( k 1)
Ax(
k)
b(
k)
0
..
0
1
..
..
n1
0
..
n1
n
0
..
0
En els sistemes de control, l’equació d’estats és de la forma:
x( k 1)
Ax(
k)
Bu(
k)
on B M nm
i u( k)
( u1(
k),...,
um
( k))
.
L’evolució de les variables d’estat x(k), doncs, depèn dels controls u(k) que s’apliquin.
9.17, ... , 9.19.- Resolució dels sistemes discrets.
Prop. (Cas homogeni) –
Considerem un sistema homogeni:
x( k
1)
Ax(
k)
9.27

(1) Fixades unes condicions inicials x 0 , existeix una única solució del sistema, que ve
donada per:
k
x(
k)
A x , k 0
0
(1’) El còmput de les potències A k requereix habitualment simplificar la matriu A
mitjançant un canvi de base adequat:
c1
1
k k 1
k 1
k
A S AS A SA
S x( k)
SA
S x0
SA
c
n
on les constants c 1, , cn
queden determinades per les condicions inicials
mitjançant
c1
x( 0)
x0
S
c
n
és a dir, són les coordenades de x0 en la base S.
(2) El conjunt de solucions, en variar x 0 , forma un espai vectorial S0 de dimensió n.
(2’) Un subconjunt de solucions és l.i. sii ho són les seves condicions inicials.
Exemples –
(1) Recordem que els números de Fibonacci són la solució de l’EED:
El sistema associat és
y(
k 2)
y(
k 1)
y(
k)
y(
0)
0,
y(
1)
1
x( k 1)
Ax(
k)
, Els VAPs de la matriu A són:
0
A
1
1
1
i per tant diagonalitzant:
1
5 1
5
1 , 2
2 2
9.28

1
A
0
0 1
S AS ,
2
amb
1
S
1
1
2
k
k 1
A S
0
0 1
S k
2
De fet ens interessa el valor de x1(k) per les condicions inicials x 0)
0,
x ( 0)
1:
k
x1(
k)
1
S
x2
( k)
0
k
1 1
k 1
2
1
1
Com que 5 , resulta:
2
1
k
0 1
0
1 1 1
S
k
1
1
2
2
0
k
k
1
2
1 1
k 1
2
1 2
1
k k
1
x1( k)
1 2
5
que coincideix amb la trobada abans.
(2) Recordem que per la EED
y ( k 2)
2y(
k 1)
y(
k)
0
havíem trobat com a solució general
El sistema associat és
y ( k)
y(
0)
( y(
1)
y(
0))
k
0 1 2
k
2 1
2 1
k
2
x( k 1)
Ax(
k)
, 0 1
A
1 2
La matriu A no és diagonalitzable, però:
1
1 0
A S AS , amb
1 1
1
1
S
0
1
A
k
A k
Per tant, la solució general és:
k
1
1
0
1
1
k
0
1
1
S
k
0
1
1
k
S
1
k
k
k 1
1(
2
1
0
1 1
9.29

Obs. –
1 k k
x( k)
x(
0)
k k 1
que coincideix amb la trobada abans:
y k)
x ( k)
( 1
k)
x ( 0)
kx ( 0)
( 1
k)
y(
0)
ky(
1)
( 1
1
2
(1) En general, com els exemples anteriors, el còmput de les potències A k requereix
reduir la matriu A a la seva forma de Jordan AJ. Aleshores
k
J
1
J1
c1
1
k 1
k
AJ ( S J ) AS J J 2 x(
k)
S J AJ
S J x0
S J J 2
c
n
Recordem que
c1
x( 0)
x0
S J
c
n
1
1
k
k
k
k
1
k k
2
Especialment simple és el cas diagonalitzable, que detallarem de seguida.
Tanmateix, recordem que les matrius “companion” i les de Leslie no diagonalitzen
si tenen algun VAP múltiple.
k
k
(2) Si denotem A ) , , ( A ) n
( 1 les columnes de
k
x k)
( A ) x ( 0)
( A
1
2
k
( 1 1
) n n
la qual cosa palesa que les columnes de
Per exemple, per a:
una base de S 0 és:
A 1
0
0
1
k
A , podem escriure la solució general
x
( 0)
k
A formen una base de S 0 .
0
0
9.30

k
k 1
k
k
k(
k 1)
2
0
k
,
k
k
1 2
1
0
,
0
k
Corol·lari (cas homogeni diagonalitzable) – En les condicions anteriors:
(1) Si x0 v és un VEP de A amb VAP , la solució corresponent és:
k
x(
k)
v
(2) Si A diagonalitza, i v1,...,vn és una base de VEPs, amb VAPs respectius ,..., n
reals, tota solució és de la forma:
Def. –
k
1 1
k
k
x( k)
( v1
vn
)
c11
v1
... cn
n
k
n c
n
on els coeficients c 1 ,..., cn
queden determinats per:
x x 0)
c v ... c
0
( 1 1
c
nvn
és a dir, són les coordenades de x 0 en la base de VEPs:
(1) Les solucions de la forma anterior
k
x(
k)
v , k
on v és un VEP, de VAP , s’anomenen modes propis del sistema.
(2) Si 1 és un VAP simple real i de mòdul més gran que la resta de VAPs
1
2 , 3
,...
s’anomena VAP dominant i el mode propi corresponent
x(
k)
v
mode dominant. Per tota altra solució de la forma
k
1
1
k
x k)
c v ... , 0 c
( 1 1 1
1
v
n
1 tots
9.31

aquests primer sumand es diu la seva part dominant.
(2’) Anàlogament, si 2 és un VAP simple i
1
2
3 , 4
,...
s’anomena VAP subdominant i el mode propi corresponent, mode subdominant.
Observació – El corol·lari anterior es generalitza al cas de VAPs complexos conjugats.
Suposem per exemple 2 1
. Aleshores podem prendre v2 v1
, i ha de ser c2 c1
per
tal que x0 tingui coordenades reals.
De forma més precisa, si e v u iw
i
,
c i(
c c ) i(
c c ) , resulta:
2 ' 1 2 1 1
k
c v
1
1
c '
1
2
1 1 1 , prenent 1' 1 2 1 c1
c c c c
k
c v
k
1
k
1
ucos k
wsin
k
ucos k
wsin
k
k
1
( c 'cos
k
c 'sin
k)
u
1
1
c '
k
1
( c
'sin
k
c 'cos
k)
1
2
2
2
c
2
2
1
k ik
1 e v1
c
w
1
k
1
e
v
ik
1
,
Els nous coeficients poden determinar-se directament per les condicions inicials:
x0 x(
0)
c1'
u c2
'w
c3v3
... cnv
n
Si c ... c 0 , la solució por expressar-se en la base ( u, w)
simplement com:
3 n
Exemples –
(1) Considerem el sistema discret
k
ik
xˆ
( k)
ˆ
1 e x(
0)
0
x ( k 1)
Ax(
k),
A 0
4
1
0
6
És diagonalitzable, amb els VAPs i VEPs següents:
0
1
4
9.32

1
2
2
1
i
3 1
i
La solució general és:
(1’) Escrivint
v 1
v
v
2
3
1
2
4
1
1
i
2i
1
1
i
2i
1
1 1
k
k
k
x(
k)
c1
2 2
c2
( 1
i)
1
i
c3
( 1
i)
1
i
4
2i
2i
v
2
u iw,
1
u 1
,
0
la solució general es pot escriure:
0
w 1
2
1
1
k k
x(
k)
c
12
2 c2
cos k c3
sin k 2 1 c2
sin k c3
cos k 2
4 4 4 4
4
0
Els coeficients c1 , c
2 , c
3 queden determinats per:
x
0
1
1
0
c
1
2
c2
1 c3
1
4
0
2
(2) El VAP 2 és dominant. Doncs, la part dominant de ) (k x és:
1
DOM
(2’) Per c 0 , resulten les espirals:
1
x
1
k
( k)
c12
2
4
k
0
1
2
9.33

x
ROT
1
cos k
sin k
k
( k)
c4
4
2 c3
2 1 c2
c3
2
sin
k
cos
0
k
4 4
Prop. (Cas complet) –
Donat un sistema complet
el conjunt de solucions és
on:
x( k 1)
Ax(
k)
b(
k)
S x ( k)
S
0
0
k
0
1
2
- S0 és l’espai de solucions del sistema homogeni associat, x( k 1)
Ax(
k)
.
- x 0 ( k)
és una solució particular qualsevol; per exemple, la corresponent a
x ( 0)
0 :
x ( k)
A
0
k 1
b(
0)
A
k 2
b(
1)
... b(
k 1)
9.20, ... , 9.25.- Comportament dinàmic: cas homogeni.
Com en el cas de les EDDs
- el comportament d’una solució general es pot estudiar com combinació lineal del
modes bàsics
- les solucions genèriques tendeixen asimptòticament cap al mode propi
dominant.
(a) Comportament dels modes bàsics
Vegem en primer lloc que els modes propis són solucions invariants (o estacionàries)
Def. –
(1) Donat un sistema homogeni
x( k 1)
Ax(
k)
n
un subespai F es diu que és (dinàmicament) invariant si tota solució que
arrenca en F es manté dins de F:
9.34

x( 0)
F x(
k)
F , k
És obvi que equival a la condició de “algebraicament invariant”:
A( F)
F
(2) Especialment interessants són els casos particulars següents:
(2.1) S’anomena de sortida (o escapament) si tota solució (no nul·la) en F és no
acotada.
(2.2) S’anomena de entrada si tota solució en F tendeix a l’origen.
Analitzem ara amb més detall els subespais invariants uni-dimensionals, que són
precisament els generats per VEPs reals de A i que per tant corresponen a modes propis
reals del sistema. El cas bi-dimensional, correspon a VAPs complexos conjugats, com
veurem després.
Prop. (comportament dels modes propis reals) –
Sigui un sistema homogeni
(1) Si v
x( k 1)
Ax(
k)
n és un VEP (i només en aquest cas) es verifica la propietat de invariància:
v x(
k F
x( 0)
F ) , k
(1’) De forma més precisa, recordem que:
on és el VAP de v.
(2) Aleshores:
k
x(
0)
cv x(
k)
c
v
(2.1) Si 1,
F v és “de sortida”, és a dir:
{x(k), k } no acotada, x ( 0)
F,
x(
0)
0 .
(2.2) Si 1,
F v és una recta “de entrada”, és a dir:
x ( k)
0,
x( 0)
F .
(2.3) Si 1,
F v és una recta de “punts fixos”, és a dir:
x( k)
x(
0)
, k, x(
0)
F .
(2.4) Si 1
, totes les solucions en v F són oscil·lants:
9.35

Obs. –
k
x(
k)
( 1)
x(
0)
, k, x(
0)
F .
(1) Altrament dit, els modes propis són les úniques solucions en les quals es conserva la
proporció entre les diferents coordenades x1( k),...,
xn
( k)
. Per exemple, la
distribució per cohorts d’edats, la distribució d’espècies vives, etc. En aquest sentit
s’anomenen de vegades modes estacionaris. Aquesta distribució estacionària ve
donada per les coordenades del VEP corresponent.
(1’) Aleshores el VAP és la taxa de creixement, la mateixa per a totes les coordenades
(cohorts d’edat, espècies,...), i per tant la global per al conjunt de la població.
(2) Veurem de seguida que genèricament les solucions tendeixen cap al mode dominant.
Per tant, les coordenades del VEP dominant donen la distribució asimptòtica
estacionària i el VAP dominant, la taxa de creixement asimptòtica.
Exemple – Considerem el model simplificat presa/depredador
D
P
k 1
k 1
0'5D
k
0'125D
0'4
k
P
k
11'
P
on P k , Dk
indiquen el nombre de preses i de depredadors, respectivament, l’any k.
Podem plantejar-ho en forma d’un sistema discret:
Els VAPs i VEPs de A són:
Dk
0'5
x(
k 1)
Ax(
k);
x(
k)
,
A
Pk
0'125
1 1 4
v 1
5
2 0'6
4
v 2
1
El primer indica una distribució estacionària de 4 depredadors per cada 5 preses, que
manté la població total constant ( 1 1)
.
El segon indica una altra distribució estacionària (4 depredadors per cada presa), amb
una disminució del total de població del 40% anual ( 2 0'6)
. Concorda amb
l’apreciació que un excés de depredadors provoca la disminució de preses, i de retruc
també de depredadors.
Veurem de seguida que, essent 1 1 dominant, genèricament es tendeix cap a la
primera situació.
k
0'4
11'
9.36

Com anunciaven abans, els VEPs de VAPs complexos conjugats generen subespais
invariants bi-dimensionals, amb comportaments rotatoris:
Prop. ( VAPs conjugats: modes rotatoris) –
Sigui un sistema homogeni
x( k 1)
Ax(
k)
i suposem VAPs complexos conjugats i VEPs corresponents:
Recordem que:
(1) El pla F és invariant:
1
i
i
1
e , e
2 1 1
1 u iw,
v2 v1
u iw
v
1 2 ,v v F
x( 0)
c1v1
c2v
2
x 0)
c 'u
c 'w
n u, w
n c 2 c1
( 1 2
, on 1' 1 c2
c c ( ' c2 i
c1
c2
x ( 0)
F x(
k)
F,
k
, )
k ik
(1’) De forma més precisa, en la base ( u , w)
: x(
k)
ˆ
1 e x(
0)
. Per tant:
(1’.1) Si 1 1 , F és un pla d’escapament (de fet, les solucions són espirals
divergents).
(1’.2) Si 1 1 , F és un pla d’entrada (de fet, les solucions són espirals convergents
a l’origen).
(1’.3) Si 1,
F és un pla de girs.
1
(2) Si 1 és simple, i 1 3
, 4
,..., les solucions anteriors són dominants, i les altres
hi tendeixen asimptòticament.
(b) Comportament de les solucions generals: anàlisi modal.
Com per les EEDs, el comportament dinàmic d’una solució general pot estudiar-se com
una combinació lineal dels modes bàsics. Vegem alguns exemples d’anàlisi modal.
Exemples –
9.37

(1) Per al sistema
0
x ( k 1)
Ax(
k),
A 0
4
havíem vist en un exemple anterior:
Tenim, doncs:
2 ; ) 4 , 2 , 1 ( v
1
2 1 3
1
1
0
6
0
1
4
i ; v v u iw,
u ( 1,
1,
0),
w ( 0,
1,
2)
(i) Si ( 0)
v
1
2
x , la solució x (k)
s’escapa al llarg d’aquesta recta:
(ii) Si x 0)
u, w
k
x(
k)
c 2 v , x(
0)
c v
1
1
3
1
1
( , la solució x (k)
és una espiral divergent en aquest pla. De
forma més precisa, com que arg 2 , l’espiral fa una volta completa en
4
passar de k a k 8 , amb factor radial 2 16
8
8
:
2
u w
x ( k 8)
16x(
k),
x(
0)
,
(iii) Per x ( 0)
general, la solució x (k)
serà una “helicoide” al voltant de la recta
v 1,
tenint com projecció sobre el pla u, w
una espiral com a (ii). De forma
més precisa, si
(2) Per al sistema
tenim
serà, per k 8 k
:
v , xˆ
u
w
x 0)
xˆ
xˆ
; xˆ
,
( 1 2 1 1 2
8k 8k
k
k
xˆ
ˆ ˆ ˆ
1 2 x2
256 x1
16
2
x(
k)
x(
8k)
2
x
La component dominant és clarament el primer sumand, concordant amb que
és el VAP dominant.
1
0
x ( k 1)
Ax(
k),
A
1
1
2
9.38

A
S
j
j
1
1
( w
Per tant, la solució general és
0
1
v),
1
w ,
0
1
v
1
1
0
c1
x( k)
( w v)
c1(
w kv)
c2v
k 1
c
2
Tenim, doncs, dues possibles dinàmiques:
(i) c1 0 x(
0)
c2v
x(
k)
c2v
, constant
(ii) c 0 x(
0)
v x(
k)
no acotada
1
(c) Convergència asimptòtica cap al mode dominant.
Hem fet diverses referències a que, com per les EED, les solucions genèriques
tendeixen asimptòticament cap al mode propi dominant.
Prop. (Convergència asimptòtica cap al mode dominant) –
Sigui un sistema discret homogeni
x( k 1)
Ax(
k)
amb A diagonalitzable. Siguin 1 ,..., n
els VAPs, i ( v 1,..., vn
) una base de VEPs.
Suposem 1
Aleshores:
VAP dominant i x (k)
una solució, amb condicions inicials
k
(1) 1 1 1
x 0)
c v ... c
( 1 1
x(
k)
c v , per k , si c 0 .
De forma més precisa:
x( k)
lim c1v
k
k
(1’) En particular, si 1 0 c :
lim
k
x(
k 1)
x(
k)
1
1
1
1
nv n
, si 1 0 c
9.39

x(
k)
v
lim sgn( c1)
k x(
k)
v
(2) Si a més 2 és VAP subdominant:
k
x(
k)
c11
v1
lim 2
k x(
k 1)
c
1
1
k 1 11
v1
, si 2 0 c
Obs. – Es pot dir, doncs, que x(k) tendeix asimptòticament cap a la seva part dominant
.
c1 1v1
k
, amb velocitat d’aproximació 2
Exemple – Continuem amb el model presa/depredador de l’exemple anterior.
(1) Les solucions són de la forma
x(
k)
c v c v
1
k
1 1
amb 1 1 VAP dominant. La convergència cap al mode dominant, si 1 0 c ,
afirmada en la proposició anterior és en aquest cas clar ja que:
c v
2
k
2
2
2
k
2
k
c2
0'6 v2
0
La condició c 0 depèn de les condicions inicials:
1
x( 0)
c v c v
1
1
2
(1.1) 1 0 c només quan la distribució poblacional inicial és la 4/1 de v 2 . Aleshores
x (k)
manté aquesta distribució, amb una disminució anual del 40% per
ambdues espècies, tendint cap a l’extinció.
(1.2) Per a qualsevol altra distribució inicial és 1 0 c , i aleshores ) (k x tendeix cap
al mode dominant. Però cal distingir els casos 1 0 c i 1 0 c , que
corresponen a que la proporció inicial de depredadors sigui inferior o superior,
respectivament, a la 4/1 anterior:
4
1
x1(
0)
4c1
4c2
20c1
4c2
4c1
4c2
c
x ( 0)
5c
c
2
1
2
2
2
1
0
Quan la proporció inicial de depredadors és inferior a 4/1, la solució tendeix
cap a l’estabilització de la població total, amb una distribució poblacional
asimptòtica 4/5.
Quan la població inicial de depredadors és superior a 4/1, aleshores 1 0 c i la
solució tendeix cap a coordenades negatives, el que significa l’extinció
9.40

d’ambdues espècies a curt termini. Per exemple, per x ( 0)
( 20,
1)
resulta
c 1,
c 6 i ) 3 ( x té coordenades negatives.
1
2
(2) Considerem ara el cas més general
0'5
A
0'4
on representa la voracitat dels depredadors.
El VAP dominant és
11'
0'8
0'9
0'4
1
El mode dominant comporta l’estabilització de les poblacions quan 1 1 , que
correspon al valor 0'125
vist abans.
Per voracitats superiors, el VAP dominant és menor que 1, i les poblacions
tendeixen a l’extinció per qualssevol condicions inicials.
Per voracitats inferiors, el mode dominant suposa el creixement de les poblacions,
amb una major proporció de preses que en el cas 0'125
. Per exemple, per
0'104
és 1 1'02
i ) 13 , 10 ( 1 v : les poblacions creixen un 2% anual, i la
proporció preses/depredadors és 1’3 (en lloc de la 1’25 quan 0'125
).
(d) Aplicació al càlcul del VAP i del VEP dominants.
Una important aplicació de la proposició anterior és el següent corol·lari, base de molts
algoritmes numèrics per al càlcul de VAPs i VEPs. La hipòtesi d’existència de VAP
dominant es pot garantir, per exemple, mitjançant els teoremes de Perron-Frobenius per
a matrius de coeficients positius, com veurem més endavant. Aleshores, a més, el VAP
dominant resulta real positiu (per tant, 1 1
). Una aplicació ben rellevant és el
cercador google.
Corol. (mètode de la potència per al càlcul del VAP i el VEP dominant) –
Suposem que una matriu A diagonalitzable té VAP dominant 1 . Aleshores:
k 1
A w
lim 1
k k
A w
k
A w
lim és un VEP dominant.
k k
A w
9.41

n
per w genèric (de forma més precisa: que en una base de VEPs tinguin la primera
coordenada no nul·la).
Exemple – Considerem
Tenim:
0
A
2
1
3
1 2, v1
( 1,
2)
, v ( 1,
1)
2
1 2
Tanmateix, il·lustrem el corol·lari anterior:
Per w ( a,
b)
, resulta:
A
k
w
2
k
A
Observem que b
nul·la en la base v , ) .
2
k
2
k
2
1
k 1
5(
b a)
2
4
2
a equival a v
( 1 2 v
k
2
2
k
1
1
2(
2a
b)
2
2
k
6(
b a)
2 ( 2a
b)
w , és a dir, a que w tingui la primera coordenada
Aplicació.- El vector PageRank de Google és el VEP dominant (normalitzat) de la
matriu de Brin & Page, associada a la de connexions entre pàgines web (la qual al 2008
va superar el bilió de files i columnes!). Aquest VEP es calcula aplicant el corol·lari
anterior, en 50/100 iteracions.
9.26.- Punts d’equilibri. Estabilitat.
Finalment, estudiem el comportament de les solucions respecte a un punt d’equilibri.
Def. – Considerem un sistema discret de la forma
x( k 1)
Ax(
k)
b
(1) Una solució constant x c se’n diu un punt d’equilibri
xe Axe
b
(2) Suposem un únic punt d’equilibri x e . S’anomena:
(2.1) Inestable si alguna altra solució no és acotada
9.42

(2.2) Asimptòticament estable si tota altra solució tendeix a x e .
lim x( k)
x
k
e
(2.3) Marginalment estable si tota altra solució és acotada, però alguna no
convergeix a x e .
Exemples –
(1) El punt d’equilibri x 0 de
e
1 0
x( k 1)
x(
k)
0 2
és inestable, ja que alguna solució no és acotada:
(2) El punt d’equilibri x 0 de
e
x(
0)
0
0
x(
k)
1
2
k
1 0 1
x( k 1)
x(
k)
2 1 2
és asimptòticament estable, ja que tota solució
(3) El punt d’equilibri x 0 de
1 1
k k
x( k)
x x
k
k k ( 0)
0
2 1
e
1 3 1
x(
k 1)
x(
k)
2 1 3
és marginalment estable, amb totes les solucions girant al voltant de l’origen
(4) El punt d’equilibri x 0 de
e
cos
k sin k
x(
k)
6 6 x(
0)
sin k cos k
6 6
e
9.43

1 0
x( k 1)
x(
k)
0 1 2
és marginalment estable, amb alguna solució no convergent a x 0 i altres que si:
k
1
( 1)
x ( 0)
x(
k)
0
0
0
0
x ( 0)
( ) 0
1
x k k
1 2
Prop. (estabilitat d’un punt d’equilibri) –
Considerem un sistema discret de la forma
x( k 1)
Ax(
k)
b
(1) Existeix un únic punt d’equilibri x e sii 1 no és VAP de A, i aleshores
(2) Aleshores:
x e
( I A)
(2.1) Si 1 per algun VAP de A, és inestable.
(2.2) Si 1 per tots els VAPs de A, és asimptòticament estable.
1
b
(2.3) Si 1 per tots els VAPs de A, el sistema és marginalment estable sii els
VAPs amb 1 tenen la mateixa multiplicitat geomètrica que algebraica;
altrament, és inestable.
(2’) En particular, si hi ha VAP dominant 1 :
(2’.1) 1 inestable.
1
(2’.2) 1 asimptòticament estable.
1
(2’.3) 1 marginalment estable.
1
Obs. – Anàlogament a (2’) anterior, si 1
, :
1
3 , 4
(1) 1 inestable
1
0
és un VAP simple complex, amb 2 1
e
i
9.44

(2) 1 1 asimptòticament estable
(3) 1 1 marginalment estable
De fet, les solucions dominants són girs al voltant de x e , i les altres solucions
genèriques hi tendeixen asimptòticament.
Exemples. – Verifiqueu-ho en el exemples anteriors.
Aplicacions.-
(1) En una ETS molt exigent només aproven el 30% dels estudiants en cada curs del
grau. La resta repeteixen curs, excepte a primer, on el 50% del total abandonen. Si
cada any ingressen 600 estudiants nous, les equacions que regeixen el nombre
d’estudiants xi (k)
, 1 i 4 , en el curs i-èsim i l’any k són:
és a dir
on
x ( k 1)
0'2x
( k)
600
1
2
3
4
1
x ( k 1)
0'3x
( k)
0'7x
( k)
1
x ( k 1)
0'3x
( k)
0'7x
( k)
2
x ( k 1)
0'3x
( k)
0'7x
( k)
x( k 1)
Ax(
k)
b
x1(
k)
x2
( k)
x ( k)
,
x3
( k)
x4
( k)
3
2
3
4
0'2
0'3
A 0
0
0
0'7
0'3
0
0
0
0'7
0'3
0
0
,
0
0'7
600
0
b 0
0
1
Com que 1 no és VAP de A, hi ha un únic punt d’equilibri xe ( I A)
b . En
aquest cas és fàcil calcular-lo directament:
( x
( x
té com solució única
e
e
)
)
1
i
xe i
0'2(
x
0'3(
x
e
e
)
)
1
i1
600
0'7(
x ) ,
( ) 750,
i 1,
,
4
e
i
i
2,
3,
4
Per tant, en règim estacionari hi haurà 750 estudiants per curs, amb un total de 3000.
Com que els VAPs de A són 0’7, triple, i 0’2, tots dos menors que 1, el punt
d’equilibri és asimptòticament estable, de manera que s’hi tendeix qualsevol que
siguin les condicions inicials. Per exemple:
9.45

x ( 0)
0 x1(
1)
600 , x ( 2)
720 , x ( 3)
744 , x ( 4)
749 , ...
1
(2) Considerant una massificació excessiva, un canvi dràstic en el sistema pedagògic va
invertir els percentatges, de manera que aprovaven un 70% dels estudiants a cada
curs. Aquestes millors expectatives van fer baixar els abandons al primer curs fins al
10%, de manera que el nou sistema és:
0'2
0'7
x ( k 1)
Ax(
k)
B,
A
0
0
1
0
0'3
0'7
0
0
0
0'3
0'7
1
0
0
0
0'3
Tanmateix, el nou d’equilibri resulta ser el mateix que abans, i també
asimptòticament estable. Però ara el nombre anual de titulats és 525, en lloc dels
225 d’abans.
9.27, ... , 9.30.- Matrius positives.
Acabem de veure que, en el comportament dinàmic d’un sistema discret juga un paper
important l’existència d’un VAP dominant. Vegem que això queda garantit per a
matrius de coeficients positius:
Teor. (Perron, 1907) –
Considerem el sistema discret
amb A estrictament positiva, és a dir:
Aleshores:
x( k 1)
Ax(
k)
A ( a ), 0 1 i, j n
ij aij
(1) Existeix un VAP dominant 1 (doncs, real simple) i 1 0 .
(2) El seu VEP (normalitzat) té també coordenades estrictament positives.
(3) Es l’únic VEP (normalitzat) amb coordenades estrictament positives.
Obs. –
(1) El VAP dominant 1 s’acostuma a anomenar “arrel Perron”, i una seva acotació és:
min ij 1
i
j
a
max
i
j
a
ij
9.46

(1’) Com a VEP Perron s’acostuma a prendre el que té suma de coordenades igual a 1
(de vegades anomenat VEP “estocàstic”).
(2) La condició A 0 és freqüent en models poblacionals, on les variables han de ser
positives. Aleshores:
el VAP Perron dóna la taxa de creixement asimptòtica.
les coordenades del VEP estocàstic dóna la distribució poblacional
asimptòtica.
(3) El teorema s’aplica en particular a les matrius estocàstiques ( la suma dels
coeficients de cada columna és 1). Aleshores l’arrel Perron és 1. A més es pot
assegurar que existeix
A lim
k
k A
i que és una matriu estocàstica positiva de rang 1. De fet totes les columnes són
iguals al VEP estocàstic.
(4) El teorema de Frobenius (1912) generalitza el de Perron a una àmplia família de
matrius A 0 , les anomenades “primitives”.
Aplicació.- (Google)
Una aplicació destacada són els cercadors d’internet i en particular Google: el vector
PageRank és el VEP Perron (o estocàstic) de la matriu de Brin & Page.
Es parteix de la matriu P de connexions entre pàgines web. Cal fer notar que al 1998,
l’any de llançament de Google n’hi havia 26 milions, però que al 2008 ja es va superar
el bilió!.
Es modifica per tal que sigui estocàstica per files (l’algorisme GooglePanda, que va
substituir al PageRank a l’abril del 2011, millora en particular aquesta etapa). Per
exemple
0
1 1
P 0
1 0
,
0
0 0
la qual té VAPs: 1, 0’6076, -0’2743.
0
P 0
1/
3
Finalment la matriu de Brin & Page és de la forma.
1
P P
U
n
on U és la matriu amb tots els coeficients 1.
1/
2
1
1/
3
1/
2
0
1/
3
9.47

De fet Google fa servir 0'85
. El mètode de la potència assoleix el VEP dominant
en 50 100 iteracions.
9.48