Geometria Fractal: jugant amb el caos i la natura - Facultat de ...

Nombre de
quadrats
restants
Longitud del
costat de cada
costat
1 1
8
64
512
Àrea de cada quadrat
(
Àrea total
Observem com l'àrea total del conjunt va disminuint en cada pas, i per calcular l'àrea final de la catifa de
Sierpinski només hauríem de portar aquest procés fins al límit:
Per tant, tal com imaginàvem l'àrea final de la catifa de Sierpinski és zero, com la del seu triangle germà,
i podríem pensar que està formada per quadrats quasi inapreciables que tenen una àrea tan ínfima que
arriba a ser nul·la.
Així en el límit d'iteracions tendint a l'infinit la catifa està tan foradada que la seva superfície és nul·la.
No seria sorprenent sinó haguéssim calculat el seu perímetre, que és infinit!
DIMENSIÓ FRACTAL
La catifa de Sierpinski podria descompondre's en 8 n peces idèntiques que es transformessin en el
conjunt original al aplicar-los un factor d'augment de 3 n . Això equival a pensar que en la primera iteració
queden 8 quadrats idèntics a l'original que s'han d'amplificar per un factor de 3 per
reproduir-lo sencer.
Per tant, la dimensió fractal de la catifa és:
Com veiem, ens ha sortit una dimensió més gran que 1 (segment) però més petita que 2 (pla), ja que és
un objecte geomètric de longitud infinita, tot i que es troba en una regió finita del pla, cosa que implica
dimensió major que 1, a la vegada té àrea nul·la, cosa que indica dimensió menor que 2.
També podríem imaginar-nos aquest fractal com una catifa elaborada per un teixidor embogit que cerca
un disseny, una simetria i bellesa perfectes però molt complexes. Per tant, per una banda, la catifa
resultant estaria plena de forats i no contindria cap tros de teixit, per la qual cosa difícilment podria
considerar-se una superfície. Però d'altra banda, els fils que la formarien estarien teixits en un patró tan
complex que probablement ningú no diria que la catifa és una corba...
RFL 32
(
)