Geometria Fractal: jugant amb el caos i la natura - Facultat de ...

D'altra banda, l'any 1975 Mandelbrot va afirmar que els fractals són formes generades normalment per
processos matemàtics repetitius i caracteritzats per no ser diferenciables, per tenir un aspecte semblant
a qualsevol escala i una dimensió fraccionària.
No convençut del tot amb aquesta caracterització, el 1982 Mandelbrot va definir fractal com a un
conjunt la dimensió del qual és estrictament major que la seva dimensió topològica, però ell mateix va
reconèixer que aquesta última consideració no era suficientment general i excloïa alguns objectes
matemàtics que realment són fractals com la corba de Peano que veurem més endavant. Tot i que
continúa sent la definició més acceptada pels sectors matemàtics, al ser la més adequada per englobar
figures fractals.
També es poden entendre els fractals com a atractors d'un IFS (Sistemes de Funcions Iterades, els quals
estudiarem a fons més endavant), tal com diu Barnsley, o com a un conjunt de punts autosimilars en
sentit determinista o bé estocàstic (depenent de l'atzar). Tot i que cap de les dues tindria en compte el
conjunt de Mandelbrot, per tant, haurien de considerar el conjunt M com a fractal límit, és a dir, un
fractal que conté molts fractals, tal com proposa Cederberg.
L'essència del missatge de Mandelbrot és que moltes estructures naturals que aparenten tenir una
complexitat extraordinària, en realitat presenten una mateixa regularitat geomètrica: la seva invariància
a diferents escales, i que el procés responsable d'aquest enrevessat i complex fenomen pot ser
sorprenentment senzill, per tant, es poden definir perfectament com a conjunts fractals o bé fractals
naturals.
1.3. PROPIETATS FONAMENTALS
Un cop introduït el concepte de geometria fractal i definicions dels fractals des de diferents punts de
vista, seria interessant fer un repàs general de les seves propietats fonamentals per consolidar-ho.
Primer de tot, cal recordar que Mandelbrot no va donar una definició precisa de fractal però de forma
general va caracteritzar les noves estructures irregulars com figures autosimilars, de complexitat infinita,
de dimensió fraccionària i recursives.
A partir d'aquestes característiques generals de les figures fractals, podem destacar les propietats més
importants dels fractals:
- Autosemblança o autosimilitud: les parts del conjunt presenten la mateixa forma o estructura que el
tot, és a dir, els subconjunts de la figura contenen còpies exactes d'aquesta a menor escala o
lleugerament deformats. Per exemple, si observem alguna
d'aquestes parts amb un microscopi i lents adequades, veurem
exactament la figura completa, tant en un fractal geomètric com
en un natural. Aquesta propietat és fàcil de comprendre i observar,
i és present en la majoria dels fractals que veurem, i per això són
figures d'estructura complexa a totes les escales.
- Complexitat infinita: conjunts que mostren estructures molt complexes independentment de l'escala
d'observació. Aquesta idea es refereix a l'absoluta identitat entre escales produïda per l'autosemblança i
recurrència, és a dir, podem anar ampliant la imatge una i altra vegada fins a l'infinit sense que aparegui
una forma totalment definida, observant un entramat cada vegada més complex i aparentment
inexplicable. Aquesta qualitat és la principal causa de la bellesa dels fractals, i tot i ser complexa, és fàcil
d'imaginar ja que si ens fixem en una porció del fractal i fem un zoom determinat, tornarem a recuperar
la imatge inicial, i així una i altra vegada...
RFL 6