Geometria Fractal: jugant amb el caos i la natura - Facultat de ...

La situació és semblant al cas estudiat en l'apartat anterior, on hi ha punts
que divergeixen cap a l'infinit i punts l'òrbita dels quals roman atrapada en un
conjunt acotat, éssent la frontera entre uns i altres la circumferència unitat
associada al sistema dinàmic corresponent que s'anomena conjunt de Julia per a
.
Per tant, podem definir el conjunt de Julia d'un polinomi de variable complexa com la frontera del
conjunt de punts que escapen a l'infinit (s'acostumen a representar de color blanc o altres) i els que no
ho fan al iterar-los infinites vegades (representats en negre). Els punts que no tendeixen cap a l'infinit
conformen una regió delimitada pel propi conjunt de Julia, que es sol denominar el conjunt de Julia
farcit .
ALGORITME D'ESCAPAMENT
Gràcies a la potència dels ordinadors, les representacions dels diferents conjunts de Julia acostumen a
ser imatges sorprenents formades per un degradat de colors que envolten el conjunt de Julia farcit de
color negre.
Aquests efectes coloristes s'aconsegueixen amb l'aplicació d'un algoritme matemàtic, normalment el
software fractal aplica l'anomenat "algoritme d'escapament". Aquest algoritme, conjunt d'instruccions
per a resoldre un problema en un nombre finit de passos, calcula una sèrie de valors per cada punt
mitjançant la repetició d'una fórmula fins que es compleix una condició predefinida, moment en el qual
s'assigna al punt un color depenent del nombre d'iteracions realitzades. També podem dividir els
algoritmes de colors entre els que produeixen valors discrets que mostren salts o bandes en la transició
de colors; i els que ho fan amb valors continus que permeten interpolar qualsevol color del gradient
amb la precisió desitjada, amb especial predilecció artística pel desenvolupament de les targetes
gràfiques.
La condició principal dels conjunts consisteix en si l'òrbita escapa o no cap a l'infinit. Si tendeix cap a
l'infinit, el punt s'acoloreix depenent del nombre d'iteracions necessàries per divergir, és a dir, segons la
seva velocitat de divergència o escapament. Alguns punts escapen molt ràpid cap a l'infinit i altres molt
lentament, per això els seus respectius colors indiquen la velocitat d'escapament, que normalment
s'associa amb l'augment d'intensitat. També cal dir que per saber si s'escapa o no s'utilitzen mètodes
més eficients, com explicarem en el següent apartat.
Per exemple, els valors que escapen a l'infinit després de 2 iteracions es pinten de color vermell, si en
necessiten 5 de color taronja, si escapen en 10 iteracions de color groc, si ho fan en 50 de color verd, i si
tarden més de 100 en divergir de color lila. De fet 100 o 150 iteracions es consideren suficients per
diferenciar els conjunts de Julia, tot i que com major sigui el llindar d'iteració, la representació serà més
detallada i fidel, malgrat l'augment del temps de computació.
En la taula següent presentem uns conjunts de Julia farcits, on només els punts que no escapen a l'infinit
s'han representat en negre sobre el pla complex per tal de veure com varien segons el valor del
paràmetre i visualitzar la influència dels algoritmes d'escapament amb l'ús de diferents colors segons
la velocitat d'escapament (de més càlid -taronja, groc- a més fred -verd, blau, lila- passant per tota la
paleta amb un mètode semblant al de l'exemple):
RFL 44