Cap´ıtol 5. Representacions de camps per funcions holomorfes.

Capítol 5. Representacions de camps per funcions holomorfes.
J. Solà-Morales
1.- Mecànica de fluids.
El moviment o flux d’un fluid que ocupa una certa regió de l’espai queda determinat si coneixem
les tres components del seu camp de velocitats V (x, y, z, t) = (u(x, y, z, t), v(x, y, z, t), w(x, y, z, t)),
que dona en el temps t la velocitat V de la partícula que en aquell mateix instant ocupa la posició
(x, y, z). Una versió més simple, que pot ser raonable en certs casos, és suposar que es tracta d’un
flux pla o pla-parallel, és a dir que w ≡ 0 i que u i v no depenen de la coordenada z. Una altra
simplificació és suposar règim estacionari, és a dir que u i v no depenen de t. Amb aquestes dues
suposicions, doncs, u ≡ u(x, y) i v ≡ v(x, y).
Una altra hipòtesi que fem és que es tracta d’un fluid incompressible, que es veu reflexada en que
el camp de velocitats té divergència zero:
ux + vy = 0 (1)
Aquesta equació pot integrar-se: en dimensió dos és equivalent a l’existència d’una funció ψ(x, y),
anomenada funció de corrent tal que
ψx = −v, ψy = u.
Aquesta funció pot ser no unívoca, en dominis no simplement connexos. És fàcil de veure directament
que ψ és una integral primera del camp de velocitats V , però el significat físic de ψ ve donat pel
següent
Teorema (del cabal): Sigui ψ(x, y) la funció de corrent, i Γ una corba que uneixi ψ = α amb
ψ = β. El cabal que travessa Γ per unitat de temps i en sentit positiu val β − α.
Dem.: (vegeu Figura 1) Suposem Γ = Γ(s) = (Γx(s), Γy(s)) parametritzada per la longitud de
l’arc. Tenim que n(s) = (Γ ′ y(s), −Γ ′ x(s)) ⊤ . I el flux net o cabal val
L
0
(u, v) · nds =
L
0
ψyΓ ′
y(s) + (−ψx)(−Γx(s)) ds = ψ(Γ(L)) − ψ(Γ(0)) = β − α.
Encara una altra suposició serà que el fluid és no viscós. Matemàticament, això vol dir que es
satisfà el sistema d’equacions d’Euler, que en el nostre cas (pla i estacionari) és:
uux + vuy = −px/ρ,
(2)
uvx + vvy = −py/ρ,
on p = p(x, y) és una nova incògnita, la pressió, i ρ és la densitat, que suposem constant.
No discutirem amb detall el significat de la suposició del caràcter no viscós. Poden veure’s detalls a
[1]. Però direm que aquesta suposició fonamenta l’interès especial dels fluxos irrotacionals (∇ × V ≡
0), és a dir d’aquells pels que
uy − vx = 0,
o, en termes de ψ: ∆ψ = 0. Per aquests fluxos, també anomenats potencials, existeix, al menys
en simplement connexos, una funció φ(x, y) anomenada potencial de velocitats tal que u = φx i
v = φy, o sigui V = ∇φ. Notem que també a causa de la incompressibilitat ∆φ = 0.
1

Figura 1: Corbes ψ = β (dalt), ψ = α (baix) i corba Γ (transversal). Vectors tangent i normal
(unitaris) a Γ.
Els fluxos irrotacionals compleixen les equacions d’Euler amb la pressió donada per la fórmula de
Bernoulli:
p = p0 − ρ
2 (u2 + v 2 ), (3)
on p0 és una constant arbitrària.
També direm que el caràcter no viscós és el fonament del fet que la força exercida pel flux sobre
un obstacle S vingui donada per
−pndℓ (4)
∂S
En aquest cas pla en realitat estem parlant de força per unitat de longitud de l’obstacle (cil·lindric,
en la direcció de z).
Teorema:
i) En les hipòtesis anteriors (flux pla, incompressible, no viscós i irrotacional) u − iv és una funció
holomorfa (la velocitat conjugada) i u−iv = d/dz [Ω(z)], on Ω(z) = φ+iψ (que s’anomena potencial
complex).
ii) Si Ω(z) és una funció holomorfa, aleshores definint (u, v) per u − iv = Ω ′ (z) es té que (u, v) és un
flux que satisfà aquestes hipòtesis.
Dem: i) són les equacions de Cauchy-Riemann i les definicions de φ i ψ. ii) és també evident però
cal comprovar a més a més que, com ja hem dit, (u, v) compleix les equacions d’Euler, amb la pressió
p donada per (3).
En mecànica de fluids una quantitat important que serveix per a mesurar en cert sentit la rotació
del moviment és la circulació del camp de velocitats V al llarg d’una corba tancada γ:
circ (γ) =
S
0
V · γ ′ (s)ds.
Pel conegut teorema de Stokes, si V = (u, v) ⊤ , aleshores
circ (∂W +) = (uy − vx) dV
W
i per tant en els fluxos irrotacionals aquesta integral valdrà zero. Tot i això tindrà molt d’interès
el calcular la circulació al llarg de corbes tancades de fluxos plans incompressibles i irrotacionals
2

que tinguin alguna singularitat aïllada a l’interior del recite d’integració W . A aquests efectes convé
relacionar la circulació amb una integral de línia complexa, que és la següent:
circ (γ) = Re (u − iv)dz. (5)
Potencials complexos de fluxos senzills.
1) Flux homogeni. Es diu flux homogeni a aquell en el que la velocitat és la mateixa a tots els punts
del pla. Si el vector velocitat és α + iβ aleshores el potencial complex és Ω(z) = (α − iβ)z. Tenim
ψ = −βx + αy.
2) Vòrtex potencial. És el flux en que tota partícula roda al voltant d’un punt z0 amb velocitat
angular que depèn només del radi de gir. Pot demostrar-se que necessàriament és de la forma Ω(z) =
ik log(z − z0), k ∈ R amb el que ψ = k log |z − z0|. Usant (5) veiem que la circulació d’un vòrtex
potencial al llarg d’una corba γ que encercli una vegada al punt z = z0 és −2πk. Aquesta quantitat
s’anomena intensitat del vòrtex, i s’acostuma a escriure Γ. Per això el potencial complex s’escriu
Si Γ > 0 el vòrtex gira en sentit positiu.
Ω(z) = Γ
log(z − z0).
2πi
3) Font o xuclador. És el flux que es produeix quan surt (o entra) del punt z = z0 de forma permanent
una quantitat de fluid Q (unitats de volum per unitat de temps, o sigui cabal). Naturalment, si Q > 0
és una font, i si Q < 0 és un xuclador. Q rep el nom de potència de la font. És
Ω(z) = Q
log(z − z0).
2π
Naturalment també pot considerar-se la font-vòrtex
Ω(z) =
Γ + iQ
2πi
γ
log(z − z0).
4) Superposició de fluxos: el dipol. Donat a ∈ C, a = 0, podem considerar el flux donat per la
superposició d’una font a z = z0 − ɛa i un xuclador d’igual potència a z = z0 + ɛa:
Ω(z) = Q
2π log(z + ɛa − z0) − Q
2π log(z − ɛa − z0) = Q z + ɛa − z0
log
2π z − ɛa − z0
(Q > 0). Si fem ɛ → 0 la font i el xuclador s’acosten. A fi que no desaparegui el potencial Ω cal fer
tendir també Q → ∞ de manera que Q(ɛ)ɛa/π → µ (finit). Aleshores es comprova que el flux límit
tindria
Ω(z) = µ
.
z − z0
Direm que µ és el moment del dipol. Notem que si z0 = 0 i µ = 1 aleshores ψ = −y/(x 2 + y 2 ).
5) Fluxos definits per funcions meromorfes. Si z = z0 és un pol de la funció u − iv, en un entorn de
z = z0 podrem escriure (desenvolupant en sèrie de Laurent i integrant)
Ω(z) = C−n
µ
+ · · · + +
(z − z0) n z − z0
Γ + iQ
log(z − z0) + C0 + c1(z − z0) + . . .
2πi
Direm que el terme Γ+iQ
2πi log(z − z0) determina una font-vòrtex a z = z0. Direm també que
µ
z−z0
és un
dipol de moment µ i que els termes C−k
(z−z0) k determinen multipols d’ordre 2k i intensitat C−k a z = z0.
3

Igualment, desenvolupant Ω(z) prop de z = ∞ tindrem
Ω(z) = C−nz n + · · · + µz +
Γ + iQ
2πi
log z + C1
z
i direm que a z = ∞ tenim una font de potència −Q, un vòrtex d’intensitat −Γ, un dipol de moment
µ (les línies de corrent tenen la direcció de µ) i multipols d’ordre 2k i intensitat C−k. Noti’s que si
C−n = · · · = C−2 = 0 aleshores el flux té una velocitat a l’infinit igual a µ.
Exercicis ([3]).
En els exercicis següents es dóna el potencial complex i es demana: línies equipotencials (φ =Ct.),
línies de corrent i representació gràfica, camp de velocitats V , punts singulars (potencies, intensitats,moments...),
punts crítics ( V = 0) i comportament a z = ∞
1.- Ω(z) = z n (en particular, n = 2, 3).
2.- Ω(z) =
Γ + iQ
2πi
log
z − a
z − b .
3.- i) Ω(z) = z + R2
R2
; ii) Ω(z) = z −
z z .
4.- Ω(z) = 1
.
z2 5.- Ω(z) = log(z 2 − a 2 ) (a > 0).
6.- Ω(z) = log z2 − a2 z2 (a > 0).
+ a2 Exercici 7: Pot sortir una línia de corrent d’un punt que sigui: i) un vòrtex? ii) un dipol? iii) un
vòrtex i un dipol a la vegada?
Exercici 8: L’òval de Rankine és una regió d’aigües aïllades que es produeix quan hi ha una font
a z = −1 un xuclador d’igual potència a z = 1 i la velocitat a z = ∞ és (1, 0). Mireu de dibuixar-lo...
(numèricament).
Mètode de les imatges o de reflexió.
Teorema: Suposem que Ω(z) és el potencial complex d’un flux a tot C definit per les seves singularitats
(fonts, vòrtexs, dipols...), i que aquestes són aïllades, i amb velocitat zero a l’infinit. Suposem
que totes les sigularitats es troben al semiplà Im(z) > 0. Aleshores el flux produït per les mateixes
singularitats a Im(z) > 0 però pel que Im(z) = 0 és una paret sòlida és Ω(z) + Ω(z).
Dem.: S’ha de comprovar primer que Ω(z) és holomorfa (amb singularitats) i després que Im(z) = 0
és una línia de corrent de Ω(z) + Ω(z).
Teorema: (de Milne-Thompson)Suposem que Ω(z) és el potencial complex d’un flux a tot C definit
per les seves singularitats (fonts, vòrtexs, dipols...), i que aquestes són aïllades, i amb velocitat donada
a l’infinit. Suposem que totes les sigularitats es troben a |z| > R. Aleshores el flux produït per la
introducció en el corrent del disc sòlid |z| ≤ R (és a dir, el flux que per |z| > R té les mateixes
4
+ . . .

singularitats que Ω i la mateixa velocitat a z = ∞ però pel que |z| = R és una línia de corrent) és
Ω(z) + Ω(R 2 /z).
Dem.: Semblant a la d’abans.
Observi‘s que en aquests dos teoremes es dóna un procediment per a fer que una determinada
corba sigui una línia de corrent introduint singularitats fictícies a l’altra banda de la corba. Aquestes
son les singularitats anomenades d’imatge.
Exemple: (molt important) El potencial complex del flux al voltant d’un cil·lindre de radi R
centrat a z = 0 i amb velocitat (a, 0) a l’infinit és Ω(z) = a(z + R 2 /z). Vegi’s Figura 2.
Figura 2: Línies de corrent del flux al voltant del cil·lindre (sense circulació).
Una variació molt important d’aquest problema és la que correspon a que el flux tingui una
circulació donada Γ al llarg d’una corba que encercli el cil·lindre. En aquest cas és
Ω(z) = a(z + R 2 /z) + Γ
log z. (6)
2πi
Es veu fàcilment que en aquest flux les partícules situades a |z| = R es mouen amb una velocitat
angular promig igual a Γ/(2πR 2 ), i girant en sentit positiu si Γ > 0. Per aquesta raó es diu que (6)
representa el flux al voltant d’un ci·lindre que gira amb velocitat angular Γ/(2πR 2 ). A la Figura 3 hi
ha un croquis de les línies de corrent de (6) per dos valors diferents de Γ.
Figura 3: Dos fluxos amb circulacions negatives. Més negativa a la dreta que a l’esquerra.
5

Exercicis
Usant el mètode de les imatges trobeu els potencials complexos dels fluxos següents, en els que es
suposa que les parets dels recintes són sòlids impenetrables.
9.- Una font en el recinte Re(z) > 0. Un nombre finit de fonts o vòrtexs en el mateix recinte. Pot
afegir-se una font en un punt de la frontera? Amb quin cabal? I un vòrtex?
10.- Nombre finit de fonts o vòrtexs en el sector angular {0 < Arg(z) < π/4}.
11.- El mateix en el recinte {0 < Arg(z) < π/4, |z| > R}
12.- Una font en el recinte {|z| > R} amb velocitat donada a l’infinit.
13.- Una font i un xuclador amb els mateixos cabals (però signes diferents) en el recinte {|z| < R}.
Què passa si tenen cabals diferents?
Mètode de transformació conforme.
El mètode de la transformació conforme es basa en la observació següent. Suposem que W i W ′ són
dos recintes del pla complex i F : W → W ′ és una equivalència conforme, que s’estén diferenciablement
fins a les fronteres respectives. Suposem que Ω ′ : W ′ → C és el potencial d’un flux a W ′ tangent a la
seva frontera. Aleshores si definim Ω ′ = Ω ◦ F resulta que Ω és el potencial complex d’un flux a W
que també és tangent a la frontera de W .
És fàcil de veure que per a les velocitats a l’infinit respectives V ′ i V es té que V ′ = V F ′ (∞). I
també que si Ω ′ té un vòrtex o una font en el punt z = a ′ aleshores Ω té un vòrtex o una font, de les
mateixes intensitat o potència, en el punt F −1 (a ′ ).
Exercicis ([3]).
14.- Trobeu el potencial complex del flux al voltant d’un cil·lindre de secció el·líptica, amb velocitat
donada a l’infinit i amb circulació Γ.
15.- Trobeu el potencial complex del flux al voltant de la placa {|x| ≤ C, y = 0} amb velocitat a
l’infinit donada.
16.- Trobeu el potencial complex del flux al voltant d’una paràbola, per l’interior i per l’exterior.
17.- Trobeu el potencial complex del flux incident sobre les semirectes {1 < |x| < ∞, y = 0}.
Forces i Paradoxa de d’Alembert.
Teorema (1r T. de Blasius): La força F exercida per un flux de potencial complex Ω(z) sobre un
cos submergit de frontera γ ve donada per:
F = ρ i
(dΩ/dz)
2
2 dz, (7)
on ρ és la densitat del fluid.
Dem.: Usant (3) i (4) tenim
γ
F = − (p0 −
γ
ρ
2 |V |2 )dℓ.
Suposem γ = γ(s) parametritzada per la longitud de l’arc. Aleshores
−
L
0
p0(−iγ ′ (s))ds = i
6
L
0
p0γ ′ (s)ds = 0

L ρ
F =
0 2 |V |2 (−iγ ′ (s))ds
F = i ρ
2
L
|V |
0
2 γ ′ (s)ds.
Usem ara que V (γ(s)) = γ ′ (s)|V |σ(s) amb σ(s) ∈ {−1, 1}, i tenim
F = i ρ
2
= i ρ
= i ρ
2
L
|V |γ
0
′ (s)σ(s)|V |γ ′ (s)σ(s)γ ′ (s)ds =
L
(|V |γ
2 0
′ (s)σ(s)) 2 γ ′ (s)ds =
L
(V )
0
2 γ ′ (s)ds = i ρ
(
2 γ
dΩ
dz )2dz. Teorema (Kutta-Jukowsky): En un flux al voltant d’un obstacle amb velocitat donada a l’infinit,
la força exercida sobre el cos ve donada per F = −iρV∞Γ, on Γ és la circulació del flux al llarg d’una
corba que envolti el cos.
Dem.: S’usa el primer teorema de Blasius i es deforma el contorn d’integració fins a l’infinit.
Corol·lari: (Paradoxa de D’Alembert). Un flux sense circulació no exerceix cap força sobre un
obstacle submergit.
Sustentació.
El Teorema de Kutta-Jukowsky va inspirar la idea de mirar d’interpretar les forces de sustentació
(ja que no les d’arrossegament) dels sòlids submergits en corrents, com ara les exercides a les ales
dels avions, com a conseqüència de l’aparició d’una circulació. Es tracta de l’anàleg als fluxos donats
per (5) al voltant del cil·lindre. Però es manté la paradoxa de que no poden explicar-se les forces
d’arrossegament. La causa d’aquesta paradoxa està en el caràcter no viscós del model que estem
considerant.
Llei de Coulomb i camps elèctrics plans.
2.- Electrostàtica.
La Llei de Coulomb diu que sobre dues càrregues elèctriques puntuals q1 i q2 situades en un medi
tridimensional es produeixen unes forces de magnituds q1q2/d 2 , on d és la distància que les separa. Les
forces estan dirigides de l’una a l’altra partícula, i són d’atracció si les càrregues tenen signes diferents,
i de repulsió en cas contrari.
Una altra manera de dir el mateix és dir que una càrrega q situada en el punt M = (ξ, η, ζ) crea
en tots els punts P = (x, y, z) de l’espai el camp elèctric
E(x, y, z) = q(
x − ξ y − η z − ζ
, , ), (8)
R3 R3 R3 on R = (x − ξ) 2 + (y − η) 2 + (z − ζ) 2 , en el sentit que si situéssim una altra càrrega elèctrica q ′ en
el punt P = (x, y, z) aleshores aquesta es veuria afectada per la força q ′ E(x, y, z).
7

Fàcilment es comprova que si diem V = q/R = q/( (x − ξ) 2 + (y − η) 2 + (z − ζ) 2 ), aleshores
E(x, y, z) = −( ∂V ∂V ∂V
, , ) = −∇V, (9)
∂x ∂y ∂z
i per aquesta raó la funció V rep el nom de potencial elèctric creat per la càrrega q.
Si tenim diverses càrregues q1, q2, . . . , qn situades en els punts M1, M2, . . . , Mn aleshores el camp
elèctric creat seria la suma dels camps elèctrics individuals:
E(P ) = −∇(
n
j=1
i es compliria el ben conegut Teorema de Gauss
F · n dS = 4π
si cap dels punts Mj es troba sobre ∂Ω.
∂Ω
dj
) (10)
|Mj − P |
Igualment, si tenim infinites càrregues distribuïdes de manera continua i uniforme sobre una recta
perpendicular al pla (x, y), com ara la recta {(ξ, η, ζ)| − ∞ < ζ < ∞} podem calcular el camp elèctric
com la integral dels camps elèctrics individuals. Suposem que q és la càrrega per unitat de longitud.
mj∈Ω
Per simplicitat, podem suposar ξ = η = 0 i anomenar ρ = x2 + y2 , amb el que
∞ x
E(x, y, z) = − q (
−∞ (ρ2 + ζ2 y
,
) 3/2 (ρ2 + ζ2 z − ζ
,
) 3/2 (ρ2 + ζ2 )
qj
(11)
x y
) dz = −2q( , , 0). (12)
3/2 ρ2 ρ2 (Per calcular les dues primeres integrals pot fer-se en canvi tan α = ζ/ρ; la tercera és zero en el sentit
del valor principal.)
L’expressió (12) ens dona un primer exemple de camp electric pla, en el sentit que no depèn de
la tercera coordenada i que la seva tercera component és zero. Com hem vist, els camps elèctrics
plans poden interpretar-se com els creats per càrregues distribuïdes contínuament i uniformement en
la direcció perpendicular al pla. Com que prenent V (x, y) = 2q log (x − ξ) 2 + (y − η) 2 es segueix
tenint que E = −∇V , direm que 2q log |P − M| és el potencial elèctric creat en el punt P = (x, y) per
una càrrega plana situada en el punt M = (ξ, η).
Com que la funció φ(x, y) = log (x − ξ) 2 + (y − η) 2 és harmònica (φxx + φyy = 0) excepte per
(x, y) = (ξ, η), acceptem que en general la funció potencial elèctric v(x, y), que pot ser creat per
diverses càrregues, o per distribucions contínues d’aquestes, serà també harmònica, excepte a les
regions ocupades per les càrregues. Si W és una regió sense càrregues, tindrem que el camp elèctric
E = −∇v = −(vx + ivy) és el conjugat d’una funció holomorfa a W . I com que −(vx − ivy) és
holomorfa, localment podrem escriure E = −(vx − ivy) = −iΩ ′ (z). A aquesta funció holomorfa Ω(z)
s’en diu el potencial elèctric complex. La seva part imaginària v(z) és el potencial elèctric real, que
hem considerat fins ara, i la seva part real u(z), que globalment pot ser multivaluada, rep el nom de
funció de força, perquè és constant sobre les corbes integrals del camp vectorial E. Les seves corbes
de nivell s’anomenen les línies de força.
En aquests termes, el potencial complex d’una càrrega de magnitud 2q situada en el punt z = a és
Ω(z) = 2qi log(1/(z − a). De manera similar a com s’ha fet en el cas hidrodinàmic, es pot considerar
un dipol de moment p, que situat en el punt z = a tindrà com a potencial la funció Ω(z) = ip/(z − a).
Noti’s que p és un nombre complex, i que p és la direcció de l’eix del dipol. En general, si z = a és un
pol de la funció Ω ′ (z) i tenim el desenvolupament
Ω(z) = c−n
ip
1
+ · · · + + 2iq log
(z − a) n z − a z − a + c0 + c1(z − a) + . . .
8

el terme 2iq log(1/(z − a)) representa en el punt z = a una càrrega puntual plana de magnitud 2q,
com la considerada més amunt. El terme ip/(z − a) representa un dipol de moment p (p és un nombre
complex i p representa l’eix del dipol. Els termes c−k/(z − a) k representen multipols d’ordre 2k.
Igualment, si en el infinit es té
Ω(z) = cnz n + · · · + ipz + 2iq log z + c0 + c−1
z
el terme 2iq log z representa a l’∞ una càrrega puntual plana de magnitud 2q, i el terme ipz un dipol
de moment p.
Que la funció u no sigui mai multivaluada fa que en electrostàtica no hi hagi l’anàleg al vòrtex de
l’hidrodinàmica. Com es diu clàssicament, les línies de força sempre neixen i moren a les càrregues.
Exercicis ([3]). En els problemes següents a partir dels potencials complexos donats s’han de
determinar les funcions potencial i de força, el caràcter de les singularitats (inclòs ∞) i construir
esquemàticament les famílies de les línies equipotencials i de força.
18.- Ω(z) = 2iq log z−a
z−b .
19.- Ω(z) = 2qi log(z 2 − a 2 ) (a > 0).
20.-Ω(z) = z ± R2
z .
Conductors en camps elèctrics. Funció de Green.
Quan un cos conductor s’introdueix en el si d’un camp elèctric E, les seves càrregues lliures es
mouen dins del conductor per efecte del camp i de la seva interacció mútua (en principi, suposem que
el desplaçament d’aquestes no afecta a les càrregues llunyanes que han produït el camp E). La situació
estacionària és que totes les càrregues lliures acaben situant-se sobre la superfície del conductor i de
tal manera que el nou camp elèctric E +E ′ (E ′ és el creat per aquestes càrregues lliures del conductor)
té un potencial elèctric que és constant sobre la superfície del conductor. Si el conductor està unit
a terra, aquest valor constant ha de ser zero. Per tant, podem dir que el camp elèctric resultant
a l’exterior del conductor és aquell que té les mateixes singularitats que E (les mateixes càrregues
exteriors) però modificat de manera que v = constant a la frontera del conductor.
La funció de Green G(z, a) d’un recinte D és una funció molt útil en la resolució d’equacions en
derivades parcials. És una funció real que es defineix en funció de la variable z ∈ D i del paràmetre
a ∈ D per
⎧
1
⎪⎨ ∆(G(z, a) − log ) = 0,
|z − a|
G(z, a) = 0 si z ∈ ∂D
(13)
⎪⎩
G(z, a) fitada prop de z = ∞
(la tercera condició és automàtica si D és fitat; si es vol admetre que ∞ ∈ D, llavors s’ha d’excloure el
cas a = ∞ en la tercera condició). Del que s’ha dit anteriorment, si Ω = u + iv és el potencial elèctric
complex degut a una càrrega situada a z = a ∈ D, quan suposem que C \ D és un conductor unit a
terra, tindrem v = 2qG(z, a).
Exercicis ([3]). En els problemes següents es demana trobar els potencials elèctrics complexos a
partir de les seves singularitats i en certs recintes. Es suposa que l’exterior del recinte és un conductor.
21.- Una càrrega en el punt a en el recinte Im(z) > 0.
22.- Una càrrega en el punt a en el recinte |z| < R.
23.- Una càrrega en el punt a en el recinte |z| > R.
9
+ . . .

24.- Una càrrega en el punt a = ∞ en el recinte (x/α) 2 + (y/β) 2 > 1.
3.- Problemes Tèrmics.
La funció u(x, y) que ens dona la temperatura en cada punt en un problema pla en règim estacionari
és la incògnita principal amb la que treballem. La conductivitat tèrmica del medi es representa pel
coeficient k > 0, i definim vector flux de calor per Φ = −k∇u. El vector flux de calor té la propietat
que la quantitat de calor que travessa de dins a fora una corba simple Γ del pla i per unitat de temps
(i unitat de longitud en la tercera coordenada) és
Γ
Φ · n |dz| = −k
si és que dins de la corba no hi ha fonts de calor.
Γ
∂u
∂n
dℓ =
int.(Γ)
∆u dxdy
Per tant, a les regions on no hi ha fonts de calor, u és harmònica, i considerant la seva funció
harmònica conjugada v(x, y) podem definir el potencial complex del camp tèrmic per Ω(z) = u + iv.
Les corbes u =ct. són les isotermes i les v =ct. s’anomenen linies de corrent. També es té que
Φ = −kΩ ′ (z).
Si en un entorn de z = a tenim
Ω(z) = c−n
c−1 q
+ · · · + +
(z − a) n z − a 2πk log
1
z − a + c0 + c1(z − a) + . . .
el terme q/(2πk) log(1/(z − a)) representa en el punt z = a una font puntual de calor de potència q, i
el terme c−1/(z − a) un dipol.
Trobeu la distribució de temperatures u(x, y) en el recinte |x| < a, y > 0 suposant que la temperatura
és zero a la frontera i que hi ha situada una font de potència q en un punt de la forma
z0 = ih, h > 0.
Exercicis.
25.- Trobeu la distribució de temperatures en el interior de l’anell circular r1 < |z| < r2 si es
sap que a l’interior de l’anell hi ha una font puntual de calor i que en les circumferències frontera la
temperatura pren uns valors constants coneguts u1 i u2.
26.- Problema del cable enterrat. Un cable d’alta tensió de radi r està enterrat, i hi ha una distància
d > r del centre del cable a la superfície del terreny. Per efecte Joule, el cable emet q unitats de calor
per unitat de temps i unitat de longitud del cable. Suposant coneguda la conductivitat tèrmica k del
terreny, i la temperatura de l’atmosfera, trobeu la temperatura a la superfície del cable. (Aquesta és
la temperatura que hauran de suportar sense fer-se malbé els materials aïllants que l’envolten.)
Referències
[1] Chorin, A.J. i J. Marsden: A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics. Springer.
[2] Spiegel, M.R.: Variable Compleja. McGraw-Hill. Col. Schaum.
[3] Volkovyski, L., G. Lunts i I. Aramanovich: Problemas sobre la teoria de funciones de variable
compleja. MIR, Moscou.
10