Cálculo Vectorial - UPC

Cálculo Vectorial
La primera parte del curso trata sobre conceptos matemáticos (longitud, área, volumen, campos
de vectores, circulación, flujo, gradiente, divergencia, rotacional, Laplaciano) y físicos (masa, centro
de masas, momento de inercia, trabajo, campos de fuerza de tipo gravitatorio, magnético o eléctrico,
campos de velocidades de fluidos, flujos de calor) que se definen mediante (o aparecen en) integrales.
En la asignatura Cálculo 2 se fundamentó la integración en dominios de R n . Es imperativo dominar
las dos herramientas básicas allí desarrolladas: el teorema de Fubini y los cambios de variable a
coordenadas polares, polares adaptadas a una elipse, cilíndricas, cilíndricas adaptadas, esféricas y
esféricas adaptadas a un elipsoide.
Aquí llevaremos un paso más allá el estudio de integrales. Algunas de las preguntas que queremos
responder, si el tiempo lo permite, son las siguientes:
¿Cómo podemos calcular la longitud de una curva o el área de una superficie?
Tenemos dos cuerpos sólidos homogéneos del mismo “tamaño”, masa y densidad, pero distinta
forma. ¿Cuál posee menos resistencia a girar sobre un eje que los atraviesa por su “centro”?
¿Podemos calcular el área de un lago sin mojarnos?
¿Cómo funciona un planímetro?
¿Qué relación hay entre el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada y la carga eléctrica
que encierra? (La respuesta es la ley de Gauss, una de la cuatro ecuaciones de Maxwell.)
¿Es verdad que el campo gravitatorio creado por un planeta en su exterior es igual al creado
por una masa puntual situada en su centro que concentra toda su masa? (La respuesta es sí.
Una de las mayores contribuciones de Newton, sin duda.)
Para evitar complicaciones innecesarias, todas las funciones que aparecen en este curso son, al
menos, continuas a trozos y todos los dominios seran compactos y conexos con fronteras C 1 a trozos.
Aplicaciones
Esta sección persigue dos objetivos. Con la teoría, presentar algunas aplicaciones físicas de las
integrales. Con los ejercicios propuestos, evaluar los conocimientos de integración sobre dominios de
R n . Todo aquel que no sepa hacerlos debe repasar sus apuntes de Cálculo 2. No es broma.
Longitud, área y volumen. Estos tres conceptos son la base sobre la que se construyen muchos
otros. Se obtienen integrando la función constante igual a uno sobre el dominio correspondiente:
Long(I) := b
1dx = b − a es la longitud del intervalo I = [a, b] ⊂ R;
a
Area(D) :=
D 1dxdy es el área del dominio 2D (plano) D ⊂ R2 ; y
Vol(W ) :=
W 1dxdy dz es el volumen del dominio 3D (espacial) W ⊂ R3 .
Ejercicio. Calcular el área de una elipse de semiejes a y b. Se puede hacer de dos formas: usando
polares adaptadas a la elipse o deformando un círculo por una transformación lineal. Solución: πab.
Ejercicio. Calcular el volumen del sólido de Steinmetz de radio R (la intersección de dos cilindros
de radio R cuyos ejes se cortan perpendicularmente). Conviene aplicar el principio de Cavalieri a los
cuadrados que se obtienen al seccionar la región por planos paralelos a ambos ejes. Solución: 16R 3 /3.
Promedio de una función. El promedio de N cantidades f1, . . . , fN ∈ R es igual al cociente
¯f := f1 + · · · + fN
N
= 1
N
N
fi.
En el caso continuo, basta substituir la suma por la integral y N por la longitud, área o volumen:
¯f := 1
b
b−a f(x)dx es el promedio de la función f : I = [a, b] ⊂ R → R;
a
¯f 1 := Area(D) D f(x, y)dxdy es el promedio de la función f : D ⊂ R2 → R; y
¯f := 1
Vol(W ) W f(x, y, z)dxdy dz es el promedio de la función f : W ⊂ R3 → R.
1
i=1

2 Depositado en http://www.ma1.upc.edu/∼ed/vectorial.pdf
El promedio de cualquier función está comprendido entre sus valores mínimo y máximo:
mín f ≤ ¯ f ≤ máx f.
En particular, se cumple el Teorema del valor medio para integrales: La integral de una función
continua sobre un dominio (1D, 2D o 3D) es igual a la medida (longitud, área o volumen) del dominio
multiplicada por el valor de la función en algún punto del dominio.
Ejercicio. Calcular el promedio de la función “distancia al centro” definida sobre una bola de radio R
y comprobar que no es igual a R/2. Explicar el porqué de forma intuitiva. Solución: 3R/4.
Masa y centro de masas de un cuerpo. La masa total de N masas m1, . . . , mN es m = N i=1 mi.
Si en lugar de tener masas puntuales, tenemos una distribución continua de masa, basta substituir la
suma por una integral y las masas puntuales por la densidad de masa ρ. Por tanto:
m(I) := b
ρ(x)dx es la masa de un intervalo I = [a, b] ⊂ R con densidad lineal ρ(x).
a
m(D) :=
D ρ(x, y)dxdy es la masa de un dominio D ⊂ R2 con densidad superficial ρ(x, y).
m(W ) :=
W ρ(x, y, z)dxdy dz es la masa de un dominio W ⊂ R3 con densidad ρ(x, y, z).
El centro de masas de N masas m1, . . . , mN situadas en las posiciones x1, . . . , xN ∈ R es el cociente
¯x := x1m1 + · · · + xNmN
m1 + · · · + mN
=
N
i=1 ximi
N i=1 mi
.
Al igual que antes, si tenemos una distribución continua de masa, basta substituir las sumas por
integrales y las masas puntuales por la densidad de masa ρ. Por tanto:
CM(I) := ¯x = 1
m(I)
b
a
CM(D) := (¯x, ¯y) = 1
m(D)
CM(W ) := (¯x, ¯y, ¯z) = 1
m(W )
xρ(x)dx es el centro de masas del intervalo I = [a, b] ⊂ R;
D (x, y)ρ(x, y)dxdy es el centro de masas del dominio D ⊂ R2 ; y
W (x, y, z)ρ(x, y, z)dxdy dz es el centro de masas de W ⊂ R3 .
Ejercicio. Calcular el centro de masas de un cono sólido homogéneo (es decir, de densidad constante)
de radio R y altura h. ¿Por qué no se necesita la densidad para calcular el centro de masas? Solución:
(¯x, ¯y, ¯z) = (0, 0, 3h/4), suponiendo que el origen es el vértice y el eje z es el eje de revolución.
Momento de inercia de un cuerpo. El momento de inercia respecto a un eje e de N masas
puntuales m1, . . . , mN situadas a distancias r1, . . . , rn del eje es Ie := N i=1 r2 i mi. Si tenemos una
distribución continua de masa, basta substituir la suma por una integral, las masas puntuales por la
densidad de masa ρ y las distancias puntuales por una distancia continua r. Por tanto,
Ie := r 2 (x, y, z)ρ(x, y, z)dxdy dz,
W
es el momento de inercia respecto a un eje e de un cuerpo W ⊂ R 3 , donde r(p) = dist(p, e). En
particular, los momentos de inercia respecto a los tres ejes de coordenadas son
Ix :=
W (y2 + z 2 )ρ(x, y, z)dxdy dz;
Iy :=
W (x2 + z 2 )ρ(x, y, z)dxdy dz; y
Iz :=
W (x2 + y 2 )ρ(x, y, z)dxdy dz.
Estas tres expresiones se pueden adaptar al caso de cuerpos 2D. Los momentos de inercia respecto a
los tres ejes de coordenadas de un dominio plano D ⊂ R 2 R 3 ∩ {z = 0} son
Ix :=
D y2 ρ(x, y)dxdy;
Iy :=
D x2 ρ(x, y)dxdy; y
Iz :=
D (x2 + y 2 )ρ(x, y)dxdy = Ix + Iy.
En http://en.wikipedia.org/wiki/List of moments of inertia hay una lista de momentos de inercia.
Ejercicio. Calcular el momento de inercia respecto a su eje de revolución e del cilindro sólido homogéneo
de radio R, altura h y densidad constante ρ ≡ ρ0. Expresar el resultado en función del radio
R y la masa total del cilindro m = área base × altura × densidad = πR 2 hρ0. Solución: Ie = mR 2 /2.

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Un poco de física. A grosso modo, la masa de un cuerpo cuantifica su resistencia a cambiar su
velocidad (lineal) bajo la acción de una fuerza. Según la segunda ley de Newton, si un cuerpo de masa
m es sometido a una fuerza F , su aceleración es F/m. De la misma manera, el momento de inercia
respecto a un eje de un cuerpo cuantifica su resistencia a cambiar su velocidad angular respecto al
eje. Concretamente, si un cuerpo con momento de inercia Ie es sometido a una torsión τ respecto al
eje e, su aceleración angular es τ/Ie. Si disminuye la distancia al eje, disminuye la resistencia a girar.
Por eso los patinadores encogen brazos y piernas para girar más rápido. Finalmente, el cálculo del
centro de masas sirve, por ejemplo, para encontrar los estados de equilibrio de un objeto 3D situado
sobre un plano horizontal. Los equilibrios se obtienen cuando la linea que une al centro de masas con
el punto de contacto es vertical y son estables cuando, localmente, el centro de masas no puede estar
más bajo. Los lampistas usan un curioso método para encontrar el centro de masas de una “plancha”
(es decir, un dominio 2D), basado en que al colgar la plancha de un punto arbitrario, su centro de
masas siempre está situado 1 en la recta vertical que pasa por el punto de fijación.
Algo de geometría. La visión geométrica es sumamente importante de cara a simplificar cálculos y
entender mejor el significado de los conceptos anteriores.
Proporciones. Cuando un cuerpo es homogéneo, su masa es el producto de densidad y longitud (si
es 1D), densidad y área (si es 2D) o densidad y volumen (si es 3D). Como el área es proporcional al
cuadrado de la longitud y el volumen es proporcional al cubo de la longitud, deducimos que la masa
de cuerpos homogéneos 1D, 2D y 3D es proporcional a la longitud, al cuadrado de la longitud y al
cubo de la longitud, respectivamente. Eso (entre otras cosas) imposibilita la existencia de hormigas
gigantes. Además, el momento de inercia de un cuerpo homogéneo 3D respecto a un eje que pasa por
su centro de masas es proporcional a la quinta potencia de la longitud. La fuerza requerida para girar
una sandía respecto a su eje de revolución es miles de veces mayor que la requerida para una naranja.
Estas propiedades pueden servir para detectar errores en los cálculos. Y también para deducir la
fórmula general correspondiente a una cierta geometría a partir de un caso particular.
Ejercicio. Sabiendo que el volumen de un tetraedro regular de lados unitarios es igual a √ 2/12, ¿cuál
es el volumen del tetraedro regular cuyos lados miden l?
Ejercicio. Sea Ia el momento de inercia de un elipsoide solido homogéneo de densidad ρ y semiejes a,
b y c respecto al eje “a”. ¿Cuáles de las siguientes fórmulas no pueden ser correctas?
Ia = 4πρabc(b 2 + c 2 )/15, Ia = 4πρabc(b + c)/15, Ia = 4πρa 2 b 2 c 2 (b 2 + c 2 )/15.
Simetrías. Un cuerpo (2D o 3D) puede tener diferentes tipos de simetrías. Destacamos las siguientes:
Central respecto a un punto (corona circular, elipsoide, hiperboloide, rombo, esvástica);
Axial respecto a una recta (pirámide recta, triángulo isosceles, cardiode);
De revolución respecto a un eje (toro, cono, cilindro, paraboloide e hiperboloide de revolución);
Especular respecto a un plano (semiesfera, toro, cubo, octaedro, elipsoide, paraboloide).
No se deben confundir las axiales con las de revolución. Algunos cuerpos tienen varias simetrías
simultáneamente, ya sea del mismo o de diferentes tipos. La esfera es la forma más simétrica posible.
El centro geométrico de un dominio es igual al centro de masas del cuerpo homogéneo que tiene la
forma del dominio. Las iniciales CG denotan centros geométricos, reservamos las iniciales CM para
centros de masas. El centro geométrico sólo depende de la forma, mientras que el centro de masas
depende de la forma y la densidad. El centro geométrico de un cuerpo simétrico está situado sobre su
punto, recta, eje o plano de simetría. Para poder decir lo mismo del centro de masas se necesita que
la densidad posea la misma simetría que el cuerpo.
Ejercicio. Decir, sin calcular nada, dónde están situados los centros geométricos de las siguientes
figuras: , Σ, Π, ♠, ∝, Θ, ∼ =, ∧, ⌣, ⊎, . (No siempre se puede dar el punto exacto.)
Ejercicio. ¿Dónde podemos afirmar, sin realizar cálculo alguno, que está situado el centro geométrico
de un octante de esfera sólida? Y, aunque sea del tema siguiente, ¿qué pasa si la esfera es hueca?
1 Los lampistas suponen que el campo gravitatorio es uniforme, pero no se lo tendremos en cuenta.

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Constantes de inercia. En muchos casos el momento de inercia de un cuerpo homogéneo es de la forma
I = cmt 2 ,
donde m es la masa del cuerpo, t es una cantidad que mide el tamaño del cuerpo (por ejemplo, si el
cuerpo es una esfera, t es su radio) y c ∈ [0, 1] es una constante adimensional, llamada constante de
inercia, que sólo depende de la forma del cuerpo, pero no de su tamaño. Si la masa se acumula cerca
del eje, resulta que c 0. Por contra, si la masa se acumula lejos del eje, resulta que c 1.
Ejercicio. Calcular la constante de inercia de una esfera sólida respecto a un eje que pasa por su
centro. ¿Por qué no se necesita ni el radio ni la densidad de la esfera? Solución: c = 2/5.
Integrales de funciones y campos sobre curvas
Vamos a introducir el concepto de curva, calcular longitudes de curvas y definir los símbolos
C f dℓ = Integral de una función f : C → R sobre una curva C ⊂ Rn
; y
C 〈F , dℓ〉 = circulación de un campo F : U ⊂ Rn → Rn a lo largo de una curva C ⊂ U.
Curvas. Una partícula en movimiento, si descartamos la teleportación, describe una curva continua
que puede tener singularidades; es decir, puntos en los que la partícula cambia bruscamente de dirección
o incluso vuelve sobre sus pasos. El estudio de curvas con singularidades presenta unas dificultades
que intentaremos obviar mediante la siguiente exposición informal.
Una curva es suave cuando no tienen pinchos ni esquinas (el símbolo ≺ tiene un pincho y ✁ tiene
tres esquinas); simple cuando no se autointerseca (los símbolos ♥ y ⊂ son curvas simples, mientras
que ∝ y ⊲⊳ no lo son); y cerrada cuando empieza y acaba en el mismo punto (la letra o y el símbolo
∞ son curvas cerradas). Todos los ejemplos anteriores de curvas no suaves y/o no simples, se pueden
descomponer en varios trozos suaves y simples.
Una partícula puede recorrer una curva a diferentes velocidades, cada posibilidad da lugar a una
trayectoria diferente aunque la curva no cambia. Sin embargo, una curva simple no cerrada de extremos
A y B sólo tiene dos orientaciones posibles: ir de A a B o ir de B a A. Análogamente, las curvas
cerradas simples también tienen dos orientaciones. Por ejemplo, una curva cerrada simple plana se
puede recorrer en sentido horario o en sentido antihorario.
Tratar las curvas como subconjuntos de R n no es práctico, es mejor parametrizarlas de forma
biyectiva, lo cual equivale a recorrer la curva siguiendo una de sus dos posibles orientaciones, sin dar
media vuelta. Las integrales de funciones sobre curvas no dependen en absoluto de la parametrización,
mientras que las circulaciones de campos a lo largo de curvas sólo dependen de la orientación escogida:
al cambiar la orientación, cambia el signo de la circulación.
Intuitivamente, una curva regular es una curva suave y simple que se recorre siguiendo una de sus
dos orientaciones, sin que la velocidad de la partícula pueda anularse en punto alguno. Formalmente,
una curva regular de R n es el rango (o sea, la imagen)
C = σ(I) = σ(t) : t ∈ I ⊂ R n
de una aplicación σ : I → R n , que recibe el nombre de parametrización regular, definida sobre un
intervalo compacto I = [a, b] ⊂ R tal que σ es inyectiva 2 , σ ∈ C 1 (I; R n ) y
σ ′ (t) = 0, ∀t ∈ I = [a, b].
Una curva es regular a trozos cuando está compuesta por un número finito de curvas regulares. Todas
las curvas que estudiaremos son regulares a trozos, aunque casi siempre olvidemos decirlo.
Dada una curva regular C = σ(I) ⊂ R n , introducimos las siguientes notaciones:
σ ′ (t) es un vector tangente a la curva C en el punto σ(t);
σ ′ (t) es la velocidad de la trayectoria σ(t) en el instante t;
T (t) = σ ′ (t)/σ ′ (t) es el 3 vector tangente unitario a la curva C en el punto σ(t);
dℓ = σ ′ (t)dt es el elemento de longitud de la parametrización σ en el punto σ(t); y
2 Con la siguiente salvedad: si la curva es cerrada, entonces σ(a) = σ(b) por definición.
3 En realidad, en cada punto de la curva hay dos vectores tangentes unitarios de sentidos opuestos.

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dℓ = σ ′ (t)dt = T (t)dℓ es el vector diferencial de longitud de la parametrización σ en σ(t).
Usamos la negrita en 0, T y dℓ para recalcar que esas cantidades son vectores: tienen dirección y
magnitud. En la pizarra usaremos los símbolos 0, T y d ℓ. Ni el elemento de longitud ni el vectores
diferenciales de longitud pueden anularse, pues la curva es regular.
Longitud de una curva. La distancia recorrida por una partícula que se desplaza a velocidades
v1, . . . , vN durante unos rangos de tiempo ∆t1, . . . , ∆tN es N i=1 vi∆ti. Si la velocidad no se mantiene
constante, basta substituir la suma por una integral, las velocidades vi por la velocidad instantánea
σ ′ (t) y los incrementos ∆ti por el diferencial dt. Así, la longitud de la curva regular C = σ(I) es
Long(C) :=
b
a
σ ′ (t)dt.
Usando que la parametrización σ(t) es de clase C 1 y el intervalo I = [a, b] es compacto, deducimos
que la función t ↦→ σ ′ (t) es acotada, luego toda curva regular tiene longitud finita.
Ejemplo 1. La longitud de una curva no depende ni de la velocidad ni de la orientación con que se
recorre. Es decir, la longitud no depende de la parametrización escogida. Vamos a ejemplificar este
hecho intuitivamente obvio. Sea C la circunferencia de radio R. Consideramos la parametrización que
se obtiene al recorrer C a velocidad angular constante no nula ω; el signo de ω determina la orientación.
Es decir, C = σ([0, 2π/|ω|]) ⊂ R2 , con σ(t) = (R cos ωt, R sin ωt). La velocidad lineal es constante:
σ ′ (t) ≡ R|ω|. Por tanto,
Long(C) =
2π/|ω|
0
R|ω|dt = 2πR.
En cambio, la trayectoria σ : [0, 2πk] → R2 , σ(t) = (R cos t, R sin t), k ∈ N, recorre k veces la
circunferencia C, luego 2πk
σ 0
′ (t)dt = 2πkR = k Long(C). Por ese motivo hemos impuesto en la
definición de curva regular que su parametrización sea una aplicación inyectiva.
Ejemplo 2. La longitud de una curva regular a trozos se calcula sumando las longitudes de todos sus
trozos. Sea C = σ([0, π]) ⊂ R3 la curva parametrizada por
(R cos t, R sin t, 0), si 0 ≤ t ≤ π/2,
σ(t) =
(0, R, h(t − π/2)), si π/2 ≤ t ≤ π.
Entonces, Long(C) = π/2
σ 0
′ (t)dt + π
π/2 σ′ (t)dt = π/2
0
Rdt + π
hdt = π(R + h)/2.
π/2
Ejemplo 3. Si la parametrización σ : I → Rn no es regular, la curva C = σ(I) puede tener longitud
infinita aunque el intervalo I sea compacto. Sea C = σ([0, 1]) ⊂ R2 la espiral parametrizada por
t cos(2π/t), t sin(2π/t) si 0 < t ≤ 1
σ(t) =
(0, 0) si t = 0.
La parametrización es continua en el extremo t = 0 pues lím t→0 + σ(t) = (0, 0) = σ(0). Sin embargo,
σ ′ (t) = cos(2π/t) + 2πt −1 sen(2π/t), sin(2π/t) − 2πt −1 cos(2π/t) ,
luego la parametrización no es de clase C 1 en el extremo t = 0, pues no existe lím t→0 + σ ′ (t). En cada
intervalo de tiempo Ik = [1/(k + 1), 1/k], k ∈ N, la partícula da una vuelta completa alrededor del
origen. Sea Ck = σ(Ik) esa espira. Entonces
Long(Ck) =
1
k
1
k+1
σ ′ (t)dt =
1
k
1
k+1
1 + 4π 2 t −2 dt =
Por tanto, Long(C) = ∞
k=1 Long(Ck) ≥ 2π ∞
k=1
k+1
k
1
k+1
1 + 4π2s2 ds
k+1
ds 2π
≥ 2π ≥
s2 k s k + 1 .
= ∞. Hemos comprobado que la partícula
recorre una distancia infinita en un tiempo finito, luego la velocidad debe tender a infinito en algún
instante. Concretamente, lím t→0 + σ ′ (t) = ∞.

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Ejemplo 4. Si la velocidad se anula en algunos instantes, pero la parametrización es de clase C 1 en
todo I y la partícula recorre la curva manteniendo la misma orientación, también podemos calcular la
longitud. Parametrizamos el astroide C = (x, y) ∈ R 2 : x 2/3 + y 2/3 = a 2/3 como C = σ(I), donde
σ(t) = a cos 3 t, a sin 3 t , I = [0, 2π].
La velocidad σ ′ (t) = 3a| cos t sin t| se anula en los instantes t = 0, π/2, π, 3π/2, 2π, pero la partícula
avanza siempre en sentido antihorario. Para librarnos del valor absoluto que aparece en la velocidad,
calculamos la longitud de la parte del astroide contenida en el primer cuadrante: C1 = σ(I1), con
I1 = [0, π/2]. Mediante un dibujo vemos, sin realizar cálculo alguno, que √ 2a < Long(C1) < 2a, lo
cual queda confirmado por el cálculo
Long(C1) =
π/2
0
σ ′ (t)dt = 3a
Finalmente, Long(C) = 4 Long(C1) = 6a.
π/2
0
cos t sin tdt = 3a
2
sin 2 t t=π/2
t=0
= 3a/2.
Ejercicio. Consultar el applet de JAVA que aproxima numéricamente la longitud de curvas arbitrarias
parametrizadas del enlace http://www.math.psu.edu/dlittle/java/calculus/parametricarclength.html.
Conviene aprovechar al máximo la libertad referente a la elección de la parametrización y escogerla
de forma que simplifique los cálculos. A continuación estudiamos algunas elecciones típicas.
Gráfica plana. Si C ⊂ R 2 es la gráfica y = f(x) de una función f : [a, b] → R, entonces:
La parametrización más adecuada es σ : [a, b] → R 2 , con σ(x) = (x, f(x));
El elemento de longitud es dℓ = σ ′ (x)dx = 1 + f ′ (x) 2 dx; luego
Long(C) = b
1 + f ′ (x) 2 dx.
a
Ejemplo 5. Sea y = f(x) = mx + n la ecuación de una recta que forma un ángulo α ∈ [0, π/2) con
el eje de abcisas. Es decir, |m| = tan α. Si C es la gráfica de esa recta sobre un intervalo I = [a, b],
entonces su elemento de longitud viene dado por dℓ = √ 1 + m2 dx = 1 dx. Por tanto,
Long(C) =
b
a
dx Long(I)
=
cos α cos α .
Si α = 0, la recta es horizontal y Long(C) = Long(I). Además, lím α→π/2 Long(C)/ Long(I) = ∞.
Gráfica 3D. Si C = {(x, y, z) ∈ R 3 : y = f(x), z = g(x), x ∈ [a, b]}, entonces:
La parametrización más adecuada es σ : [a, b] → R 3 , con σ(x) = (x, f(x), g(x));
cos α
El elemento de longitud es dℓ = σ ′ (x)dx = 1 + f ′ (x) 2 + g ′ (x) 2 dx; luego
1 + f ′ (x) 2 + g ′ (x) 2 dx.
Long(C) = b
a
Ejemplo 6. La curva C = (x, y, z) ∈ R3 : x = R cos(2πz/h), y = R sin(2πz/h), z ∈ [0, h] es una
espira de una hélice circular de radio R y altura h. Su longitud es
h
1 + (2πR/h) 2 sin 2 (2πz/h) + cos2 (2πz/h) dz = 1 + (2πR/h) 2
h
dz = (2πR) 2 + h2 .
0
Observamos que límh→0 Long(C) = 2πR y límR→0 Long(C) = h, acorde a la intuición geométrica.
Curva plana expresada en polares. Si C está definida por la ecuación r = g(θ) en coordenadas polares
para alguna función g : [a, b] → R+, entonces:
La parametrización más adecuada es σ : [a, b] → R 2 , con σ(θ) = (g(θ) cos θ, g(θ) sin θ);
El elemento de longitud es dℓ = σ ′ (θ)dθ = g(θ) 2 + g ′ (θ) 2 dθ; luego
Long(C) = b
g(θ) 2 + g ′ (θ) 2 dθ.
a
Ejemplo 7. La longitud de la cardiode definida en polares por r = g(θ) = R(1 + cos θ), θ ∈ [0, 2π], es
2π
R (1 + cos θ) 2 + sin 2 2π
√ π
θ dθ = R 2 + 2 cos θ dθ = 4R cos(θ/2)dθ = 8R.
0
0
0
0

Depositado en http://www.ma1.upc.edu/∼ed/vectorial.pdf 7
Ejercicio. Consultar el applet de JAVA que aproxima la longitud de curvas planas expresadas en
polares publicado en el enlace http://www.math.psu.edu/dlittle/java/calculus/polararclength.html.
Ejemplo 8. Sea ω = 0. La longitud de la espiral logarítmica r = g(θ) = Re −ωθ , θ ∈ [0, 2π], es
2π 2π
R2e−2ωθ + R2ω2e−2ωθ dθ = R 1 + ω2 e
0
0
−ωθ dθ = R 1 + ω21 − e −2πω /ω.
También podemos calcular la longitud de la espiral logarítmica infinita r = Re−ωθ , θ ∈ [0, ∞), aunque
el intervalo I = [0, ∞) no sea compacto. Si ω > 0, la espiral se acerca al origen mientras gira y
su longitud sigue siendo finita, pues ∞
0 dℓ = R√1 + ω2 ∞
0 e−ωθ dθ = R √ 1 + ω2 /ω. Por contra, si
ω < 0, la espiral tiene longitud infinita, pues cada vuelta tiene una longitud mayor que la anterior.
Ejercicio. Escribir las fórmulas para curvas 3D definidas por las ecuaciones r = g(θ) y z = h(θ) en
coordenadas cilíndricas para algunas funciones g : [a, b] → R+ y h : [a, b] → R.
Integrales de funciones sobre curvas. Sea f : C → R una función continua definida sobre una
curva regular C = σ(I) ⊂ Rn . La integral de f sobre C es igual a
b
f dℓ := f(σ(t))σ ′ (t)dt.
C
a
Notamos que la definición del elemento de longitud nos permite escribir la igualdad Long(C) =
C dℓ.
La integral de una función sobre una curva regular a trozos se calcula sumando las integrales sobre
todos sus trozos.
La interpretación más simple del concepto de integral de una función sobre una curva plana es la
siguiente. Si tenemos un valla cuya base es la curva C = σ(I) ⊂ R2 R3 ∩ {z = 0} y cuya altura
viene dada por una función f : C → R+, entonces
f dℓ es igual al área de la valla.
C
Estas integrales cumplen muchas de las propiedades típicas de las integrales sobre dominios de Rn ;
a saber, linealidad, aditividad, teorema de valor medio, etc. Destacamos las desigualdades
Long(C) · mín f ≤ f dℓ ≤ Long(C) · máx
C C f.
C
Las integrales de funciones sobre curvas sirven para calcular, entre otras cosas, el promedio de una
función definida sobre una curva. Y también para calcular varias propiedades físicas de un “alambre”
C ⊂ R3 a partir de su densidad lineal ρ : C → R+. Concretamente:
m(C) =
ρdℓ es la masa de C;
C
CM(C) = (¯x, ¯y, ¯z) = 1
m(C)
Ie =
C
(x, y, z)ρdℓ es el centro de masas de C; y
C r2 ρdℓ es el momento de inercia respecto a un eje e de C, donde r(p) = dist(p, e).
El caso de “alambres planos” C ⊂ R 2 es análogo. Veamos un par de ejemplos.
Ejemplo 9. Masa del astroide del ejemplo 4 cuando su densidad lineal es ρ(x, y) = |xy|. Si recuperamos
la parametrización y las notaciones del susodicho ejemplo, vemos que
π/2
m(C1) = ρdℓ = ρ(σ(t))σ ′ (t)dt = 3a 3
π/2
cos 4 t sin 4 tdt = 3a3
π/2
sin
16
4 (2t)dt = 9πa3
256 .
C1
0
En los últimos pasos hemos usado las identidades sin 2t = 2 cos t sin t y sin 4 θ = 3
8
0
0
1
1
− 2 cos(2θ)+ 8 cos(4θ).
Finalmente, m(C) = 4 m(C1) = 9
64 πa3 , pues la densidad es simétrica respecto a ambos ejes.
Ejercicio. Consultar el applet de JAVA que aproxima la integral de una función sobre una curva
plana parametrizada en el enlace http://www.math.psu.edu/dlittle/java/calculus/lineintegral.html. Y
en http://en.wikipedia.org/wiki/List of trigonometric identities podeis encontrar una lista sumamente
completa de identidades trigonométricas.
Ejemplo 10. Promedio de la temperatura del alambre helicoidal C = σ([0, 2π]), σ(t) = (cos t, sin t, t),
cuando su temperatura es igual al cuadrado de la distancia al origen: T (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 . Como

8 Depositado en http://www.ma1.upc.edu/∼ed/vectorial.pdf
este alambre tiene la forma de una espira de una hélice de radio R = 1 y altura h = 2π, sabemos que
dℓ = σ ′ (t)dt = √ 2dt y Long(C) = 2 √ 2π, ver ejemplo 6. Así, el promedio de la temperatura es
¯T
1
=
Long(C)
T dℓ = 1
2 √ 2π
T (σ(t))σ
2π
′ (t)dt = 1
2 √ 2π
(1 + t
2π
2 ) √ 2dt = 1 + 4π2
.
3
C
0
Circulaciones de campos a lo largo de curvas. El trabajo realizado por una fuerza constante F
sobre un objeto que se desplaza en linea recta desde un punto A hasta un punto B es W = 〈F , d〉, siendo
d = −→
AB. Queremos generalizar este concepto a fuerzas no necesariamente constantes y trayectorias
no necesariamente rectas. Después veremos si el trabajo depende de la trayectoria de la partícula o,
por el contrario, tan sólo depende de la curva descrita o incluso sólo de los extremos de la curva.
Campos vectoriales. Un campo vectorial 2D es una aplicación
F : U ⊂ R 2 → R 2 , F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)).
Análogamente, un campo vectorial 3D es una aplicación
F : U ⊂ R 3 → R 3 , F (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)).
Para simplificar la exposición, supondremos que todos los campos son, al menos, continuos. Un campo
consiste en situar un vector en cada punto del abierto U ⊂ R n . Los campos aparecen de manera
natural en física. Los dos ejemplos más importantes son los campos de fuerza —cuyos vectores definen
fuerzas (gravitatorias, eléctricas, magnéticas, de marea) que actuan sobre partículas— y los campos
de velocidades —cuyos vectores definen la velocidad en cada punto de un gas o fluido. En esta primera
parte del curso, supondremos que los campos no dependen del tiempo.
Circulación. En lenguaje matemático el trabajo recibe el nombre de circulación y se define como la
integral del campo F : U ⊂ Rn → Rn sobre la trayectoria σ : [a, b] → U de la siguiente manera:
b
〈F , dℓ〉 := 〈F (σ(t)), σ ′ (t)〉dt.
σ
a
Una notación alternativa para la circulación del campo F = (P, Q) a lo largo de la trayectoria σ es
P dx + Qdy.
σ
Análogamente,
P dx+Qdy+Rdz para campos 3D. Ambos símbolos son “sinónimos” de 〈F , dℓ〉.
σ σ
La circulación es igual a cero cuando la fuerza es perpendicular a la trayectoria seguida. Esta
observación es un caso particular de la siguiente interpretación geométrica. Recordamos que dℓ = T dℓ,
siendo T = σ ′ /σ ′ el vector tangente unitario a la trayectoria con la orientación adecuada. Entonces
FT := 〈F , T 〉 es la componente tangencial del campo a la trayectoria. Juntándolo todo vemos que
〈F , dℓ〉 = 〈F , T dℓ〉 =
σ
σ
0
FT dℓ.
σ
Es decir, la circulación es la integral de la función “componente tangencial del campo” sobre la curva.
Ejemplo 11. La circulación de un campo a lo largo de una trayectoria no depende de la velocidad, pero
sí de la orientación con que se recorre. Para convencer al lector, retomamos el ejemplo 1. Teníamos
una circunferencia C de radio R recorrida a velocidad angular constante no nula ω; el signo de ω
determina la orientación. Concretamente, C = σ([0, 2π/|ω|]) ⊂ R 2 , con σ(t) = (R cos ωt, R sin ωt).
Para fijar ideas, consideramos un campo concreto. Por ejemplo, F (x, y) = (−y, x). Entonces,
〈F , dℓ〉 = 〈F (σ(t)), σ ′ (t)〉dt = (−R sin ωt, R cos ωt), (−Rω sin ωt, Rω cos ωt) dt = R 2 ω dt.
Por tanto, la circulación del campo F a lo largo de la trayectoria σ es
2π/|ω|
〈F , dℓ〉 = R 2 2 ω
ω dt = 2πR
|ω| =
+2πR2 , si el sentido es antihorario: ω > 0,
−2πR2 , si el sentido es horario: ω < 0.
σ
0

Depositado en http://www.ma1.upc.edu/∼ed/vectorial.pdf 9
Esto motiva que, a partir de ahora, utilicemos los símbolos
〈F , dℓ〉, 〈F , dℓ〉
C +
para denotar los dos posibles valores de la circulación de un campo F a lo largo de una curva C,
siendo
C−〈F , dℓ〉 = −
C +〈F , dℓ〉. Los signos + y − significan que la orientación con que recorremos
la curva es positiva o negativa. Si no se pone signo, se sobreentiende que la orientación es positiva. Y
utilizaremos los símbolos
〈F , dℓ〉 = 〈F , dℓ〉, 〈F , dℓ〉.
C
cuando la curva C sea cerrada, como la circunferencia del ejemplo anterior.
C +
Observación. En cada enunciado se dirá cuál es la orientación escogida como positiva. Por ejemplo,
diciendo “curva orientada en sentido antihorario”, dando una parametrización concreta o clarificando
los puntos inicial y final de la curva. Si no, se debe escoger una orientación como positiva y decirlo.
Ejemplo 12. La circulación de un campo no depende de la velocidad, pero, en general, sí depende del
camino seguido para conectar el punto inicial A con el punto final B. Calculamos la circulación del
campo F (x, y) = (y 2 , x 2 ) a lo largo de tres curvas que van desde A = (0, 0) hasta B = (1, 1).
1. El segmento C1 = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y = x ≤ 1}. Si lo parametrizamos por σ1 : [0, 1] → R2 ,
σ1(t) = (t, t), entonces
C1 〈F , dℓ〉 = 1
0 〈F (σ1(t)), σ ′ 1(t)〉dt = 1
0 2t2 dt = 2/3.
2. Parametrizamos el arco de parábola C2 = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y = x2 ≤ 1} por σ2 : [0, 1] → R2 ,
σ(t) = (t, t2 ). Entonces
C2 〈F , dℓ〉 = 1
0 〈F (σ2(t)), σ ′ 2(t)〉dt = 1
0 (t4 + 2t3 )dt = 7/10.
3. La unión de segmentos C3 = AD ∪ DB, con D = (1, 0). Usamos la parametrización a trozos
σ3 : [0, 2] → R 2
, σ3(t) =
(t, 0),
(1, t − 1)
si 0 ≤ t ≤ 1,
si 1 ≤ t ≤ 2.
Entonces,
C −
C −
C3 〈F , dℓ〉 = 2
0 〈F (σ3(t)), σ ′ 3(t)〉dt = 1
0 0dt + 2
1
1dt = 1.
Campos conservativos (primera parte). Un campo se denomina conservativo cuando su circulación
sólo depende de los extremos de la curva, pero no de la curva en sí, o, equivalentemente, cuando tiene
circulación nula sobre cualquier curva cerrada. De momento, nos limitamos a ver un par de ejemplos.
Ejemplo 13. El campo F (x, y, z) = (x, y, z) es conservativo. La clave es observar que es el gradiente
de la función f(x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 )/2. Es decir, F = grad f = (fx, fy, fz) =
Sea σ : [a, b] → R3 , σ(t) = (x(t), y(t), z(t)), una trayectoria arbitraria tal que σ(a) = A y σ(b) = B.
Sea g : [a, b] → R la función g(t) = f(σ(t)) = (x(t)) 2 + (y(t)) 2 + (z(t)) 2 /2. Entonces
g ′ (t) = d
2 2 2
(x(t)) + (y(t)) + (z(t))
= x(t)x
dt
2
′ (t) + y(t)y ′ (t) + z(t)z ′ (t) = 〈F (σ(t)), σ ′ (t)〉.
Por tanto, si calculamos la circulación del campo F a lo largo de la trayectoria σ obtenemos que
b
〈F , dℓ〉 = g ′ (t)dt = g(b) − g(a) = f(B) − f(A),
σ
a
quedando probado que la circulación sólo depende de A y B. De hecho, la circulación es la diferencia
del valor de la función f en los extremos A y B. Vamos a comprobarlo en un caso concreto.
Sea C = σ([0, 2π]) ⊂ R3 , σ(t) = Ret (cos t, sin t, 1). Se sobreentiende que C está orientada desde
A = σ(0) = (R, 0, R) hasta B = σ(2π) = (Re2π , 0, Re2π ). Por tanto, la circulación debe ser igual a
〈F , dℓ〉 = f(B) − f(A) = R 2 e 4π + 0 + R 2 e 4π /2 − R 2 + 0 + R 2 /2 = R 2 (e 4π − 1).
C
∂f
∂x
, ∂f
∂y
, ∂f
∂z
.

10 Depositado en http://www.ma1.upc.edu/∼ed/vectorial.pdf
C
Si aplicamos la definición, calculamos dℓ = σ ′ (t)dt = Re t (cos t − sin t, sin t + cos t, 1)dt, luego
〈F , dℓ〉 =
2π
0
R 2 e 2t cos t(cos t−sin t)+sin t(sin t+cos t)+1 dt =
2π
0
2R 2 e 2t dt = R 2 (e 4π −1).
Es una buena práctica realizar determinados cálculos de dos (o más) formas diferentes, como en el
ejemplo anterior, de cara a detectar posibles errores de cálculo.
Ejemplo 14. Calcular
C y dx − xdy, siendo C el arco superior de la elipse x2 /a2 + y2 /b2 = 1 que va
desde A = (a, 0) hasta B = (−a, 0). ¿Es conservativo el campo F = (y, −x)?
Usamos la parametrización C = σ([0, π]), σ(t) = (x(t), y(t) = (a cos t, b sin t). Entonces,
π
π
′ ′
y dx − xdy = y(t)x (t) − x(t)y (t) dt = (−ab)dt = −πab.
C
0
El campo no es conservativo, pues es perpendicular al segmento de extremos A y B en todos los puntos
del segmento, luego su circulación a lo largo del segmento es nula.
Integrales de funciones y campos sobre superficies
Vamos a introducir el concepto de superficie, calcular áreas de superficies y definir los símbolos
f dS = Integral de una función f : S → R sobre una superficie S; y
S
S 〈F , dS〉 = Flujo del campo vectorial F : U → R3 a través de una superficie S ⊂ U ⊂ R3 .
Superficies. Intuitivamente, una superficie es un subconjunto bidimensional suave de R 3 . Es decir,
sin pinchos ni aristas, lo cual excluye a conos, poliedros, etc. Sin embargo, esa idea restringe demasiado
el campo de acción, pues queremos trabajar sobre superficies con algunas singularidades. Formalizar
rigurosamente un marco de trabajo adecuado no es fácil, pero evitamos profundizar en detalles técnicos.
Definimos una superficie regular como el rango (o imagen)
S = ϕ(D) = ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) : (u, v) ∈ D ⊂ R 3
de una aplicación ϕ : D ⊂ R 2 → R 3 , que recibe el nombre de parametrización regular, tal que:
D es un dominio compacto, conexo y con frontera C 1 a trozos de R 2 ;
ϕ es una aplicación de clase C 1 e inyectiva excepto, quizá, en la frontera del dominio D; y
La superficie S es suave excepto, quizá, en un número finito de puntos.
Decimos que la superficie S es suave en un punto p = ϕ(u, v) cuando
ϕu(u, v) ∧ ϕv(u, v) = ∂ϕ ∂ϕ
(u, v) ∧ (u, v) = 0.
∂u ∂v
Si S = ϕ(D) ⊂ R3 es una superficie regular, introducimos las siguientes notaciones:
ϕu(u, v) y ϕv(u, v) son dos vectores tangentes (li) a la superficie S en el punto p = ϕ(u, v);
TpS = p + [ϕu(u, v), ϕv(u, v)] es el plano tangente a la superficie S en el punto p = ϕ(u, v);
ϕu(u, v) ∧ ϕv(u, v) es un vector normal (no nulo) a la superficie S en el punto p = ϕ(u, v);
dS = ϕu ∧ ϕvdudv es el elemento de superficie de la parametrización ϕ; y
dS = (ϕu ∧ ϕv)dudv = N dS es el vector diferencial de superficie de la parametrización ϕ,
donde
N = ϕu(u, v) ∧ ϕv(u, v)
ϕu(u, v) ∧ ϕv(u, v)
es el4 vector normal unitario a la superficie S en el punto p = ϕ(u, v).
A continuación presentamos algunos ejemplos típicos de superficies regulares.
Cilindro. El cilindro circular recto de radio R y altura h se suele parametrizar mediante la longitud y la
altura de las coordenadas cilíndricas 5 . Recto significa que la altura es perpendicular a la base y circular
4 En realidad, en cada punto de la superficie hay dos vectores normales unitarios de sentidos opuestos. Si la superficie
encierra una región, estos vectores se denominan exterior e interior según si apuntan al exterior o interior de la región.
5 En estos apuntes consideramos las coordenadas cilíndricas definidas por x = r cos θ, y = r sin θ y z = z, donde
r = x 2 + y 2 > 0 es la distancia al eje z, θ ∈ [0, 2π] es la longitud y z ∈ R es la altura.
0

Depositado en http://www.ma1.upc.edu/∼ed/vectorial.pdf 11
significa que la base es un círculo. Concretamente, si S = {(x, y, z) ∈ R 3 : x 2 + y 2 = R 2 , 0 ≤ z ≤ h},
entonces S = ϕ(D), donde
ϕ(θ, z) = (R cos θ, R sin θ, z), D = [0, 2π] × [0, h].
Notamos que la inyectividad falla en algunos puntos de la frontera de D, pues ϕ(0, z) = ϕ(2π, z).
Cono. El cono circular recto S = (x, y, z) ∈ R 3 : k 2 z 2 = x 2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ h tiene altura h, radio
R = kh y semiángulo α ∈ (0, π/2), donde k = tan α. Los términos recto y circular se han explicado
antes. Todo cono es intrínsecamente singular en su vértice. Se suele parametrizar de dos formas.
1. Mediante la longitud y la altura de las coordenadas cilíndricas: S = ϕ(D), donde
ϕ(θ, z) = (kz cos θ, kz sin θ, z), D = [0, 2π] × [0, h].
Esta parametrización es singular cuando z = 0 (vértice) y no es inyectiva en la frontera de D.
2. En forma de gráfica: S = ϕ(D), donde
ϕ(x, y) = x, y, x2 + y2
/k , D = (x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ R 2 .
Esta parametrización es singular cuando (x, y) = (0, 0).
Esfera. La esfera S = {(x, y, z) ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = R 2 } se suele parametrizar de dos formas.
1. Mediante la longitud θ y la latitud φ de las coordenadas esféricas 6 : S = ϕ(D), donde
ϕ(θ, φ) = (R cos φ cos θ, R cos φ sin θ, R sin φ), D = [0, 2π] × [−π/2, π/2].
Esta parametrización es singular cuando φ = ±π/2 y no es inyectiva en la frontera de D.
2. Expresando sus dos hemisferios en forma de gráfica: S = S+ ∪ S−, S± = ϕ±(D), donde
ϕ±(x, y) = x, y, ± R2 − x2 − y2
, D = (x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ R 2 .
Ambas parametrizaciones son singulares cuando x 2 + y 2 = R 2 .
Variaciones: cilindros y conos elípticos, elipsoides. Las coordenadas cilíndricas pueden adaptarse. Esto
permite parametrizar cilindros y conos elípticos. Por ejemplo, la parametrización usual del cilíndro
S = {(x, y, z) ∈ R 3 : x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, 0 ≤ z ≤ h} es S = ϕ(D), donde
ϕ(θ, z) = (a cos θ, b sin θ, z), D = [0, 2π] × [0, h].
Y las coordenadas esféricas pueden adaptarse a elipsoides. Esa idea sirve para parametrizar el
elipsoide {(x, y, z) ∈ R 3 : x 2 /a 2 +y 2 /b 2 +z 2 /c 2 = 1} usando la longitud y la latitud de las coordenadas
esféricas modificadas. Concretamente, S = ϕ(D), donde
ϕ(θ, φ) = (a cos φ cos θ, b cos φ sin θ, c sin φ), D = [0, 2π] × [−π/2, π/2].
Área de una superficie. Sea S = ϕ(R), ϕ : R = [a, b] × [c, d] → R 3 , una superficie regular. Si
descomponemos el rectángulo R en N 2 subrectángulos Rij de lados ∆u = (b − a)/N y ∆v = (d − c)/N
apoyados en el vértice (ui, vj), entonces también podemos descomponer la superficie S en N 2 pequeños
“trozos rectángulares” Sij = ϕ(Rij), i, j = 0, . . . , N − 1. En estas condiciones, se puede probar que
Area(Rij) = ∆u · ∆v;
Area(Sij) ϕu(ui, vj) ∧ ϕv(ui, vj) Area(Rij);
Area(S) = N i,j=1 Area(Sij) N i,j=1 ϕu(ui, vj) ∧ ϕv(ui, vj)∆u · ∆v.
6 En estos apuntes consideramos las coordenadas esféricas definidas por x = r cos θ cos φ, y = r sin θ cos φ y z = r sin φ,
donde r = x 2 + y 2 + z 2 > 0 es la distancia al origen, θ ∈ [0, 2π] es la longitud y φ ∈ [−π/2, π/2] es la latitud.

12 Depositado en http://www.ma1.upc.edu/∼ed/vectorial.pdf
La última aproximación se convierte en una igualdad cuando pasamos al límite N → +∞, lo cual
motiva la siguiente definición. El área de la superficie regular S = ϕ(D) ⊂ R3 es igual a
Area(S) := ϕu ∧ ϕvdudv.
D
Usando que la parametrización ϕ(u, v) es de clase C1 y el dominio D ⊂ R2 es compacto, deducimos
que la función (u, v) ↦→ ϕu ∧ ϕv es acotada, luego toda superficie regular tiene área finita.
Observación. El área de una superficie regular a trozos se calcula sumando las áreas de sus trozos.
Al igual que antes, el área de una superficie regular no depende de la parametrización escogida,
luego en cada caso conviene escoger la parametrización más adecuada. A continuación estudiamos
cuatro situaciones típicas para ver como quedan las fórmulas.
Gráficas. Si S es la gráfica z = f(x, y) de una función f : D ⊂ R2 → R, entonces:
La parametrización más adecuada es ϕ : D → R3 , con ϕ(x, y) = (x, y, f(x, y));
El elemento de superficie es dS = ϕx ∧ ϕydxdy = 1 + (fx) 2 + (fy) 2 dxdy; luego
Area(S) =
1 + (fx) 2 + (fy) 2 dxdy.
D
Ejemplo 15. Consideramos la superficie S = {(x, y, z) ∈ R3 : z = x2 + y2 , x2 + y2 ≤ R2 }. La igualdad
define la función f(x, y), mientras que la desigualdad define el dominio D. Así pues, esta superficie es
la gráfica de z = f(x, y) = x2 + y2 sobre el disco D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ R2 }. El elemento de
superficie es dS = 1 + 4x2 + 4y2 dxdy, luego el área de S es igual a
1 + 4x2 + 4y2 dxdy =
D
D∗ R π
1 + 4r2r dr dθ = 2π 1 + 4r2r dr =
0
(1 + 4R2 ) 3/2 − 1
.
6
En la primera igualdad hemos realizado un cambio a coordenadas polares para transformar el disco
D en el rectángulo D∗ = [0, R] × [0, 2π] y en la segunda hemos usado el teorema de Fubini.
Ecuaciones implícitas. Si S es una superficie regular que cumple la ecuación implícita F (x, y, z) = 0
pero se puede expresar como la gráfica z = f(x, y) de una función f : D ⊂ R2 → R, entonces:
La parametrización más adecuada sigue siendo ϕ : D → R3 , con ϕ(x, y) = (x, y, f(x, y));
El elemento de superficie es dS = 1 + (Fx/Fz) 2 + (Fy/Fz) 2 dxdy;
Area(S) =
1 + (Fx/Fz) 2 + (Fy/Fz) 2 dxdy.
D
Ejemplo 16. Sea Π ≡ ax + by + cz = d un plano cuyo vector normal forma un ángulo α ∈ [0, π/2)
con el eje z. Es decir, si k = (0, 0, 1) es el vector unitario vertical y N = (a, b, c)/ √ a2 + b2 + c2 es el
normal unitario, entonces
|〈N, k〉|
cos α =
Nk =
|c|
√
a2 + b2 + c2 .
En particular, c = 0 pues estamos suponiendo que α = π/2. Esto significa que el plano Π se puede
expresar como la gráfica de la función z = f(x, y) = (d − ax − by)/c sobre todo R2 R3 ∩ {z = 0}. Sea
S la superficie contenida en el plano Π sobre un dominio arbitrario D ⊂ R2 . Así pues, su elemento de
superficie es dS = 1 + (a/c) 2 + (b/c) 2 dxdy = 1
cos α dxdy, luego
dxdy Area(D)
Area(S) = =
cos α cos α .
D
Si α = 0, el plano es horizontal y Area(S) = Area(D). Además, lím α→π/2 Area(S)/ Area(D) = ∞.
Superfies de revolución. Supongamos que S se obtiene al girar una curva C = {(r(t), z(t)) : t ∈ [a, b]}
respecto al eje z. Para que la superficie S sea regular necesitamos que:
1. La curva C sea regular: (r ′ (t), z ′ (t)) = 0 para todo t ∈ [a, b]; y
2. La curva C no toque al eje z: r(t) > 0 para todo t ∈ [a, b].
Bajo estas dos condiciones se cumple que:
La mejor parametrización es ϕ : D = [a, b] × [0, 2π] → R 3 , ϕ(t, θ) = r(t) cos θ, r(t) sin θ, z(t));

Depositado en http://www.ma1.upc.edu/∼ed/vectorial.pdf 13
El elemento de superficie es dS = ϕt ∧ ϕθdtdθ = (r ′ (t)) 2 + (z ′ (t)) 2r(t)dtdθ; luego
(r ′ (t)) 2 + (z ′ (t)) 2r(t)dt. Area(S) = 2π b
a
En la última fórmula hemos usado el teorema de Fubini. El elemento de superficie está bien definido
(y no se anula en ningún punto) gracias a las dos condiciones anteriores sobre la curva C.
Ejemplo 17. La esfera de radio R se obtiene al girar la curva
C = (r(t), z(t)) = (R cos t, R sin t) : −π/2 ≤ t ≤ π/2
respecto al eje z. Aplicando la fórmula anterior, su área es 2π π/2
−π/2 R2 cos tdt = 4πR 2 .
La fórmula general para calcular el área de una superficie de revolución admite dos simplificaciones:
C = {(x, z = g(x)) : x ∈ [a, b]} =⇒ Area(S) = 2π b
1 + (g ′ (x)) 2 |x|dx; y
a
C = {(x = h(z), z) : z ∈ [c, d]} =⇒ Area(S) = 2π d
1 + (h ′ (z)) 2 |h(z)|dz.
c
Ejemplo 18. La cara lateral del cono de revolución de radio R y altura h se obtiene al girar la curva
C = {(x, z = hx/R) : x ∈ [0, R]} respecto al eje z. Aplicando la primera fórmula vemos que su área es
2π
R
0
1 + h 2 /R 2 xdx = πR R 2 + h 2 = πRs,
siendo s = √ R 2 + h 2 = Long(C). Más adelante interpretaremos esta fórmula a la luz del primer
teorema de Guldin. El área total del cono es πR(R + s), pues faltaba añadir el área de la base.
Superficie expresada en esféricas. Si S está definida por la ecuación r = g(θ, φ) en coordenadas
esféricas para alguna función g : D ⊂ [0, 2π] × [−π/2, π/2] → R+, entonces:
La parametrización adecuada es ϕ : D → R3 , con ϕ(θ, φ) = g(θ, φ) cos φ cos θ, cos φ sin θ, sin φ);
El elemento de superficie es dS = ϕθ ∧ ϕφdθ dφ = g g2 θ + (g2 + g2 φ ) cos2 φdθ dφ; luego
Area(S) =
g(θ, φ) g2 θ (θ, φ) + (g2 (θ, φ) + g2 φ (θ, φ)) cos2 φdθ dφ.
D
Ejemplo 19. La esfera de radio R está definida en coordenadas esféricas por la ecuación r = g(θ, φ) = R
para todo (θ, φ) ∈ D = [0, 2π] × [−π/2, π/2]. Aplicando la fórmula anterior obtenemos que su área es
R
D
2 cos φdθ dφ = R 2
2π
dθ
0
π/2
cos φdφ = 4πR
−π/2
2 .
Ejercicio. Escribir las fórmulas para superficies definidas por la ecuación r = g(θ, z) en coordenadas
cilíndricas para alguna función g : D ⊂ [0, 2π] × R → R+. Ídem para las superficies definidas por la
ecuación z = h(r, θ) en coordenadas cilíndricas para alguna función h : D ⊂ R+ × [0, 2π] → R.
Integrales de funciones sobre superficies. Sea f : S → R una función continua definida sobre
una superficie regular S = ϕ(D) ⊂ R3 . La integral de f sobre S es igual a
f dS := f(ϕ(u, v))ϕu ∧ ϕvdudv.
S
D
Notamos que la definición del elemento de superficie nos permite escribir la igualdad Area(S) =
S dS.
Estas integrales satisfacen muchas de las propiedades típicas de las integrales sobre dominios de Rn ;
a saber, linealidad, aditividad, teorema de valor medio, etc. Destacamos las desigualdades
Area(S) · mín f ≤ f dS ≤ Area(S) · máx
S S f.
S
Ejemplo 20. La aditividad implica que la integral de una función sobre una superficie regular a trozos
se calcula sumando las integrales sobre todos sus trozos. Sea D = {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1} el círculo
de radio uno centrado en el origen. Sea S = S1 ∪ S2 la superficie formada por los trozos
S1 = (x, y, z) ∈ R 3 : z = 1 − x 2 − y 2 , (x, y) ∈ D , S2 = (x, y, z) ∈ R 3 : z = 0, (x, y) ∈ D .

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Sea f(x, y, z) = 1 + xz. Queremos calcular
S f dS. Los trozos S1 y S2 son las gráficas de las funciones
z = g1(x, y) = 1 − x2 − y2 y z = g2(x, y) = 0 sobre el círculo D, respectivamente. Por tanto,
S1
S2
f dS =
=
=
D
D∗ 2π
f(x, y, 1 − x 2 − y 2 ) 1 + 4x 2 + 4y 2 dxdy
0
(1 + r(1 − r 2 ) cos θ) 1 + 4r 2 r dr dθ
1
dθ · r
0
1 + 4r2 2π
dr +
=
2π (1 + 4r 2 ) 3/2 r=1 /12 + 0 · (no importa) = π
r=0
5 3/2 − 1 /6,
f dS =
f(x, y, 0) 1 + 02 + 02
dxdy = dxdy = Area(D) = π.
Finalmente,
S
D
f dS =
S1
f dS +
D
S2 f dS = 5π√ 5 + 1 /6.
0
Cambio a polares: D∗
= [0, 1] × [0, 2π]
Aplicamos Fubini y usamos la linealidad
1
cos θ dθ · r
0
2 (1 − r 2 ) 1 + 4r2
dr
El concepto de integral de una función sobre una superficie sirve para calcular, entre otras cosas,
el promedio de una función definida sobre una superficie. Y también para calcular varias propiedades
físicas de una “plancha” S ⊂ R3 a partir de su densidad superficial ρ : S → R+. Concretamente:
m(S) =
ρdS es la masa de S;
S
CM(S) = (¯x, ¯y, ¯z) = 1
m(S) (x, y, z)ρdS es el centro de masas de S; y
S
Ie =
S r2ρdS es el momento de inercia respecto a un eje e de S, donde r(p) = dist(p, e).
Veamos un par de ejemplos.
Ejemplo 21. Constante de inercia, respecto a su eje de revolución, de la cara lateral de un cono de
radio R y altura h. Siempre que no se diga nada sobre la densidad, supondremos que el cuerpo es
homogéneo: ρ ≡ ρ0 densidad constante. Escogemos la parametrización S = ϕ(D) dada por
ϕ(θ, z) = (kz cos θ, kz sin θ, z), D = [0, 2π] × [0, h],
donde k = R/h, ver página 11. El elemento de superficie es dS = √ 1 + k 2 k|z|dθ dz, luego
m(S) =
S
ρdS = ρ0
D
1 + k 2 k|z|dθ dz = 1 + k 2 kρ0
2π
A continuación, calculamos el momento de inercia respecto al eje z:
Iz =
(x
S
2 + y 2 )ρdS =
k
D
2 z 2 ρ0
luego Iz = 1
√
2 π 1 + k2 2 1
Rhρ0 R =
0
h
dθ · z dz = π
0
1 + k2Rhρ0. 1 + k 2 kz dθ dz = 1 + k 2 k 3 ρ0(2π)(h 4 /4) = π 1 + k 2 R 3 hρ0/2,
2 m(S)R2 y la constante de inercia es c = 1
2
Ejemplo 22. Masa de la superficie S del paraboloide hiperbólico P = {2az = x 2 − y 2 } cortada por el
cilindro C = {x 2 + y 2 = a 2 } si la densidad superficial es proporcional a la distancia al plano {z = 0},
siendo k > 0 la constante de proporcionalidad. Suponer que a > 0.
Escribimos la superficie S como la gráfica de la función z = f(x, y) = (x 2 − y 2 )/2a sobre el círculo
de radio a centrado en el origen: D = {(x, y) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ a 2 }. El elemento de superficie es
dS =
1 + (fx) 2 + (fy) 2 dxdy = 1 + (x 2 + y 2 )/a 2 dxdy = a −1 a 2 + x 2 + y 2 dxdy.
.

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Integramos la densidad ρ(x, y, z) = k|z| sobre la superficie:
m(S) =
ρdS =
S
k
2a2
|x
D
2 − y 2 | a2 + x2 + y2 =
dxdy Reducción a D1 = D ∩ {0 ≤ |y| ≤ x}
2k
a2
2 2
x − y
D1
a2 + x2 + y2 dxdy Cambio a polares: D∗ =
1 = [0, a] × [−π/4, π/4]
2k
a2
D∗ r
1
2 cos 2 θ − sin 2 θ
=
a2 + r2r dr dθ Fubini & fórmulas ángulo doble
2k
a2
π/4
a
cos(2θ)dθ · r
−π/4
0
2 a2 + r2
r dr Cambio s = a2 + r2
, ds = 2r dr
= 2k
2
2a
1
· 1 · (s − a
a2 2
2 ) √ sds = k
a2
2
5 s5/2 − 2
3 a2s 3/2
2
s=2a
= 4 √ 3
1 + 2 ka .
15
a 2
Acabamos esta sección con dos resultados de tipo geométrico.
Teorema (Primer y segundo teoremas de Guldin). Sea Π+ ⊂ R 3 un semiplano y e = ∂Π+. Sean
C ⊂ Π+ una curva plana no necesariamente cerrada y D ⊂ Π+ un dominio plano sin contacto con e.
1. El área de la superficie de revolución S que se obtiene al girar C respecto al eje e es
s=a 2
Area(S) = 2π dist(CG(C), e) Long(C).
2. El volumen del cuerpo sólido de revolución W que se obtiene al girar D respecto al eje e es
Vol(W ) = 2π dist(CG(D), e) Area(D).
Demostración. Podemos suponer que el eje de revolución es el eje z, luego Π+ es un semiplano vertical
arbitrario donde usamos las coordenadas (r, z) tales que r > 0 es la distancia al eje y z es la altura.
1. Sea C = {(r(t), z(t)) : t ∈ [a, b]} la curva base y sea CG(C) = (¯r, ¯z). Entonces,
dist(CG(C), e) = ¯r =
1
Long(C)
C
r dℓ =
1
Long(C)
b
a
(r ′ (t)) 2 + (z ′ (t)) 2 r(t)dt = Area(S)
2π Long(C) .
En la última igualdad hemos usado la fórmula para calcular el área de una superficie de revolución.
2. Sea D ⊂ {(r, z) ∈ R2
1
: r > 0} el dominio base y sea CG(D) = (¯r, ¯z) = Area(D) (r, z)dr dz. El
D
cuerpo de revolución en coordenadas cilíndricas es W ∗ = {(r, θ, z) : 0 ≤ θ ≤ 2π, (r, z) ∈ D}, luego
Vol(W ) = dxdy dz =
W
W ∗
2π
r dr dθ dz = dθ · r dr dz = 2π¯r Area(D).
0
D
Finalmente, basta observar que ¯r = dist(CG(D), e).
Observación. Un círculo y la circunferencia que lo encierra comparten el mismo centro geométrico,
pero, en general, un dominio plano y su frontera no lo comparten: C = ∂D ⇒ CG(C) = CG(D).
Ejemplo 23. Sean r, R ∈ R tales que 0 < r < R. El toro sólido W de radio interior r y radio exterior
R se obtiene al girar respecto a un eje e = ∂Π+ un círculo D ⊂ Π+ de radio r cuyo centro está a
distancia R del eje e, mientras que su superficie S = ∂W se obtiene al girar la circunferencia C = ∂D.
En este caso, dist(CG(D), e) = dist(CG(C), e) = R. Aplicando los dos teoremas de Guldin, vemos que
Area(S) = 2πR Long(C) = 4π 2 rR, Vol(W ) = 2πR Area(D) = 2π 2 r 2 R.
Observación. Dada una curva plana no necesariamente cerrada C y dado un dominio plano D, sean
S y W los cilindros rectos de bases C y D, ambos con altura h. Es interesante comparar las anteriores
fórmulas de Guldin con las ya conocidas fórmulas Area( S) = h Long(C) y Vol( W ) = h Area(D).

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Flujos de campos 3D a través de superficies. Sea Π ⊂ R 3 un plano con vector normal unitario
N. Supongamos que un fluido atraviesa ese plano a través de un “agujero” S ⊂ Π y que la velocidad
del fluido es constante e igual a F0 es todos los puntos de S. Entonces el flujo (cantidad de fluido
por unidad de tiempo) que atraviesa el plano es igual al volumen (con signo) del cilindro sólido de
base S y generatriz F0; es decir, es igual a 〈F0, N〉 Area(S). El signo del flujo está relacionado con
el sentido del fluido: es positivo cuando el fluido atraviesa el plano en el sentido del vector normal
N y negativo de lo contrario. Este concepto se puede generalizar a velocidades no necesariamente
constantes y superficies no necesariamente planas.
Flujo. El flujo de un campo F : U ⊂ R3 → R3 a través de una superficie S = ϕ(D) ⊂ R3 es la integral
P ◦ ϕ Q ◦ ϕ R ◦ ϕ
〈F , dS〉 := 〈F ◦ ϕ, ϕu ∧ ϕv〉dudv = xu yu zu
S
D
D
dudv,
xu yu zu
donde ϕ = (x, y, z) y F = (P, Q, R). La última fórmula ayuda a entender la notación alternativa
P dy dz + Qdz dx + Rdxdy
S
para denotar al flujo del campo F = (P, Q, R) a través de la superficie S, pues
dy dz
dy dz = dudv =
dudv yu
zu
yu zu dudv, dz dx =
zu
xu
zu xu dudv, dxdy =
xu yu
xu yu
dudv.
No hay flujo cuando la velocidad es tangente a la superficie. Esta observación es un caso particular de
la siguiente interpretación geométrica. Recordamos que dS = N dS, siendo N = (ϕu ∧ϕv)/ϕu ∧ϕv
el vector normal unitario a la superficie con la orientación adecuada. Entonces FN := 〈F , N〉 es la
componente normal del campo a la superficie. Juntándolo todo vemos que
〈F , dS〉 = 〈F , N dS〉 = FN dS.
S
S
Es decir, el flujo es la integral de la función “componente normal del campo” sobre la superficie. Esta
fórmula simplifica el cálculo del flujo cuando la componente normal FN tiene un expresión sencilla.
Por ejemplo, si es constante: FN ≡ α, entonces
〈F , dS〉 = α Area(S). Lo usaremos en el ejemplo 26.
S
Orientación. En el símbolo que hemos usado para el flujo de un campo a través de una superficie
no aparece la parametrización ϕ, lo cual sugiere que el flujo no depende de la parametrización. Sin
embargo eso no es completamente cierto, pues sí depende de la orientación de la parametrización.
Volviendo al ejemplo inicial del flujo a través de un agujero en un plano, como un plano tiene dos
lados podemos medir el flujo en el sentido dado por el vector normal unitario N (que corresponde a
uno de los dos lados del plano) o por su vector opuesto −N (que corresponde al otro lado).
Esto motiva que, si calculamos el flujo a través de una superficie S con dos lados7 , una vez fijado
un vector normal unitario N (o sea, una vez fijado un lado de S), utilicemos los símbolos
〈F , dS〉, 〈F , dS〉
S +
para denotar los dos posibles valores del flujo del campo F a través de la superficie S. Obviamente,
S−〈F , dS〉 = −
S +〈F , dS〉. Concretamente, escibiremos el signo + cuando la parametrización sea
positiva: (ϕu ∧ ϕv)/ϕu ∧ ϕv = +N y el signo − cuando sea negativa: (ϕu ∧ ϕv)/ϕu ∧ ϕv = −N.
En ausencia del signo, se sobreentiende que la parametrización es positiva. Por tanto, al calcular un
flujo según un vector normal fijado, es imprescindible comprobar que la parametrización es positiva.
Ejemplo 24. Sea S el primer octante del elipsoide E = {(x, y, z) ∈ R 3 : x 2 /a 2 + y 2 /b 2 + z 2 /c 2 = 1}.
Calcular el flujo de F (x, y, z) = (x, y, z) a través de S y E, orientadas según la normal exterior.
Si N es el vector normal unitario exterior, entonces FN = 〈F , N〉 > 0 sobre todo el elipsoide. En
consecuencia, ambos flujos deben ser positivos. Esta observación servirá para comprobar a posteriori
7 ¡Ojo! Algunas superficies, como la cinta de Möbius, sólo tienen un lado.
S −
S

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que la parametrización escogida está correctamente orientada. Parametrizamos el primer octante del
elipsoide usando la longitud y la latitud de las coordenadas esféricas modificadas: S = ϕ(D), donde
ϕ(θ, φ) = (a cos φ cos θ, b cos φ sin θ, c sin φ), D = [0, π/2] × [0, π/2].
Entonces, ϕθ = (−a cos φ sin θ, b cos φ cos θ, 0) y ϕφ = (−a sin φ cos θ, −b sin φ sin θ, c cos φ), luego
ϕθ ∧ ϕφ = (bc cos 2 φ cos θ, ac cos 2 φ sin θ, ab cos φ sin φ)
es efectivamente un vector normal exterior y la parametrización ϕ es positiva. Basta comprobar que
ϕθ ∧ ϕφ apunta hacia el exterior del elipsoide8 , pues sus tres componentes son positivas. Por tanto,
S +
〈F , dS〉 = 〈F ◦ ϕ, ϕθ ∧ ϕφ〉dθ dφ
=
D
abc cos φ
D
(cos 2 θ + sin 2 θ) cos 2 φ + sin 2 φ dθ dφ
π/2
π/2
= abc dθ · cos φdφ = πabc/2 > 0.
0
El flujo a través de todo el elipsoide es
E +〈F
2π
, dS〉 = abc 0 dθ
π/2
· cos φdφ = 4πabc > 0,
−π/2
pues en ese caso la longitud es θ ∈ [0, 2π] y la latitud es φ ∈ [−π, 2, π/2].
Gráficas. Si S es la gráfica z = f(x, y) de una función f : D ⊂ R 2 → R y S está orientada según un
vector normal de componente vertical positiva, entonces:
La parametrización positiva más adecuada es ϕ : D → R3 , con ϕ(x, y) = (x, y, f(x, y));
El vector diferencial de superficie es dS = (ϕx
∧ ϕy)dxdy
= (−fx, −fy, 1)dxdy; luego
〈F , dS〉 = R(x, y, f) − P (x, y, f)fx − Q(x, y, f)fy dxdy.
S
D
Ejemplo 25. Sea S = {(x, y, z) ∈ R3 : z = x2 + y2 , x2 + y2 ≤ R2 } orientada en el punto (0, 0, 0) por
el vector normal unitario N = k. Calcular el flujo de F (x, y, z) = (x2 , 0, 1 + xz) a través de S.
Esta superficie es la gráfica de z = f(x, y) = x2 +y2 sobre el disco D = {(x, y) ∈ R2 : x2 +y2 ≤ R2 }.
Por tanto, el flujo
〈F , dS〉 es igual a
S
(1+xf −x
D
2
fx −0fy)dxdy = (1+x
D
3 +xy 2 −2x 3
)dxdy = dxdy + x(y
D
D
2 −x 2 )dxdy = πR 2 .
Hemos usado que el disco D es simétrico respecto la recta {x = 0}, luego
D x(y2 − x2 )dxdy = 0.
Campos solenoidales (primera parte). Cuando la superficie S encierre una región W ⊂ R3 , como en
el ejemplo anterior referente al elipsoide E, utilizaremos los símbolos
〈F , dS〉 = 〈F , dS〉, 〈F , dS〉.
S
S +
En estos casos podemos orientar la superficie según su vector normal exterior o su vector normal
interior. En particular, si orientamos según el normal exterior, el signo de
S +〈F , dS〉 nos dice si el
fluido, en promedio, sale de (signo positivo) o entra en (signo negativo) la región W .
Un campo se denomina solenoidal cuando tiene flujo nulo a través de la frontera de cualquier región
W ⊂ R3 . Es decir, cuando el fluido que entra por un lado de la frontera, siempre sale por otro, como
sucede en todos los fluidos incompresibles. El campo del ejemplo 24 no es solenoidal. Los campos
constantes F ≡ F0 son solenoidales. (¿Por qué?)
Ejemplo 26. Flujo de F (x, y, z) = (x, y, −2z) a través de la frontera del cubo W = [−a, a] 3 ⊂ R 3
orientada según la normal exterior. La frontera del cubo es regular a trozos. Calculamos el flujo por
cada una de sus caras y sumamos los seis flujos.
8 En realidad, bastaría comprobarlo en un sólo punto de la superficie.
0
S −

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En las dos caras {x = ±a}, el vector normal unitario exterior es N = ±i = (±1, 0, 0) y la
componente normal del campo es FN = 〈F , ±i〉 = 〈(±a, y, −2z), (±1, 0, 0)〉 ≡ a. Por tanto,
〈F , dS〉 = FN dS = a Area({x = ±a}) = 4a
{x=±a}
{x=±a}
3 .
Análogamente,
〈F , dS〉 = {y=±a} {y=±a} FN dS = a Area({y = ±a}) = 4a3 .
En las dos caras {z = ±a}, el vector normal unitario exterior es N = ±k = (0, 0, ±1) y la
componente normal del campo es FN = 〈F , ±k〉 = 〈(x, y, −2a), (0, 0, ±1)〉 ≡ −2a. Por tanto,
〈F , dS〉 = FN dS = −2a Area({z = ±a}) = −8a
{z=±a}
{z=±a}
3 .
Finalmente, el flujo total es nulo:
∂W 〈F , dS〉 = 4a3 + 4a3 + 4a3 + 4a3 − 8a3 − 8a3 = 0, pues todo el
fluido que entra por las cuatro caras verticales del cubo, sale por sus dos caras horizontales. Probaremos
más adelante que este campo es solenoidal, luego el resultado obtenido era predecible.
Ejercicio. Continuando con el ejemplo anterior, sea W = [−a, a] 3 . ¿Qué condición deben cumplir los
parámetros α, β, γ ∈ R para que
αxdy dz + βy dz dx + γz dxdy = 0?
∂W
Los teoremas integrales fundamentales: Newton-Leibniz, Green, Stokes y Gauss
Los cuatro teoremas que vamos a presentar en esta sección tienen tres rasgos comunes:
1. En cada uno de ellos se establece una igualdad entre dos integrales;
2. Una de las integrales se realiza sobre la frontera del objeto que aparece en la otra integral; y
3. Las orientaciones de ambas integrales deben ser “consistentes” (o “compatibles”).
Concretamente, en el teorema de Newton-Leibniz se pasa de curvas a sus extremos, en el teorema de
Green de dominios 2D a las curvas planas que los delimitan, en el teorema de Stokes de superficies
en R 3 a las curvas 3D que forman sus bordes, mientras que el teorema de Gauss se pasa de dominios
3D a las superficies que los encierran. El Teorema Fundamental del Cálculo es la piedra angular para
demostrar cada uno de esos resultados.
Definiciones. Sea F = (P, Q, R) : U ⊂ R 3 → R 3 un campo 3D y f : U ⊂ R 3 → R una función.
El gradiente de la función f es el campo grad f := (fx, fy, fz) =
∂f
∂x
La divergencia del campo F es la función div F := Px + Qy + Rz = ∂P
∂x
El rotacional del campo F es el campo
i j k
rot F := ∂ ∂ ∂
∂x ∂y ∂z
P Q R =
∂R ∂Q ∂P
− ,
∂y ∂z ∂z
, ∂f
∂y
, ∂f
∂z
.
+ ∂Q
∂y
+ ∂R
∂z .
∂R ∂Q ∂P
− , − = (Ry − Qz, Pz − Rx, Qx − Py) .
∂x ∂x ∂y
El Laplaciano de la función f es la función ∆f := div grad f = fxx+fyy +fzz = ∂2 f
∂x 2 + ∂2 f
∂y 2 + ∂2 f
∂z 2 .
Estas definiciones se adaptan al caso 2D de forma obvia, excepto la del rotacional. El rotacional
del campo plano F = (P, Q) : U ⊂ R 2 → R 2 es el campo vertical rot F : U ⊂ R 2 → R 3 dado por
rot F := (Qx − Py)k = (0, 0, Qx − Py).
Campos y funciones “especiales”. Decimos que un campo vectorial F :
1. Proviene de un potencial escalar f cuando F = grad f;
2. Proviene de un potencial vector G cuando F = rot G;
3. Es 9 solenoidal, incompresible o preserva volumen cuando tiene divergencia nula: div F = 0;
4. Es irrotacional cuando tiene rotacional nulo: rot F = 0;
5. Es conservativo cuando tiene circulación nula a lo largo de cualquier curva cerrada contenida
en su dominio de definición; y
9 Estos tres sinónimos se usan en electromagnetismo, teoría de fluidos y sistemas dinámicos, respectivamente.

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6. Es central 10 cuando su dirección en cualquier punto apunta hacia el origen o se aleja de él,
mientras que su magnitud sólo depende de la distancia al origen. Es decir, son campos de la
forma F = h(r)r, siendo h : (0, +∞) → R una función arbitraria, r = r, mientras que el
campo r viene dado por r(x, y, z) = (x, y, z) en el caso 3D y r(x, y) = (x, y) en el caso 2D.
Veremos que las propiedades uno, cuatro y cinco son “casi” equivalentes. Ídem para las propiedades
dos y tres. Las funciones de Laplaciano nulo se denominan armónicas. Veremos ejemplos de funciones
armónicas en la tercera parte del curso.
Ejercicio. ¿Para qué valores de a, b, c, d ∈ R es solenoidal el campo lineal F (x, y) = (ax + by, cx + dy)?
¿Y para cuáles es irrotacional? ¿Para qué matrices A ∈ M3(R) es solenoidal el campo 3D lineal
F (p) = Ap? ¿Y para cuáles es irrotacional?
El teorema del gradiente (Newton-Leibniz). La circulación de un campo que proviene de un
potencial escalar a lo largo de una curva arbitraria contenida en el abierto donde está definido el campo
es igual a la diferencia del potencial escalar en los extremos de la curva. En símbolos, si f : U ⊂ Rn → R
y C ⊂ U es una curva, quizá no simple, orientada desde su extremo A hasta su extremo B, entonces
〈grad f, dℓ〉 = f(B) − f(A).
C +
Demostración. Sea σ : [a, b] → R n una parametrización de la curva C tal que σ(a) = A y σ(b) = B.
Sea g : [a, b] → R la función g(t) = f(σ(t)). Aplicando la regla de la cadena, vemos que
Por tanto,
g ′ (t) = d ′
f(σ(t)) = 〈grad f(σ(t)), σ (t)〉.
dt
C 〈grad f, dℓ〉 = b
a g′ (t)dt = g(b) − g(a) = f(B) − f(A).
Corolario. Todo campo proveniente de un potencial escalar tiene circulación nula a lo largo de todas
las curvas cerradas contenidas en el abierto donde está definido el campo; es decir, es conservativo.
Ejemplo 27. Circulación
C (10x4 − 2xy3 )dx − 3x2y2 dy siendo C la curva orientada desde A = (0, 0)
hasta B = (2, 1) que cumple la ecuación x4 − 6xy3 = 4y2 . Indicación: Newton-Leibniz.
Para aplicar el teorema de Newton-Leibniz, necesitamos dos cosas. En primer lugar, que el campo
F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) = (10x4−2xy3 , −3x2y2 ) provenga de un potencial escalar f. Y en segundo
lugar, necesitamos hallar f. Al imponer que (P, Q) = F = grad f = (fx, fy), resulta que
fx = P = 10x 4 − 2xy 3 , fy = Q = −3x 2 y 2 .
Integrando la segunda identidad respecto a la variable y, vemos que f(x, y) = −x2y3 + g(x), siendo g
una función a determinar. Si ahora recuperamos la primera identidad, se obtiene que
g ′ (x) − 2xy 3 = fx = 10x 4 − 2xy 3
⇒ g(x) = 10x 4 dx = 2x 5 + c ⇒ f(x, y) = 2x 5 − x 2 y 3 + c,
donde la constante de integración c ∈ R queda libre. Para simplificar, tomamos c = 0. Finalmente,
〈F , dℓ〉 = f(B) − f(A) = f(2, 1) − f(0, 0) = (64 − 4) − 0 = 60.
C
Observación. No hemos necesitado parametrizar la curva C. De hecho, ni siquiera sabemos que aspecto
tiene. Pero eso no importa. El teorema de Newton-Leibniz implica que la circulación sólo depende de
sus extremos. Otro punto interesante es el cálculo del potencial escalar. Obviamente, si intentamos
aplicar el método seguido a un campo que no proviene de un potencial escalar, llegaremos a alguna
contradicción. Por tanto, se nos plantean dos retos. ¿Existe algún método simple para saber cuando
un campo proviene de un potencial escalar? ¿Y para calcular su potencial? No responderemos a estas
preguntas por falta de tiempo.
10 Los campos gravitatorios y eléctricos creados por una sóla partícula son centrales (leyes de Newton y Coulomb).

20 Depositado en http://www.ma1.upc.edu/∼ed/vectorial.pdf
Orientaciones consistentes (o compatibles). De cara a los teoremas que vienen, necesitamos
definir tres tipos de orientaciones usualmente llamadas “consistentes” o “compatibles”.
Dado un dominio plano D ⊂ R 2 R 3 ∩ {z = 0}, sea C = ∂D su frontera. Decimos que C
esta orientada según el vector vertical k cuando el vector k la recorre de forma que el dominio
queda a su izquierda. Por ejemplo, supongamos que D es el dominio comprendido entre dos
circunferencias concéntricas Cr y CR de radios 0 < r < R, de forma que C = ∂D = Cr ∪ CR
tiene dos componentes. Entonces orientamos Cr en sentido horario y CR en sentido antihorario.
Dada una superficie regular S ⊂ R 3 , sea C = ∂S su frontera y N una de sus dos orientaciones
(es decir, un vector normal unitario de S). Decimos que C está orientada según el vector N
cuando el vector N la recorre de forma que la superficie queda a su izquierda. Por ejemplo,
supongamos que S es la cara lateral de un cilindro vertical orientado según el vector normal
exterior, de forma que C = ∂S = C− ∪ C+ tiene dos componentes: la circunferencia superior
C+ y la inferior C−. Entonces, orientamos C+ en sentido horario y C− en sentido antihorario
(respecto al plano horizontal donde están contenidas).
Dada una región espacial W ⊂ R 3 , sea S = ∂W su frontera. Decimos que S esta orientada
según el vector normal exterior a la región cuando en cada punto de la frontera escogemos el
vector normal unitario que apunta hacia afuera de la región. Por ejemplo, supongamos que W
es la región comprendida entre dos esferas concéntricas Sr y SR de radios 0 < r < R, de forma
que S = ∂W = Sr ∪SR tiene dos componentes. Entonces orientamos Sr según su vector normal
interior y SR según su vector normal exterior.
Ejercicio. Realizar algunos dibujos para clarificar estos tres conceptos. El segundo es el más díficil.
El teorema del rotacional 2D (Green). El flujo del rotacional de un campo 2D a través de un
dominio plano es igual a la circulación del campo a lo largo de la frontera del dominio, si escogemos
la orientación adecuada sobre la frontera. En símbolos, si D ⊂ R2 es un dominio plano, su frontera
C + = ∂D está orientada según el vector k y el campo F = (P, Q) : U ⊂ R2 → R2 es de clase C1 en
un abierto que contiene a D, entonces
〈rot F , k〉dxdy = (Qx − Py)dxdy =
D
D
C +
P dx + Qdy =
C +
〈F , dℓ〉.
La primera igualdad es consecuencia de la definición de rotacional 2D. La tercera muestra dos formas
equivalentes de notar la circulación. El teorema propiamente dicho consiste en la segunda.
Corolario. Todo campo irrotacional 2D tiene circulación nula a lo largo de cualquier curva que encierre
un dominio plano contenido en el abierto donde está definido el campo.
Ejemplo 28. Circulación
(y − sin x)dx + cos xdy siendo ∂D la frontera del triángulo de vértices
∂D
(0, 0), (π/2, 0) y (π/2, 1) recorrida en sentido antihorario.
Al final veremos que el campo F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) = (y − sin x, cos x) no proviene de un
potencial escalar, con lo cual Newton-Leibniz no sirve. Por contra, aplicando Green:
(y − sin x)dx + cos xdy = (Qx − Py)dxdy = − (1 + sin x)dxdy Fubini
∂D
D
D
π/2
2x/π
= − (1 + sin x) dy dx = − 2
π/2
(x + x sin x)dx
π
= − 2
π
0
x 2 /2 + sin x − x cos x x=π/2
x=0
0
0
2 π
= − −
π 4 .
El cálculo directo requiere calcular las circulaciones a lo largo de los tres lados del triángulo. La
circulación a lo largo de la curva cerrada C = ∂D no da cero, luego deducimos que el campo F no
proviene de un potencial escalar, tal y como habíamos afirmado.

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Cálculo de áreas planas. Si un campo F = (P, Q) cumple la condición Qx − Py ≡ 1, entonces
Area(D) =
dxdy = D ∂D P dx + Qdy para todo dominio plano D ⊂ R2 . Por ejemplo,
Area(D) = 1
xdy − y dx = xdy = − y dx.
2
∂D
Estas fórmulas se obtienen con los campos F (x, y) = (−y/2, x/2), F (x, y) = (0, x) y F (x, y) = (−y, 0),
respectivamente. Cuando D está delimitado por una curva parametrizada en sentido antihorario por
σ(t) = (x(t), y(t)), a ≤ t ≤ b, las fórmulas tienen una expresión sorprendentemente simple:
Area(D) = 1
2
∂D
b
b
′ ′
x(t)y (t) − y(t)x (t) dt =
a
a
∂D
x(t)y ′ (t)dt = −
b
a
y(t)x ′ (t)dt.
La primera expresión parece más complicada, pero es simétrica y suele simplificar los cálculos.
Ejemplo 29. Área del dominio D delimitado por el astroide C = (x, y) ∈ R2 : x2/3 + y2/3 = a2/3 estudiado en el ejemplo 4. La parametrización del astroide era σ(t) = (x(t), y(t)) = (a cos3 t, a sin 3 t),
con 0 ≤ t ≤ 2π. Por tanto,
Area(D) = 1
2
= 3a2
2
= 6a 2
= 3a2
4
C +
2π
2π ′ ′
x(t)y (t) − y(t)x (t) dt
xdy − y dx = 1
2 0
4 2 2 4 3a
cos t sin t + cos t sin t dt = 2
0
π/2
0
π
0
cos 2 t sin 2 tdt = 3a2
2
sin 2 sds = 3π
8 a2 .
π/2
0
2
sin 2 (2t)dt
2π
cos
0
2 t sin 2 tdt
Comprobamos, una vez más, que el área de un dominio plano es proporcional al cuadrado de su
“tamaño”. En este caso la constante de proporcionalidad es igual a 3π/8.
El planímetro. Hemos visto que se puede calcular el área de un dominio plano tomando ciertas medidas
mientras recorremos su frontera en el sentido adecuado. Esta idea es la base de los planímetros,
intrumentos mecánicos que determinan el área de figuras arbitrarias. Podeis consultar la entrada
inglesa (planimeter) en la Wikipedia, el applet de JAVA http://www.mathematik.com/Planimeter/
que simula el funcionamiento de un planímetro polar y el problema de la lista que clarifica su uso.
El teorema del rotacional 3D (Stokes). El flujo del rotacional de un campo 3D a través de
una superficie es igual a la circulación del campo a lo largo de la curva frontera de la superficie, si
orientamos la curva de forma acorde a la superficie. En símbolos, si S ⊂ R3 es una superficie orientada
por un vector normal unitario N, su curva frontera C + = ∂S está orientada según el vector N y el
campo F : U ⊂ R3 → R3 es de clase C1 en un abierto que contiene a S, entonces
〈rot F , dS〉 = 〈F , dℓ〉.
S +
Corolario. Todo campo irrotacional 3D tiene circulación nula a lo largo de cualquier curva cerrada
que delimite una superficie contenida en el abierto donde está definido el campo.
Demostración del teorema de Green. El teorema de Green es una consecuencia directa del teorema
de Stokes. Basta notar que si la superficie S es un dominio plano D ⊂ R2 R3 ∩ {z = 0}, podemos
tomar N = k y dS = dxdy, luego dS = N dS = kdxdy y 〈rot F , dS〉 = 〈rot F , k〉dxdy. De hecho,
la igualdad
〈rot F , k〉dxdy = D C +〈F , dℓ〉 se cumple aunque el campo F no sea plano. Es decir, es
cierta incluso con campos de la forma F = (P, Q, R) : U ⊂ R3 → R3 , siempre y cuando D ⊂ U.
C +

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Ejemplo 30. Sea r(x, y, z) = (x, y, z). Probar que si v = v(x, y, z) ≡ (a, b, c) ∈ R3 es un campo
constante, S ⊂ R3 es una superficie y C = ∂S, entonces
2 〈v, dS〉 = 〈v ∧ r, dℓ〉
S
suponiendo que las orientaciones de S y C son consistentes (es decir, suponiendo que S y C están
orientadas según el mismo vector normal).
Empezamos calculando el campo G = v ∧ r y su rotacional:
i j k
G(x, y, z) =
a b c
= (bz − cy, cx − az, ay − bx),
x y z
i j k
rot G(x, y, z) = ∂
∂
∂
∂x ∂y ∂z = (2a, 2b, 2c) = 2v.
bz − cy cx − az ay − bx
Ahora basta aplicar Stokes: 2
〈v, dS〉 = 〈rot G, dS〉 = 〈G, dℓ〉 = 〈v ∧ r, dℓ〉.
S
S
Ejercicio. Si la curva C es plana y el vector v es paralelo al plano que contiene a C, ¿qué podemos
deducir del ejemplo anterior?
Ejemplo 31. Circulación
C −y3 dx+x 3 dy−z 3 dz siendo C la intersección del cilindro Q ≡ x2 +y2 = 1
y el plano Π ≡ x + y + z = 1, orientada según el vector normal unitario N = (1, 1, 1)/ √ 3.
Primera forma (Definición). La proyección de la curva C al plano xy es la circunferencia de radio
uno centrada en el origen, luego escogemos la parametrización σ = (x, y, z) : [0, 2π] → R3 dada por
x(t) = cos t, y(t) = sin t y z(t) = 1 − x(t) − y(t) = 1 − cos t − sin t. La orientación antihoraria hace que
el vector normal N recorra C dejando el interior del cilindro a su izquierda. Por tanto,
−y 3 dx + x 3 dy − z 3 2π 3 ′ 3 ′ 3 ′
dz = − y (t)x (t) + x (t)y (t) − z (t)z (t) dt
C
=
= 1
4
0
2π
0
2π
0
C
C
(sin 4 t + cos 4 4 z (t)
t)dt −
4
(3 + cos 4t)dt = 3π/2,
C
t=2π
pues 1 = (cos2 t + sin 2 t) 2 = cos4 t + 2 cos2 t sin 2 t + sin 4 t, luego cos4 t + sin 4 t = 1 − 1
2 sin2 2t = 4 .
Segunda forma (Stokes). Para aplicar Stokes necesitamos un campo y una superficie orientada. El
campo sólo puede ser F (x, y, z) = (−y3 , x3 , −z3 ). Su rotacional es
i j k
rot F (x, y, z) = ∂ ∂ ∂
∂x ∂y ∂z
−y3 x3 −z3
= (0, 0, 3x2 + 3y 2 ).
t=0
3+cos 4t
Necesitamos que la curva C sea la frontera de la superficie, luego la elección más simple es la superficie
plana S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 1, x + y + z = 1}. Orientamos S según su vector normal unitario
N = (1, 1, 1)/ √ 3. Como la superficie es la gráfica de z = f(x, y) = 1 − x − y, su vector diferencial de
superficie es dS = (−fx, −fy, 1)dxdy = (1, 1, 1)dxdy. Por tanto, aplicando Stokes vemos que
C +
〈F , dℓ〉 =
S +
〈rot F , dS〉 = 3
(x
D
2 +y 2 )dxdy = 3
D ∗
r 2 r dr dθ = 3
2π
0
dθ ·
1
0
r 3
dr
= 3π
2 .
Aquí hemos realizado un cambio a polares, tomando D∗ = [0, 1] × [0, 2π].
Ejemplo 32. Circulación
2xdx+y dy+3z dz siendo C la curva cerrada contenida en la intersección11
C
del paraboloide hiperbólico P ≡ x2 − y2 = 2z y el hiperboloide de una hoja H ≡ x2 + y2 = 1 + z2 orientada según el vector normal (−x, y, 1).
11 P ∩ H contiene la curva C y otras cuatro curvas no cerradas asintóticas a las rectas {y = ±x, z = 0}.

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Primera forma (Stokes). Sea S la porción del paraboloide encerrada por C. Tras comprobar que el
campo F (x, y, z) = (2x, y, 3z) es irrotacional, se deduce que
2xdx + y dy + 3z dz = 〈F , dℓ〉 = 〈rot F , dS〉 = 0.
C
C
Segunda forma (Newton-Leibniz). El campo F proviene de un potencial escalar. Efectivamente, si
imponemos que (2x, y, 3z) = F = grad f = (fx, fy, fz), resulta que 12
fx = 2x, fy = y, fz = 3z.
Integrando la última identidad respecto a la variable z, vemos que f(x, y, z) = g(x, y) + 3z 2 /2, siendo
g una función a determinar. A continuación, la segunda identidad se convierte en y = gy(x, y), luego
integrando respecto a la variable y resulta que f(x, y, z) = g(x, y) + 3z 2 /2 = h(x) + y 2 /2 + 3z 2 /2,
siendo h una función a determinar. Finalmente, la primera identidad pasa a ser 2x = h ′ (x), luego
h(x) = x 2 + c, siendo c ∈ R una constante de integración arbitraria que podemos escoger que sea igual
a cero. Por tanto, el campo proviene del potencial escalar f(x, y, z) = x 2 + y 2 /2 + 3z 2 /2, luego tiene
circulación nula a lo largo de cualquier curva cerrada.
Tercera forma (Definición). Ejercicio sólo apto para valientes. Expresamos la curva C usando una
parametrización “antihoraria” σ = (x, y, z) : [0, 2π] → R 3 basada en coordenadas cilíndricas; es decir,
x(θ) = r(θ) cos θ, y(θ) = r(θ) sin θ, z(θ) = (x 2 (θ) − y 2 (θ))/2 = 1
2 r2 (θ) cos 2θ.
Para determinar la función r(θ), imponemos que C cumpla la ecuación del hiperboloide:
4r 2 = 4(x 2 + y 2 ) = 4(1 + z 2 ) = 4 + r 4 cos 2 2θ ⇒ r 2 = 2 ± √ 4 − 4 cos 2 2θ
cos 2 2θ
S
= 2
1 ± | sin 2θ|
cos2 .
2θ
Si θ ∈ {π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4}, entonces cos(2θ) = 0 y la ecuación 4r 2 = 4 da r = 1. Por tanto, nos
quedamos con el signo negativo: r 2 (θ)/2 = (1 − | sin 2θ|)/ cos 2 (2θ) y z(θ) = (1 − | sin 2θ|)/ cos(2θ).
Queda claro que los cálculos se complican demasiado. No vale la pena acabarlos.
El teorema de la divergencia 3D (Gauss). La integral de la divergencia de un campo 3D sobre un
cuerpo es igual al flujo saliente del campo a través de la frontera del cuerpo. En símbolos, si W ⊂ R3 es una región, su frontera S + = ∂W está orientada según el vector normal exterior a la región y el
campo F = (P, Q, R) : U ⊂ R3 → R3 es de clase C1 en un abierto que contiene a W , entonces
div F dxdy dz = (Px + Qy + Rz)dxdy dz =
W
W
S +
P dy dz + Qdz dx + Rdxdy =
S +
〈F , dS〉.
La primera igualdad es consecuencia de la definición de divergencia. La tercera muestra dos formas
equivalentes de notar el flujo a través de una superficie. El teorema en sí se reduce a la segunda.
Corolario. Todo campo solenoidal 3D tiene flujo nulo a través de cualquier superficie que encierre una
región contenida en el abierto donde está definido el campo.
Ejemplo 33. Cuando el campo F proviene de un potencial escalar: F = grad f para alguna función
f : U ⊂ R3 → R de clase C2 , el teorema de Gauss implica que
∂f
∆f dxdy dz =
∂n dS,
W
donde ∆f = div grad f es el Laplaciano de f y ∂f/∂n := 〈grad f, N〉 denota la derivada direccional
en la dirección del vector normal unitario exterior N a la región W . En particular, si la función f es
armónica, entonces ∂f
S ∂n dS = 0 para toda superficie que encierre una región contenida en el abierto
donde está definida f.
12 Probablemente en este caso podeis ver cuál es el potencial escalar a simple vista, pero damos un método general
(probablemente, no el mejor) para hallarlo.
S

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Ejemplo 34. La divergencia del campo r(x, y, z) = (x, y, z) es constante e igual a tres, luego
3 Vol(W ) = div r dxdy dz = 〈r, dS〉
W
para toda región W ⊂ R3 . Es decir, el flujo del campo r a través de la frontera de cualquier cuerpo 3D
es igual al triple del volumen del cuerpo. Por ejemplo, podemos obtener la relación entre el volumen
y el área de una esfera. Sea WR la esfera sólida de radio R centrada en el origen y sea SR = ∂WR. El
vector normal unitario exterior sobre SR es N = (x/R, y/R, z/R), luego la componente normal del
campo es rN = 〈r, N〉 = (x, y, z), (x/R, y/R, z/R) = (x2 + y2 + z2 )/R ≡ R. Por tanto,
3 Vol(WR) =
S +
R
〈r, dS〉 =
S +
S +
rN dS = R Area(SR).
R
No es una sorpresa, pues, como todo el mundo sabe, Vol(WR) = 4
3 πR3 y Area(SR) = 4πR 2 .
El siguiente truco es importante, pues permite aplicar el teorema de Gauss a superficies no cerradas.
Consiste en cerrar la superficie original añadiendo unas “tapas” adecuadas. Como el resultado no
depende de la elección de las tapas, usaremos las más simples. Las tapas planas suelen ser las mejores.
Ejemplo 35. Flujo del campo solenoidal F (x, y, z) = (x, y, −2z) a través de la superficie abierta
S = {(x, y, z) ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1, z ≤ 1/2}, orientada según el vector normal N = (x, y, z).
La superficie S tiene forma de cuenco esférico. Podemos cerrarla añadiendo la tapa superior del
cuenco; a saber, la superficie plana S1 = {(x, y, z) ∈ R 3 : x 2 + y 2 ≤ 3/4, z = 1/2}. Las dos superficies
juntas encierran el dominio 3D W = {(x, y, z) ∈ R 3 : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1, z ≤ 1/2}. Pasamos a estudiar
la orientación. El vector N = (x, y, z) es el vector normal unitario exterior sobre la parte esférica del
cuenco, mientras que N 1 = k = (0, 0, 1) es el vector normal unitario exterior de la tapa plana. Por
tanto, aplicando el teorema de Gauss en el dominio W , obtenemos que
0 = div F dxdy dz = 〈F , dS〉 = 〈F , dS〉 + 〈F , dS〉 ⇒
W
∂W
S +
S +
1
S +
〈F , dS〉 = −
S +
1
〈F , dS〉.
Calculamos el último flujo integrando la componente normal del campo F sobre la tapa plana S1.
Como la coordenada vertical es constante en la tapa: z ≡ 1/2, la componente normal también lo es:
FN = 〈F , N 1〉 = 〈(x, y, −2z), (0, 0, 1)〉 = −2z ≡ −1.
Finalmente,
S +〈F , dS〉 = −
S + 〈F , dS〉 = −
1
círculo de radio √ 3/2.
S1 FN dS = Area(S1) = 3π/4, pues la tapa S1 es un
Ejercicio. Probar que el flujo del campo lineal F (x, y, z) = (ax, by, cz) a través de la superficie abierta
del ejemplo anterior es
S +〈F , dS〉 = (a + b + c) Vol(W ) − c Area(S1)/2 = π(9a + 9b − 6c)/8.
Fin de la Primera Parte