Cuestiones

Álgebra I
Febrero de 2008
Nombre: Número de
1 er Apellido: Matrícula
2 o Apellido:
NOTA
Cuestiones 1, 2 y 3 (3 puntos). Respóndase exclusivamente en los espacios dejados al efecto en
esta hoja.
1. a) Calcular razonadamente la suma de las soluciones de la ecuación
Respuesta:
(z − i) 12 = 1.
2kπ
i 2kπ
z − i = e 12 i , es decir, z = i + e 12 para k = 0, 1, . . . , 11. Como las raíces duodécimas de
1 suman 0, la suma de los 12 valores anteriores vale 12i.
b) Escribir, en forma binómica, aquellas raíces de la ecuación anterior que satisfagan además
la ecuación
|z − 1| 2 = 2Im z.
1
Respuesta: + i 2
1 + √ 3
2
, 1
+ i 2
1 − √ 3
2
2. Se considera una aplicación f : R 4 → R 4 tal que
f(−2, 0, 0, 0) = (a, −1, −1, b) ; f(0, 0, a, b) = (2, 1, −1, 1) ;
f(1, 1, 2, 3) = (0, 1, 1, 1) ; f(1, 1, 3, 4) = (0, 0, 1, 1).
a) Encontrar la relación entre a, b para que las ecuaciones anteriores definan un endomorfismo
de R 4 .
Respuesta: a = b
b) Encontrar aquellos valores de a, b que hacen que el endomorfismo anterior sea invertible.
Respuesta: a = b + 1

c) Para dichos valores, calcular razonadamente la segunda columna de la matriz de f −1 ,
respecto a la base canónica de R 4 . (Nota: este apartado puede resolverse aun sin haber
respondido correctamente a los anteriores.)
Respuesta: Debemos calcular f −1 (0, 1, 0, 0). Restando las dos últimas ecuaciones, obtenemos
que f(1, 1, 2, 3) − f(1, 1, 3, 4) = (0, 1, 1, 1) − (0, 0, 1, 1) = (0, 1, 0, 0); es decir,
f(0, 0, −1, −1) = (0, 1, 0, 0) o, lo que es lo mismo,
f −1 (0, 0, 1, 0) = (0, 0, −1, −1).
3. a) Se considera el sistema lineal siguiente, en las incógnitas x, y, z:
⎛
⎝
1 −2 1 −1
2 −4 2 −2
3 a b a + 3
⎛
⎞
⎜
⎠ ⎜
⎝
0 0 1
0 1 a
−1 7 −3
2 −3a b
⎞
⎛
⎟ ⎝
⎠
x
y
z
⎞
⎛
⎠ = ⎝
−b
a + b
1
Calcular razonadamente los valores de a, b que hacen que el sistema tenga solución única.
Respuesta: Como el rango de un producto es menor o igual que el mínimo entre los rangos
de los factores, y el rango de la primera matriz no puede ser mayor que 2, concluimos que
el rango de la matriz (cuadrada) de coeficientes será a lo sumo 2, de modo que el sistema
3 × 3 no podrá ser en ningún caso compatible determinado.
b) Dadas dos matrices A ∈ R n×m , B ∈ R m×n , con m > n, y un vector b ∈ R n , se considera
el sistema lineal
ABx = b.
Decidir la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
V F
Si b ∈ Im A, entonces el sistema es compatible, cualquiera que sea B ×
Si las filas de A son linealmente dependientes, el sistema no puede
×
tener solución única
El sistema tiene solución única si y sólo si r(A) = r(B) = n ×
Si b /∈ Im A, el sistema no puede tener solución ×
AB no puede ser invertible ×
(Colocar una cruz en la casilla correspondiente; respuesta correcta = +0, 1, en blanco = 0,
respuesta errónea = −0, 1. La calificación mínima en el apartado será de cero puntos.)
⎞
⎠

Álgebra I
Febrero de 2008
Nombre: Número de
1 er Apellido: Matrícula
2 o Apellido:
NOTA
Cuestiones 4, 5 y 6 (3 puntos). Respóndase exclusivamente en los espacios dejados al efecto en
esta hoja. Nota: todas las respuestas de esta hoja se deben justificar razonadamente.
4. Consideramos la aplicación lineal
T : C[z] −→ C2×2 p ↦−→
p(1)
p(−1)
p(1)
p(−1)
a) Hallar ker T . (0,5 puntos). Respuesta:
El núcleo de T está formado por todos los polinomios que tienen −1 y 1 como raíz, es
decir:
.
ker T = {q(z)(z − 1)(z + 1), q ∈ C[z]} .
b) Hallar el conjunto de todos los polinomios p solución de
T (p) =
3 3
1 1
(0,5 puntos). Respuesta:
Si p1, p2 ∈ C[z] son soluciones de la ecuación anterior, entonces T (p1 −p2) = O. Por tanto,
el conjunto de soluciones de la ecuación anterior es de la forma
p = p0 + ker T,
siendo p0 una solución particular de la ecuación, por ejemplo p0(z) = z + 2.
5. a) Sea A ∈ C n×n . Estudiar si el conjunto de los polinomios anuladores de A, es decir,
.
L = {p ∈ C[z] : p(A) = O} ,
tiene estructura de espacio vectorial. (0.5 puntos).
Respuesta: L ⊂ C[z] por definición, L = ∅ porque χA ∈ L, y
∀α, β ∈ C, ∀p, q ∈ L, (αp + βq)(A) = αp(A) + βq(A) = O , es decir,
∀α, β ∈ C, ∀p, q ∈ L, αp + βq ∈ L,
luego L es subespacio vectorial de C[z] y sí tiene estructura de espacio vectorial.

) Recíprocamente, sea q ∈ C[z], con gr(q) > 1. Estudiar si el conjunto de las matrices
anuladas por q, es decir,
M = B ∈ C n×n : q(B) = O ,
tiene estructura de espacio vectorial. (0.5 puntos). Respuesta:
M no tiene estructura de espacio vectorial. Contraejemplo: Sea q(z) = z 2 − 1.
q(I) = I 2 − I = O, pero q(2I) = 4I 2 − I = 3I = O.
6. Sean B = (v1, v2, . . . , vn) una base de C n y A ∈ C n×n tal que
Av1 = v1
Avj = αv1 + vj , j = 2, . . . , n.
a) Estudiar para qué valores de α la matriz A es invertible. Para dichos valores, hallar A −1 v2.
(0,5 puntos).
Respuesta:
Llamando P = [v1| · · · |vn], se verifica AP = P T , donde
⎡
⎢
T = ⎢
⎣
1 α · · · α
1
. ..
Así, A es semejante a T . T es regular para todo valor de α, porque det(T ) = 1 = 0. Puesto
que A es semejante a T , A también es regular para todo valor de α. Más aún, su
inversa es A −1 = (P T P −1 ) −1 = P T −1 P −1 .
Para obtener A −1 v2, de las dos ecuaciones del enunciado se deduce:
v2 = Av2 − αv1
1
⎤
⎥
⎦ .
A −1 v2 = A −1 Av2 − αA −1 v1 = v2 − αv1
b) Estudiar para qué valores de α la matriz A es diagonalizable. Para dichos valores, hallar
matrices P y D tales que P −1 AP = D. (0,5 puntos).
Respuesta:
A es semejante a T , luego diagonalizable si y solo si T lo es. T tiene por polinomio característico
χT (λ) = (λ − 1) n , luego λ = 1 es el único valor propio de T y tiene multiplicidad
n. El subespacio propio asociado a λ = 1 tiene dimensión:
⎛⎡
0
⎜⎢
⎜⎢
dim (ker(T − I)) = n − r ⎜⎢
⎝⎣
α
0
· · ·
. ..
⎤⎞
α
⎥⎟
⎥⎟
⎥⎟
⎦⎠
0
=
Concluyendo:
n − 1 , si α = 0,
n , si α = 0.
Si α = 0, dim (ker(T − I)) = n−1 < n, y tanto T como A son no diagonalizables.
Si α = 0, T = I, A sí es diagonalizable, y D = T = I. Más aún, A = I puesto que
P −1 AP = I ⇒ A = P P −1 = I.
Por último, cualquier matriz P regular diagonaliza la matriz identidad.