Politopos

Métodos Matemáticos de Especialidad
Ingeniería Eléctrica
Programación Lineal
Presentación, definiciones y teoría básica
2
Clase_progli_2_06.pdf
José Luis de la Fuente O’Connor
jl.delafuente@iberdrola.es
jldelafuente@etsii.upm.es
Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales
Universidad Politécnica de Madrid
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◭◭
◮◮
Ant.

Índice
• Formulación
• Definiciones
• Formas de programas lineales
• Historia
• Ejemplos de programas lineales
• Consideraciones geométricas
• Politopos
• Puntos extremos y soluciones básicas factibles
– Teorema fundamental de la programación lineal
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◭◭
◮◮
Ant.

Politopos
Definición 1 Llamaremos hiperplano H de vector característico a ∈
R n , a = 0, al conjunto H = {x ∈ R n : a T x = c}, con c ∈ R.
– Un hiperplano es el conjunto de soluciones de una ecuación lineal
en R n .
Definición 2 Un hiperplano en R n es una variedad lineal (n − 1)dimensional.
3/43
◭◭
◮◮
Ant.

Definición 3 Dado un hiperplano H, a T x = c, llamaremos semiespacios
cerrados de borde H a los conjuntos
H+ = x ∈ R n : a T x ≥ c
y
H− = x ∈ R n : a T x ≤ c ,
y semiespacios abiertos de borde H a
y
◦
H+ = x ∈ R n : a T x > c
◦
H− = x ∈ R n : a T x < c .
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◭◭
◮◮
Ant.

– En la figura se representa el hiperplano −x1 + 4x2 = 11, su vector
característico a = [−1, 4] T y los semiespacios H+ y H−.
a
H
– Los semiespacios de borde H son convexos; la unión de H+ y H−
es el espacio R n .
a
¯x
y
H+
H−
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◭◭
◮◮
Ant.

Definición 4 Un politopo es un conjunto formado por la intersección de un
número finito de semiespacios cerrados.
Definición 5 Un politopo cónico es un conjunto formado por la intersección
de un número finito de semiespacios cerrados que pasan por un punto
determinado.
Definición 6 Un poliedro es un politopo acotado y no vacío.
– Es fácil comprobar que la intersección de conjuntos convexos es
convexa y que por lo tanto los politopos y los poliedros son conjuntos
convexos.
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◭◭
◮◮
Ant.

– El conjunto de soluciones —(región factible)— de un programa lineal,
P = {x ∈ R n : Ax = b, x ≥ 0}, es un politopo convexo.
• En efecto, la ecuación
a1x1 + a2x2 + · · · + anxn = b1
es equivalente al sistema de desigualdades
a1x1 + a2x2 + · · · + anxn ≤ b1
a1x1 + a2x2 + · · · + anxn ≥ b1,
es decir, resulta de la intersección de estos dos semiespacios
cerrados, por lo que P es un politopo.
• Que es convexo lo demuestra el teorema que demostraba que el
conjunto de soluciones de un programa lineal es un conjunto
convexo.
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◭◭
◮◮
Ant.

Definición 7 El conjunto intersección de todos los conjuntos convexos que
contienen a un subconjunto S ⊂ R n se llama envoltura convexa de S y se
designa por Co(S).
Definición 8 Se denomina hiperplano soporte de un conjunto convexo C a
un hiperplano H tal que H ∩ C = ∅ y C ⊆ H+ o C ⊆ H−.
• Es decir, a un hiperplano que contiene al conjunto C en uno de sus semiespacios
cerrados de borde H y algún punto frontera de C.
Definición 9 Si P es un politopo convexo y H cualquier hiperplano separador
de P , la intersección F = P ∩ H define una cara de P .
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◭◭
◮◮
Ant.

– Existen tres tipos especiales de caras.
Definición 10 Un vértice, una arista y una faceta son caras de un politopo
convexo n-dimensional de dimensiones cero, uno y n−1, respectivamente.
– En un politopo convexo:
• Vértices son sus puntos extremos.
• Las aristas son segmentos de recta que unen dos puntos extremos
adyacentes, o rectas semiinfinitas que parten de un punto extremo.
• Si P = {x ∈ R n : Ax = b, x ≥ 0}, cualquier faceta de P
corresponde a su intersección con cada uno de los semiespacios
que definen las desigualdades
y
a T
1 x ≤ b1, . . . , a T
mx ≤ bm
x1 ≥ 0, . . . , xn ≥ 0.
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◮◮
Ant.

Índice
• Formulación
• Definiciones
• Formas de programas lineales
• Historia
• Ejemplos de programas lineales
• Consideraciones geométricas
• Politopos
• Puntos extremos y soluciones básicas factibles
– Teorema fundamental de la programación lineal
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◮◮
Ant.

Puntos extremos y soluciones
básicas factibles
– Consideraremos en los sucesivo el programa lineal en forma estándar,
Ax = b
x ≥ 0,
donde x ∈ R n , b ∈ R m y A ∈ R m×n (n > m).
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◭◭
◮◮
Ant.

– Si Ax = b es compatible —rango(A) = m—:
De las n columnas de la matriz A se pueden elegir m columnas
linealmente independientes que formen una base del espacio
vectorial que generan los vectores columna de A –subespacio
Im(A)–.
– Supongamos que esas m columnas son las m primeras y designemos
por B la submatriz m × m de A que forman.
• Como B es regular, la ecuación
se puede resolver de forma única.
BxB = b,
– El vector x T = [x T B, 0 T ], que resulta de considerar, así mismo, los m
primeros componentes de x, proporciona una de las soluciones de la
ecuación Ax = b.
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◭◭
◮◮
Ant.

Definición 11 Sea B cualquier submatriz no singular m × m resultante de
agrupar m columnas linealmente independientes de A.
• Si todos los n−m componentes del vector x no asociados a las columnas
de B, a los que se denominarán variables no básicas, se hacen cero y
se resuelve la ecuación Ax = b en los m restantes componentes, denominados
variables básicas, la solución resultante de denomina solución
básica asociada a la matriz básica, o base, B.
• Las n − m columnas de A que no forman parte de B se las agrupa en
una matriz m × (n − m) denominada matriz no básica N (asociada
a las variables no básicas); en correspondencia, las variables no básicas
forman xN.
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◭◭
◮◮
Ant.

– Si las m primeras columnas de la matriz A son linealmente
independientes, el sistema Ax = b puede convertirse a la forma
canónica:
x1 + a ′ 1 m+1xm+1 + a ′ 1 m+2xm+2 + · · · + a ′ 1 nxn = b ′ 1
x2 + a ′ 2 m+1xm+1 + a ′ 2 m+2xm+2 + · · · + a ′ 2 nxn = b ′ 2
.
.
xm + a ′ m m+1xm+1 + a ′ m m+2xm+2 + · · · + a ′ m nxn = b ′ m.
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◭◭
◮◮
Ant.

Ejemplo
– Consideremos el poliedro de la figura,
definido por
x2
0
3
3
3
x1 + x2 ≤ 6
x2 ≤ 3
x1, x2 ≥ 0.
6
0
x1
15/43
◭◭
◮◮
Ant.

– Si añadimos las variables de holgura x3 y x4 a la primera y segunda
desigualdad, respectivamente, resulta:
x1 + x2 + x3 = 6
x2 + x4 = 3
x1, x2, x3, x4 ≥ 0.
– La matriz de los coeficientes de las condiciones, A, es
1 1 1 0
A = [a1, a2, a3, a4] =
.
0 1 0 1
16/43
◭◭
◮◮
Ant.

– Las posibles matrices B que se pueden extraer de A y sus
correspondientes soluciones básicas son las de la tabla.
B = [a1, a2] =
B = [a1, a4] =
B = [a2, a3] =
B = [a2, a4] =
B = [a3, a4] =
1 1
0 1
1 0
0 1
1 1
1 0
1 0
1 1
1 0
0 1
xB =
x1
x2
x3
xN =
x4
x1
xB =
x4
x2
xN =
x3
x2
xB =
x3
x1
xN =
x4
x2
xB =
x4
x1
xN =
x3
x3
xB =
x4
x1
xN =
x2
= B −1
1 −1 6 3
b =
=
0 1 3 3
0
=
0
= B −1
1 0 6 6
b =
=
0 1 3 3
0
=
0
= B −1
0 1 6 3
b =
=
1 −1 3 3
0
=
0
= B −1
1 0 6 6
b =
=
−1 1 3 −3
0
=
0
= B −1
1 0 6 6
b =
=
0 1 3 3
0
=
0
17/43
◭◭
◮◮
Ant.

– La cuarta de estas soluciones no nos vale por ser uno de sus
componentes menor que cero; es no factible.
– Las soluciones básicas factibles son pues
⎡ ⎤
3
⎡ ⎤
6
⎡ ⎤
0
⎡ ⎤
0
⎢ 3 ⎥
x1 = ⎣
0
⎦ ,
⎢ 0 ⎥
x2 = ⎣
0
⎦ ,
⎢ 3 ⎥
x3 = ⎣
3
⎦ y
⎢ 0 ⎥
x4 = ⎣
6
⎦ .
0
3
0
3
• Obsérvese que estos puntos determinan en sus dos primeros
componentes los puntos extremos de la figura anterior.
✉
18/43
◭◭
◮◮
Ant.

Definición 12 Si una o más de las variables básicas de una solución básica
de
Ax = b
x ≥ 0,
(1)
es cero, la solución se denomina básica degenerada.
Definición 13 Una solución básica de (1) en la que todos sus componentes
son no negativos se denomina solución básica factible; si algún componente
es cero, la solución se dice básica factible degenerada.
Teorema 1 Equivalencia entre puntos extremos y soluciones básicas Sean
A ∈ R m×n una matriz de rango m y b ∈ R m .
Sea el politopo convexo
P = {x ∈ R n : Ax = b, x ≥ 0} .
Un vector x ∈ P es un punto extremo de P si y sólo si los vectores columna
de la matriz A asociados a los componentes positivos de x son linealmente
independientes.
19/43
◭◭
◮◮
Ant.

Corolario 1 Un punto
x ∈ P = {x ∈ R n : Ax = b, x ≥ 0}
es un punto extremo de P si y sólo si x es una solución básica factible de
asociada a una base B.
Ax = b
x ≥ 0
Corolario 2 Un vector x es un punto extremo de P = {x ∈ R n : Ax =
b, x ≥ 0} si y sólo si x resulta de la intersección de n hiperplanos linealmente
independientes.
Corolario 3 Un politopo P = {x ∈ R n : Ax = b, x ≥ 0} tiene un
número finito de puntos extremos.
◮ DEMOSTRACIÓN Escoger m columnas linealmente independientes de n de A es
n n!
C(n, m) = =
m m!(n − m)! .
20/43
◭◭
◮◮
Ant.

Ejemplo
– Consideremos el poliedro representado en la figura definido por:
x2
0
3
x1 + x2 ≤ 6
x2 ≤ 3
x1 + 2x2 ≤ 9
x1, x2 ≥ 0.
3
3
6
0
x1
21/43
◭◭
◮◮
Ant.

– Si añadimos las variables de holgura x3, x4 y x5 a la primera, segunda y
tercera desigualdad, respectivamente, resulta
x1 + x2 + x3 = 6
x2 + x4 = 3
x1 + 2x2 + x5 = 9
x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0.
Obsérvese, como se representa en la figura, que la desigualdad
x1 + 2x2 ≤ 9 es redundante.
– La matriz de los coeficientes de las condiciones, A, es
⎡
⎤
1 1 1 0 0
A = [a1, a2, a3, a4, a5] = ⎣ 0 1 0 1 0 ⎦ .
1 2 0 0 1
22/43
◭◭
◮◮
Ant.

– Estudiemos la solución básica que se obtiene a partir de
B = [a1, a2, a3]:
xB =
⎡
⎣
x1
x2
x3
x4
xN =
x5
⎤
⎡
⎦ = B −1 b = ⎣
=
0
0
.
1 1 1
0 1 0
1 2 0
⎤−1
⎡
⎦
⎣
6
3
9
⎤
⎡
⎦ = ⎣
0 −2 1
0 1 0
1 1 −1
Es degenerada, pues su tercer componente es cero.
⎤ ⎡
⎦ ⎣
6
3
9
⎤
⎡
⎦ = ⎣
– Analicemos ahora la solución básica que se obtiene a partir de
considerar B = [a1, a2, a4]:
xB =
⎡
⎣
x1
x2
x4
x3
xN =
x5
⎤
⎡
⎦ = B −1 b = ⎣
=
0
0
.
1 1 0
0 1 1
1 2 0
⎤−1
⎡
⎦
⎣
6
3
9
⎤
⎡
⎦ = ⎣
2 0 −1
−1 0 1
1 1 −1
⎤ ⎡
⎦ ⎣
6
3
9
⎤
⎡
⎦ = ⎣
Como se puede ver es la misma solución que obteníamos antes.
3
3
0
3
3
0
⎤
⎦ ,
⎤
⎦ ,
23/43
◭◭
◮◮
Ant.

– Si consideráramos B = [a1, a2, a5] llegaríamos también a la misma
solución básica degenerada:
[x1 x2 x3 x4 x5] T = [3 3 0 0 0] T
✉
24/43
◭◭
◮◮
Ant.

– Cuando A no tiene rango completo, P puede ser el conjunto vacío o
alguna de las condiciones es redundante. En lo sucesivo
supondremos que A ∈ R m×n tiene m vectores fila/columna
linealmente independientes.
– La correspondencia entre soluciones básicas factibles y puntos
extremos no es en general biunívoca: A cada solución básica factible
le corresponde un único punto extremo en P , pero puede que a cada
punto extremo de P le corresponda más de una solución básica factible.
– Un problema de programación lineal se denomina no degenerado si
todas sus soluciones básicas factibles son no degeneradas.
• La correspondencia entre puntos extremos y soluciones
básicas factibles sí es biunívoca en este caso.
25/43
◭◭
◮◮
Ant.

– Dos soluciones básicas factibles del politopo
P = {x ∈ R n : Ax = b, x ≥ 0}
se dicen adyacentes si m − 1 de sus componentes son comunes.
• Dos soluciones adyacentes o puntos extremos están unidos
por una arista.
• Suponiendo no degeneración, cualquiera variable básica (y su
correspondiente punto extremo) tiene exactamente n − m
adyacentes.
26/43
◭◭
◮◮
Ant.

Puntos extremos; direcciones extremas
– Si un politopo P es un poliedro, cualquier punto se puede expresar
como combinación convexa de los puntos extremos.
– Si P no está acotado hay que recurrir a las direcciones:
Definición 14 Una dirección del politopo P = {x ∈ R n : Ax = b, x ≥
0} es un vector no nulo, d ∈ R n , tal que para todo x0 ∈ P el rayo {x ∈
R n : x = x0 + λd, λ ≥ 0} pertenece a P .
Definición 15 Una dirección d de un politopo P se dice extrema si no
puede ponerse como combinación lineal no negativa de dos direcciones diferentes
de P .
• Es decir, no existen dos direcciones d1 y d2 en P , d1 = d2, y unos
α1, α2 > 0, tales que d = α1d1 + α2d2.
27/43
◭◭
◮◮
Ant.

Teorema 2 Sea el politopo P = {x ∈ R n : Ax = b, x ≥ 0}. Un vector
no nulo d es una dirección de P si y sólo si d ∈ D = {d : Ad = 0, d ≥
0}.
• De igual forma: d es una dirección del politopo
P = {x ∈ R n : Ax ≥ b, x ≥ 0} si y sólo si Ad ≥ 0, d = 0 y d ≥ 0.
• Y de P = {x ∈ R n : Ax ≤ b, x ≥ 0} si y sólo si Ad ≤ 0, d = 0 y
d ≥ 0.
28/43
◭◭
◮◮
Ant.

Ejemplo
– Consideremos el politopo
P = {[x1, x2] T : x1 − 2x2 ≥ −6, x1 − x2 ≥ −2, x1 ≥ 0, x2 ≥ 1} de la
figura.
0
2
0
1
x2
2
4
x0
P
Margen de direcciones d
x1
29/43
◭◭
◮◮
Ant.

– Un vector no nulo d = [d1, d2] T es una dirección de P si y sólo si se
cumple que
d1 − 2d2 ≥ 0
d1 − d2 ≥ 0
d1 ≥ 0
d2 ≥ 0.
• Dado que d1 y d2 son no negativos, las dos primeras desigualdades
equivalen a d1 ≥ 2d2 y d1 ≥ d2.
En resumen, d es una dirección de P si y sólo si [d1, d2] = [0, 0],
d1 ≥ 0, d2 ≥ 0 y d1 ≥ 2d2.
Los vectores que cumplen estas condiciones se representan en
la figura anterior.
✉
30/43
◭◭
◮◮
Ant.

– Los puntos y direcciones extremos son esenciales para saber las
condiciones en que se obtiene el óptimo de un problema.
Teorema 3 Teorema de la representación Todo punto del politopo P =
{x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0} se puede expresar de la forma
x =
λivi + d,
donde {vi : i ∈ I} es el conjunto de puntos extremos de P ,
i∈I
λi ≥ 0, y d, o es una dirección de P , o d = 0.
i∈I λi = 1,
Corolario 4 Si el politopo P = {x ∈ R n : Ax = b, x ≥ 0} es no vacío,
tiene al menos un punto extremo.
Corolario 5 Si el politopo P = {x ∈ R n : Ax = b, x ≥ 0} es cerrado
y acotado (es un poliedro), todo punto x ∈ P se puede expresar como
combinación convexa de sus puntos extremos.
31/43
◭◭
◮◮
Ant.

Ejemplo 1
x3
x2
y
d1
x1
d1
– El politopo no acotado P tiene tres puntos extremos, x1, x2 y x3, y dos
direcciones extremas, d1 y d2.
– El punto ¯x se puede expresar se la siguiente manera
¯x
d2
P
¯x = y + λd1
para algún λ > 0. Es decir, ¯x está en la trayectoria del rayo que parte de
y en la dirección d1.
32/43
◭◭
◮◮
Ant.

– Al estar y en la recta que une x1 y x2, también se puede expresar
como combinación convexa de x1 y x2. Es decir,
para algún α ∈ (0, 1).
y = αx1 + (1 − α)x2
• Sustituyendo esta última expresión de y en la de ¯x se tiene que
¯x = αx1 + (1 − α)x2 + λd1, α ∈ (0, 1), λ > 0.
De forma más completa,
¯x = αx1 + (1 − α)x2 + 0x3 + λd1 + 0d2, α ∈ (0, 1), λ > 0.
– En resumen, ¯x se puede expresar como suma de una combinación
convexa de los puntos extremos x1, x2 y x3 y una no negativa de la
direcciones extremas d1 y d2.
• Esta representación no es única pues bastaría, por ejemplo,
encontrar otro punto de la recta que une x1 y x2 desde el que, en la
dirección d2, se pudiese trazar un rayo que pasase por ¯x.
✉
33/43
◭◭
◮◮
Ant.

Ejemplo 2
x2
x3
y
x
– Este poliedro resulta de la intersección de 5 semiespacios cerrados.
Cualquier punto, por ejemplo x, se puede representar como
combinación convexa de algunos (o todos) de los 5 puntos extremos del
mismo.
x4
x1
x5
34/43
◭◭
◮◮
Ant.

– En efecto,
x = λy + (1 − λ)x4, donde 0 < λ < 1.
– El punto y también se puede representar como combinación convexa de
x1 y x2. Es decir,
y = µx1 + (1 − µ)x2,
donde 0 < µ < 1.
– Sustituyendo,
x = λµx1 + λ(1 − µ)x2 + (1 − λ)x4.
Como λ ∈ (0, 1) y µ también, λµ, λ(1 − µ) y (1 − λ) pertenecen a (0, 1);
también se cumple que λµ + λ(1 − µ) + (1 − λ) = 1.
– x se ha representado mediante una combinación convexa de los puntos
extremos x1, x2 y x4.
35/43
◭◭
◮◮
Ant.

Ejemplo 3
– Consideremos el politopo
x2
x2=
4/3
x1=
2
−3x1 + x2 ≤ −2
−x1 + x2 ≤ 2
−x1 + 2x2 ≤ 8
− x2 ≤ −2.
2
4
d2=
1
d1=
0
4
x3=
6
2
1
x=
4
3
P
x1
36/43
◭◭
◮◮
Ant.

– Sus puntos extremos y direcciones extremas son:
4/3
x1 = ,
2
2
x2 =
4
y x3 =
y
d1 =
1
0
, y d2 =
2
1
.
4
6
– El punto x = [4, 3] T se puede expresar de la siguiente manera:
4 4/3 2 4 1 2
= λ1 + λ2 + λ3 + µ1 + µ2
3 2 4 6 0 1
donde λ1 = λ2 = 1
2 , λ3 = 0, µ1 = 7
3 y µ2 = 0.
– Esta expresión no es única ya que haciendo λ1 = 3
4 ,
µ1 = 2 y µ2 = 0 se obtiene otra expresión de x como combinación de
x1, x2, x3, d1 y d2.
;
,
4 , λ2 = 0, λ3 = 1
✉
37/43
◭◭
◮◮
Ant.

Teorema fundamental de la programación
lineal
Teorema 4 Dado un politopo P = {x ∈ R n : Ax = b, x ≥ 0} no vacío,
el valor mínimo de c T x, para x ∈ P , se alcanza en un punto extremo de P
(solución básica factible óptima), o c T x no está acotada inferiormente en P .
• Este teorema no excluye la posibilidad de que la solución óptima de
un programa lineal no se de en un punto extremo.
• Simplemente pone de manifiesto que, de entre todas las
soluciones óptimas de un programa lineal, al menos una es un punto
extremo del politopo de soluciones factibles.
38/43
◭◭
◮◮
Ant.

Ejemplo
– Consideremos el politopo
−x1 + x2 ≤ 2
−x1 + 2x2 ≤ 6
x1, x2 ≥ 0.
x2
x1
x2
c=
– Supongamos que se quiere minimizar primero la función x1 − 3x2.
1
−3
x3
d2
d1
(a)
P
x1
x2
x2
c=
4
−1
39/43
x3
◭◭
◮◮
Ant.
d
d

– Sus puntos extremos y direcciones extremas son:
0
x1 = ,
0
0
x2 =
2
y x3 =
y
1
d1 =
0
y
2
d2 = .
1
– Se tiene que:
y
c T
0
x1 = [1, −3]
0
c T
0
x2 = [1, −3]
2
c T
2
x3 = [1, −3]
4
c T
1
d1 = [1, −3]
0
c T
2
d2 = [1, −3]
1
= 0;
= −6;
= −10;
= 1
= −1.
2
4
;
40/43
◭◭
◮◮
Ant.

– El problema es equivalente a
min. 0λ1 − 6λ2 − 10λ3 + µ1 − µ2
s. a λ1 + λ2 + λ3 = 1
λ1, λ2, λ3, µ1, µ2 ≥ 0.
• Como c T d2 = −1 < 0 y µ2 se puede hacer todo lo grande que
queramos sin violar ninguna condición, el óptimo no está acotado.
La condición necesaria y suficiente de existencia de solución
no acotada es que c T d < 0.
x2
x1
x2
c=
1
−3
x3
d2
d1
(a)
P
x1
x2
x2
c=
4
−1
x3
d2
d1
P
(b)
x1
41/43
◭◭
◮◮
Ant.

– Consideremos como nueva función objetivo 4x1 − x2.
– En la figura se representa el óptimo de este problema: x2 = [0, 2] T .
– En este caso:
y
c T
0
x1 = [4, −1] = 0;
0
c T
0
x2 = [4, −1] = −2;
2
c T
2
x3 = [4, −1] = 4;
4
c T
1
d1 = [4, −1] = 4
0
c T d2 = [4, −1]
2
1
= 7.
42/43
◭◭
◮◮
Ant.

– El problema es equivalente a
min. 0λ1 − 2λ2 + 4λ3 + 4µ1 + 7µ2
s. a λ1 + λ2 + λ3 = 1
λ1, λ2, λ3, µ1, µ2 ≥ 0.
• Como los coeficientes de µ1 y de µ2 en la función objetivo son
positivos, se puede hacer µ1 = µ2 = 0.
• Para minimizar −2λ2 + 4λ3 sujeta a λ1 + λ2 + λ3 = 1, con
λ1, λ2, λ3 ≥ 0, se hace λ2 = 1 y λ1 = λ3 = 0, lo que corrobora que el
óptimo se alcanza en el punto extremo x2 = [0, 2] T .
43/43
◭◭
◮◮
Ant.