Suma y resta en coma flotante - DAC - Universidad Rey Juan Carlos

Universidad
Rey Juan Carlos
ESTRUCTURA Y TECNOLOGÍA DE
COMPUTADORES
Circuitos para coma flotante
Luis Rincón Córcoles

Programa
Bibliografía.
1. Introducción.
2. Suma y resta en coma flotante.
3. Producto y división en coma flotante.
4. Instrucciones para coma flotante en ensamblador.
Circuitos para coma flotante
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Bibliografía
Circuitos para coma flotante
D.A. PATTERSON, J.L. HENNESSY. Estructura y Diseño de Computadores.
Reverté, 2000.
J.L. HENNESSY, D.A. PATTERSON. Computer Architecture. Morgan
Kauffman, 2003.
DORMIDO, S. CANTO M.A., MIRA J., DELGADO A.E. Estructura y Tecnología
de Computadores. 2ª edición. Sanz y Torres, 2000.
PARHAMI, B. Computer Arithmetic. Oxford University Press, 2000.
P. DE MIGUEL. Fundamentos de los Computadores. 7ª edición. Paraninfo,
1999.
W. STALLINGS. Organización y Arquitectura de Computadores. 5ª edición,
Prentice Hall, 2000.
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1. Introducción
Circuitos para coma flotante
Los computadores utilizan dos representaciones claramente diferenciadas para
cantidades numéricas:
•Coma fija: para números enteros sin signo o complemento a 2.
•Coma flotante (floating point, FP): para números muy grandes o muy pequeños
o con parte fraccionaria.
Inicialmente cada modelo de computador tenía su propia manera de representar
números en coma flotante.
•Problemas a la hora de asegurar la transportabilidad de los programas y datos.
En 1977 se formó un comité de expertos del IEEE cuyo objetivo era definir un
documento estándar para los futuros desarrollos que utilizaran coma flotante.
•Finalmente en 1985 el comité hizo oficial el estándar IEEE 754.
En 1987 otro comité de expertos del IEEE propuso un estándar para coma
flotante independiente de la base de numeración utilizada: el IEEE 854.
•Este estándar no implica ninguna modificación del IEEE 754.
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Introducción
Circuitos para coma flotante
La coma flotante permite representar los números reales en forma aproximada.
•Es preciso aplicar cuidadosamente técnicas de redondeo.
•En los programas no se debe testear la igualdad de dos números en coma flotante.
El estándar IEEE 754 permite formatos extendidos para aumentar la precisión:
•Simple extendido: mayor precisión que el formato simple y menor que el formato doble.
•Doble extendido: mayor precisión que el formato doble.
•Trabajar con estos formatos facilita el redondeo.
Dado que la realización de operaciones con datos en coma flotante es compleja,
los computadores cuentan con circuitos específicos dedicados a ello.
•Los computadores de potencia baja trabajaban en coma flotante mediante software.
•Con el microprocesador 8086 de Intel surgieron los coprocesadores de coma flotante:
chips específicos que, trabajando en paralelo con los microprocesadores, realizaban las
operaciones de coma flotante (8087 y sucesivos).
•Con los avances en tecnología de integración de circuitos, hace años que los
coprocesadores de coma flotante se integran en el chip del microprocesador.
Hay circuitos de coma flotante para operaciones de suma, resta, producto,
división, raíz cuadrada, logaritmos, exponenciales, funciones trigonométricas, etc.
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2. Suma y resta en coma flotante
Lo primero es desempaquetar los operandos (dividirlos en campos).
Circuitos para coma flotante
Después hay que igualar los exponentes de los dos operandos.
•Se calcula k =⏐Exp A – Exp B ⏐ y se desplaza la mantisa de menor exponente k lugares
hacia la derecha.
A continuación, se suman o se restan las mantisas M A y M B.
•La mantisa resultante M R puede no estar normalizada.
•El exponente resultante Exp R es el mayor de los dos operandos fuente.
Después se normaliza M R y se modifica Exp R si es preciso (postnormalización).
Se comprueba que el exponente resultante está en el rango permitido.
•Si ExpR Expmax ± infinito: poner valor especial y empaquetar.
•En ambos casos podría generarse una excepción.
Se redondea la mantisa M R (en este punto M R se puede desnormalizar).
•Si M R se desnormaliza, hay que volver al paso de postnormalización.
•Si M R sigue normalizada, empaquetar el resultado (unir los campos) y salir.
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Suma y resta en coma flotante
En la etapa de inicio hay que
desempaquetar los operandos
originales.
En la etapa final hay que
empaquetar el resultado,
respetando los anchos
especificados por el estándar y
eliminando la parte entera de la
mantisa.
No
Inicio
Alinear las mantisas
Sumar/restar las
mantisas
Normalizar la mantisa
resultante
¿Exponente mayor
que el máximo?
No
¿Exponente menor
que el mínimo?
No
Redondear la
mantisa resultante
¿Todavía está
normalizada?
Sí
Fin
Sí
Sí
Circuitos para coma flotante
Representar número en
forma desnormalizada
Infinito positivo
o negativo
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Suma y resta en coma flotante
Sign Exponent Significand Sign Exponent Significand
Small ALU
Exponent
difference
0 1 0 1
Control
0 1
Increment or
decrement
Shift right
Big ALU
Shift left or right
Rounding hardware
0 1
Sign Exponent Significand
0 1
Compare
exponents
Shift smaller
number right
Add
Normalize
Round
Circuitos para coma flotante
En función del signo
de las mantisas de los
operandos y del tipo de
operación, el circuito de
control seleccionará la
UAL grande para
realizar una suma o
una resta.
La UAL pequeña
simplemente resta los
exponentes para
calcular la longitud del
desplazamiento que
hay que aplicar a la
mantisa del número con
menor módulo.
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Suma y resta en coma flotante
Circuitos para coma flotante
Al desempaquetar operandos normalizados es preciso incluir el bit implícito
como parte entera de la mantisa, que no estaba almacenado en el dato original.
•Como M R ∈ (-4,4), usaremos dos bits para el módulo de la parte entera de las mantisas
fuente (que tendrán la forma: s01’...) y para la mantisa resultado.
Dado que el resultado de la operación puede estar desnormalizado, el paso de
postnormalización exige un circuito complejo.
•El incrementador / decrementador para postnormalizar será un sumador / restador.
La UAL grande tendrá que generar resultados de al menos 1+2+m+t bits:
•El primer bit sería el de signo.
•Los dos siguientes serían para la parte entera de la mantisa.
•Los m siguientes serían para el ancho almacenable de la parte entera de la mantisa.
•Los últimos t bits serían para redondear.
La UAL pequeña admitiría operandos de n+1 bits (n: ancho del exponente).
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3. Producto en coma flotante
expa
A = m ⋅2
+
B = m
a
b
⋅2
exp
b
R
= A ⋅B
=
expa
expB
( m ⋅m
) ⋅2
Lo primero es desempaquetar los operandos (dividirlos en campos).
a
b
Circuitos para coma flotante
Después se pueden realizar las dos operaciones siguientes en paralelo:
•Sumar los exponentes Exp A y Exp B para obtener Exp R .
•Multiplicar las mantisas M A y M B para obtener M R .
Después se normaliza M R ajustando Exp R si es preciso.
Se comprueba que el exponente resultante está en el rango permitido.
•Si ExpR Expmax ± infinito: empaquetar y salir.
•En ambos casos podría generarse una excepción.
Se redondea la mantisa M R.
•Si M R se desnormaliza, hay que volver al paso de normalización.
•Si M R sigue normalizada, empaquetar el resultado y salir.
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División en coma flotante
expa
A =
ma
⋅2
A ma
expa
−
B = m
b
⋅2
exp
b
Lo primero es desempaquetar los operandos (dividirlos en campos).
Circuitos para coma flotante
Después se pueden realizar las dos operaciones siguientes en paralelo:
•Restar los exponentes Exp A y Exp B para obtener Exp R .
•Dividir las mantisas M A y M B para obtener M R .
Después se normaliza M R ajustando Exp R si es preciso (postnormalización).
Se comprueba que el exponente resultante está en el rango permitido.
•Si ExpR Expmax ± infinito: empaquetar y salir (¿producir excepción?).
Se redondea la mantisa M R.
•Si M R se desnormaliza, hay que volver al paso de normalización.
•Si M R sigue normalizada, empaquetar el resultado y salir.
R
=
B
=
m
b
⋅2
exp
B
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Producto y división en coma flotante
En la etapa de inicio hay que
desempaquetar los operandos
originales.
Habitualmente se trabaja con
mantisas normalizadas, para lo
cual es necesario:
•Normalizar los operandos que
estén desnormalizados.
•Contar con un bit más para
ampliar el rango del
exponente.
En la etapa final hay que
empaquetar el resultado,
respetando los anchos
especificados por el estándar y
eliminando la parte entera de la
mantisa.
No
Inicio
Sumar/restar los
exponentes
Multiplicar/dividir las
mantisas
Normalizar la mantisa
resultante
¿Exponente mayor
que el máximo?
No
¿Exponente menor
que el mínimo?
No
Redondear la
mantisa resultante
¿Todavía está
normalizada?
Sí
Fin
Sí
Sí
Circuitos para coma flotante
Representar número en
forma desnormalizada
Infinito positivo
o negativo
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Producto y división en coma flotante
Circuitos para coma flotante
Las dos operaciones son similares, con lo cual gran parte del circuito para
ambas puede ser común:
•Un sumador / restador para los exponentes como la UAL pequeña del
circuito de suma / resta (sumador para el producto, restador para la división).
•Un multiplicador en coma fija que admita operandos fuente de m+1 bits (m:
ancho de la mantisa almacenada).
•Un divisor en coma fija que admita operandos de m+1 bits.
Si las mantisas están normalizadas se facilita la postnormalización, ya que:
•El módulo de la mantisa producto estará en el rango [1,4).
•El módulo de la mantisa cociente estará en el rango [1/2,2).
Por tanto, puede ser conveniente normalizar previamente las mantisas fuente
que estén desnormalizadas:
•A la hora de operar, se añadiría un bit a la representación interna del
exponente.
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MIPS
Circuitos para coma flotante
4. Instrucciones ensamblador para coma flotante
Tiene instrucciones de coma flotante, ejecutadas por el coprocesador 1 (que se
encuentra dentro del microprocesador).
Los nemotécnicos son similares a las operaciones con enteros con signo, pero
con un sufijo indicativo de la precisión de los operandos:
•Precisión simple: .s
•Precisión doble: .d
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