Simulación de objetos rígidos - DAC

Simulación de objetos rígidos
Luis Peña Sánchez
Mayo 2008 /TAG3D

Luis Peña Sánchez Simulación de Objetos Rígidos
Índice
1 INTRODUCCIÓN 2
1.1 JUSTIFICACIÓN 2
1.2 DESARROLLO 2
2 FASE AMPLIA DE DETECCIÓN DE COLISIONES 3
2.1 SUBDIVISIÓN ESPACIAL 4
3 FASE CONCRETA DE DETECCIÓN DE COLISIONES 5
3.1 CONSIDERACIONES FÍSICAS 6
3.1.1 TRASLACIÓN 6
3.1.2 ROTACIÓN 6
3.2 REPRESENTACIÓN DE LOS OBJETOS 8
3.3 DETECCIÓN DE COLISIONES 8
3.4 REACCIÓN FRENTE A LAS COLISIONES 9
4 BIBLIOGRAFÍA 10
1

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1 Introducción
1.1 Justificación
En el mercado actual de los sistemas de visualización de 3D, ya sean entornos
de realidad virtual, producciones de video generadas por ordenador o
videojuegos, cada vez tiene mayor importancia la simulación de objetos y sus
interacciones físicas para aumentar el realismo y la inmersión en estos mundos
virtuales.
Debido a la evolución del hardware tanto de CPUs como, principalmente, de
GPUs, esta simulación física se puede ir complicando y mejorando para poder
alcanzar cotas que permitan emplearse modelos complejos de simulación en
entornos en tiempo real. En la actual generación de tarjetas gráficas que
implementan la arquitectura unificada para gráficos, la resolución de estos
problemas se ve mejorada por el alto grado de paralelismos que presentan y el
aprovechamiento de las nuevas características de hardware que se adaptan
perfectamente a estos fines.
En el presente trabajo expondremos algunas técnicas que permiten la
simulación de las interacciones físicas entre objetos rígidos, quedando
pendientes los fluidos que son tratados con técnicas propias.
1.2 Desarrollo
Uno de los principales retos a los que hay que enfrentarse para poder simular
los objetos sólidos en un mundo virtual es la detección de colisiones, es decir,
decidir cuándo deben aplicarse fuerzas entre dos objetos para producir el
efecto deseado, por ejemplo rebotar o deformarse. En este trabajo nos
centraremos en los objetos rígidos, es decir aquellos que no presentarán
deformación debida a la actuación de fuerzas sobre ellos.
Habitualmente la tarea de detectar colisiones consume mucho tiempo ya que
debemos procesar todos los elementos dos a dos para conseguir saber cuando
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dos elementos deben interactuar entre sí. El mecanismo que proponemos en
este trabajo se divide en dos fases: amplia y concreta.
En la primera fase realizaremos una primera búsqueda de grano grande en la
cual sólo pretendemos encontrar que dos objetos pueden (debido a sus
dimensiones) entrar en colisión, con esta fase pretendemos no buscar
interacciones entre dos objetos que, debido a su tamaño y posición en el
espacio, no puedan entrar en colisión. Esta fase no garantiza que los pares de
objetos encontrados estén en colisión, pero asegura que aquellos que no
salgan de esta fase, seguro no están en contacto.
La segunda fase comprobará si entre los pares detectados en la fase anterior
existe o no colisión y, de existir, calculará que fuerza experimentan entre sí y,
en consecuencia que transformación se produce en los momentos de
translación y rotación de estos objetos.
2 Fase amplia de detección de colisiones
Es esta primera fase buscamos aquellos objetos que dos a dos pueden entrar
en colisión, con el fin de construir un conjunto de pares de objetos que entran
en colisión. En general este proceso se puede desarrolla de distintas maneras,
pero es común rodear a cada objeto de una estructura que lo cubra por
completo y hacer esta primera fase de acuerdo a esa estructura de cobertura
que tenemos. En particular para esta fase emplearemos esferas que contengan
al objeto.
Existen varios mecanismos para obtener la colección de pares que antes
hemos dicho, métodos como la fuerza bruta que comprueban dos a dos todos
los objetos o ordenación y barrido (sort and sweep) se pueden emplear, pero
en este trabajo emplearemos el mecanismo de subdivisión espacial ya que
presenta una cualidades muy buena de cara el paralelismo y su posible
explotación en las GPUs.
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2.1 Subdivisión espacial
Este método para la detección de colisión se basa en dividir el espacio donde
se encuentran los objetos por medio de una parrilla uniforme cuyas celdas
sean, como mínimo, del tamaño de la mayor de las esferas que contienen
objetos.
Cada celda contiene una lista de los centroides de los objetos (centros de las
esferas que contiene a los objetos) que están en ella. Para comprobar si
existen colisiones entre dos objetos se procede a comprobar sólo aquellas
celdas que son inmediatamente contiguas entre sí. Así acortamos el espacio de
búsqueda en función del número de celdas que hay y la relación de distancia
entre celdas.
En este caso, un objeto puede ocupar como máximo 2 d celdas, siendo d la
dimensión del espacio que estamos subdividiendo, en general 3. Así pues un
objeto puede ocupar como máximo 8 celdas y su centroide se encontrará sólo
en una de ellas.
A la hora de realizar el test de la siguiente fase, se entenderá que dos objetos
pueden colisionar si se encuentran en la misma celda y, al menos uno, tiene el
centroide en dicha celda.
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Objeto 1 (O1) – Azul
Objeto 2 (O2) – Rojo
Objeto 3 (O3) – Naranja
Objeto 4 (O4) – Morado
Objeto 5 (O5) – Verde
Por ejemplo el objeto O5 (verde) pertenece a las celdas 15 y 20 y su centroide
está en la celda 15, el objeto O3 (naranja) pertenece a las celdas 7,8,12 y 13 y
su centroide en la 13 y el objeto O1 (azul) pertenece a las celdas 1,2,6 y 7, con
centroide en la celda 6. Con estos objetos observamos que no puede existir
colisión puesto que el centroide de estos objetos está en celdas que no
comparte dentro de sus conjuntos de pertenencia. Pero el objeto O2 (rojo) con
centroide en la celda 2 puede colisionar con el objeto O1 ya que comparten
celdas y en una de ellas se encuentra el centroide de uno de ellos.
Así pues, sólo podrá existir colisión entre los objetos O1 y O2 o entre O3 y O4,
pero ninguna otra combinación sería válida.
3 Fase concreta de detección de colisiones
Una vez que hemos encontrado un conjunto de pares de elementos que
pueden estar en colisión debemos calcular si efectivamente están en colisión
que fuerzas ejercen el uno sobre el otro y, en consecuencia, como variarán de
posición en el espacio tras la colisión.

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Para representar el movimiento de un cuerpo rígido debemos tener en cuenta
dos aspectos: traslación y rotación.
La traslación representa el movimiento del centro de masa del objeto a lo largo
de un vector de dirección de movimiento, mientras que la rotación se describe
como el giro del objeto alrededor del centro de masa.
3.1 Consideraciones físicas
3.1.1 Traslación
Desde el punto de vista físico, objetivo final de nuestra simulación, la traslación
entendida como movimiento lineal del centro de masa de un objeto es igual al
de una partícula. Así pues, cuando una fuerza F actúa sobre un cuerpo rígido
(o partícula) causa una variación en el momento lineal P de dicho cuerpo:
dP
= F . Además, tenemos la velocidad del centro de masa v dado la relación
dt
P
entre el momento lineal P y la masa del cuerpo M: = v y, por otro lado la
M
velocidad en la derivada de la posición del centro de masa x respecto al
tiempo:
dx
v =
dt
3.1.2 Rotación
Una fuerza F que actúa sobre un punto, distinto del centro de masa, de un
objeto rígido puede causar un cambio en el momento angular L del objeto. Esta
variación depende de la posición relativa del punto de acción r respecto del
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centro. De hecho a la derivada del momento angular respecto al tiempo (par de
torsión) es igual al producto cruzado de r y F:
dL
dt
= r × F
De la derivada respecto al tiempo de L obtenemos la velocidad angular w del
objeto cuya normal es la velocidad de giro del objeto.
w = I(
t)
1
L
Donde I(t) es el tensor de inercia del objeto, una matriz 3x3 que representa la
resistencia del objeto a girar respecto a los distintos ejes. Esta matriz debe
recalcularse cada vez ya que depende de la orientación del cuerpo en cada
instante. Para calcular la inversa de I(t) emplearemos la matriz R(t), matriz de
rotación que describe la orientación del objeto en el instante t.
1 1 T
I ( t)
= R(
t)
I(
0)
R t)(
Nuestro objetivo final el obtener una matriz de transformación para el giro de
acuerdo al instante de tiempo en el que me encuentre. Para representar este
giro podemos emplear dos notaciones, por un lado una matriz de
transformación (4x4) o una cuaterna de valores q que represente únicamente el
giro. Emplearemos la cuaterna por diversos motivos, entre ellos el de mayor
facilidad de cómputo y el de mejor adecuación a la estructura de las GPUs
La cuaterna q = [ s,
vx
, v y , vz
] representa la rotación s en radianes alrededor del
eje ( v x , v y , vz
) . La variación de la cuaterna dq con la velocidad angular w se
calcula como:
dq =
Donde
cos , a
2
sin
2
w
a = es el eje de rotación y = w dt es el ángulo de rotación. De
w
esta variación obtenemos la cuaterna del instante t+dt:
q t + dt dq ×=
q(t
.
( ) )
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3.2 Representación de los objetos
Con los conceptos físicos sabemos cómo afectan las fuerzas de unos objetos
sobre otros, pero debemos considerar que un objeto es más complejo que una
partícula, para empezar el cálculo del centro de masas no es trivial. Para saber
cómo calcular las colisiones entre dos objetos debemos saber cómo
representarlos.
Para este trabajo se ha estudiado el método de representar los objetos, en vez
de cómo polígonos, cómo partículas ([Bell et al. 2005] y [Tanaka et al. 2006]).
Un cuerpo rígido será representado por un conjunto de partículas que sean
esferas de idéntico tamaño.
Para generar las partículas discretizamos el espacio alrededor de la figura por
medio de una parrilla y comprobamos si existe un voxel (celda 3D de la parrilla)
contiene o no una parte del objeto, por ejemplo por medio de detección de
cruces entre los lado de la celda y la malla poligonal de objeto, si es así
creamos una esfera inscrita dentro de la celda.
3.3 Detección de colisiones
Al representar los objetos como conjuntos de partículas, la detección de
colisiones entre dos cuerpos con una geometría compleja se reduce a
encontrar la colisión entre dos partículas que les pertenezcan. Cuando la
distancia que separa dos partículas es menor que su diámetro existe una
colisión.
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Pero al dividir cada objeto en partículas debería, teóricamente, comprobar si
existe colisiones entre las n posibles partículas. Lo que nos deja una magnitud
de orden O(n 2 ) si empleamos la fuerza bruta, con una n bastante grande este
cálculo es inviable para las GPUs si deseamos una reacción en tiempo real.
Para mejorar esta perspectiva podemos aprovechar el particionado del espacio,
cómo en la fase amplia del algoritmo, y reparticionar el espacio de acuerdo a
una parrilla tridimensional uniforme que contenga las distintas partículas de los
distintos objetos. Con la parrilla formada y almacenando en cada voxel aquellas
partículas que se encuentran en su interior, tenemos que las partículas que
pueden colisionar con la partícula i sólo pueden ser: (1) aquellas que
pertenecen a la misma celda, o (2) aquellas que se encuentren en las 26
celdas inmediatamente adyacentes a la actual, además se pueden establecer
otras restricciones como la de que una celda no puede albergar a más de
cuatro partículas debido a que nos es posible deformar las partículas.
En consecuencia, la efectividad de se mejora del O(n 2 ) al O(n). Empíricamente
se ve que se obtienen mejores resultados si el tamaño del lado del voxel es
igual al diámetro de las partículas. Esta magnitud es abordable por las GPUs
para aplicaciones en tiempo real.
3.4 Reacción frente a las colisiones
Una vez que detectamos una colisión nos queda por calcular que efecto tiene
en las fuerzas que afecten al objeto. Para ello debemos calcular las fuerzas
que afectan a cada partícula de un objeto por separado y luego sumarlas todas
en conjunto para saber la acción final sobre el objeto en conjunto.
Para la colisión entre la partícula i y la partícula j, debemos modelar tres fuerza
que actual sobre ella: (1) la fuerza fi,s que representa la elasticidad lineal del
objeto, (2) la absorción de la fuerza de impacto fi,d y (3) la fuerza de giro
proporcional a la velocidad tangencial de objeto fi,t.
El cálculo de las fuerzas depende de los coeficientes del material y/u objeto
frente a las distintas fuerzas, así como al diámetro y posición relativa de la
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partícula respecto al centro de masa, y dependiente de la velocidad de la
partícula j respecto a la partícula i.
Del cálculo separado de cada colisión de cada partícula de un objeto
obtenemos la fuerza cinética Fc y de torsión que experimenta el objeto Tc.
F
T
c
c
=
=
i,
s
i objeto
i
i objeto
( f + f + f )
( r × ( f + f + f )
i,
s
i,
d
i,
d
4 Bibliografía
i,
t
i,
t
T. Harada. Real-Time Rigid Body Simulatio on GPUs. GPU Gems 3.
2007
S. Le Grand. Broad-Phase Collision Detection with CUDA. GPU Gems 3.
2007
M. Tanaka, M. Sakai, S. Koshizuka. Rigid Body Simulation Using a
Particle Method. ACM SIGGRAPH R. Posters. 2006.
N. Bell, Y. Yu, P.J. Mucha. Patricle-Based Simulation of Granular
Materials. ACM SIGGRAPH. 2005.
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