Ecuación hiperbólica de transmisión del calor para el estudio de la ...

E. J. Berjano, J. A. López Molina, M. J. Rivera, M. Trujillo
donde A(s) = s + λ s2 y M1(s) y M2(s) son funciones que verifican las condiciones de
contorno (8)
√
∞ A(s) u e
+ λ
1 u3 1
M1(s) =
2
1
du
A(s) s
M2(s) = − e2 √ A(s)
2
1 mA(s) − 3 A(s) + 3
+ λ
A(s) s mA(s) + 3 ∞ e
A(s) + 3
−√A(s) u
u3 du.
Introduciendo el valor de estas funciones en (9), la temperatura adimensional será la
transformada inversa de Laplace
V (ρ, ξ) : = L −1
1 1
s
+ λ
2 ρ s √
A(s) ρ ∞
e
e
A(s) ρ
−√A(s) u
u3 du + e−√A(s) ρ
A(s)
√
ρ A(s) u e
×
u3 du − e 2 √ A(s) mA(s) − 3A(s) + 3
mA(s) + 3 ∞ e
A(s) + 3
−√A(s) u
u3
du
1
= L −1 [F1] + L −1 [F2] − L −1 [F3]. (10)
Así, tenemos que calcular la transformada inversa de F1, F2 y F3. En primer lugar
L −1 [F1] = L −1
√
A(s)ρ e
2ρ ∞
1
e
+ λ
A(s) s ρ
−√A(s)u u3
du
∞
= L −1
√
A(s)(ρ−u)
1 e
+ λL
s A(s)
−1
√
A(s)(ρ−u) e
du
=
A(s) 2ρu3 ρ
y por el teorema de traslación de las transformadas de Laplace y la fórmula (36) de la
sección 5.6 del capítulo 5 de [2]
∞
= H
ρ
ξ − √
ξ
− 1
λ(u − ρ) λe 2λ I0 ξ2 − λ(u − ρ) 2
2λ
ξ
v
− 1
+ √ e 2 λ I0 v2 − λ(u − ρ) 2 dv
λ(u−ρ) 2λ
du
2 √ =
λ ρu3 ρ+ √λ
ξ
ξ
− 1
= λe 2λ I0 ξ2 − λ(u − ρ) 2
ρ
2λ
ξ
v
− 1
+ e 2 λ I0 v2 − λ(u − ρ) 2 dv
2λ
du
2 √ . (11)
λ ρu3 √ λ(u−ρ)
Procediendo de forma análoga al cálculo de la inversa de F1 obtenemos
L −1 ρ
[F2] = H ξ −
1
√
λ(ρ − u)
ξ
− 1
λ e 2 λ I0 ξ2 − λ(ρ − u) 2
2λ
ξ
v
− 1 du
+ e 2λ I0 v2 − λ(ρ − u) 2 dv
2λ
2 √ =
λ ρ u3 √ λ(ρ−u)
4
1
1