“Búsqueda Heurística” (1ª parte) - Grupo de Inteligencia Artificial

Tema 2: Agentes basados en Búsqueda
Resumen:
2. Agentes basados en búsqueda
2.1. Búsqueda en espacios de estados
2.2 Búsqueda no-informada
2.3. Búsqueda heurística
2.4. Búsqueda multiagente
2.5. Búsqueda con espacios estructurados
– 2 –
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Búsqueda en amplitud: análisis
Ventajas:
• completo:
– siempre se encuentra un nodo meta si existe
• óptimo (para operadores de coste uno):
– siempre se encuentra el nodo meta menos profundo
Problemas:
• Complejidad
– exponencial en espacio y en tiempo incluso en el
mejor caso
• Optimalidad (para el problema general)
– No es óptimo para operadores cualesquiera
– 3 –
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Estado: estancia en una ciudad
Coste de un operador: distancia por
carretera a la ciudad vecina
Problema de encontrar rutas
Oradea
Zerind 71
75
151
Arad
140
Sibiu 99
118
80
Rimnicu
Timisoara
97
Neamt
Fagaras
211
87
142
Iasi
92
Vaslui
111
70
75
Dobreta
Lugoj
146
Mehadia
120
Pitesti
138
Caiova
101
98
85
Urziceni
Bucarest
90
Giurgiu
Hirsova
86
Eforie
– 4 –
Operadores: ir a una ciudad vecina
Coste de un plan: suma de distancias
entre las ciudades visitadas
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118
Z
75
A
T
71
111
75
D
O
140
70
L
M
Problema:
Problema de encontrar rutas: ejemplo
151
120
S
80
R
146
C
99
97
138
P
F
101
211
G
90
B
– 5 –
N
85
• los métodos de búsqueda no informados encuentran el nodo meta de
menor profundidad; éste puede no ser el nodo meta de coste mínimo
U
87
142
I
98
92
V
H
86
E
Ejemplo:
• p 1 = A-S-F-B
c(p 1 ) = 450
• prof.(B p1 ) = 3 < 4 = prof.(B p2 ) / c(p1) = 450 > 418=c(p2)
• p 2 = A-S-R-P-B
c(p 2 ) = 418
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Búsqueda de coste uniforme:
• Inglés: uniform cost search
• Idea:
Búsqueda de coste uniforme
– guiar la búsqueda por el coste de los
operadores
• Método:
– g(n): coste mínimo para llegar
del nodo inicial al nodo n
– expandir siempre el nodo de menor
coste g primero
• Algoritmo:
– almacenar cada nodo con su valor g
– insertar los nuevos nodos en abierta
en orden ascendente según su valor g
– 6 –
{búsqueda de coste uniforme}
abierta ← s 0
Repetir
Si vacío?(abierta) entonces
devolver(negativo)
nodo ← primero(abierta)
Si meta?(nodo) entonces
devolver(nodo)
sucesores ← expandir(nodo)
Para cada n∈ sucesores hacer
n.padre ← nodo
ordInsertar(n,abierta,g)
Fin {repetir}
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R
g=220
Ejemplo: Búsqueda de coste uniforme
S
g=140 g= 118
A O F
g=280 g=291 g =239
S P C g=366
g=300 g=317
B
g = 0
T M
g = 340 g= 299
– 7 –
Z
g =75
L A
g=229 g=236
. . .
Z S
g = 212 g= 292
O A g=150
g=146
S Z T g=268
g=290 g=225
O A
g=283 g=287
O A
g=296 g=300
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118
Lógica de la búsqueda de coste uniforme
Z
75
A
T
71
111
75
D
O
140
70
L
M
g = 80
151
S
120
80
R
146
C
99
97
138
P
F
101
– 8 –
211
G
90
g = 120
B
N
85
U
87
142
I
98
92
V
H
86
E
g = 160
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Características de la búsqueda de coste uniforme
Análisis:
• La búsqueda de coste uniforme enumera sucesivamente todos los nodos del
espacio de estados por costes (valores de g) crecientes
• La búsqueda de coste uniforme es completa:
– al ser los costes números enteros positivos, la sucesión de valores de g no es acotada
– por tanto, si un nodo meta existe en el espacio de estados, será expandido alguna vez
• La búsqueda de coste uniforme es óptima:
– Al expandir todos los nodos del espacio de estados por valores crecientes de g,
cuando se expande el primer nodo meta, éste será el nodo meta de menor valor de g,
es decir de menor coste
– 9 –
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Tema 2: Agentes basados en Búsqueda
Resumen:
2. Agentes basados en búsqueda
2.1. Búsqueda en espacios de estados
2.2 Búsqueda no-informada
2.3. Búsqueda heurística
2.4. Búsqueda multiagente
2.5. Búsqueda con espacios estructurados
– 11 –
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118
Z
75
A
T
71
111
Función heurística para encontrar rutas
75
D
O
140
70
L
M
151
120
S
80
R
146
C
99
97
138
P
F
101
211
G
90
– 14 –
B
N
85
U
87
142
I
98
92
V
H
86
E
h *
A 366
B 0
C 160
D 242
E 161
F 178
G 77
H 151
I 226
L 244
M 241
N 234
O 380
P 98
R 193
S 253
T 329
U 80
V 199
Z 374
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Idea:
Búsqueda A *
• minimizar el coste estimado total de un camino en el árbol de búsqueda
• combinar
– el coste para llegar al nodo n (se conoce exactamente: g), y
– el coste aproximado para llegar a un nodo meta desde el nodo n
(estimado por la función heurística h * )
Función heurística de A * :
– f (n) = g(n)+h(n): coste real del plan (camino) de mínimo coste que pasa por n
– f * (n) = g(n)+h * (n): estimación de f
Estrategia A * :
• entre las hojas del árbol de búsqueda, elegir el nodo de valor f * mínimo
– 15 –
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Algoritmo A* :
• se basa en la búsqueda general
• almacenar el valor g de cada nodo
expandido
• mantener la lista abierta ordenada
por valores crecientes de f *
• insertar nuevos nodos en abierta
según sus valores f *
El Algoritmo A *
– 16 –
{A*}
abierta ← s 0
Repetir
Si vacío?(abierta) entonces
devolver(negativo)
nodo ← primero(abierta)
Si meta?(nodo) entonces
devolver(nodo)
sucesores ← expandir(nodo)
Para cada n∈sucesores hacer
n.padre ← nodo
ordInsertar(n,abierta, f * )
Fin {repetir}
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A
f * = 280+366
= 646
S B
f * = 338+253
= 591
f * = 450+0
= 450
S
f * = 140+253
= 393
F O R
f * = 239+178
= 417
Ejemplo: Búsqueda A *
f * = 146+380
= 526
– 17 –
T
f * = 118+329
= 447
f * = 220+193
= 413
Z
f * = 75+374
= 449
C f P S * f = 300+253
* = 366+160 f * = 317+98
= 526
f * = 0+366
= 366
f * = 414+193
= 607
= 415
f * = 455+160
= 615
R C B
= 533
f * = 418+0
= 418
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f *
f * (n j )
Valores de f * en árboles de búsqueda A *
Tipos de variación de los valores de f * a lo largo de un camino desde
la raíz hasta un nodo n j
n 1
n j
f *
f * (n j )
n 1
– 18 –
n j
f *
f * (n j )
h * consistente
(a) variable (b) acotado por f * (n j ) (c) monótono creciente
n 1
n j
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Definición:
Funciones heurísticas consistentes
Si para todo nodo n i y todo sucesor n j de n i se cumple que
h * (n i ) – h * (n j ) ≤ c(n i ,n j )
entonces h * es consistente
Interpretación intuitiva:
• h * estima también implícitamente el
coste de cada operador
• h * es consistente si subestima el coste
de todos los operadores
Nótese:
– 19 –
h * (n i )
h * (n i )- h*(n j )
h * (n j )
• Si h * es consistente, entonces también es optimista
• Pero existen funciones heurísticas h * optimistas que no son consistentes
n i
n j
n g
c(n i ,n j )
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Monotonía de f * con función heurística consistente
Lema 1: Si h * es consistente, entonces f * crece de forma monótona en
todos los caminos del árbol de búsqueda, es decir: si n j es
sucesor de n i , entonces
f * (n j ) ≥ f * (n i )
Prueba:
h * (n j ) ≥ h * (n i ) – c(n i ,n j )
h * (n j ) + g(n j ) ≥ h * (n i ) + g(n j ) – c(n i ,n j )
h * (n j ) + g(n j ) ≥ h * (n i ) + g(n i ) + c(n i ,n j ) – c(n i ,n j )
f * (n j ) ≥ f * (n i )
Corolario 1: Sea n m el mejor nodo meta. Si h * es consistente, entonces el
algoritmo A * expande todos los nodos n i tal que
f * (n i ) ≤ f * (n m )
– 20 –
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Cota de f * con función heurística optimista
Lema 2: Sea camino_a(n m ) el conjunto de nodos en el camino desde la raíz a un
un nodo meta n m cualquiera. Si h * es optimista, entonces para todos los
Prueba:
nodos n j ∈camino_a (n m) se verifica que
f * (n j ) ≤ f * (n m )
f * (n m ) = g(n m )+h * (n m ) = g(n m ) (dado que h * es optimista)
= c(n i ,n 2 )+...+c(n j-1 ,n j )+c(n j ,n j+1 )+...+c(n m-1 ,n m ) (definición de g)
f * (n m ) ≥ c(n 1 ,n 2 )+...+c(n j-1 ,n j )+h(n j ) (definición de h)
f * (n m ) ≥ c(n 1 ,n 2 )+...+c(n j-1 ,n j )+h * (n j ) (dado que h * es optimista)
f * (n m ) ≥ g(n j )+h * (n j ) (definición de g y f * )
f * (n m ) ≥ f * (n j ).
– 22 –
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f * (n j )
f *
n 1
Valores de f * en árboles de búsqueda A *
f *
f *
(a) variable (b) acotado por f * (nm ) (c) monótono creciente
n j
h * optimista
(nodos cualesquiera)
f * (n m )
n 1
h * optimista
(nodos meta)
– 23 –
n j
f * (n j )
n 1
h * consistente
Corolario 2: Sea n m el mejor nodo meta, y camino_a(n i ) el conjunto de nodos
n j en el camino desde la raíz a un nodo n i cualquiera (n i incluido). Si h * es
optimista, entonces el algoritmo A * expande todos los nodos n i tal que
∀n j ∈camino_a (n i ). f * (n j ) ≤ f * (n m )
n j
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Optimalidad de A *
Teorema 1: Si h * es optimista, entonces el método A * es óptimo
Prueba:
Sean n m1 y n m2 dos nodos meta cualesquiera distintos, y n m1 el nodo meta de menor coste
(es decir: g(n m1 )

Completitud de A *
Teorema 2: El método A * es completo
Prueba:
• sea n m un nodo meta y camino_a(n m ) el conjunto de nodos en el camino de
la raíz a n m . Suponga que n m no es encontrado por el método A *
– ya que el número de sucesores de un nodo es finito, debe haber un camino
infinito p, tal que se expanden todos los nodos n i de p antes de n m
– la secuencia de valores de g a lo largo de p aumenta estrictamente (el coste de
los operadores es > 0) y dado que por definición h * (n) ≥ 0, existe algún nk en
*
*
*
p con
f
( n
k
) =
g(
n
k
) + h ( n ) >
k
n
j ∈
max
camino
_ a(
n
– el algoritmo expande los nodos sucesivamente por valores de f * crecientes,
por lo que todos los nodos en el camino a n m (incluido n m ) son expandidos
antes que el nodo n k
• contradicción; en consecuencia, el método A * encuentra el nodo meta n g
– 25 –
m
[ f ( n ) ]
)
j
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Ejercicio 3.1
Búsqueda de coste uniforme:
Aplique la búsqueda de coste uniforme para
encontrar una ruta de Pitesti (P) a Fagaras (F).
Desarrolle el árbol de búsqueda generado por
dicho algoritmo, asumiendo que se evitan
ciclos simples. Indique el valor g de cada
nodo, así como el orden en el que se expanden
los nodos.
– 26 –
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Algoritmo A * :
Ejercicio 3.2
Suponga el mundo de los bloques con el estado
inicial y el estado meta que se muestran al lado.
Se trata de aplicar algoritmo A* a este problema,
suponiendo que se filtran ciclos simples. Como
función heurística consistente, use el número de
bloques descolocados.
a) Desarrolle el árbol de búsqueda que genera el
algoritmo A*, incluyendo los valores de g, h * , y f
* de cada nodo. Indique el orden en que se
expanden los nodos
b) Ponga el estado de la lista abierta en cada paso
del algoritmo
– 27 –
Estado inicial
C
A B
Estado meta
A
B
C
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Optimalidad del algoritmo A *
Ejercicio 3.3
El grafo que se muestra al lado describe un
problema de búsqueda. Suponga que A es el
estado inicial y que F y E son estados meta.
Los arcos están etiquetados con el coste real
de los operadores. h * es una función heurística
a) Desarrolle el árbol de búsqueda que genera el
algoritmo A * . Indique el orden en que se
expanden los nodos ¿Cuál de los nodos meta
se encuentra primero?
b) ¿La función heurística es consistente y/o
optimista? Argumente su respuesta.
– 28 –
7
B
F
4
A
3
C
D
E
4
3
h *
A 8
B 6
C 6
D 5
E 0
F 0
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