FUNCIONS (I) - textos online

1. Concepte de funció.
FUNCIONS (I)
2. Formes d’expressar una funció.
3. Domini d’una funció.
4. Recorregut d’una funció.
5. Punts de tall d’una funció.
6. Continuïtat: funcions contínues i funcions discontínues.
7. Creixement i decreixement d’una funció.
8. Màxims i mínims.
9. Simetria d’una funció.
10. Estudi qualitatiu d’una funció.
11. Imatge i antiimatge.
1

1.- CONCEPTE DE FUNCIÓ.
Les funcions estableixen relacions entre diferents magnituds i constitueixen una
part fonamental del llenguatge matemàtic, si bé són aplicables a situacions de la
vida quotidiana.
Una magnitud és qualsevol propietat que es pot mesurar, ja sigui a partir d’una
quantificació física o bé a partir de càlculs matemàtics.
Dues magnituds poden ser directament proporcionals o inversament
proporcionals. Si són directament proporcionals significa que quan una
magnitud augmenta l’altra també ho fa. Per contra, si són inversament
proporcionals vol dir que quan una magnitud augmenta l’altra disminueix.
Una funció és una relació entre dues magnituds o variables, una d’independent i
una altra de dependent, de manera que a cada valor de la variable independent li
correspon un únic valor de la variable dependent.
Habitualment es pren la “x” com a variable independent i la “y” com a variable
dependent.
Les funcions s’expressen com y = f(x), que indica que el valor de la variable “y”
(dependent) està en funció del valor de la variable “x” (independent).
2

Exercicis proposats:
1.- Quines magnituds són directament proporcionals i quines són inversament
proporcionals?
a) Nombre d’obrers i temps que tarden a fer una feina.
b) Nombre de sacs i el que pesen.
c) Velocitat d’un cotxe i temps que tarda a fer un recorregut.
d) Temps que tarda un automòbil a fer un recorregut a velocitat constant.
e) Nombre de fulls d’un llibre i el seu pes.
f) El costat d’un quadrat i el seu perímetre.
2.- Determina quines magnituds depenen habitualment l’una de l’altra:
a) En una persona, l’edat i l’alçada.
b) En una ciutat, el nombre d’habitants i el consum d’aigua.
c) En un país, el nombre d’automòbils i el consum de llet.
3.- En la fórmula de la longitud de la circumferència, quina és la variable
dependent i quina és la independent? Escriu la fórmula en forma de funció.
4.- Donada la gràfica següent d’una funció:
a) És una funció contínua? d) Entre quins valors és constant?
b) Entre quins valors és creixent? e) En quins punts presenta màxims?
c) Entre quins valors és decreixent? f) En quins punts presenta mínims?
3

5.- Quines de les gràfiques següents corresponen a una funció?
a) b)
c) d)
6- L’Eva explica el desplaçament que fa cada dia des de casa seva a l’escola
dient que a la primera part del camí, a mesura que avança va més de pressa,
perquè el camí fa baixada. El segon tram de camí, que és pla, va a velocitat
constant, mentre que a la darrera part del camí avança més lentament perquè
fa pujada.
Quina d’aquestes tres gràfiques correspon al camí que fa l’Eva des de casa fins
a l’escola?
a) b) c)
4

7.- Aquesta gràfica mostra com varia la velocitat d’un cotxe de F–1 en fer un dels
circuits dibuixats més a baix:
a) A quin dels tres circuits correspon?
A B C
b) Fes la gràfica corresponent als altres dos circuits.
5

8.- Quines de les gràfiques següents corresponen a una funció?
a) b)
c) d)
9.- Són funcions les expressions algebraiques següents?
a) y = x b) y = 1
x
c) y = –x 2 d) y = 2
1-x
x
6

10.- En aquesta gràfica s’expressa una relació entre la distància recorreguda, en
quilòmetres, per en Pere, i el temps que ha tardat, expressat en hores. En Pere
ha fet algun tros del camí amb bicicleta i d’altres caminant, sempre per un camí
planer.
a) Quants quilòmetres ha recorregut?
b) Quants quilòmetres ha recorregut amb bicicleta?
c) Quant de temps ha anat caminant?
d) Quant de temps ha anat amb bicicleta?
7

2.- FORMES D’EXPRESSAR UNA FUNCIÓ.
Ja hem vist anteriorment que les funcions són molt comunes a la vida quotidiana.
En matemàtiques, igual que en altres ciències on apareixen sovint les funcions,
hi ha quatre formes d’expressar-les: per mitjà d’un enunciat verbal, a través
d’una taula de valors, mitjançant una gràfica o bé utilitzant una fórmula o
expressió analítica.
a) Expressió d’una funció per mitjà d’un enunciat verbal:
Es tracta d’expressar una funció a través d’una descripció, utilitzant frases
que ens diuen quines variables tenim i la relació que existeix entre aquestes
variables. També ens dóna una sèrie de dades numèriques.
Exemple:
En una autoescola cobren les tarifes següents per treure’s el permís de
conduir: 150 euros de matrícula i 14 euros per classe pràctica. Escriu la
funció que calcula el preu per aconseguir el carnet de conduir. Quants
euros li va costar a en Pere treure’s el carnet, si sabem que va necessitar
11 classes?
número de classes (h) 1 2 3 4 5
cost del carnet en euros (€) 164 178 192 206 220
b) Expressió d’una funció per mitjà d’una taula de valors:
Es pot expressar una funció a través d’una taula de valors en la que hi ha
dades de les dues magnituds o variables que es relacionen, la independent
(x) i la dependent (y).
Exemple:
En una autoescola, per treure’s el carnet de conduir, cobren 150 euros de
matrícula.
Escriu la funció que calcula el preu per aconseguir el carnet de conduir,
tenint en compte les dades de la taula següent.
Quants euros li va costar a en Pere treure’s el carnet, si sabem que va
necessitar 11 classes?
8

La representació gràfica és la millor manera d’expressar una funció, perquè
permet veure el seu comportament global. Així doncs, quan calgui analitzar
una funció serà molt important dibuixar el seu gràfic, perquè és la forma que
ens dóna més informació per estudiar millor el seu comportament.
Exemple:
En una autoescola cobren les tarifes següents per treure’s el permís de
conduir: 150 euros de matrícula i 14 euros per classe pràctica. Escriu la
funció que calcula el preu per aconseguir el carnet de conduir. Quants
euros li va costar a en Pere treure’s el carnet, si sabem que va necessitar
11 classes?
Si representem gràficament aquest exemple, caldrà posar a l’eix
horitzontal (eix d’abscisses) la variable independent (x), que en aquest cas
és el número de classes pràctiques; i a l’eix vertical (eix d’ordenades) la
variable dependent, que en l’exemple és el cost del carnet de conduir,
expressat en euros.
9

c) Expressió d’una funció per mitjà d’una fórmula o expressió analítica:
L’expressió analítica d’una funció és la fórmula matemàtica que indica la
relació existent entre la variable independent (x) i la variable dependent (y).
És la manera més precisa i operativa d’expressar una funció, ja que és una
relació matemàtica que permet calcular fàcilment el valor de la variable
dependent (y) per a cada valor de la variable independent (x).
Les funcions s’expressen com y = f(x).
Exemple:
En una autoescola cobren les tarifes següents per treure’s el permís de
conduir: 150 euros de matrícula i 14 euros per classe pràctica. Escriu la
funció que calcula el preu per aconseguir el carnet de conduir. Quants
euros li va costar a en Pere treure’s el carnet, si sabem que va necessitar
11 classes?
En aquest exemple la variable independent (x) és el número de classes
pràctiques realitzades, mentre que la variable dependent (y) és el cost, en
euros, del carnet de conduir. Llavors, l’expressió analítica de la funció
correspondrà a la relació o fórmula matemàtica següent: y = 150 + 14.x
Exercicis proposats:
1.- Un escalador va observar que a mesura que pujava una muntanya la
temperatura variava en funció de l’alçada, de la forma següent:
Alçada (m) 0 300 600 800
Temperatura (ºC) 13 10,5 8 5,5
a) Fes la gràfica alçada vs. temperatura.
b) Escriu l’expressió analítica que descriu aquesta funció.
c) A partir de quina alçada la temperatura està per sota de 0 ºC?
2.- La baixada de bandera d’un taxi és de 2 euros i cada Km costa 4 cèntims
d’euro. En canvi, un altre taxi ofereix baixada de bandera gratuïta però un preu
de 30 cèntims d’euro per cada Km recorregut.
Escriu l’expressió analítica corresponent al preu de cada taxi.
Calcula el punt a partir del qual és més econòmic un determinat tipus de taxi.
10

3.- En aquest gràfic es mostra el nivell de soroll provocat per una ràdio en una
habitació en funció del temps, expressat en hores:
a) Quan creix el nivell de soroll? Quan decreix?
b) Hi ha algun moment en què el nivell de soroll sigui nul?
c) Quin nivell de soroll hi havia en el moment que es considera origen de
temps?
d) En un determinat moment algú apaga la ràdio que sonava amb un volum
molt alt. Quin instant és aquest? Justifica la teva resposta.
e) En què creus que s’assemblen i en què es diferencien els nivells de soroll
dels instants t = 0 i t = 11.6? I els dels instants t = 2.6 i t = 8.6?
11

4.- Un viatge en taxi varia de preu segons la distància recorreguda. Per pujar al
taxi cal pagar 40 cèntims, i després cada quilòmetre recorregut costa 6 cèntims.
a) Fes una taula corresponent a un viatge de 5 Km en taxi i representa la
gràfica corresponent, indicant les variables (dependent i independent).
b) Troba l’expressió matemàtica de la funció que has representat.
c) Té algun màxim o mínim? En quin punt? És creixent o decreixent?
És contínua o discontínua? Explica-ho.
5.- Una moto gasta 25 litres cada 100 Km. Escriu la funció corresponent.
6.- En aquesta taula està representat el cost d’un viatge en un autobús per
quilòmetres:
Quilòmetres 1 2 3 4 5
Euros 0’1 0’2 0’3 0’4 0’5
a) Representa gràficament aquests resultats.
b) Escriu l’expressió analítica de la funció.
7.- Un ciclista recorre 15 Km en una hora.
a) Quines són les variables de la funció?
b) Quina és la funció que expressa el camí recorregut en quilòmetres?
8.- Fes una taula corresponent a tots els rectangles d’àrea 16 cm 2 . Després
dibuixa la gràfica corresponent, representant la base a l’eix d’abscisses i l’altura
a l’eix d’ordenades.
9.- Un treballador necessitaria 400 hores per construir una caseta.
a) Fes una taula amb les hores que necessitarien 1, 2, 4, 8 i 16
treballadors.
b) Representa gràficament els resultats de la taula.
12

10.- El gràfic següent representa els guanys i les pèrdues d’una empresa
familiar que va ser fundada el 1920:
a) Durant quants anys l’empresa va tenir activitat comercial?
b) Quins anys els guanys van ser nuls? Quina era la situació econòmica en
el moment considerat com a origen de temps?
c) Durant quins anys va tenir guanys i durant quants va tenir pèrdues?
d) En quins períodes de temps van créixer els guanys i en quins van
decréixer?
e) Quin any els guanys van ser màxims i quin van ser mínims?
f) En què s’assemblen i en què es diferencien els guanys de 1991 i 2006? I
els de 1985, 1995 i 2000?
g) Quin creus que serà el comportament en el futur?
Expressa ara els apartats anteriors, però utilitzant el llenguatge matemàtic
de les funcions.
13

3.- DOMINI D’UNA FUNCIÓ.
El domini de definició d’una funció és un conjunt format per tots els valors de la
variable independent (x) que tenen un valor de variable dependent (y) associat.
El domini d’una funció l’escriurem com Dy o bé Df(x), si bé també podem
trobar Dom y o bé Dom f(x).
Exemple: Dy = (– , ) = o bé Df(x) = (– , ) =
El domini d’una funció es defineix com el conjunt de valors de la variable
independent que tenen imatge.
Per calcular el domini primerament cal estudiar el tipus de funció que tenim:
Si es tracta d’una funció polinòmica, que és aquella funció que la seva
expressió correspon a un polinomi de grau “n”, qualsevol valor de “x”
permet calcular-ne un per a la “y”. Per tant el domini de les funcions
polinòmiques és tots els nombres reals, i escriurem Dom y = o també
es pot expressar com Dy = (– , ).
Si tenim una funció racional, que és una funció que té “x” en el
denominador, el seu domini és tots els nombres reals excepte aquells que
fan zero el denominador, ja que no és possible dividir per zero. Per
calcular el domini buscarem els valors que fan zero el denominador, que
seran els que no pertanyen al domini de definició de la funció.
Exemples:
y =
5
x 3
Dy = – {3} o bé Dy = (– , 3) u (3 , )
x – 3 = 0 solució: x = 3
y =
2
3x
1
2
x x 6
Dy = – {–2 , 3}
o bé Dy = (– , –2) u (–2 , 3) u (3 , )
x 2 – x – 6 = 0 solucions: x = 3 i x = – 2
14

Quan tinguem una funció irracional, que és una funció que té “x” dins
una arrel, caldrà distingir entre les que tenen un índex senar, el seu
domini és tots els nombres reals, les que tenen un índex parell. El domini
d’aquestes últimes és tots els nombres reals excepte aquells que fan que
el radicand (el que hi ha dins l’arrel) sigui negatiu.
Exemples:
y = x 5 x – 5 ≥ 0 x ≥ 5 Dy = [5, + )
y =
2
1 x 1 – x 2 ≥ 0 resolem la inequació de
segon grau i llavors arribem a la conclusió que el domini de
la funció és: Dy = [–1, 1]
Altres tipus de funcions: exponencials, logarítmiques, trigonomètriques,
etc: cal estudiar en cada cas quins són els valors de “x” que permeten
trobar un valor associat de “y” i, per tant, formen part del domini de
definició de la funció.
Per últim cal tenir en compte altres aspectes:
El context real d’aquella funció.
Exemple: “en una autoescola cobren les tarifes següents per treure’s
el permís de conduir: 150 euros de matrícula i 14 euros per classe
pràctica. Escriu la funció que calcula el preu per aconseguir el carnet
de conduir”.
Aquí el domini serà Dy = [0 , + ) , ja que el número de classes
efectuades no pot ser un nombre negatiu.
La manera com es dóna la funció.
Exemple: “donada la funció d’expressió y = x 2 + 5 definida en
l’interval [0 , 7) ...”
En aquest cas el domini serà Dy = [0 , + ) perquè així ho determina
l’enunciat de l’exercici.
15

Cal dir que el domini es pot calcular a partir de l’expressió analítica d’una funció,
com acabem de veure, però també a partir de la gràfica d’una funció.
Exemple:
Dy = [–3 , 4)
16

Exercicis proposats:
1.- Troba el domini de les funcions següents:
a)
b )
17

c)
d )
18

2.- Calcula el domini de les funcions següents:
a)
b)
c)
d)
1
2'5
5
2
2
y 3x
x
y
3
x
7
2x
y 2
x 3
2
y 2
x 9
3x
51
e) y
2
36 x
3.- Calcula el domini de les funcions següents:
a)
y
x 6
5
3 2
b) y x 4x
31x
70
c)
d)
e)
3
y x
y
y
3
2
64 x
2x
5
2x
2
x
32
x
3
19
f)
g)
h)
y 3 2
x
y 3
x
y 2
x
x
7x
3
4x
4
2
7x
6
3
4x
4
i) y 2x
5
2
j) y x 3x
10
f)
g)
h)
i)
j)
y
y
y
y
4 x
5 x
x
2
2x
2
2x
3x
5x
2
3x
2
9
4
2
72
9
1
3 x
y
3
x 8

4.- RECORREGUT D’UNA FUNCIÓ.
El conjunt de valors que tenen antiimatge es defineix com el recorregut d’una
funció, que són, doncs, tots els valors de “y” que tenen un valor de “x” associat.
El recorregut l’escriurem com Im y o bé Im f(x) o també Im f.
Exemple: Dy = (– , ) = o bé Im f(x) = (– , ) =
És aconsellable fer l’estudi del recorregut d’una funció un cop s’ha fet el dibuix
d’aquesta, ja que en el gràfic és més senzill determinar el recorregut de la funció.
Exemple:
Imy = [–2 , 14)
20

Exercicis proposats:
1.- Troba el recorregut de les funcions següents:
a)
b )
21

c)
d )
22

5.- PUNTS DE TALL D’UNA FUNCIÓ.
Els punts de tall d’una funció són aquells punts (x , y) que estan situats sobre
algun dels eixos de coordenades (abscisses o ordenades). És a dir, que són els
punts d’intersecció de la gràfica d’una funció amb els eixos de coordenades.
Per trobar-los cal pensar en les condicions que s’han de donar perquè un punt
estigui situat sobre algun dels eixos de coordenades.
Si és un punt de tall amb l’eix d’ordenades vol dir que el valor de la seva
coordenada “x” ha de ser zero. Si, per contra, es tracta d’un punt de tall amb l’eix
d’abscisses significa que ha de ser la coordenada “y” del punt la que ha de tenir
valor zero. Observem-ho gràficament:
Així doncs, per calcular els punts de tall d’una funció haurem d’imposar aquestes
dues condicions, i llavors determinar el valor de l’altra coordenada:
quan x = 0 y = a punt de tall: (0 , a).
quan y = 0 x = b punt de tall: (b , 0).
23

Exemples:
y = 2x + 2
si x = 0, y = 2 (0 , 2)
si y = 0, x = –1 (–1 , 0)
y = 2x 2 – 4x + 5
si x = 0, y = 5 → (0, 5)
4
si y = 0, 0 = 2x 2 – 4x + 5 x =
y = –x 2 + 3x + 4
24
16 40
4
si x = 0, y = 4 → (0, 4)
si y = 0, 0 = –x 2 3
+ 3x + 4 x =
9 16 2
3 5
2
Aquesta funció té tres punts de tall: (0 , 4) ; (1 , 0) ; (– 4 , 0)
1
y =
x
1
si x = 0, y = no té solució
0
1
si y = 0, 0 = 0.x = 1 no té solució
x
Té dos punts de tall: (0 , 2) i ( –1 , 0)
Té un únic punt de tall:
(0 , 5)
3 5 2
1
2 2 x
3 5 8
4
2 2 x
Aquesta funció no
té punts de tall

Exercicis proposats:
1.- Calcula els punts de tall de les funcions següents:
a) y = 3x – 6 f) y = 4x 2 + 11x + 3 k)
b) y = – x + 1 g) y= 6x 2 – x – 1 l)
c) y = 4x – 5 h) y = (5x – 1) 2 – 16 m)
1 3
1
d) y x
i) y n)
2 4
x 3
25
x 1
y
3
7
y
x
e) y = x 2 2
– 2x – 8 j) y
o) y
3x 5
2
x 4
y
x 7
2
y x x
12
25 x
x
7.- CREIXEMENT I DECREIXEMENT D’UNA FUNCIÓ.
Una funció y = f(x) és creixent en un interval [a , b] si per a qualsevol x1 < x2,
llavors f(x1) < f(x2), sabent que x1, x2 ϵ [a , b].
Una funció y = f(x) és decreixent en un interval [a , b] si per a qualsevol x1 < x2,
llavors f(x1) > f(x2), sabent que x1, x2 ϵ [a , b].
Una funció y = f(x) és constant en un interval [a , b] si per a qualsevol x1 < x2,
llavors f(x1) = f(x2), sabent que x1, x2 ϵ [a , b].
Intervals de creixement i intervals de decreixement:
Es tracta d’escriure, mitjançant intervals, quan creix i quan decreix la funció. El
que és recomanable és donar aquests intervals un cop s’hagin estudiat els
màxims i els mínims i, sobretot, quan s’hagi fet el dibuix (encara que sigui
esquemàtic) de la funció.
2

Exemple: determina els intervals de creixement de la funció següent:
Intervals de creixement: (–∞ , –2)u(1 , ∞)
Intervals de decreixement: (–2 , 1)
26

8.- MÀXIMS I MÍNIMS D’UNA FUNCIÓ.
Si una funció passa de ser creixent en un interval [a , c] a ser decreixent en un
altre interval [c , b], llavors en el punt “c” hi ha un màxim relatiu o local.
Si una funció passa de ser decreixent en un interval [a , c] a ser creixent en un
altre interval [c , b], llavors en el punt “c” hi ha un mínim relatiu o local.
Es defineix el màxim absolut o global com el màxim relatiu amb valor absolut
de f(x) més alt.
De manera anàloga, es defineix el mínim absolut o global com el mínim relatiu
amb valor absolut de f(x) més alt.
En el llenguatge de les funcions el terme extrem engloba tant els màxims com
els mínims.
És important no confondre el concepte de màxim absolut d’una funció amb el de
valor de “y” més alt d’una funció (tot i que moltes vegades coincideixen), ni
tampoc confondre el concepte de mínim absolut d’una funció amb el de valor de
“y” més baix (si bé molts cops també coincideixen).
27

Exercicis proposats:
1.- Calcula els intervals de creixement i de decreixement, el domini i també els
punts màxims i mínims. Determina els intervals en què la funció és positiva i en
quins és negativa:
a)
b)
28

c)
d)
29

e)
f)
30

9.- SIMETRIA EN LES FUNCIONS.
Hi ha funcions que presenten algun tipus de simetria, si bé la gran majoria de
funcions no són simètriques. Existeixen dos tipus de simetria: respecte a l’eix
d’ordenades i respecte a l’eix de coordenades.
Simetria respecte a l’eix d’ordenades: una funció y = f(x) és simètrica respecte a
l’eix d’ordenades quan f(x) = f(–x).
Les funcions que són simètriques respecte a l’eix d’ordenades s’anomenen
funcions parelles.
Exemples:
y = x 2 y = x 4
31

Vegem-ne un exemple a través del càlcul analític i també del dibuix:
f(x) = x 4 – 3x 2 +4
f(–x) = (–x) 4 – 3(–x) 2 +4 = x 4 – 3x 2 +4 f(x) = f(–x) és parella.
Observem el gràfic:
Simetria respecte a l’eix de coordenades: una funció y = f(x) és simètrica
respecte a l’eix de coordenades quan f(x) = –f(–x).
Les funcions que són simètriques respecte a l’eix de coordenades s’anomenen
funcions imparelles o senars.
Exemples:
y = x 3
32
y = 1
x

Vegem-ne un exemple a través del càlcul analític i també del dibuix:
f(x) = x 5 – 3x 3
f(–x) = (–x) 5 – 3(–x) 3 = –x 5 +3x 3 = –( x 5 – 3x 3 ) f(x) = –f(–x) és una
funció imparella.
Observem el gràfic:
Cal dir, com ja s’ha esmentat al principi, que la majoria de funcions no presenten
simetria, és a dir, que no són ni parelles ni imparelles.
Exercicis proposats:
1.- Estudia la simetria de les funcions següents:
a) y = 3x 2 – x 4 b) y = 2x 5 – 5x 3 c) y = x 3 – 5x
d) y = x 4 + 7x 2 e) y = x 5 – 2x 4 + x f) y = x 2 +4x + 4
g) y = 1
h) y =
x
j) y =
2
x 1
k) y =
2
x
x 1
x 1
i) y = 2
x
x
x
2
1
x
33
l) y =
3x
2
2
x 1

10.- ESTUDI QUALITATIU D’UNA FUNCIÓ.
Quan se’ns demana realitzar l’estudi d’una funció per tal de veure’n la seva
representació gràfica i poder-ne fer millor la seva anàlisi, cal tenir en compte una
sèrie de paràmetres:
El domini: veure en quins intervals de “x” està definida la funció.
El recorregut: saber quins intervals de “y” tenen antiimatge.
Els punts de tall: conèixer els punts d’intersecció amb els eixos.
La continuïtat: veure si existeixen punts o intervals en què la funció no és
contínua.
El creixement i decreixement: saber en quins intervals una funció creix,
decreix o bé és constant.
Els màxims i mínims: estudiar si existeixen màxims o mínims, tant
relatius com absoluts.
La taula de valors: en molts casos tenir una sèrie de punts (x , y) ens
ajuda a poder dibuixar correctament una funció.
11.- IMATGE I ANTIIMATGE.
En el llenguatge de les funcions es parla d’imatge i antiimatge. A partir d’un
valor de la variable independent (x) es defineix la seva imatge com el valor de la
variable dependent (y) que li correspon segons l’expressió d’aquella funció, i per
a un determinat valor de la variable dependent (y) es defineix la seva antiimatge
com el valor de la variable independent (x) que li pertoca segons l’expressió
d’aquella funció.
34

Exemple: donada la funció y = 2x + 3, construirem una taula de valors.
x y
0 3
1 5
2 7
Direm que: “3” és la imatge de “0” i per tant “0” és l’antiimatge de “3”
1.-
“5” és la imatge de “1” i per tant “1” és l’antiimatge de “5”
“7” és la imatge de “2” i per tant “2” és l’antiimatge de “7”
COL·LECCIÓ DE PROBLEMES
35