INTEGRALES ELÍPTICAS COMPLETAS Dado un parámetro m ∈ [0,1]

PRÁCTICA 3: INTEGRALES ELÍPTICAS COMPLETAS
TÉRMINO DE ENTREGA: 2008/10/16
Dado un parámetro m ∈ [0, 1], las integrales
1
K(m) =
0
dt
(1 − t 2 )(1 − mt 2 ) , E(m) =
1 1 − mt2 dt
1 − t2 se denominan integrales elípticas completas de primera y segunda especie, respectivamente.
Para calcularlas se suele usar el método de la media aritmética geométrica (AGM).
Empezamos explicando que la AGM de una tripleta de números positivos (a0, g0, s0) se
calcula generando una sucesión de tripletas similares mediante las fórmulas de recurrencia:
an = (an−1 + gn−1)/2 es la media aritmética de an−1 y gn−1,
gn = √ an−1gn−1 es la media geométrica de an−1 y gn−1,
sn = (an−1 − gn−1)/2 es la semidiferencia de an−1 y gn−1,
para toda n ≥ 1. Dados dos números positivos arbitrarios, su media geométrica siempre es
menor o igual que su media arimética. Por tanto, gn ≤ an y sn ≥ 0 para toda n ≥ 1. Además,
la sucesión (an)n≥1 es decreciente, la sucesión (gn)n≥1 es creciente y, finalmente, existe un
único número real α tal que
lím
n→+∞ an = α = lím
n→+∞ gn.
Diremos que α es la media aritmética geométrica de los números a0 y g0.
A nivel práctico un algoritmo infinito es imposible. Por tanto, paramos cuando aN ≈ gN
según una precisión fijada previamente mediante una tolerancia positiva tol. Así pues, el
criterio de parada de este proceso infinito es que sN sea menor que la tolerancia tol.
Por ejemplo, si a0 = 1, g0 = 1/9, s0 = 80/81 y tol= 10−6 , entonces
n an gn sn
0 1,000000000000000 0,111111111111111 0,993807989999906
1 0,555555555555556 0,333333333333333 0,444444444444444
2 0,444444444444444 0,430331482911935 0,111111111111111
3 0,437387963678190 0,437331038058985 0,007056480766255
4 0,437359500868587 0,437359499942425 0,000028462809603
5 0,437359500405506 0,437359500405506 0,000000000463081
y paramos el proceso en el quinto paso: N = 5.
Una vez sabemos calcular AGMs, el algoritmo para calcular las integrales elípticas es:
1. Inicializar: a0 = 1, g0 = √ 1 − m y s0 = √ m.
2. Iterar: Calcular (an, gn, sn) para n = 1, . . . , N.
3. Finalizar: K(m) ≈ π
2aN
y S(m) :=
K(m) − E(m)
K(m)
0
≈ 1
2
N
n=0
2 n s 2 n .
Por tanto, retomando el ejemplo anterior, vemos que si m = 80/81 entonces
K ≈ π/2a5 = 3,5915449997965 . . . ,
S ≈ (s 2 0 + 2s 2 1 + 4s 2 2 + 8s 2 3 + 16s 2 4 + 32s 2 5)/2 = 0,7162485648803 . . . ,
E = (1 − S)K ≈ 1,01910604798917 . . . .
Queremos calcular el valor aproximado de las integrales elípticas completas K = K(m) y
E = E(m) para cualquier parámetro m ∈ [0, 1] dado, con una precisión fijada mediante una
tolerancia positiva tol.

Nombre del fichero: integralesKE.m
Cabecera: function [K,E]=integralesKE(m,tol)
INPUT: m = parámetro, tol = tolerancia (valor por defecto 10 −10 ).
OUTPUT: K = integral completa elíptica de primera especie, E = integral completa
elíptica de segunda especie. Además, queremos que E sea de cálculo opcional. Es decir,
si efectuamos la llamada K = integralesKE(m, tol), se debe calcular tan sólo la integral
de primera especie K.
Control de errores: Si el parámetro m no está entre cero y uno, se debe:
1. Mostrar un mensaje de error por pantalla,
2. Asignar el valor NaN (Not a Number) a cada argumento de salida, y
3. Cortar el programa.
Si el parámetro es igual a uno: m = 1, la integral K(m) es divergente (vale más
infinito) y la integral E(m) vale uno. En ese caso, se debe:
1. Asignar el valor Inf a K,
2. Asignar el valor uno a E, y
3. Cortar el programa.
Si el número de pasos para calcular la AGM es mayor que diez: N > 10, se debe:
1. Mostrar un mensaje de error por pantalla,
2. Asignar el valor NaN (Not a Number) a cada argumento de salida, y
3. Cortar el programa.
Instrucciones particulares: Las siguientes instrucciones pueden ser útiles, aunque no
todas ellas son imprescindibles.
Los comandos nargin y nargout sirven para saber con cuantos argumentos de
entrada y salida ha sido llamada una función, ver la subseccion 6.3.2 del manual 1 .
El comando return corta la ejecución de cualquier función, ver la subsección del
6.3.3 manual. (No confundir con el comando break.)
El comando disp sirve para escribir mensajes de texto por pantalla, ver la subsección
6.2.2 del manual.
El comando [] sirve para crear vectores vacíos sin tener que decir que tamaño
tienen, ver la subsección 3.5.5 del manual.
Comprobación: La función E(m) es estrictamente decreciente, E(0) = π/2 y E(1) = 1.
La función K(m) es estrictamente creciente, K(0) = π/2 y lím m→1 − K(m) = +∞. El
comando propio de MATLAB [K,E]=ellipke(m,tol) calcula las mismas integrales,
con el mismo método y con las mismas convenciones sintácticas sobre los argumentos
de entrada y salida.
1 El manual “Aprenda MATLAB 6.1 como si estuviera en primero” que os podeis descargar de la página
web de la asignatura. También podeis obtener información sobre un comando tecleando help comando en una
sesión interactiva de MATLAB