Geometria Fractal: jugant amb el caos i la natura - Facultat de ...

ÍNDEX
0. Presentació, objectius i organització..............................................................................................1
1. El Món Fractal................................................................................................................................3
1.1. Mandelbrot i la Geometria Fractal................................................................................................3
1.2. Definició de fractal........................................................................................................................5
1.3. Propietats fonamentals.................................................................................................................6
1.4. Classificació dels fractals...............................................................................................................7
1.5. Fractals a la natura........................................................................................................................7
1.6. Aplicacions....................................................................................................................................9
2. Fractals geomètrics i dimensió fractal..........................................................................................11
2.1. Iteracions....................................................................................................................................11
2.2. Dimensió fractal..........................................................................................................................12
2.3. Fractals geomètrics més "clàssics"..............................................................................................15
2.3.1. Conjunt de Cantor..............................................................................................................15
2.3.2. Corba de Peano..................................................................................................................18
2.3.3. Corba de Koch....................................................................................................................19
2.3.4. Floc de neu de Koch...........................................................................................................21
2.3.5. Triangle de Sierpinski.........................................................................................................24
2.3.6. Tetraedre de Sierpinski.......................................................................................................27
2.3.7. Catifa de Sierpinski.............................................................................................................30
2.3.8. Esponja de Menger.............................................................................................................33
2.3.9. Taula comparativa..............................................................................................................37
3. Fractals al pla complex. Mandelbrot, Julia i Newton.....................................................................39
3.1. Complexos...................................................................................................................................40
3.2. Conjunts de Julia.........................................................................................................................43
3.3. Conjunt de Mandelbrot..............................................................................................................47
3.4. Fractal del Mètode de Newton...................................................................................................50
4. Els IFS i el "Joc del Caos"..............................................................................................................55
4.1. Introducció a la MRCM (Multiple Reduction Copy Machine)......................................................55
4.2. Transformacions afins.................................................................................................................58
4.3. IFS (Iterated Funtion System): Sistema de Funciones Iterades...................................................62
4.3.1. MRCM = IFS.......................................................................................................................62
4.3.2. IFS Determinista................................................................................................................62
4.3.3. Teorema del Collage..........................................................................................................63
4.4. Fractals IFS..................................................................................................................................64