Transversalidad de órbitas homoclīınicas de puntos de equilibrio ...

Transversalidad de órbitas homoclínicas
de puntos de equilibrio hiperbólicos de un hamiltoniano
Pere Gutiérrez ∗ , Amadeu Delshams
Departament de Matemàtica Aplicada I
Universitat Politècnica de Catalunya, Av. Diagonal 647, 08028 Barcelona
email: pere.gutierrez@upc.edu - URL: http://www.ma1.upc.edu/~pereg/
RESUMEN
Se considera un hamiltoniano H de n ≥ 2 grados de libertad (g.d.l.), con un punto hiperbólico
cuyas variedades invariantes estable e inestable W± se intersecan en una órbita γ, denominada
órbita homoclínica o lazo. Para dicho modelo, se establece una condición que permite, mediante
cálculos simples, garantizar la transversalidad de W+ y W− a lo largo del lazo γ.
La motivación del modelo considerado reside en su relación con las formas normales resonantes.
Dado un hamiltoniano casi integrable H con N > 2 g.d.l., en variables acción–ángulo, el
mecanismo descrito en [1] para detectar inestabilidad (difusión de Arnol ′ d) se basa en las
variedades invariantes de toros hiperbólicos asociados a resonancias simples. Sin embargo, entre
éstas se encuentran zonas de resonancias dobles, que también se deberían tener en cuenta. Para
estudiar H cerca de una resonancia de multiplicidad n, con 2 ≤ n < N, se efectúan iteraciones
para minimizar la parte no resonante del desarrollo de Fourier en las variables angulares,
obteniendo una forma normal más un resto pequeño: H = Γ + R. La forma normal Γ es una
aproximación de H, y consiste en el producto de una forma normal reducida con n g.d.l. y N −n
rotores. Los toros (N − n)-dimensionales hiperbólicos de Γ se asocian a puntos hiperbólicos de
la forma normal reducida, y análogamente sus variedades invariantes.
El hamiltoniano H considerado es un caso particular de forma normal reducida, y como vemos
es importante conocer sus propiedades. La dificultad para n ≥ 2, es decir resonancias múltiples,
es que en general será un hamiltoniano no integrable. En este contexto, se prueba en [2] que, si
las variedades invariantes W± del punto hiperbólico se intersecan transversalmente, lo mismo
sucede entre las variedades de los toros en H (un caso análogo para n = 1 fue estudiado en [3]).
En esta comunicación se proporciona una condición necesaria y suficiente para dicha transversalidad.
Para ello se considera el desarrollo de Taylor de H respecto a n − 1 variables,
transversales al lazo γ. Resolviendo una ecuación diferencial (cuya variable independiente es el
parámetro del lazo) se obtiene el desarrollo, en las mismas variables transversales, de las variedades
invariantes W+ y W− (más concretamente, de sus funciones generatrices). Finalmente, a
partir de la diferencia entre ambos desarrollos se define un determinante, el cual si no se anula
permite establecer la transversalidad entre W+ y W−.
Referencias
[1] V.I. Arnol ′ d, Instability of dynamical systems with several degrees of freedom, Soviet Math.
Dokl. 5, 581–585 (1964).
[2] P. Lochak, J.-P. Marco y D. Sauzin, On the splitting of invariant manifolds in multidimensional
near-integrable Hamiltonian systems, Mem. Amer. Math. Soc. 163(775) (2003).
[3] O. Koltsova, L.M. Lerman, A. Delshams y P. Gutiérrez, Homoclinic orbits to invariant tori
near a homoclinic orbit to center–center–saddle equilibrium, Phys. D 201, 268–290 (2005).

Transversalidad de órbitas homoclínicas
de puntos de equilibrio hiperbólicos de un hamiltoniano
Pere Gutiérrez, Amadeu Delshams
Departament de Matemàtica Aplicada I
Universitat Politècnica de Catalunya
Junio 2008

* Consideramos un hamiltoniano H(q, p), de n ≥ 2 grados de libertad
(g.d.l.), con un punto de equilibrio hiperbólico O.
Formularemos hipótesis simples sobre H que nos garanticen que el
punto hiperbólico tiene una órbita homoclínica (o lazo), γ, que supondremos
conocida.
* Objetivo: Dar una condición
para establecer la transversalidad
(en el nivel de energía) de las
variedades estable e inestable
(n-dim.), W+ y W−, a lo largo
de la órbita homoclínica γ.
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Motivación: Formas normales resonantes
* Hamiltoniano casi integrable de N > 2 g.d.l., en variables acción–
ángulo:
H(ϕ, I) = h(I) + εf(ϕ, I), (ϕ, I) ∈ N × N , = /2π.
* Si ε = 0, tenemos estabilidad: ˙
I = 0 y cada I = I ∗ es un toro
invariante N-dim., con frecuencias internas ˙ϕ = ω(I ∗ ) = ∇h(I ∗ )
Si ε = 0 pequeño, tenemos ˙
I = O(µ) = 0 y en general se tiene
inestabilidad, aunque muy lenta (difusión de Arnold).
* En [Arnold 1964] se describe un mecanismo para detectar la difusión,
basado en las variedades invariantes de toros invariantes hiperbólicos
(N − 1)-dim., cercanos a resonancias simples.
Sin embargo, a lo largo de las resonancias simples se encuentran zonas
de resonancias dobles, que también deben ser estudiadas.
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Motivación: Formas normales resonantes
* Para estudiar H cerca de una resonancia de multiplicidad n, siendo
2 ≤ n < N, podemos construir una forma normal resonante: iterativamente,
efectuamos transformaciones simplécticas para minimizar
la parte no resonante del desarrollo de Fourier de H en las variables
angulares.
En las nuevas variables (ψ, J), obtenemos una forma normal (f.n.) más
un resto pequeño: H = Γ + R, donde Γ sólo depende de algunas
combinaciones de ángulos; mediante un cambio lineal podemos suponer
que sólo depende de (ψ1, . . . , ψn) = q.
Escribiendo ψ = (q, ¯ ψ) ∈ n × N−n , J = (p, ¯ J) ∈ n × N−n ,
Γ = Γ(q, p, ¯ J), R = R(q, ¯ ψ, p, ¯ J).
Si despreciamos R tenemos Γ como aproximación de H.
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Motivación: Formas normales resonantes
* Para la f.n. Γ(q, p, ¯ J), tenemos ˙¯ J = 0. Entonces, tomando ¯ J como
parámetro podemos considerar f.n. reducida de n g.d.l.,
Γ 0 ¯ J (q, p) = Γ(q, p, ¯ J),
y el comportamiento en ( ¯ ψ, ¯ J) se reduce a N − n rotores:
˙¯ψ = ∂Γ
∂ ¯ J , J ˙¯ = 0.
Bajo ciertas condiciones, la f.n. reducida Γ0 J¯ tiene puntos hiperbólicos,
que se asocian a toros inv. hiperbólicos (N − n)-dim. de Γ, y análogamente
sus variedades invariantes (n-dim. y N-dim. respectivamente).
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Motivación: Formas normales resonantes
* Dificultad en el estudio de la f.n. reducida Γ 0 ¯ J : para n ≥ 2 (resonancias
múltiples), en general será un hamiltoniano no integrable.
[Lochak – Marco – Sauzin 2003]: se prueba que, si las variedades
invariantes W± del punto hiperbólico se intersecan transversalmente,
lo mismo sucede entre las variedades de los toros en H.
(en [Koltsova – Lerman – Delshams – Gutiérrez 2005] se estudia un
caso análogo para n = 1).
* Nos proponemos estudiar un modelo particular de f.n. reducida Γ 0 ¯ J con
n ≥ 2 g.d.l., estableciendo condiciones que garanticen la transversalidad
de las variedades invariantes de un punto hiperbólico.
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* Modelo: Sistema hamiltoniano clásico
H(q, p) = 1 2 p2 + V (q), (q, p) ∈ n × n ,
siendo V (q) potencial sobre n (una función periódica).
Las ecuaciones hamiltonianas:
˙q = p, ˙p = −∇V (q).
Formulamos unas hipótesis que nos proporcionen una órbita homoclínica
(o.h.), γ, asintótica a un punto hiperbólico O. En un caso de
potencial perturbativo V (q), establecemos una condición necesaria y suficiente
que permite, mediante cálculos simples, garantizar la transversalidad
de las variedades invariantes W± a lo largo de γ.
Nota: se generaliza fácilmente a órbitas heteroclínicas para un potencial
en U ⊂ n (en lugar de n ).
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* Hipótesis sobre el potencial V (q):
(P1) V (q1, ¯q) tiene un máximo no degenerado en el (0, 0) ;
(P2) ∂V
∂ ¯q (q1, 0) = 0 ∀q1 ∈ ;
(P3) V (0, 0) = 0 y V (q1, 0) < 0 ∀q1 ∈ \ {0}
(notación: q = (q1, ¯q) = (q1, . . . , qn)). Entonces,
* (0, 0) es punto de equilibrio hiperbólico ;
* Π = {¯q = ¯p = 0} es plano invariante, de coordenadas (q1, p1) ;
* existen dos órbitas homoclínicas γ y ˜γ, asintóticas al (0, 0) y
contenidas en Π .
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* Nos fijamos en una de las o.h.’s (la otra es simétrica), que podemos
parametrizar mediante su función generatriz S0(q1):
γ (¯q, p1, ¯p) = (0,
−2V (q1, 0), 0) = (0, S ′ 0(q1), 0), 0 < q1 < 2π.
* Usando que las v.inv. W± son variedades lagrangianas se prueba que,
en un entorno de la o.h. γ, admiten funciones generatrices S±(q1, ¯q).
Así pues, en un entorno de γ podemos parametrizar
W± (p1, ¯p) = ∇S±(q1, ¯q), a < q1 < 2π − a, |¯q| < δ
(nos restringimos a un dominio en el que ambas estén definidas), y se
comprueba que S+(q1, 0) = S−(q1, 0) = S0(q1).
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W± (p1, ¯p) = ∇S±(q1, ¯q), a < q1 < 2π − a, |¯q| < δ
* A partir de las f.generatrices, definimos las funciones matriciales
T±(q1) = ∂2 S±
∂ ¯q 2 (q1, 0), ∆T (q1) = T−(q1) − T+(q1)
Entonces, para que las v.inv. W+ y W− sean transversales a lo largo
de la o.h. γ, es necesario y suficiente que
det ∆T (π) = 0.
Cómo verificar esta condición en casos concretos?
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W± (p1, ¯p) = ∇S±(q1, ¯q), a < q1 < 2π − a, |¯q| < δ
S0(q1) = S±(q1, 0), T±(q1) = ∂2 S±
∂ ¯q 2 (q1, 0),
* Proposición. Las funciones matriciales T±(q1) vienen determinadas
como soluciones de las EDOs no lineales
con condiciones iniciales
S ′ 0(q1)T ′ ±(q1) + T±(q1) 2 = −Y (q1),
T−(0) = Λ, T+(2π) = −Λ,
siendo Y (q1) = ∂2 V
∂ ¯q 2 (q1, 0), Λ 2 = − ∂2 V
∂ ¯q 2 (0, 0).
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Transversalidad para un potencial perturbado
* Introducimos un parámetro de perturbación en el potencial y las f.generatrices:
V (·, ε), S±(·, ε), y suponemos que para ε = 0 no se tiene
transversalidad. Para las partes cuadráticas, podemos escribir:
Y (q1, ε) = Y0(q1) + εY1(q1) + · · · ,
T±(q1, ε) = T0(q1) + εT1,±(q1) + · · · ,
∆T (q1, ε) = ε∆T1(q1) + · · · ,
Λ(ε) = Λ0 + εΛ1 + · · ·
Sustituyendo estos desarrollos en las EDOS no lineales anteriores, se
obtienen EDOs lineales (con coef.variables) para las funciones matriciales
T1,±(q1), que son (n − 1) × (n − 1).
En el caso de 2 g.d.l. (n = 2), resolviendo explícitamente las EDOs
se obtiene ε∆T1(π) como una medida, en primera aproximación, de la
transversalidad entre las variedades W+ y W− en q1 = π.
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* Ejemplo. Con n = 2, consideramos:
Tenemos:
V (q1, q2, ε) = (cos q1 − 1) + 1 2 (− cos q1 + εY1(q1))q 2 2 .
V (q1, 0, 0) = cos q1 − 1(sobre el plano Π, es un péndulo),
Y0(q1) = − cos q1,
S0(q1) = 8 sin 2 q1
4 ,
T0(q1) = cos q1
2 (no hay transversalidad si ε = 0),
Λ = −1.
Resolviendo la EDO, se obtiene
∆T1(π) = 1
4
siendo y1(t) = Y1(4 arctan et ).
2π
0 sin
2 q1
2 · Y (q1)dq1 = ∞
−∞
y1(t)
cosh 2 t dt,
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