Representación Signo Magnitud - DAC

Estructura y Tecnología de Computadores (ITIG)
Luis Rincón Córcoles
José Ignacio Martínez Torre
Ángel Serrano Sánchez de León
Susana Mata Fernández
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Tema 3. Representación de la información numérica en los computadores
Programa
1. Introducción.
2. Conceptos básicos.
3. Representación de números en coma fija.
a) Binario puro.
b) Magnitud y signo.
c) Complemento a la base.
d) Complemento restringido a la base.
e) Exceso a M.
4. Introducción a la representación numérica en coma flotante.
5. Bibliografía.
Conceptos básicos: sistemas de representación numérica, rango, resolución,
precisión, redondeo, sistemas de coma fija (binario puro, signo-magnitud,
complemento a 2, complemento a 1, exceso a M), bit de signo, sistemas de
coma flotante.
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Tema 3. Representación de la información numérica en los computadores
1. Introducción
Los computadores manejan datos representados en binario.
En un computador existen diferentes modos de representar las cantidades
numéricas:
• Coma fija: binario puro, signo-magnitud, complemento a 2, complemento a 1,
exceso a M, BCD.
• Coma flotante: IEEE 754.
En los computadores el tamaño de los operandos está limitado.
• Coma fija: n = p+q bits (p: parte entera; q: parte fraccionaria).
• Coma flotante: n = p+q bits (p: mantisa; q: exponente).
En este tema estudiaremos los sistemas de representación de coma fija más
usuales y sus características.
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Tema 3. Representación de la información numérica en los computadores
2. Conceptos básicos
Rango de un sistema de representación:
Es el intervalo comprendido entre el menor y el mayor número representable.
Por ejemplo, en binario puro con representación entera:
con n bits hay 2 n elementos rango desde el 000...0 hasta el 111...1
desde 0 hasta 2 n -1 en enteros.
con 2 bits desde 0 (00) hasta 3 (11) desde 0 hasta 2 2 -1.
Resolución de un sistema de representación:
Es la diferencia existente entre dos elementos representables consecutivos.
Por ejemplo, en binario puro con representación entera:
con n bits hay 2 n elementos resolución de 1 entero.
con 2 bits {0,1,2,3} resolución de 1 entero.
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Tema 3. Representación de la información numérica en los computadores
Precisión de un sistema de representación:
Hace referencia al número de bits empleados y al error cometido al representar
cantidades de forma aproximada.
Redondeo:
Error absoluto: diferencia entre la cantidad real X y la cantidad X’ que
el computador utiliza para representarla: E a = | X – X’|
El error absoluto siempre es menor que la resolución.
Error relativo: cociente entre el error absoluto E a y la cantidad real X.
Es la aproximación necesaria para representar en el computador una cantidad que
no puede representarse de forma exacta.
Redondeo hacia 0: truncamiento.
Redondeo hacia +∞: por exceso.
Redondeo hacia -∞: por defecto.
Redondeo al valor más próximo: es el más preciso.
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Tema 3. Representación de la información numérica en los computadores
3. Representación de números en coma fija
Los sistemas de representación en coma fija cuentan con n bits para
representar cantidades, de los cuales p son para la parte entera (incluyendo
posiblemente el signo) y q para la fraccionaria
A: (a p-1 , a p-2 , ..., a 1 , a 0 , a -1 , a -2 ,... , a -(q-1) , a -q ).
El rango depende del sistema de representación utilizado.
La resolución es uniforme en todo el rango e igual al peso del bit menos
significativo: 2 -q
El error cometido depende del tipo de redondeo utilizado:
Redondeo hacia 0, +∞ ó -∞: e a

Tema 3. Representación de la información numérica en los computadores
Los números enteros en el computador se representan en coma fija:
A: (a n-1 , a n-2 , ..., a 1 , a 0 ).
q = 0
n = p
Resolución: 2 0 = 1
Precisión exacta: e a = 0
Se van a estudiar los siguientes sistemas de representación en coma fija:
Sistema de representación sin signo: binario puro.
Sistemas de representación con signo:
Magnitud y signo (signo-magnitud o módulo y signo)
Complemento a la base (en binario: complemento a 2)
Complemento restringido a la base (en binario: complemento a 1)
Exceso a M (representación sesgada).
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Tema 3. Representación de la información numérica en los computadores
3.a. Coma fija sin signo: binario puro
Sólo sirve para números positivos.
Cálculo del valor de un número dado en binario puro
Enteros:
Caso general:
Cambio de signo: no es posible.
Rango:
A
=
A =
n-1
i=
0
p-1
i=
−q
i
ai
⋅2
i
ai
⋅2
Enteros: [0, 2 n -1] con resolución de 1 unidad.
Caso general: [0,2 p -2 -q ] con resolución 2 -q .
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Tema 3. Representación de la información numérica en los computadores
3.b. Coma fija con signo: magnitud y signo
La notación habitual que usamos los humanos para representar cantidades
numéricas con signo consiste en añadir un símbolo adicional para diferenciar un
número positivo de uno negativo:
positivos:+ a p-1 a p-2 ... a 1 a 0 a -1 ... a -q
negativos: – a p-1 a p-2 ... a 1 a 0 a -1 ... a -q
En un computador, la traducción directa de esta notación consiste en considerar
a uno de los bits del número como bit de signo, por ejemplo, señalando a un
número como positivo con un bit 0 y a un número negativo con un bit 1:
positivos: 0 a p-2 ... a 1 a 0 a -1 ... a -q
negativos: 1 a p-2 ... a 1 a 0 a -1 ... a -q
Por tanto, la representación tiene: bit de signo y la magnitud del número.
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Tema 3. Representación de la información numérica en los computadores
Cálculo del valor de un número dado en magnitud y signo:
Enteros:
Caso general:
Cambio de signo: basta con invertir el bit de signo.
Rango:
A = (1−
2⋅
a
A
= (1−
2⋅
a
n-1
p-1
) ⋅
) ⋅
n-2
i=
0
p-2
i=
−q
i
a ⋅2
i
i
a ⋅2
i
Enteros: [-(2 n-1 -1), 2 n-1 -1] con resolución de 1 unidad.
Caso general: [-(2 p-1 -2 -q ), 2 p-1 -2 -q ] con resolución 2 -q .
Ejemplo: Para un número en base 2 (r=2) representado con 4 bits (n=4), el
rango es -(2 3 -1) ≤ x ≤ 2 3 -1 -7 ≤ x ≤ 7.
0110 = 6 1110 = -6
0000 = 0 1000 = -0 (ambigüedad en el cero)
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Tema 3. Representación de la información numérica en los computadores
3.c. Coma fija con signo: complemento a la base
Definición y cálculo del complemento a la base:
Dado un número N expresado en base r con p bits para la parte entera (p>=1, p
incluye el signo), se define el complemento a la base C r de N (C rN) como:
C rN = r p - N
Ejemplos de cálculo del complementario:
Sistema decimal (base 10): C 10N = 10 n - N
Si n = 2, C 10(02) = 10 2 - 02 = 100 - 02 = 98
Sistema binario (base 2): C 2N = 2 n - N
Si n = 4, C 2(1010) = 10000 - 1010 = 0110
Si n = 5, C 2(10100) = 2 5 - 10100 = 01100
100000
– 10100
01100
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Tema 3. Representación de la información numérica en los computadores
Ventaja del C r de N: permite restar aplicando la suma (lo estudiaremos en el
tema de aritmética binaria).
Inconveniente del C r de N: hay que restar para calcular C rN, puesto que el
complementario se calcula como r p - N.
Sin embargo, en base 2, el C 2N se puede calcular sin restar, debido a que el
minuendo para el cálculo del complementario siempre es de la forma 10...00.
Por tanto, para el cálculo del C 2 se procede de derecha a izquierda de la
siguiente manera:
Copiar todos los bits de N hasta el primer 1 inclusive.
El resto de los bits se obtienen cambiando 1s por 0s y 0s por 1s.
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Tema 3. Representación de la información numérica en los computadores
Representación de números en coma fija con signo en complemento a 2:
Los números fraccionarios en coma fija con signo de n bits (a p-1 a p-2 ... a 1 a 0
a -1 ... a -q) se representan en complemento a la base del siguiente modo:
Positivos (N): 0 a p-2 ... a 1 a 0 a -1 ... a -q (dígito de signo 0 y n-1 bits de magnitud,
igual que en magnitud y signo).
Negativos (-N): complemento a la base (C 2 N) del número positivo N (en binario
los números negativos empiezan por 1).
Ejemplo: representar A = 29 10 con n = 8 bits, q = 0
A C2 = A MS = 00011101 C2
Ejemplo: representar B = -53 10 con n = 8 bits, q = 0
Primero lo representamos en positivo: -B C2 = 00110101 C2
Ahora calculamos el complemento: B C2 = C2(-B C2 ) = 11001011 C2
También podemos calcularlo directamente y después pasarlo a binario:
B C2 = 2 8 -53 = 256-53 = 203 = 11001011 C2
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Tema 3. Representación de la información numérica en los computadores
Cálculo del valor de un número dado en complemento a 2:
Enteros:
n-2
n-1
i
A = −a
⋅2
+ a ⋅2
Caso general:
n-1
A
= −a
p-1
Si el número es positivo, su valor se calcula igual que en binario puro.
Ejemplo: calcular el valor de A C2 = 00011101 C2, n = 8, q = 0
Según la fórmula, A = 1x2 0 + 1x2 2 + 1x2 3 + 1x2 4 = 29
Ejemplo: calcular el valor de B C2 = 11001011 C2 , n = 8, q = 0
i=
0
⋅2
i
p-1
+
p-2
i=
-q
i
a ⋅2
Según la fórmula, B = 1x2 0 + 1x2 1 + 1x2 3 + 1x2 6 - 1x2 7 = -53
Otra forma para números negativos: lo pasamos a positivo (calculando el
complementario) y obtenemos el valor considerándolo como un número en binario
puro, pero poniendo un signo menos delante.
i
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Tema 3. Representación de la información numérica en los computadores
Cambio de signo: se lleva a cabo mediante la complementación.
Ejemplo: cambiar de signo el número A C2 = 00011101 C2, n = 8, q = 0
-A C2 = C2(A C2 ) = 11100011 C2
Valor de -A C2 = 11100011 C2 = 1x2 0 + 1x2 1 + 1x2 5 + 1x2 6 - 1x2 7 = -29
Ejemplo: cambiar de signo el número -A C2 = 11100011 C2, n = 8, q = 0
-(-A C2 ) = C2(-A C2 ) = 00011101 C2
Valor de -(-A C2 ) = 00011101 C2 = 1x2 0 + 1x2 2 + 1x2 3 + 1x2 4 = 29
Ejemplo: cambiar de signo el número B C2 = 11001011 C2 , n = 8, q = 0
-B C2 = C2(B C2 ) = 00110101 C2
Valor de -B C2 = 00110101 C2 = 1x2 0 + 1x2 2 + 1x2 4 + 1x2 5 = 53
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Tema 3. Representación de la información numérica en los computadores
Rango: [–(r p-1 ), r p-1 -r -q ], lo que en complemento a 2 significa:
Enteros: [-2 n-1 , 2 n-1 -1] con resolución de 1 unidad.
Caso general: [-2 p-2 ,2 p-2 -2 -q ] con resolución 2 -q .
Ejemplo: Para un número en base 2 (r=2) representado con 4 bits (n=4),
el rango es -2 3 ≤ x ≤ 2 3 -1 -8 ≤ x ≤ 7.
0110 = 6 1110 = –2
0000 = 0 1000 = –8
Extensión de signo: se replica el bit de signo hacia la izquierda.
Ejemplo: extender X = 100110 C2 de 6 a 8 bits 100110
11100110
Extender X = 010011 C2 de 6 a 8 bits 010011
00010011
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Tema 3. Representación de la información numérica en los computadores
3.d. Coma fija con signo: complemento restringido
Definición y cálculo del complemento restringido a la base:
Dado un número N expresado en base r con p bits para la parte entera (p>=1, p
incluye el signo), se define el complemento restringido a la base C r-1 de N (C r-1N)
como:
C r-1N = r p - 1 - N
Como se puede comprobar: C rN = r p - N = r p - 1 - N + 1 = C r-1N + 1
Ejemplos de cálculo del complementario:
Sistema decimal (base 10): C 9 N = 10 n -1 - N
Si n = 2, C 9 (02) = 10 2 - 1- 02 = 100 - 1- 02 = 97
Sistema binario (base 2): C 1 N = 2 n - 1 - N
Si n = 4, C 1 (1010) = 2 4 - 1010 - 0001 = 10000 - 1010 - 0001 = 0101
Para el cálculo del C1 basta con complementar todos los bits del número,
es decir, a cambiar 1s por 0s y 0s por 1s.
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Tema 3. Representación de la información numérica en los computadores
El cálculo del C 1 se puede considerar un paso intermedio para el cálculo del C 2.
Así, para obtener el C 2 de un número podemos realizar estos dos pasos:
1. Calcular el C 1 .
2. Sumar un 1 al dígito menos significativo (o sea, sumar 2 -q al C 1 calculado).
¿C 2(110001)? C 1(110001)=001110
C 2(110001)=001110+000001=001111
Números en coma fija con signo representados en complemento a 1:
Los números en coma fija con signo de n bits (a p-1 a p-2 ... a 1 a 0 a -1 ... a -q ) se
representan en complemento restringido a la base del siguiente modo:
positivos (N): 0 a n-2 ... a 1 a 0 a -1 ... a -q (dígito de signo 0 y n-1 bits de magnitud)
negativos (-N): complemento a la base restringido (C r-1 N) del número positivo N
(en binario el primer dígito es siempre 1).
Rango: caso general [–(2 p-1 - 2 -q ), 2 p-1 - 2 -q ], enteros [–(2 n-1 - 1), 2 n-1 - 1], en ambos
casos con doble representación del cero.
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Tema 3. Representación de la información numérica en los computadores
Un número A se representa en exceso a M igual que se representaría el
número A+M en binario puro.
Ejemplos:
3.e. Coma fija con signo: exceso a M
M es el sesgo (exceso, bias) de la representación.
M suele valer 2 n-1 ó 2 n-1 -1.
Se suele usar sólo para enteros (q=0).
Representar A = 3 utilizando n = 4, q = 0 y M = 2 3 = 8
A = 3 10 = (3+8) E. a 8, base 10 = 11 E. a 8, base 10 = 1011 E. a 8, base 2
Representar B = -4 utilizando n = 4, q = 0 y M = 2 3 = 8
B = -4 10 = (-4+8) E. a 8, base 10 = 4 E. a 8, base 10 = 0100 E. a 8, base 2
Representar C = 53 utilizando n = 8, q = 0 y M = 2 7 -1= 127
C = 53 10 = (53+127) E. a 127, base 10 = 180 E. a 127, base 10 = 10110100 E. a 127, base 2
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Tema 3. Representación de la información numérica en los computadores
Cálculo del valor de un número dado en exceso a M:
Enteros:
A
Caso general:
n-1
=
i=
0
A
i
a ⋅2
−M
Para calcular el valor de un número representado en exceso a M, se procede
como si estuviéramos en un número en binario puro y después se resta M al
resultado.
Rango:
Enteros: [-M, 2 n -1-M] con resolución de 1 unidad.
Caso general: [-M,2 p-1 -2 -q -M] con resolución 2 -q .
Si q = 0 y M = 2 n-1 , el sistema coincide con complemento a 2 pero invirtiendo el
bit de signo.
En ese caso el rango es [- 2 n-1 ,2 n-1 -1]
i
p-1
=
i=
−q
i
a ⋅2
−M
i
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Tema 3. Representación de la información numérica en los computadores
Coma fija con signo: tablas comparativas
Equivalencia entre la representación binario en magnitud y signo,
complemento a 2, complemento a 1 y exceso a 2 n-1 construidas para una
representación de enteros con n=4:
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Tema 3. Representación de la información numérica en los computadores
Definición
Nº Positivos
Nº Negativos
Rango
Cambio de
Signo
Conversión a
base 10
Extensión del
signo
0
Binario Puro
Divisiones
sucesivas
Sin signo
[0, 2 n -1]
Sin signo
= −
=
Sin signo
Único: 0
⋅
Magnitud-Signo
Magnitud Signo
[-(2 n-1 -1), 2 n-1 -1]
Cambiar bit de signo
=
S Magnitud
0 Magnitud
1 Magnitud
−
−
Se copian los bits de
signo y magnitud y los
que faltan ceros
−
=
0000 - 1000
⋅
C2
C 2 N=2 n -N
De dcha a izqda: copiar
hasta el primer 1 y luego
1s por 0s y 0s por 1s
= −
C 2N
[-2 n-1 , 2 n-1 -1]
C 2 N
Se replica el bit de signo
Único:0000
C1
C 1 N=2 n -N-1
1s por 0s y 0s por 1s
0 Magnitud 0 Magnitud
− ⋅
−
+
−
=
⋅
C 1N
[-(2 n-1 -1), 2 n-1 -1]
C 1 N
Se replica el bit de signo
0000 - 1111
Exceso M
(*) M=2 n-1
N ExcesoM = N+M |bp
N ExcesoM = N+M |bp
N ExcesoM = N+M |bp
[-M , 2 n -1-M]
[-2 n-1 , 2 n-1 -1] (*)
No evidente
−
= − − ⊕ − ⋅ = ⋅ −
=
−
=
Representaciones
con nº de dígitos
tienen sesgos
Único: 1000
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Tema 3. Representación de la información numérica en los computadores
5. Bibliografía
C. CERRADA, V. FELIU. Estructura y Tecnología de Computadores I.
U.N.E.D., 1993.
J.M. ANGULO, J.GARCÍA. Sistemas Digitales y Tecnología de Computadores.
Paraninfo, 2002.
P. DE MIGUEL. Fundamentos de los Computadores. 7ª edición. Paraninfo,
1999.
W. STALLINGS. Organización y Arquitectura de Computadores. 5ª edición,
Prentice Hall, 2000.
D.A. PATTERSON, J.L. HENNESSY. Estructura y Diseño de Computadores.
Reverté, 2000.
A. PRIETO, A. LLORIS, J.C. TORRES. Introducción a la Informática. 3ª
edición, McGraw-Hill, 2002.
L. RINCÓN. Representación Digital de la Información en los Computadores.
Apuntes complementarios de la asignatura.
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