La transformada wavelet: una introducción - Departamento de ...

Universidad Politécnica de Madrid
E. T. S. de Ingenieros Industriales
La transformada wavelet:
una introducción
Material para la asignatura de Doctorado:
Transformada wavelet y aplicaciones en Ingeniería
Programa de Doctorado: INGENIERÍA MATEMÁTICA
Autoras: María Elena Domínguez Jiménez
Gabriela Sansigre Vidal
Departamento de Matemática Aplicada a la Ingeniería
Industrial
http://dmaii.etsii.upm.es/ ˜edominguez/

Capítulo 1
Teoría de Fourier: series y
transformada continua.
1.1. Introducción.
El objeto de la teoría de la señal es el estudio de las señales y de los sistemas que las
transmiten. El concepto de señal es muy amplio, de la observación de un fenómeno surgen
ciertas cantidades que dependen de una variable (tiempo, espacio, frecuencia, etc.). La
modelización matemática conduce a una función de una o varias variables continuas o
discretas; si las variables varían continuamente (por ejemplo, si es el tiempo t ∈ I ⊂ R)
la señal es analógica; si varían de forma numerable (si t = tk, k ∈ I ∩ Z), la señal es
digital, muestral o discreta. Por ejemplo, al hablar emitimos señales analógicas; para
transmitir la voz se muestrea, se convierte en digital y se reconstruye en analógica por el
receptor. Otros ejemplos son la intensidad de una corriente eléctrica, los niveles de gris de
una imagen digitalizada, etc. Además las señales pueden ser deterministas o aleatorias.
Algunas señales elementales son, por ejemplo, la función de Heaviside,
u(t) =
0 t < 0
1 t > 0
La función característica de un intervalo simétrico,
1 |t| < a
χ(t) =
0 |t| > a
Una señal sinusoidal,
(1.1)
(1.2)
x(t) = α cos(wt + ϕ) (1.3)
donde α es la amplitud, ϕ la fase inicial, 2π/w el período.
Un sistema de transmisión es una “caja negra” en la que se modifica la señal de
entrada convirtiéndose en señal de salida. La caja negra se modeliza por un operador:
un amplificador, un circuito eléctrico, el teléfono. Los conjuntos de señales de entrada
(X) y de salida (Y ) se estructuran como espacios normados; una norma sirve para medir
distancias. Definamos las normas más habituales:
2

En un espacio de señales analógicas que actúan sobre la variable continua t y esta
varía en un intervalo de la recta real I:
La norma “uno” de una señal x: x1 = |x(t)|dt.
La norma “dos” de una señal x: x2 =
I
I
|x(t)| 2 1/2 dt .
La norma “infinito” o del supremo de una señal x: x∞ = sup{|x(t)|, t ∈ I}.
Análogamente, en un espacio de señales discretas de variable n entera, es decir varía
en el conjunto Z de los números enteros (o en un subconjunto que puede ser finito):
La norma “uno” de una señal x: x1 =
|x(n)|.
n∈Z
⎛
La norma “dos” de una señal x: x2 = ⎝
|x(n)| 2
⎞
⎠
La norma “infinito” o del supremo de una señal x: x∞ = sup{|x(n)|, n ∈ Z}.
Una vez establecida la norma, la distancia entre dos señales es simplemente la norma de
la diferencia.
El operador A : X → Y puede, a su vez, ser analógico o discreto y también mixto: por
ejemplo, muestrear es convertir una señal analógica en digital, al reconstruir se realiza el
proceso inverso, esto es, se pasa de señal digital a analógica. Para simplificar notación,
utilizaremos la letra x para la señal de entrada, y la letra y para su salida; es decir,
y := A(x).
Los sistemas pueden ser de muchos tipos, algunas características importantes son:
Sistema (u operador) lineal: A(ax1 + bx2) = aA(x1) + bA(x2) = ay1 + by2, es decir,
la respuesta a una combinación lineal de señales es la misma combinación lineal de
las respuestas.
n∈Z
Sistema causal x1(t) = x2(t), t < t0 ⇒ y1(t) = y2(t), t < t0.
Sistema invariante o estacionario: x(t) ↦→ y(t) ⇒ x(t − a) ↦→ y(t − a).
Sistema continuo: a señales de entrada próximas asigna señales de salida próximas;
es decir, fijado un número real ε > 0 (pequeño), puede encontrarse un número real
δ > 0 de forma que y1 − y2 < ε siempre que x1 − x2 < δ.
El término filtro suele reservarse para sistemas lineales, continuos e invariantes.
1.2. Señales periódicas analógicas.
Para simplificar supondremos funciones f : R → C de período 2π, f(t) = f(t +
2π). Pretendemos estudiar cuándo estas señales pueden aproximarse (en un sentido que
precisaremos) por un polinomio trigonométrico; empecemos entonces con un estudio de
polinomios trigonométricos.
3
1/2
.

1.2.1. Polinomios trigonométricos.
Por definición, un polinomio trigonométrico es una función de la forma
N
P (t) = a0 + (an cos nt + bn sen nt) (1.4)
n=1
donde N es un número natural y los coeficientes a0, an, bn (n = 1, . . . , N) son números
reales o complejos arbitrarios. El polinomio se dice que tiene grado N cuando o bien aN
o bien bN es no nulo, lo que equivale a |aN| + |bN| = 0. Las relaciones exponenciales de
Euler
e iα = cos α + i sen α, e −iα = cos α − i sen α, (1.5)
cos α = eiα + e−iα , sen α =
2
eiα − e−iα 2i
(1.6)
nos permiten escribir el polinomio trigonométrico como combinación de potencias de e it :
P (t) =
N
n=−N
cne int
con las siguientes relaciones entre los coeficientes:
(1.7)
an = cn + c−n, bn = i(cn − c−n), n = 1, . . . , N; a0 = c0. (1.8)
1.2.2. Ortogonalidad.
Para relacionar los coeficientes de un polinomio trigonométrico con el propio polinomio,
y de esa forma poder caracterizarlo, son de interés los siguientes resultados:
Y su análogo
2π
cos nt cos mt dt = πδn,m
0
2π
sen nt sen mt dt = πδn,m
0
2π
cos nt sen mt dt = 0.
0
(1.9)
2π
e
0
int e −imt dt = 2πδn,m. (1.10)
Lo anterior puede enunciarse diciendo:
En el espacio de los polinomios trigonométricos con el producto escalar
< f, g >= 1
2π
f g (1.11)
2π 0
y la norma inducida por este producto f2 = √ < f, f > (norma “dos”) el sistema
{e int }n∈Z es ortonormal, es decir, las funciones son ortogonales dos a dos y de norma
unidad.
4

Ahora es inmediato encontrar la relación entre un polinomio trogonométrico P y sus
coeficientes,
P (t) =
Además, P 2 2 = |cn| 2 , es decir:
N
cne
n=−N
int , < P (t), e imt >=
N
cn < e
n=−N
int , e imt >= cm
2π
N
n=−N
⇒ cn = 1
2π
0
(1.12)
P (t)e −int dt (1.13)
|cn| 2 = 1
2π
|P (t)|
2π 0
2 dt, (1.14)
igualdad que se conoce con el nombre de Identidad de Parseval para polinomios trigonométricos.
Teniendo en cuenta las identidades (1.8), las expresiones en senos y cosenos de
los coeficientes son
an = 1
π
2π
0
P (t) cos nt dt, bn = 1
2π
P (t) sen nt dt. (1.15)
π 0
Estas expresiones de los coeficientes dan respuesta al problema del análisis espectral de
una señal, que no es otra cosa que encontrar los coeficientes a partir del polinomio.
1.2.3. Series de Fourier.
Los polinomios trigonométricos son funciones periódicas, pero es evidente que podemos
encontrar funciones periódicas que no sean polinómicas. Se trata, en tal caso, de estudiar
si dichas funciones pueden aproximarse por polinomios trigonométricos. Los polinomios
son integrables en [0, 2π] así como sus módulos y sus módulos al cuadrado, pero para una
función f periódica cualquiera esto no es necesariamente cierto; empecemos restringiendo
nuestras funciones periódicas al espacio L2 p(0, 2π) formado por las funciones f de variable
real y período 2π (es decir, ∀t ∈ R f(t) = f(t + 2π)) y cuyo módulo tiene cuadrado
2π
integrable, es decir tales que la integral |f(t)| 2 dt es finita.
0
Este espacio se dota del producto escalar definido en (1.11). Es necesaria una precaución:
si dos funciones son iguales salvo en un conjunto de medida nula (por ejemplo un
número finito de puntos) tendrán la misma norma y su diferencia será no nula pero de
norma nula. Para hablar de norma con propiedad debe cumplirse que únicamente la función
nula es de norma nula. Para salvar esta dificultad se consideran clases de funciones,
es decir identificamos (como si fuesen iguales) todas aquellas funciones que coinciden salvo
en un conjunto de medida nula. Esto se denota así: f − g2 = 0 ⇐⇒ f = g a.e. 1
Por otro lado también usaremos el espacio ℓ 2 de la sucesiones de el espacio de las
sucesiones de módulo cuadrado sumable:
ℓ 2 (Z) = {(xn)n∈Z,
∞
n=−∞
|xn| 2 := x 2 2 < ∞}
1 a.e. de las siglas en inglés ‘almost everywhere’; suele leerse en castellano ‘casi por doquier’.
5

Este espacio se dota también de un producto escalar,
< x, y >=
∞
xnyn.
La idea de aproximación:
n=−∞
Dada una función f ∈ L 2 p(0, 2π) se desea encontrar un polinomio trigonométrico P ,
de grado menor o igual que un cierto N y tal que f − P 2 sea mínima.
Teorema 1 Sea f ∈ L 2 p(0, 2π) y N un entero positivo. Entonces existe un único polinomio
trigonométrico fN de grado menor o igual que N y tal que f − fN2 es mínima.
Este polinomio viene dado por
fN(t) =
N
n=−N
cn(f)e int , cn(f) = 1
2π
f(t)e
2π 0
−int dt. (1.16)
Los coeficientes cn(f) del polinomio reciben el nombre de coeficientes de Fourier de f y
existen cualquiera que sea el número N. Se deduce la desigualdad de Bessel,
N
n=−N
equivalentemente, en función de las normas,
|cn(f)| 2 ≤ 1
2π
|f(t)|
2π 0
2 dt, (1.17)
fN2 ≤ f2
de esta desigualdad se desprende un corolario fundamental,
Corolario: ∀f ∈ L2 ∞
p(0, 2π),
consecuencia: cn(f) → 0 cuando |n| → ∞.
|cn(f)|
−∞
2 < ∞ (es decir, (cn(f)) ∈ ℓ2 ). Además, como
Teorema 2 Sea f ∈ L2 p(0, 2π). Se considera la sucesión (fN)N≥0 de los polinomios
trigonométricos de mejor aproximación dados por el teorema anterior, entonces (fN)N≥0
converge a f en la norma de L2 p(0, 2π); es decir:
2π
|f(t) − fN(t)|
0
2 dt −−−→ 0. (1.18)
N→∞
Corolario: Identidad de Parseval.
∞
|cn(f)| 2 = 1
2π
|f(t)|
2π 0
2 dt. (1.19)
n=−∞
El resultado es consecuencia de la desigualdad
|f2 − fN2| ≤ f − fN2.
En teoría de la señal, el miembro de la derecha de la igualdad (1.19) representa la energía
de la señal; la identidad de Parseval dice que dicha energía es igual a la energía de la
suma de sus armónicos. Como consecuencia añadida, se tiene que si los coeficientes de
Fourier son nulos la señal es “casi” nula, esto es, es nula salvo –a lo más– en un conjunto
de medida nula (lo que hemos denotado nula a.e.).
6

Definición 1 Sea f una función periódica de período 2π. Se define la serie de Fourier
de f como
Sf(t) =
∞
n=−∞
cn(f)e int
donde los coeficientes cn(f) vienen dados por (1.16).
Observaciones sobre la convergencia.
(1.20)
Si f ∈ L 2 p(0, 2π) entonces, en virtud de (1.18) la serie de Fourier converge en media
cuadrática a f (es decir, f y Sf coinciden a.e.)
Para que existan los coeficientes de Fourier es suficiente que f tenga módulo integrable
en (0, 2π) (es decir, f ∈ L 1 p(0, 2π)), en cuyo caso puede definirse Sf; ahora
bien, sin condiciones adicionales no puede hablarse de convergencia a f.
Teorema 3 Sea (xn)n∈Z ∈ ℓ 2 . Entonces la serie
∞
n=−∞
xne int es convergente y su suma g
es tal que sus coeficientes de Fourier cg(n) = xn. Además g ∈ L 2 p(0, 2π).
Este teorema es de gran importancia; junto con el corolario de teorema 1, establece
una biyección entre ℓ 2 y L 2 (0, 2π). Desde un punto de vista práctico, disponer de una señal
periódica de energía finita equivale a trabajar con una sucesión de cuadrado sumable (en
la práctica, con frecuencia, la sucesión se reducirá a un vector finito).
1.3. La transformada de Fourier.
1.3.1. Algunos espacios vectoriales.
En este apartado vamos a describir los espacios que precisamos para desarrollar el
curso. Describimos en primer lugar espacios de sucesiones (para señales discretas):
x : Z → C
n ↦→ x(n)
la señal x suele representarse con la notación clásica de sucesiones (xn)n∈Z.
Se denotará por ℓ 1 (Z) (o simplemente ℓ 1 ) el espacio de las sucesiones de módulo
sumable:
ℓ 1 ∞
(Z) = {(xn)n∈Z,
n=−∞
|xn| := x1 < ∞} (1.21)
Se denotará por ℓ 2 (Z) (o simplemente ℓ 2 ) el espacio de las sucesiones de módulo
cuadrado sumable:
ℓ 2 (Z) = {(xn)n∈Z,
∞
n=−∞
|xn| 2 := x 2 2 < ∞} (1.22)
7

Con ℓ ∞ (Z) (ℓ ∞ ) se representan las sucesiones acotadas:
ℓ ∞ (Z) = {(xn)n∈Z, sup |xn| := x∞ < ∞} (1.23)
n∈Z
Definición 2 Sea (xn)n∈Z ∈ ℓ 2 ; se dice que su transformada de Fourier es la función de
L 2 p(0, 2π):
X(w) =
∞
n=−∞
xne −iwn . (1.24)
Análogamente, la transformada inversa de Fourier de una función X de L 2 p(0, 2π) es
la sucesión
xn = 1
2π
X(w)e
2π 0
iwn dw. (1.25)
De hecho, xn es el n-ésimo coeficiente de Fourier de la función X(−w). De los teoremas
demostrados en la sección anterior se desprende que la transformada de Fourier es una
aplicación biyectiva entre ℓ 2 y L 2 p(0, 2π):
ℓ 2 ↔ L 2 p(0, 2π)
(xn)n∈Z ↔ X
Además, se trata de una isometría, pues conserva el producto escalar (y la norma):
〈(xn)n∈Z, (yn)n∈Z〉 ℓ 2 = 〈X, Y 〉 L 2 p(0,2π)
(xn)n∈Z ℓ 2 = X L 2 p(0,2π)
En cuanto a los espacios para señales analógicas, se consideran funciones f de R en C;
es decir, funciones de una variable continua, que pueden tomar valores reales o complejos.
Entonces:
Se denotará por C(R) el espacio de las funciones continuas de variable real y valores
reales o complejos.
Se denotará por L 1 (R) el espacio de de las funciones de módulo integrable, esto es:
L 1 ∞
(R) = {f : R → C, |f(t)| dt := f1 < ∞} (1.26)
−∞
8

L ∞ (R) está formado por las funciones acotadas; es decir,
L ∞ (R) = {f : R → C, sup |f(t)| := f∞ < ∞} (1.27)
t∈R
Y, por último, se representa por L 2 (R) el espacio de de las funciones de módulo
cuadrado integrable, esto es:
L 2 ∞
(R) = {f : R → C,
|f(t)|
−∞
2 dt := f 2 2 < ∞} (1.28)
Estos espacios están normados por la norma que se ha indicado en su definición; además
L 2 (R) con el producto escalar
∞
< f, g >:= f g (1.29)
es un espacio de Hilbert (completo: las sucesiones de Cauchy son convergentes).
Definición 3 Dada una función f, se define su transformada de Fourier
−∞
cuando la integral del segundo miembro converge.
ˆf(w) := 1
∞
√ e
2π −∞
−iwt f(t) dt (1.30)
(En teoría de la señal, ˆ f(w) se denomina espectro de la señal.)
Teorema 4 Si f está en L 1 (R) entonces (1.30) converge; además ˆ f es continua y está acotada;
es decir ˆ f ∈ C(R) ∩ L ∞ (R) y se cumple lím
|w|→∞ | ˆ f(w)| = 0.
Este teorema permite definir el operador F
F : L 1 (R) → C(R) ∩ L ∞ (R) (1.31)
f ↦→ ˆ f
que a cada función de L 1 (R) asocia su transformada de Fourier.
1.3.2. Propiedades de F
1. Linealidad: F(af + bg) = a ˆ f + bˆg
2. f par (impar) ⇒ F(f) par (impar)
f real par (real impar) ⇒ F(f) real par (impar, imaginaria pura)
9

3. Cambio de escala en el tiempo (concentración – dilatación).
F(f(kt))(w) = 1
|k| F(f)
4. Retardo en el tiempo y en la frecuencia:
5. Teorema de modulación:
w
k
, k = 0 (1.32)
F(f(t − a))(w) = e −iaw F(f)(w) (1.33)
F(e iw0t f(t))(w) = F(f)(w − w0) (1.34)
F(cos w0t f(t))(w) = ˆ f(w − w0) + ˆ f(w + w0)
2
1.3.3. Transformada de Fourier y derivación.
1. Transformada de las derivadas. Sea f (k) ∈ L 1 (R), 0 ≤ k ≤ n, entonces
2. Transformada de una primitiva:
(1.35)
F(f (n) )(w) = (iw) n ˆ f(w). (1.36)
F
t
0
f (w) = ˆ f(w)
iw
(1.37)
3. Derivadas de la transformada. Supóngase t k f ∈ L 1 (R), 0 ≤ k ≤ n, entonces ˆ f (n) =
(−i) n F(t n f).
1.3.4. Convolución.
Se define el producto de convolución de dos funciones como
∞
f ∗ g (t) := f(x)g(t − x) dx (1.38)
Propiedades
−∞
1. El producto de convolución es asociativo:
2. y conmutativo:
(f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h),
f ∗ g = g ∗ f.
3. Si f, g ∈ L 1 (R) entonces f ∗ g ∈ L 1 (R), además f ∗ g1 ≤ f1 g1.
4.
F(f ∗ g) = √ 2π ˆ f · ˆg. (1.39)
10

1.3.5. Inversión de la transformada de Fourier.
(i.e F inyectiva en C(R) ∩ L 1 (R)).
ˆf = ˆg ⇒ f = g a.e. (1.40)
ˆf = ˆg, f, g continuas ⇒ f = g (1.41)
Teorema 5 (de inversión) Representación espectral de f. Sean f, ˆ f ∈ L 1 (R), entonces
f(t) = 1
∞
√ e
2π −∞
iwt f(w) ˆ dw = F( f)(−t) ˆ = f(−t) ˆ (1.42)
en todo punto t de continuidad de f.
Teorema 6 (de inversión) Sea f ∈ L 1 (R), acotada y C 1 a trozos (es decir, con derivada
continua a trozos), entonces
f(t + ) + f(t − )
2
1.4. Extensión a L 2 (R)
= 1
T
√ lím e
2π T →∞ −T
iwt f(w) ˆ dw (1.43)
Denotaremos por S el conjunto formado por las funciones cuyas derivadas de cualquier
orden son de decrecimiento rápido, es decir:
S = {f ∈ C ∞ (R), ∀n, p ∈ N, lím
|t|→∞ |tp f (n) (t)| = 0} (1.44)
Estas funciones se caracterizan más fácilmente por
f ∈ S ⇒ ∃ C, ∀p ∈ N |f(t)| ≤ C
1 + |t| p
(1.45)
Un ejemplo típico es la gaussiana, f(t) = e−t2; observemos que la derivada k-ésima de
, con Pk un polinomio de grado k.
f es de la forma f (k) (t) = Pk(t)e −t2
Propiedades:
1. S ⊂ L 1 ∩ L 2 ,
2. f ∈ S ⇒ f(kt) ∈ S, k real, arbitrario.
3. f ∈ S ⇒ f(t − a) ∈ S, a real, arbitrario.
4. f ∈ S ⇒ ˆ f ∈ S,
5. f, g ∈ S ⇒ f ∗ g ∈ S,
11

6. g ∈ S ⇒ ∃ h ∈ S, ˆ h = g
7. S = L 2 (R)
8. f, g ∈ L2 (R) ⇒ f ˆg, ˆ f g ∈ L1 ∞
(R) y
−∞
∞
f ˆg =
9. F es una isometría en L 2 (R) con el producto escalar (1.29)
−∞
−∞
ˆf g
∞
< f, g >:= f g (1.46)
es decir < f, g >=< ˆ f, ˆg > y, en particular, se cumple la fórmula de Parseval (1.19),
f = ˆ f.
1.4.1. Teorema del muestreo de Shannon
Nos preguntamos si una señal continua f puede reconstruirse completamente a partir
de sus valores sobre una cantidad discreta de puntos o muestras (f(tn))n∈Z. En general,
la respuesta es NO; sin embargo, el teorema de Shannon demuestra que SÍ es posible para
el siguiente tipo de funciones:
Definición 4 Se dice que f ∈ L 2 es de banda limitada si existe Ω < ∞ tal que la
transformada de Fourier ˆ f tiene soporte contenido en [−Ω, Ω]; es decir,
ˆf(w) = 0 ∀|w| > Ω.
Teorema 7 (Teorema de Shannon) Sea f ∈ L 2 , de banda limitada, y sea Ω su frecuencia
de Nyquist. Entonces f puede reconstruirse a partir de sus muestras en los valores
tn = πn/Ω, n ∈ Z, por medio de la fórmula interpolatoria
f(t) =
n∈Z
sen(Ωt − πn)
(Ωt − πn) f
πn
Ω
∀t ∈ R.
La serie funcional no sólo converge en el sentido de L 2 , sino que además la convergencia
es puntual. Por ello, al conocer los valores f(πn/Ω), se conoce la señal completa. Si la
variable es temporal, esto se consigue muestreando la seãl una vez cada π/Ω segundos, es
decir, tomando Ω/π muestras por segundo; la tasa de muestreo es Ω/π, denominada tasa
de Nyquist.
12

1.4.2. La transformada bidimensional de Fourier.
Denotaremos por L 2 (R 2 ) el espacio de Hilbert de las funciones f de R 2 en R tales
que
R 2
|f(x, y)| 2 dxdy < ∞
En general, en L 2 (R 2 ), se define la transformada de Fourier
∀(ωx, ωy) ∈ R 2 , ˆ f(ωx, ωy) = 1
2π R2 f(x, y)e −i(xωx+yωy) dxdy
que goza de propiedades análogas a la transformada unidimensional.
Ahora el producto de convolución es
(f ∗ g)(x, y) =
R 2
f(u, v)g(x − u, y − v)dudv
13

1.5. La función de transferencia de un filtro.
Sea ew(t) := e iwt una señal monocromática. Para valores enteros de t es una señal
digital mientras que para valores reales es analógica. Sea A un filtro (sistema lineal,
continuo e invariante), entonces ew es una función propia de A; es decir, existe un escalar
H(w) (dependiente de w) tal que A(ew) = H(w) ew. La función H : R → C se llama
función de transferencia del filtro.
Demostración
Sean t, u ∈ R, contemplemos u como parámetro y t como variable,
ew(t + u) = e iw(t+u) = e iwt e iwu = ew(u)ew(t) (1.47)
Sea fw la señal de salida de ew: A(ew) = fw; combinando las propiedades de invarianza y
linealidad se tiene
haciendo t = 0:
fw(t + u) = A(ew(u)ew)(t) = ew(u)A(ew)(t) = ew(u)fw(t), (1.48)
∀u ∈ R fw(u) = ew(u)fw(0) (1.49)
⇒ A(ew) = fw(0)ew. (1.50)
La última expresión muestra que ew es autofunción asociada al valor propio fw(0).
Definimos H(w) := fw(0).
1.5.1. Filtros digitales en ℓ 2 .
Todo filtro digital A en ℓ 2 es de convolución, es decir
donde la convolución discreta se define
∃ h : Z → C, ∀x ∈ ℓ 2 A(x) = x ∗ h, (1.51)
∀x, y ∈ ℓ 2
(x ∗ y)n =
xkyn−k. (1.52)
Para comprobarlo basta utilizar la base natural de ℓ 2 formada por las sucesiones
{δn, n ∈ Z} definidas por
Entonces
(δn)k = δn,k =
k∈Z
1 si n = k
0 si n = k
(1.53)
xn =
xk(δn)k =
xk(δ0)n−k, (1.54)
k∈Z
14
k∈Z

aplicamos el filtro con sus propiedades de linealidad, continuidad e invarianza:
(A(x))n =
xk(A(δ0))n−k. (1.55)
Llamemos h (respuesta impulsional) a la transformada de δ0, entonces
k∈Z
(A(x))n =
xkhn−k = (x ∗ h)n ⇒ A(x) = x ∗ h. (1.56)
k∈Z
Por abuso de lenguaje es frecuente omitir símbolo para el sistema A y llamar filtro a la
respuesta impulsional h.
1.5.2. Función de transferencia de un filtro de convolución.
Sea A el filtro de convolución, h su respuesta impulsional. Se trata de encontrar el
autovalor correspondiente a la señal monocromática ew definida por (ew)n := eiwn . Entonces:
A(ew)n = (ew ∗ h)n =
e iwk ⎛
hn−k = ⎝
⎞
⎠ e iwn
(1.57)
k∈Z
e
m∈Z
−iwm hm
⇒ H(w) =
e −iwm hm. (1.58)
La función de transferencia del filtro es la transformada de Fourier de la respuesta
impulsional h. Además, para una señal x cualquiera, la transformada de Fourier de la
señal de salida se obtiene multiplicando la función de transferencia por la transformada
de la entrada:
m∈Z
yn = (x ∗ h)n ⇒ Y (w) = H(w)X(w). (1.59)
1.5.3. Función de transferencia de un filtro analógico en L 2 .
La función de transferencia de un filtro analógico también relaciona las transformadas
de entrada y salida pero no es necesariamente una transformada de Fourier.
Hagamos un razonamiento heurístico, sean f, g ∈ L 2 , A(f) = g y H la función de
transferencia del filtro A, entonces
f(t) = 1
∞
√
2π −∞
ˆf(w)e iwt dw = 1
∞
√
2π −∞
g(t) = A(f)(t) = 1
√ 2π
= 1
∞
√
2π −∞
∞
−∞
ˆf(w)ew(t) dw (1.60)
ˆf(w)A(ew)(t) dw
ˆf(w)H(w)e iwt dw = F( ˆ fH)(−t), (1.61)
pero ˆg(−t) = g(t) por lo que identificando se llega a ˆg(w) = H(w) ˆ f(w).
15

¿El filtro paso bajo ideal?
Supongamos un filtro que produce una señal g como salida de una entrada f, sea H
la función de transferencia. Entonces, según acabamos de ver
ˆg(w) = H(w) ˆ f(w). (1.62)
Si la función de transferencia H corresponde a un filtro paso bajo ideal, entonces no
modifica las frecuencias w, |w| < w0 (w0 frecuencia de corte) y suprime el resto:
pero la función h
H(w) =
1 |w| < w0
0 resto
h(t) = sen w0 t
π t
se transforma en ˆ h(w) = 1
√ 2π H(w) así pues
(1.63)
(1.64)
ˆg(w) = H(w) ˆ f(w) = √ 2π ˆ h(w) ˆ f(w) ⇒ g = h ∗ f (1.65)
Vemos que h, la respuesta impulsional que caracteriza el filtro, no se anula en una semirrecta,
luego el filtro no es realizable (f = 0, t < t0 ⇒ g = 0 t < t0).
16

1.6. Señales finitas. El problema de los bordes
En la práctica, al analizar una señal f, aunque sea analógica o discreta, siempre se
trabaja con un número FINITO de muestras, para poder implementar los cálculos (por
ordenador o a mano). Así pues, consideramos que la entrada de un sistema es un vector
de longitud N :
x = (x0, x1, · · · , xN−1)
que puede resultar, por ejemplo, de muestrear la señal analógica f (t) en N puntos equidistantes:
xk = f (k) , k = 0, 1, . . . , N − 1.
Al aplicar un filtro h al vector de entrada x, realizamos la convolución
(h ∗ x) n =
hkxn−k = · · · + h−2xn+2 + h−1xn+1 + h0xn + h1xn−1 + h2xn−2 + ...
k∈Z
nos encontramos con el PROBLEMA DE LOS BORDES. Necesitamos conocer los datos
x−1, x−2, ... en el borde izquierdo y los datos xN, xN+1, . . . , en el borde derecho. De alguna
forma entonces hay que EXTENDER ARTIFICIALMENTE LA SEÑAL FINITA. En la
literatura aparecen varios tipos de extensiones:
Extensión periódica o circular (wrapparound): se define xm±kN = xm ∀m =
0, 1, · · · , N −1. En realidad, la gráfica de la función f en [0, N −1] queda periodizada;
este proceso introduce saltos de discontinuidad a no ser que x0 = xN−1.
Extensión con ceros (zero padding): se define x−m = 0 = xN−1+m ∀m ∈ N.
También introduce discontinuidades a no ser que x0 = xN−1 = 0.
Extensión simétrica: se simetriza respecto a un borde, y el resultado se periodiza.
Ello se consigue definiendo x−m = xm y xN−1+m = xN−1−m (sin repetición de las
muestras de los bordes: simetría tipo I) o bien x−m−1 = xm y xN+m = xN−1−m
(repitiendo las muestras de los bordes: simetría tipo II). Aunque la señal simetrizada
no es discontinua, su primera derivada sí puede serlo.
Otras extensiones
Filtros de borde (boundary filters): en las muestras de la convolución con h
que involucren muestras no conocidas de x, se reajustan los coeficientes del filtro h,
dando lugar a nuevos filtros llamados ”de borde”. Hay, por consiguiente, filtros de
borde izquierdo y filtros de borde derecho.
Cada tipo de extensión tiene su ventaja y su inconveniente. Las más utilizadas son
las 3 primeras, pero en algunos problemas, las discontinuidades que provocan pueden ser
muy molestas.
17

1.6.1. Transformada discreta de Fourier
De nuevo consideramos un vector de longitud N, x = (x0, x1, · · · , xN−1) que proviene,
por ejemplo, de muestrear una señal:
xk = f (k) , k = 0, 1, . . . , N − 1.
Si se extiende periódicamente dicho vector, en el fondo se está considerando que la
función f es periódica de periodo N; su serie de Fourier es
f (t) = 1
cne
N n∈Z
i2πnt/N N
con cn = f (t) e
0
−i2πnt/N dt
pero una aproximación a esta integral es la suma parcial asociada a la partición k =
0, 1, . . . , N − 1, donde la función toma valores f (k) = xk :
cn =
N
0
f (t) e −i2πnt/N dt ≈
N−1
k=0
f (k) e −i2πnk/N =
N−1
k=0
xk
¯W n k
donde W = e i2π/N es la raíz primitiva N− ésima de 1, y su conjugado es ¯ W = e −i2π/N .
Al vector definido de esta forma se le denomina ”transformada discreta de Fourier de
x”.
Definición 5 Se llama TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER (DFT) de un
vector x = (x0, x1, · · · , xN−1) de longitud N al vector ˆx = (x0, x1, · · · , xN−1) de misma
longitud N definido por
N−1
ˆxn = xk
¯W n
k=0
k N−1
= xk
k=0
e −i2πn/N k
Obsérvese que ˆxn es el resultado de aplicar el polinomio con coeficientes x0, x1, · · · , xN−1
a ¯ W n , que es una raíz N-ésima de 1.
Matricialmente, el vector x se relaciona con su DFT ˆx mediante la matriz de Fourier
de orden N, FN, que es la matriz de Vandermonde de las N raíces N-ésimas de 1, que
son 1, W, W 2 , · · · , W N−1 :
⎛
1
⎜ 1
⎜
FN = ⎜
⎝
1
W
1
W
. . . 1
2 . . . W N−1
1 W 2 W 4 . . . W 2(N−1)
. . .
.
1 W N−1 W 2(N−1) . . . W (N−1)2
⎞
⎟
⎠
de forma que
ˆx = ¯FNx.
Pero el proceso es reversible, puesto que la matriz es invertible; de hecho, se verifica que
FN ¯FN = NIN, luego ¯F −1
N = 1
N FN, de forma que
x = ¯F −1
N ˆx = 1
N FN ˆx.
Esta última expresión se la reconoce como la Inversa de la Transformada Discreta de
Fourier:
18

Definición 6 Se llama TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER INVERSA (IDFT)
de un vector ˆx = (x0, x1, · · · , xN−1) de longitud N al vector x = (x0, x1, · · · , xN−1) de
misma longitud N definido por
Observaciones
xn = 1
N−1
ˆxk (W
N k=0
n ) k = 1
N
N−1
k=0
ˆxk
e i2πn/N k
1. Podemos interpretar que la información de la señal x es biunívoca con la información
de su transformada de Fourier ˆx, y ésta tiene que ver con los componentes de la
señal discreta x según los ”armónicos” e i2πn/N , es decir, sus componentes según las
frecuencias 2πn/N (múltiplos de la frecuencia fundamental 2π/N), si LA SE ÑAL
FINITA x FUERA PERI ÓDICA.
2. Cuando N es potencia de 2, el cálculo de la DFT puede implementarse mediante un
algoritmo rápido, ideado por Cooley y Tucker, llamado ”FAST FOURIER TRANS-
FORM (FFT)” que realiza la DFT en un orden de N log 2 N operaciones. El algoritmo
inverso, para la IDFT es igualmente rápido.
1.6.2. Filtrado de una señal finita. Coste computacional
Hemos dicho que aplicar un filtro de respuesta impulsional h = (h0, h1, · · · , hL−1) a
una señal discreta x es lo mismo que realizar su convolución; esta operación equivale al
producto de una matriz infinita de Toeplitz con el vector infinito x:
⎛
. .. . .. . .. . .. . .. . ..
⎜
.
⎜ 0 hL−1 hL−2 · · · h0 0 ..
⎜ ..
⎜ . 0 hL−1 hL−2 · · · h0 0
h ∗ x = y = ⎜
⎝
.. .
.. .
.. .
.. .
.. .
.. .
.. .
.. .
.. .
. .. 0 hL−1 hL−2 · · · h0 0
. .. . .. . .. . .. . .. . ..
⎞
⎛ ⎞
⎟ ⎜ . ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎟ ⎜ x−1 ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎟ ⎜ x0 ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎟ ⎜ ⎟ .
⎟ ⎜ x1 ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎟ ⎜ x2 ⎟
⎟ ⎝ ⎠
⎠
. .
..
Pero si la señal es finita de longitud N, xN = (x0, x1, · · · , xN−1) , es necesario extender
dicha señal artificialmente. Si se extiende periódicamente, es fácil comprobar que la salida
y del sistema es también una señal periódica de periodo N, que no es más que la extensión
19

periódica del vector yN :
⎛
⎜
yN = ⎜
⎝
y0
y1
y2
.
yN−1
⎛
⎜
⎞ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ = ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎜
⎝
h0
h1
hL−2
hL−1
0
.
.
0
h0
. ..
· · ·
hL−2
hL−1
. ..
0
· · ·
. ..
h0
· · ·
hL−2
. ..
hL−1
0
0
h0
· · ·
. ..
hL−2
hL−1
.. .
. ..
· · ·
0
h0
. ..
· · ·
· · ·
hL−1
. ..
0
· · ·
0
. ..
· · ·
h2
· · ·
. ..
0
0
· · ·
. ..
h0
⎞
h1
⎟
h2 ⎟ ⎛ ⎞
⎟ x0
⎟ ⎜ ⎟
hL−1
⎟ ⎜ x1 ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎟ ⎜ ⎟
0 ⎟ ⎜
⎟ ⎜ . ⎟ = HNxN
⎟
0 ⎟ ⎜ ⎟
⎟ ⎝ xN−2 ⎠
⎟
. ⎟ xN−1 ⎟
0 ⎠
0 · · · 0 hL−1 hL−2 · · · · · · h0
Obsérvese que tanto la matriz de Toeplitz y los vectores son finitos, de dimensión máxima
N.
Además, la matriz HN es circulante; el Álgebra matricial demuestra que es diago-
nalizable (puesto que HN = L−1
n=0 hnS n , siendo S la matriz básica de desplazamiento o
”shift”), sus autovalores son
L−1
hn
¯W k
n=0
n = ˆ hk
(es decir, la transformada de Fourier discreta de h) y sus autovectores son precisamente
las columnas de la matriz de Fourier FN. Por tanto, HN queda diagonalizada así:
HN = FN diag ˆ h0, . . . , ˆ hN−1
F −1
N = 1
N FN diag ˆ h ¯FN.
Conclusión: aplicar un filtro a una señal finita xN es equivalente a calcular 3 transformadas
de Fourier discretas en serie:
la DFT de xN,
multiplicarla componente a componente por ˆ h (la DFT de h),
y aplicar una inversa de la DFT
Matricialmente,
y además se deduce que
yN = HNxN = (IDF T ) diag (DF T (h)) (DF T (xN)) =
= (IDF T ) diag
hˆ ˆxN = (IDF T )
hˆxN ˆ ,
ˆyN = ˆ hˆxN
luego una vez más, la transformada discreta de Fourier de la salida es el producto de la
transformada discreta de Fourier de la entrada por la transformada discreta de Fourier del
filtro (función de transferencia). Y el coste computacional del filtrado es O (3N log 2 N) .
20

Capítulo 2
Transformada wavelet
Motivación de las transformadas tiempo-escala y tiempofrecuencia
Hasta este punto hemos estudiado cómo hallar la información frecuencial de una señal:
si la señal f es periódica ó pertenece a L 2 [0, 2π]: mediante sus coeficientes de Fourier
cn = 〈f, eint 〉 = 1
2π
f (t) = cne int ;
2π
0 f (t) e−int dt, y la señal se aproxima por su serie de Fourier
si la señal f pertenece a L1 (R) o a L2 (R) , mediante su transformada integral de
Fourier ˆ f (w) = 1
√
2π R f (t) e−iwtdt, y la señal f puede reconstruirse a partir de ella
mediante la expresión integral f (t) = 1
√
2π R ˆ f (w) eiwtdw si la señal x es discreta y pertenece a l2 (R) , su transformada de Fourier es la función
de L2 [0, 2π] X (w) = xne−inw =
, y el proceso es invertible;
x, (e inw ) n∈Z
y si la señal x es finita de longitud N, su transformada de Fourier discreta es ˆxn =
X
2πn = N
N−1 k=0 xk
e−i2πn/N k =
x,
1, W n , · · · , W n(N−1) .,
pudiéndose recuperar la señal original: xk = 1
ˆx, N
1, ¯ W n , · · · , ¯ W n(N−1) = ˆ X
Sin embargo, aparecen varios problemas:
− 2πn
1. FALTA DE INFORMACIÓN LOCAL: obtenemos información sólo del contenido
frecuencial GLOBAL de la señal, pero no de su información frecuencial local (variaciones
bruscas de la señal alrededor de un punto, por ejemplo).
2. EL PROBLEMA DE LAS FUNCIONES DE SOPORTE COMPACTO de longitud
T : si son de cuadrado integrable, podemos hallar su transformada de Fourier de dos
formas:
ˆf, pero tendría soporte infinito, (NO MANEJABLE en la práctica),
21
N
.

o bien, entendida como función de L 2 [0, T ] podríamos calcular su serie de Fourier,
pero eso nos daría INFINITOS COEFICIENTES cn.
3. Además, esta segunda aproximación mediante series de Fourier, SI AL PERIODIZAR
LA FUNCIÓN APARECEN SALTOS DE DISCONTINUIDAD nos lleva al FENÓMENO
DE GIBBS: las sumas parciales de su serie de Fourier N n=−N cneint2π/T convergen
a f cuando N tiende a infinito, pero la convergencia no es puntual: incluso en los
bordes es muy lenta, pues aparecen unas oscilaciones cuya altura NO DISMINUYE
NI AL AUMENTAR N. Estas oscilaciones espurias en los bordes son muy molestas.
Por todo ello, se construyen otras transformadas INTEGRALES e INVERTIBLES,
que den información tanto en el dominio frecuencial como en el dominio temporal: como
la TRANSFORMADA EN VENTANA (o Transformada de Gabor):
W f (w, a) =
R
f (t) e −iwt ¯g (t − a) dt =
f, e iw· g (· − a)
en la que las exponenciales están multiplicadas por una ventana localizada, dando información
tanto respecto de la frecuencia w como de los valores de f en el punto a.
Otra aproximación es la TRANSFORMADA WAVELET, que da información en tiempo
y en escala, y va a resolver el problema de las funciones de soporte compacto.
22

2.1. Transformada continua de wavelets.
Definición 7 Se llama función wavelet a una función ψ ∈ L 1 ∩L 2 que verifique la llamada
“condición de admisibilidad”
R
| ˆ ψ(w)| 2
|w|
dw = Cψ
2π
< ∞. (2.1)
Consecuencia inmediata: Como ˆ ψ es continua, la condición de admisiblidad implica
ˆψ(0) = 0 lo que es equivalente a
Denotaremos para cada a = 0,
R
ψ = 0. (2.2)
ψa(x) = 1
|a| ψ
x
a
que representa la versión dilatada de ψ según el factor de escala |a| (la gráfica de ψ queda
expandida o comprimida, según |a| sea mayor o menor que 1, respectivamente) de tal
forma que la integral queda multiplicada por dicho factor:
|a| ψ, mientras
que la norma no se modifica: ψa = ψ.
Para a, b ∈ R, se define
entonces:
ψa,b(t) = 1
|a| ψ
ψa =
R
t − b
, (2.3)
a
Definición 8 La transformada wavelet de f a escala a y posición b es:
Wf(a, b) :=< f, ψa,b >=
R
f(t)ψa,b(t) dt (2.4)
t − b
Observación: Mediante el cambio de variable u = , se tiene que
a
Wf(a, b) = |a| f(au + b)ψ(u) du
R
Así, si ψ tiene soporte compacto, Wf(a, b) depende solamente de los valores que toma f
alrededor del punto b, en un entorno de longitud proporcional a la escala a. Esta propiedad
de información dual espacio-escala confiere a la transformada wavelet una gran importancia.
23
R

Teorema 8 Sea ψ una función wavelet y Cψ la constante de la condición de admisibilidad;
entonces para cualquier f ∈ L 2 se cumple:
(a) Conservación de la energía:
(b) Reconstrucción:
1
Cψ
R 2
Apunte de demostración:
|Wf(a, b)| 2
a 2
f(t) = 1
Cψ
∞
da db =
Wf(a, b) = < f, ψa,b >=< ˆ f, ˆ ψa,b >=
= √ 2π
R 2
|f(t)|
−∞
2 dt = f 2 . (2.5)
da db
Wf(a, b)ψa,b(t)
a2
|a|
R
|a| F( ˆ f ˆ ψ(a ·))(−b) = √ 2π
Comprobemos que se conserva la energía,
2π
R
|Wf(a, b)| 2
a 2
R2
|
R
ˆ f(b)| 2 | ˆ ψ(a b)| 2 db
da db = 2π
da
|a| =
R
R
R
ˆf(w) ˆ ψ(aw)e ibw dw =
(2.6)
|a| F −1 ( ˆ f ˆ ψ(a ·))(b) (2.7)
|F −1 ( ˆ f ˆ ψ(a ·))(b)| 2
da
db
| ˆ f(b)| 2
2π
R
|a| =
| ˆ
2 da
ψ(a b)| db
|a|
La integral entre corchetes no depende de b y además coincide con la constante Cψ,
con lo que el apartado (a) queda probado.
Probemos la fórmula de reconstrucción (supuesto, para simplificar cálculos, f, ˆ f ∈ L 1 )
R
Wf(a, b)ψa,b(t) db = √ 2π
|a| F
R
−1 ( ˆ f ˆ ψ(a ·))(b)ψa,b(t) db
Consideremos ψa,b(t) como función de b y denotémosla g(b) := ψa,b(t), entonces
Wf(a, b)ψa,b(t) db =
R
√
2π |a| ˆf(w)
R
ˆ ψ(aw)F −1 (g)(w) dw
Calculemos la transforma de Fourier inversa de g,
F −1 (g)(w) = 1
√ g(b)e
2π R
iwb db = 1
1 t − b
√ ψ e
2π |a| R a
iwb db
= 1
√ |a| ψ(y)e
2π R
−iway e iwt
dy = |a|e iwt ψ(aw) ˆ
Sustituyendo,
R
Wf(a, b)ψa,b(t) db = |a| √
2π
R
24
ˆf(w) | ˆ ψ(aw)| 2 e iwt dw.

Dividamos esta expresión por a 2 e integrémosla respecto de la variable a ∈ R,
√
2π |a|
R R
ˆf(w)
ˆ
ψ(aw) 2
lo que prueba el apartado (b).
2.1.1. Algunas propiedades.
e iwt
da
dw
a2 = √
2π
Cψ
1
√
2π
R
R
ˆf(w)
|
R
ˆ
2 da
ψ(aw)|
|a|
ˆf(w)e iwt dw = Cψ f(t)
1. Traslación en el tiempo, g(t) = f(t − t0) ⇒ Wg(a, b) = Wf(a, b − t0).
e iwt dw =
2. Cambio de escala en el tiempo, g(t) = f(kt), k = 0 ⇒ Wg(a, b) = 1
|k| Wf(ka, kb).
3. Fijada una escala a = 0, si se transforman por Fourier ambos extremos de (2.7) se
tiene que
Wf(a, ·)(w)
= 2π|a| ˆ f(w) ˆ ψ(aw) (2.8)
25

2.1.2. Transformada diádica de wavelets.
La transformada wavelet continua presenta una cierta redundancia: de hecho, se demuestra
que basta calcular Wf(a, ·) para una cantidad numerable de escalas (por ejemplo,
las potencias enteras de 2) para poder reconstruir totalmente la señal original.
Definición 9 Dada una wavelet ψ, se define la transformada diádica de wavelets de una
función f ∈ L 2 (R) como la sucesión de funciones de L 2 (Wf(2 j , ·)) j∈Z .
Se trata de una transformada SEMIDISCRETA: considera una cantidad discreta de
escalas 2 j , pero la variable temporal es continua.
El siguiente teorema prueba estos importantes resultados:
De esta transformada diádica se puede recuperar la señal original.
La representación es completa y estable, es decir, unívoca y poco sensible frente a
los errores de cálculo.
Teorema 9 Si existen A, B > 0 tales que
entonces:
∀w = 0, A ≤
ˆ ψ(2 j
w) 2
≤ B (2.9)
a) Existe alguna wavelet Ψ reconstructora en el sentido de que
b) ∀f ∈ L 2 (R) A f 2 ≤ 1
2π j∈Z
Observaciones importantes:
j∈Z
∀f ∈ L 2 (R) 2πf =
1
2 j
j∈Z
Wf(2 j , ·) 2
≤ B f 2
1
2 j Wf(2 j , ·) ∗ Ψ 2 j (2.10)
Esta fórmula de reconstrucción (2.10) se interpreta de la siguiente forma: para recuperar
f a partir de su transformada wavelet diádica Wf (2 j , ·) , en cada escala 2 j hay
que realizar la convolución de Wf (2 j , ·) con la wavelet reconstructora Ψ dilatada a
escala 2 j ; sumando a lo largo de todas las escalas 2 j (con j ∈ Z) se reconstruye f.
Por ello, se habla de la wavelet de análisis (ψ) y la wavelet de síntesis (Ψ)
El factor 1/2 j que aparece es el análogo a 1/a 2 en el caso continuo.
La condición (2.9) es fuerte; de ella se deriva, en particular, la condición de admisibilidad.
26

Demostración del Teorema:
a) Existencia:
Sea Ψ ∈ L 2 (R) la función cuya transformada de Fourier es
ˆΨ (w) =
ˆψ(w)
j∈Z ˆ ψ(2j
w) 2
Tal función existe pues Ψ = ˆ
Ψ
≤ 1
ˆ
ψ
< ∞
También se satisface la condición de admisibilidad.
De esta forma Ψ verifica
Reconstrucción:
j∈Z
A
ˆψ(2 j w) ˆ Ψ(2 j w) = 1
(2.11)
Probemos ahora que cualquier Ψ que verifique esta última igualdad es una wavelet
reconstructora respecto a ψ.
(Además, de ella se deduce que ψ es una wavelet reconstructora respecto a Ψ.)
Multipliquemos por ˆ f(w) y apliquemos (2.8):
ˆf(w) =
j∈Z
Antitransformando, se llega a
2πf =
ˆf(w) ˆ ψ(2jw) ˆ Ψ(2 j w) = 1
√
2π j∈Z
j∈Z
1
2 j
1
2j/2 1
2j/2 Wf(2 j
·
, ·) ∗ Ψ
2j
=
j∈Z
Por último, dicha convolución es la integral:
2πf (x) =
j∈Z
1
2j
Wf 2
R
j , t 1
Ψ
2j/2
Wf(2 j , ·)(w) ˆ Ψ(2 j w) (2.12)
1
2 j Wf(2 j , ·) ∗ Ψ 2 j
x − t
2 j
dt. (2.13)
b) Basta con aplicar la identidad de Parseval a
Wf(2 j , ·)(w) = √ 2π √ 2 j ˆ f(w) ˆ ψ(2 j w) y
utilizar las acotaciones de la hipótesis:
sumando en j :
1
2π j∈Z
1
2 j
Wf(2 j
, ·) 2
=
Wf(2j
, )
2
= 2 j
· 2π
R
ˆ
f(w) 2
ψ(2 ˆ j
w) 2
Wf(2 j
, ·) 2
=
R
ˆ
f(w) 2
j∈Z
ˆ ψ(2 j
w) 2
dw ≤ B
R
ˆ
f(w) 2
dw = B f 2
y la acotación inferior es análoga.
27
dw

Conclusión: Estas desigualdades del resultado prueban, respectivamente, la completitud y
la estabilidad de la transformada diádica de wavelets, siempre que se cumpla la condición
(2.9). Sin embargo, de forma análoga al caso continuo, existe una cierta redundancia entre
las funciones de la sucesión diádica (Wf(2 j , ·)) j∈Z .
Este último comentario nos lleva a preguntarnos si podemos considerar una transformada
wavelet DISCRETA tanto en tiempo como en escala, que también nos proporcione
una representación completa y estable de funciones de L 2 .
2.1.3. Transformada wavelet discreta de funciones de L 2
Partimos de una wavelet ψ; para cada f ∈ L 2 , conocemos su transformada diádica
(Wf(2 j , ·)) j∈Z .
.
Ahora, para cada j ∈ Z, se toma la escala a = 2 −j , y discretizamos también en
el dominio temporal, en los puntos b = 2 −j k, k ∈ Z. (Obsérvese que a mayor escala
tomamos puntos más distantes, pues buscamos información global, mientras que a menor
escala se buscan detalles de la función, y por eso muestreamos en puntos menos distantes
entre sí). En otras palabras, el muestreo en el tiempo se ajusta proporcionalmente
a la escala.
Esta cantidad discreta de coeficientes wavelet son
cj,k = Wf
2 −j , 2 −j k
=< f, ψ 2 −j ,2 −j k > ∀j, k ∈ Z.
Sólo se están tomando una cantidad discreta de trasladadas y dilatadas de la función
wavelet, a saber:
ψ2−j ,2−jk = 1
√
2−j ψ
−j · − 2 k
2−j
= 2 j/2 ψ
2 j · −k
= ψj,k
A partir de ahora utilizaremos esta notación ψj,k : wavelet ψ comprimida 2 j y trasladada
al entero k.
Definición 10 Para cada wavelet ψ, se denota la familia de sus trasladadas y dilatadas
ψj,k = 2 j/2 ψ
2 j · −k
∀j, k ∈ Z.
Para cada f ∈ L2 , se dice que los coeficientes de la TRANSFORMADA
WAVELET DISCRETA DE f son
cj,k =< f, ψj,k >= f (x) ψ (2jx − k)2 j/2 dx.
Estos coeficientes analizan la señal mediante la wavelet ψ.
¿Será posible la reconstrucción de f a partir de su transformada wavelet discreta?
El siguiente teorema nos garantiza la existencia de una wavelet de síntesis ˜ ψ, en el caso
de que ψ sea de BANDA LIMITADA. A ˜ ψ se le denomina la wavelet dual o biortogonal
a ψ.
R
28

Teorema 10 Sea ψ es una wavelet tal que ˆ ψ (w) = 0, ∀w /∈ [−π, π]. Entonces existe otra
wavelet ˜ ψ tal que
∀f ∈ L 2 (R), f =
< f, ψj,k > ˜ ψj,k.
j,k∈Z
Demostración:
Consideramos la transformada diádica de f; como ψ es de banda limitada, también lo
es la función Wf(2−j , ·)(w), puesto que, según la ecuación (2.8) de la sección anterior:
Wf(2 −j , ·)(w) = √ 2π √ 2 −j ˆ f(w) ˆ ψ(2 −j w)
Así pues, si el soporte de ˆ ψ (w) es [−π, π], entonces el soporte de
Wf(2 −j , ·) (w) es
[−2 j π, 2 j π] de longitud 2Ω = 2 j+1 π.
Podemos aplicar a dicha función de banda limitada el Teorema del muestreo de Shan-
non:
Wf(2 −j , t) = sen (Ωt − πn)
n∈Z (Ωt − πn) Wf
2 −j , πn
Ω
donde Ω = 2 j π, luego los puntos de muestreo son πn/Ω = 2 −j n :
Wf(2 −j , t) =
n∈Z
sen (π(2 j t − n))
π (2 j t − n) Wf(2 −j , 2 −j n) =
n∈Z
sen (π2j (t − 2−jn)) π2j (t − 2−j cj,n
n)
De esta forma, la transformada diádica se expresa de forma discreta también en el
tiempo. Sólo falta introducir esta expresión en la reconstrucción diádica de f dada por la
ecuación (2.13) cambiando j por −j:
2πf (x) =
j∈Z
=
1
2 −j Wf(2 −j , ·) ∗ Ψ 2 −j =
2
j∈Z n∈Z
j/2 cj,n
R
j∈Z
2 j
R
2 j Ψ
2 j x − 2 j t sen (π(2jt − n))
π (2j dt
t − n)
2 j/2 Ψ
2 j (x − t)
Wf 2 −j , t
dt =
en esta última integral hacemos el cambio de variable u = n − 2 j t o bien t = 2 −j n − 2 −j u
quedando
Ψ
R
2 j x − n + u sen (πu)
du = I2jx−n πu
luego la fórmula de reconstrucción es
2πf (x) =
j,n∈Z
2 j/2 cj,nI 2 j x−n.
Basta desarrollar Ij,n, que es la integral del producto de dos funciones; por la identidad
de Parseval, es igual a la integral del producto de sus transformadas de Fourier. Es sabido
que la transformada de Fourier del seno cardinal es la función característica y viceversa:
sen (Ω(· − a))
F
(w) =
· − a
29
π
2 e−iwa χ[−Ω,Ω] (w) ,

en particular
sen (πu)
F
(w) =
u
π
2 χ[−π,π] (w) .
Por otro lado, la transformada de Fourier de la otra función es F (Ψ (2 j x − n + ·)) (w) =
ˆΨ (w) e iw(2j x−n) . Todo ello nos lleva a
I2jx−n = 1
ˆΨ (w) e
π R
iw(2jx−n) π
2 χ[−π,π] (w) dw = 1
π
√ ˆΨ (w) e
2π −π
iw(2j
x−n) dw = Ψ 2 j x − n
,
donde se ha aplicado la transformada inversa de Fourier a ˆ Ψ, y el hecho de que ˆ Ψ tenga
como soporte [−π, π] : el mismo que ψ, por la definición de ˆ Ψ dada en (2.11).
Por fin, la introducimos en la fórmula de reconstrucción:
2πf (x) =
2 j/2 cj,nΨ
2 j x − n
=
cj,nΨj,n (x) .
j,n∈Z
j,n∈Z
así que basta definir la wavelet de síntesis como ˜ ψ = Ψ/2π :
f(x) =
j,n∈Z
Consecuencias:
cj,n ˜ ψj,n (x) =
j,n∈Z
< f, ψj,n > ˜ ψj,n (x) =
j,n∈Z
< f, ˜ ψj,n > ψj,n (x) .
De la última expresión se deduce que la familia de funciones B = {ψj,n j, n ∈ Z}
forma base de L 2 (R) .
Las bases B y ˜ B = { ˜ ψj,n j, n ∈ Z} son bases duales (o biortogonales) entre sí:
< ψj,n, ˜ ψk,m >= δj,kδm,n
Como caso particular, si ˜ ψ = ψ, entonces se dice que la wavelet ψ es ortogonal,
puesto que sus trasladadas y dilatadas {ψj,n} lo son:
< ψj,n`,ψk,m >= δj,kδm,n
en particular, se obtiene que ψ = ψj,k = 1, y la base B de L 2 es ortonormada.
En el caso en que
∀w = 0,
ˆ ψ
2 j w 2
j∈Z
= 1
2π
entonces la transformada diádica tiene por cotas A = B = 1 (y es una isometría). Además,
Ψ = 2πψ luego la wavelet reconstructora es ˜ ψ = Ψ/2π = ψ así que la condición anterior
es equivalente a la ortogonalidad de ψ.
30

2.1.4. Wavelets ortogonales.
Definición: Se dice que una wavelet ψ es ortogonal si la familia
ψj,k := 2 j/2 ψ(2 j · −k), j, k ∈ Z
es una base ortonormal de L 2 .
Ejemplo: La función de Haar.
Se trata de encontrar wavelets ψ, de forma que (ψj,k)j,k∈Z sea una base ortonormal de
L 2 , siendo ψj,k := 2 j/2 ψ(2 j · −k)
En ese caso, si f ∈ L 2 , se tendrá
f(x) =
j,k∈Z
< f, ψj,k > ψj,k(x) (2.14)
Tanto más útil será la descomposición cuanto la velocidad de convergencia a cero de los
coeficientes sea grande; hagamos una aproximación heurística al problema de momentos:
El problema de momentos
Sea 2j = n, k = 0, estudiemos la convergencia a cero de
∞
un = f(x)ψ(nx) dx, (2.15)
−∞
sustituyamos la función f por su desarrollo de Taylor con resto integral, por ejemplo:
un =
q
l=0
f (l) (0)
l!
∞
−∞
Si denotamos el momento de orden l de ψ por Ml =
un =
q
l=0
f (l) (0)
l!
l ψ(x)
x
nl+1 dx + Rn (2.16)
∞
x l ψ(x) dx, entonces
Ml
−∞
+ Rn
(2.17)
nl+1 El resto Rn admite una cota del tipo |Rn| ≤ cte
n q+2 .
Podemos concluir que la velocidad de un a cero viene gobernada por el primer momento
no nulo.
Ello lleva a introducir en la definición de wavelet un cierto orden de regularidad,
Definición:
Sea r ∈ N, una wavelet real de orden r es una función ψ : R → R cuya derivada de
orden r es continua a trozos y x q ψ ∈ L 1 (0 ≤ q ≤ r) y que cumple:
a) |ψ (m) (x)| ≤
b)
∞
−∞
cte
, m = 0, 1, . . . , r
1 + |x| r+m+1
x q ψ(x) dx = 0, q = 0, 1, . . . , r
(Observemos que r indica también el orden de cero como raíz de ˆ ψ ya que ˆ ψ (q) (0) =
(−i) q ∞
√ x
2π −∞
q ψ(x) dx.
31

1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
ALGUNOS EJEMPLOS DE WAVELETS
Wavelet que es derivada de una Gaussiana
−0.6
0 200 400 600 800 1000 1200
Propiedades de la WAVELET derivada de una GAUSSIANA:
Es regular
simétrica
pero no posee soporte compacto
ni es ortogonal
32

1.5
1
0.5
0
−0.5
Wavelet de Meyer
−1
0 200 400 600 800 1000 1200
Propiedades de la WAVELET DE MEYER:
Ortogonalidad
Es regular
simétrica
pero no posee soporte compacto
33

1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
Wavelet de Haar
1/2
0 1
−1
0 100 200 300 400 500 600
Propiedades de la WAVELET DE HAAR:
Soporte compacto
Ortogonalidad
No es regular, sino discontinua
No es simétrica
Sólo posee 1 momento nulo
34

2
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
Wavelet de Daubechies de orden 2
−1.5
0 100 200 300 400 500 600 700 800
Propiedades de la WAVELET DE DAUBECHIES DE ORDEN 2:
Soporte compacto
Ortogonalidad
Es sólo continua
No es simétrica
Posee 2 momentos nulos
35

1.5
1
0.5
0
−0.5
Wavelet de Daubechies de orden 4
−1
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
Propiedades de la WAVELET DE DAUBECHIES DE ORDEN 4:
Soporte compacto
Ortogonalidad
Regular
No es simétrica
Posee 4 momentos nulos
36

1.5
1
0.5
0
−0.5
Symlet de Daubechies de orden 8
−1
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
Propiedades de la SYMLET DE DAUBECHIES DE ORDEN 8:
Soporte compacto
Ortogonalidad
Regular
Lo más simétrica posible
Posee 8 momentos nulos
37

1.5
1
0.5
0
−0.5
Wavelet de Coifman (Coiflet) de orden 4
0 0.5 1 1.5 2 2.5
x 10 4
−1
Propiedades de la WAVELET DE COIFMAN (COIFLET) DE ORDEN 8:
Soporte compacto
Ortogonalidad
Regular
Lo más simétrica posible
Posee menos momentos nulos que la de Daubechies
38

Capítulo 3
Análisis de multirresolución
Una idea de multirresolución.
Sea f una señal de energía finita (f ∈ L 2 (R)) y Aj un operador (un sistema) que la
aproxima a resolución 2 j .
Si g = Aj(f) es una aproximación a resolución 2 j parece natural suponer que Aj(g) = g
ya que estamos aproximando g a la misma resolución.
Esto es lo mismo que decir que Aj ◦Aj = Aj es decir, Aj es un proyector que proyecta
sobre un determinado subespacio Vj de L 2 (R): precisamente el de las aproximaciones a
resolución 2 j de las funciones de energía finita.
Si de entre todas las aproximaciones a tal resolución Aj(f) es la mejor o la más
parecida a f entonces la proyección es ortogonal.
Imaginemos ahora que queremos aproximar a mayor resolución 2 j+1 ; a mayor resolución
menor escala, parece que al menos la información de la señal que está en Vj también
debe estar en el subespacio de las aproximaciones a mayor resolución: Vj ⊂ Vj+1
Al reescalar la variable en una señal f aumentamos o disminuimos la resolución según
la escala sea mayor o menor que 1, esto puede expresarse diciendo que f(x) ∈ Vj ⇐⇒
f(2x) ∈ Vj+1.
La construcción de la wavelet ψ pasa a través de una descomposición de L 2 (R) en
subespacios cerrados, encajados y de una función φ llamada función de escala
Definición 11 Una sucesión (Vj)j∈Z de subespacios cerrados de L 2 (R) es un análisis
multirresolución de L 2 (R) (o también aproximación multiescala) si se cumple:
1. La sucesión (Vj)j∈Z es creciente, es decir, Vj ⊂ Vj+1 ∀j ∈ Z.
2. lím Vj =
j→∞
Vj es denso en L
j∈Z
2 (R) y lím
j→−∞ Vj =
Vj = {0}.
j∈Z
3. f ∈ V0 ⇐⇒ ∀j ∈ Z, f(2 j · ) ∈ Vj.
4. ∃ φ tal que (φ( · − k))k∈Z es una base de Riesz de V0.
Ejemplos:
39

Para cada j entero, consideremos el subespacio Vj de L 2 (R) de las funciones constantes
en intervalos [2 −j k, 2 −j (k+1)] cualquiera que sea k entero. Es claro que se
cumplen las condiciones de la definición de multirresolución. Los subespacios Vj son
versiones reescaladas de V0 que es el espacio de las funciones constantes sobre intervalos
de longitud unidad y extremos enteros. Como función φ tomamos la función
característica del intervalo [0, 1].
Análogamente, sea Vj el subespacio de L 2 (R) formado por las funciones lineales
en intervalos [2 −j k, 2 −j (k+1)] cualquiera que sea k entero. Demostraremos que una
función de escala φ asociada a este análisis multirresolución es la función “sombrero”
definida por
⎧
⎪⎨
x si 0 ≤ x ≤ 1 ⎧
⎨1
− |1 − x| si x ∈ [0, 2]
φ (x) = 2 − x si 1 ≤ x ≤ 2 =
⎪⎩
⎩0
si x /∈ [0, 2]
0 si x /∈ [0, 2]
.
Consecuencias de la definición de análisis multirresolución
1. Si (Vj)j∈Z es análisis multirresolución de L 2 (R) entonces (φ(2 j · −k))k∈Z es base
de Riesz de Vj.
2. Dada una función cualquiera g de L2 (R), la condición de densidad
Vj = L 2 (R) se
j∈Z
traduce en la existencia de una sucesión de funciones (gj)j∈Z de forma que gj ∈ Vj y
Por otra parte, que (φ(2 j
Es decir,
g = lím
j→∞ gj.
· −k))k∈Z sea base de Vj permite escribir para cada j
gj(x) =
k∈Z
γj,k φ(2 j x − k).
∀g ∈ L 2 (R), ∃ (γj,k)j,k∈Z, ∀j ∈ Z, (γj,k)k∈Z ∈ ℓ 2
g(x) = lím γj,k φ(2
j→∞
k∈Z
j x − k). (3.1)
3. La media de la función φ, esto es ˆ φ(0) = 1
√ φ(x) dx, es no nula ya que para
2π R
una g ∈ L2 (R) cualquiera, tomando la transformada de Fourier en (3.1),
ˆg(w) = lím
j→∞
k∈Z
40
γj,k
2j e−ikw/2j
φˆ
w
2j

y evaluando en cero:
⎛
γj,k
ˆg(0) = ⎝ lím
j→∞
k∈Z 2j ⎞
⎠ φ ˆ (0)
y, obviamente, dado que existen funciones g tales que ˆg(0) = 0, puesto que
se concluye que ˆ φ(0) = 0.
ˆg(w) = 1
√ e
2π R
iwx g(x) dx ⇒ ˆg(0) = 1
√ g(x) dx
2π R
3.0.5. La ecuación de escala (o de dilatación).
De la definición de análisis multirresolución se deduce que
φ ∈ V0 ⊂ V1 = L(φ(2 · −k))k∈Z;
esto significa que la función de escala φ puede expandirse como combinación lineal infinita
de su dilatada φ(2 · ) y sus trasladadas: es decir, existen unos coeficientes (hk) k∈Z ∈ ℓ 2
tales que
φ(x) = √
2hk φ(2x − k) (3.2)
k∈Z
Esta identidad se denomina ECUACIÓN DE ESCALA. Los coeficientes hk constituyen
el filtro h = (hk) k∈Z asociado a la función de escala. (El factor √ 2 se introduce por razones
de normalización).
Veamos cómo a partir de dicho filtro podemos obtener la función de escala φ.
Apliquemos la transformada de Fourier a ambos miembros de la ecuación de escala:
ˆφ(w) = 1
√ hke
2 k∈Z
−ikw/2
φˆ
w
.
2
Sea H la transformada de Fourier de la señal discreta
hk/ √ 2
el polinomio trigonométrico de coeficientes
hk/ √ 2
entonces
k∈Z ,
H(w) := 1
√ hke
2 k∈Z
−ikw
ˆφ(w) = H
k∈Z
; es decir, H denota
(3.3)
w
ˆφ
w
. (3.4)
2 2
41

3.0.6. Algunas propiedades de H
1. H es periódica de período 2π.
2. La serie trigonométrica |H| 2 está asociada al filtro r de autocorrelación de h,
definido como rm :=
hkhk−m; comprobémoslo:
|H(w)| 2 = 1
2
j,k∈Z
k∈Z
hjhke −iw(j−k) = 1
2
j,m∈Z
hjhj−me −imw = 1
2
rme
m∈Z
−imw . (3.5)
3. |H(w)| = |H(−w)|, siendo H la función trigonométrica cuyos coeficientes son los
del filtro conjugado (hk). la comprobación es inmediata teniendo en cuenta que los
coeficientes del filtro r de autocorrelación de h cumplen r−m = rm.
4. H(0) = 1
√ hk = 1,
2 k∈Z
basta tomar w = 0 en la definición de H (3.3) y en la relación de las transformadas
de Fourier (3.4) y, teniendo en cuenta que φ tiene media no nula ˆ φ(0) = 0, se
concluye el resultado.
5. El filtro h es un filtro paso bajo por ser H(0) NO NULO: el filtro asociado a la
función de escala φ es paso bajo.
6. Por la periodicidad de H, se tiene que H(2π) = H(0) = 1; introduciéndolo en la
ecuación (3.4) se obtiene que
luego
ˆφ(4π) = H(2π) ˆ φ(2π) = ˆ φ(2π)
ˆφ(2π) = ˆ φ(4π) = ˆ φ(8π) = · · · = ˆ φ(2 N π).
Si se impone un mínimo decaimiento de ˆ φ (por ejemplo, que φ esté en L 1 , para que
ˆφ (w) → 0 cuando |w| → ∞), entonces necesariamente ˆ φ(2 N π) = 0 = ˆ φ(2π) de
donde
0 = ˆ φ(2π) = H (π) ˆ φ (π)
con lo cual es lógico imponer que H(π) = 0. Se verá más adelante que esta condición
es lógica, pues implica que la wavelet tenga necesariamente integral nula.
3.1. Obtención de la función de escala φ
Toda función de escala tiene asociado un filtro paso bajo,
pero NO TODO filtro paso bajo genera una función de escala. (Se necesita una
condición de convergencia que se muestra en el próximo teorema 11).
42

En tal caso, ¿cómo obtener φ a partir de su filtro baso bajo asociado h? Veamos
que se consigue iterando la propiedad (3.4)
y pasando al límite:
ˆφ(w) = H
w
H
2
w
. . . H
4
w
2j
ˆφ
w
2j
ˆφ(w) =
w
H
2j
lím ˆφ
w
j→∞ 2j ⎛
= ⎝
w
H
2j j≥1
j≥1
⎞
⎠ ˆ φ(0).
Por tanto, si el productorio
w
H
2j
converge, entonces la función de escala queda
determinada salvo un factor no nulo ˆ φ(0), que es su media.
j≥1
Si se normaliza φ de forma que tenga media 1 (es decir, φ = 1 o, equivalentemente,
ˆφ(0) = 1/ √ 2π), entonces la única función de escala asociada al filtro h es
ˆφ(w) = 1
√ 2π
w
H
j≥1 2j
(3.6)
Es decir, si la función H asociada al filtro h cumple cierta propiedad de convergencia,
entonces obtenemos ˆ φ y, antitransformando, se obtiene φ.
Teorema 11 Sea h = (hk)k∈Z ∈ ℓ 2 un filtro tal que
k∈Z hk = √ 2, y sea H(w) =
k∈Z hke −ikw / √ 2 su serie trigonométrica asociada. Supóngase que la función F definida
por
F (w) = 1
J
w
√ lím H
2π J→∞
j=1 2j
está en L 2 (R) y verifica lím|w|→∞ F (w) = 0.
Entonces existe una función de escala φ asociada al filtro h determinada por ˆ φ = F
con φ = 1.
Ejemplo: la función de escala de Haar
La función de escala φ que genera el análisis multirresolución de funciones constantes
sobre intervalos de la forma [2 −j k, 2 −j (k + 1)] es la función característica del intervalo
[0,1].
Ecuación de escala: φ (x) = φ (2x) + φ (2x − 1)
Filtro asociado: h =
h0 = 1/ √ 2, h1 = 1/ √ 2
Polinomio trigonométrico: H (w) = 1
2
43
1 + e −iw

Figura 3.1: Función de escala.
pues los únicos coeficientes no nulos son h0 = h1 = 1/ √ 2.
Es un filtro paso bajo con hn = √ 2, lo que equivale a H (0) = 1.
El filtro es FINITO porque el SOPORTE DE φ ES COMPACTO.
¿Se podría haber construido φ a partir del filtro h? Sí pues el productorio converge
a una función de L 2 :
1
J
w
√ lím H
2π J→∞
j=1 2j
= ˆχ[0,1] (w) (ejercicio)
luego las funciones de escala asociadas al filtro finito paso bajo h = (1, 1) / √ 2 son las
proporcionales a χ[0,1]; de entre ellas la única de media 1 es φ = χ[0,1].
Observación: Esta función de escala servirá para construir la wavelet ψ de Haar.
(Ejercicio: Realizar el mismo estudio -determinación de la ecuación de escala, fitro y
función trigonométrica asociados– para la función “sombrero” definida previamente.)
3.1.1. Algoritmo en cascada para obtener φ
A partir del filtro h con hk = √ 2 en la práctica no se utiliza el método teórico
de antitransformar la ecuación (3.6), sino que se construye una sucesión de funciones
φ (i) que converge a la función de escala φ.
i∈N
El algoritmo, conocido como ALGORITMO EN CASCADA, es el siguiente:
φ (0) = χ[0,1)
∀i ∈ N, φ (i) (x) =
44
k∈Z
√ 2 hkφ (i−1) (2x − k)

que, si el filtro cumple la condición de convergencia del teorema 11, converge a la función φ
que satisface la ecuación de escala, además de que φ = 1 (puesto que φ (i) = φ (i−1) =
· · · = φ (0) = 1).
Gráfica de φ (i) en los puntos m/2 i
Para i = 0, es obvio que φ (0) en los enteros toma valores de una delta de Kronecker:
v (0) =
φ (0) (m)
m = (δm,0)
m = δ.
En la etapa i = 1, se tiene que en los semienteros, φ (1) toma los valores v (1)
=
φ (1) (m/2)
que son
m
φ (1)
m
=
2
√
2 hkφ
k∈Z
(0) (m − k) = √
2 hkδm−k,0 =
k∈Z
√ 2 hm = √ 2 (h ∗ δ) m
Obsérvese que v (1) = √ 2h = √ 2 (h ∗ δ0) = √ 2
h ∗ v (0) .
En general, si en la etapa i − 1 se conoce el valor de φ (i−1) en los puntos de la forma
m/2i−1 , y se introducen en el vector
v (i−1) =
(i−1)
φ m/2 i−1
m
entonces, en la etapa i−ésima, podemos calcular fácilmente el valor de φ (i) en los puntos
de la forma k/2i , (que constituyen el vector v (i) )
v (i)
m = φ (i)
m
2i
= √
2 hkφ
k∈Z
(i−1) ( m
− k) =
2i−1 = √
2 hkφ
k∈Z
(i−1) ( m − 2i−1k 2i−1 ) = √
2 hkv
k∈Z
(i−1)
m−2i−1k =
= √
2 h ↑ 2
n∈Z
i−1
n v(i−1) m−n
donde el vector
h ↑ 2 i−1
es el vector que resulta de intercalar 2i−1 coeficientes nulos
entre cada dos coeficientes de h :
h ↑ 2 i−1
hk si n = 2
(n) =
i−1k 0 resto
Hemos deducido que
v (1) = √ 2h
∀i > 1, v (i) = √ 2
h ↑ 2 i−1
∗ v (i−1)
así que en cada iteración no hay más que realizar una convolución del vector anterior
v (i−1) con el filtro paso bajo h convenientemente extendido con ceros.
(Ejercicio: Hallar la función de transferencia (transformada de Fourier) del filtro que
transforma v (0) en v (i) ).
En resumen, con un número no muy alto de iteraciones (i = 10) se obtiene la gráfica
de φ (10) en los puntos de la forma m/2 10 , m ∈ Z, y, si φ es continua, dan una buena
aproximación de la gráfica de φ en el dominio temporal, sin necesidad de conocer su
trasnformada de Fourier.
45

3.2. El caso ortogonal
Consideremos, como antes, la función de escala
φ(x) = √
2hkφ(2x − k)
k∈Z
Impongamos ahora la condición de que φ sea ortogonal a sus trasladadas; así pues
añadimos el requisito de que φ dé lugar a una base ortogonal; sustituimos 4. de la definición
de análisis multirresolución por:
4. ∃ φ tal que (φ( · − k))k∈Z es una base ortonormal de V0, es decir
Observación importante:
∀f ∈ V0, f =
< f, φ( · − k) > φ( · − k)
k∈Z
(φ( · − k))k∈Z ortonormal ⇔ < φ, φ( · − k) >= δk,0, es decir φ es ortogonal a sus
trasladadas y unitaria: φ = 1
Supuesta la existencia de φ con el requisito (4), la base de Vj antes expresada se
normaliza con el coeficiente 2 j/2 :
φ(2 j
· −k) 2 ∞
=
|φ(2
−∞
j x − k)| 2 dx = 2 −j
∞
|φ(x)|
−∞
2 dx = 2 −j φ = 2 −j
con lo que (φj,k = 2 j/2 φ(2 j · −k))k∈Z es base ortonormal de Vj. En particular, (φ1,k =
√ 2φ(2 · −k))k∈Z es base ortonormal de V1.
Recordemos la ecuación de escala (3.2)
φ(x) =
k∈Z
hk
√ 2φ(2x − k) =
k∈Z
hk φ1,k.
De hecho, el factor √ 2 se introdujo para que la sucesión de coeficientes h = (hk)k∈Z sean
las coordenadas de φ respecto de la base ortonormal (φ1,k = √ 2φ(2 · −k))k∈Z de V1.
Por tanto,
hk =< φ, φ1,k >=< φ, √ 2φ(2 · −k) > .
Teorema 12 Si la función φ y sus trasladadas forman una familia ortonormal de funciones
de L 2 , entonces el filtro h y sus trasladados pares forman familia ortonormal de
vectores (sucesiones) de ℓ 2 .
46

Demostración: Basta aplicar la ecuación de escala a φ y a cualquier trasladada suya
φ( · − k), e imponer la condición de ortogonalidad entre ambas
δk,0 = < φ, φ( · − k) >=
√
= 2 hjφ(2 · −j),
√
2 hmφ(2 · − (2k + m)) =
j∈Z
= 2
=
j,m∈Z
j,m∈Z
=
j,m∈Z
=
m∈Z
hjhm
hjhm
R
R
hjhmδj,2k+m =
h2k+mhm
m∈Z
La ortogonalidad de φ implica que h verifica
φ(2x − j)φ(2x − (2k + m)) dx =
φ(t − j)φ(t − (2k + m)) dt =
hmhm+2k = δk,0
m∈Z
(3.7)
lo cual significa que h es ortogonal a sus trasladados pares y que, para k = 0,
k∈Z |hm| 2 =
1 o sea, h ∈ ℓ2 y es unitario. Éstas son las dos condiciones de ortogonalidad para el filtro.
NOTA: Sin embargo, el recíproco no es cierto. La ortogonalidad del filtro no implica
la ortogonalidad de la función de escala a no ser que la función trigonométrica H verifique
una condición extra. Esto se verá en el Teorema 14, pero antes estudiaremos ciertas
propiedades de la H en el caso ortogonal.
3.2.1. Propiedades de la función trigonométrica H en el caso
ortogonal
Además de las que ya hemos mencionado, H verifica nuevas propiedades en el caso
ortogonal:
Teorema 13 Las tres condiciones siguientes son equivalentes (y necesarias para la
ortonormalidad de φ y sus trasladadas):
a) h y sus trasladados pares forman una familia ortonormada de vectores en ℓ 2
b) El filtro de autocorrelación de h verifica r2m = δm,0
c) La función H es tal que
|H(w)| 2 + |H(w + π)| 2 = 1 (3.8)
47

Demostración:
En efecto, a) y b) son equivalentes por la definición de r2m y la condición de ortogonalidad
(3.7).
Por otro lado, siempre se verifica que
|H(w)| 2 + |H(w + π)| 2 = 1
⎛
⎝
2
rme
m∈Z
−imw +
rm(−1)
m∈Z
m e −imw
⎞
=
⎠ =
r2ke −i2kw
k∈Z
y para que esta serie trigonométrica sea constante e igual a 1, es necesario y suficiente
que sus coeficientes de Fourier r2k sean todos nulos salvo r0 = 1; ello equivale a que se
cumpla b).
Otras propiedades son:
Consecuencia de lo anterior (ecuación 3.8), evaluando en 0, dado que H(0) = 1,
se tiene que H(π) = 0. Es decir,
k∈Z hk(−1) k = 0, lo cual es necesario para que
genere una wavelet de integral nula (al menos 1 momento nulo).
Si además h es real entonces |H(−w)| = |H(w)| y junto con (3.8) se tiene que
|H(w)| 2 + |H(π − w)| 2 = 1 con lo cual, aparte de obtener que H(π/2) = 1/2, basta
sólo definir H en [0, π/2].
Veamos por fin una condición suficiente para que un filtro dé lugar a φ ORTONOR-
MADA:
Teorema 14 Sea H una serie trigonométrica que verifica (3.8), con H(0) = 1, y que
genera una función de escala ψ mediante 3.6.
Si H no se anula en [−π/2, π/2], entonces φ y sus trasladadas forman una familia
ortonormada en L 2 .
48

3.3. Construcción de bases para los suplementarios
ortogonales de Vj−1 en Vj
Supongamos que (Vj) es un análisis multirresolución tal que las trasladadas de φ
constituyen una base ortonormal de V0; es decir, nos centramos en el caso ortogonal. Se
desea construir una wavelet ψ de modo que sus dilatadas y trasladadas diádicas:
ψj,k = 2 j/2 ψ(2 j . − k), j, k ∈ Z
constituyan una base ortonormada de L 2 .
Teniendo en cuenta que los subespacios Vj son cerrados y cumplen Vj ⊂ Vj+1, denotemos
Wj el complemento ortogonal de Vj en Vj+1, Vj+1 = Vj ⊕ Wj; esto quiere decir que
si tenemos una señal f a resolución 2 j+1 y proyectamos a resolución inferior 2 j entonces
f = Pjf +
< f, ψj,k > ψj,k
k∈Z
donde Pj representa la proyección ortogonal en el espacio Vj donde se recoge la versión
“suavizada”de f y la diferencia f − Pjf representa el “detalle”de f, que está en Wj y
expresamos como
< f, ψj,k > ψj,k. Se trata, pues, de describir un procedimiento para
k∈Z
la construcción de la wavelet ψ y las consiguientes bases (ψj,k, k ∈ Z) de cada Wj.
Fijémonos en la estructura de los suplementarios ortogonales Wj; en primer lugar, son
ortogonales dos a dos, además dados dos índices j < J se tiene:
Vj ⊂ Vj+1 ⊂ · · · ⊂ VJ,
VJ = Vj ⊕ Wj ⊕ Wj+1 ⊕ · · · ⊕ WJ−1 = Vj
y, dado que L 2 (R) = lím
J→∞ VJ, tenemos un primer resultado,
L 2
(R) = Vj Wn.
n≥j
J−1
Por otro lado, dado que {0} = lím
j→−∞ Vj, podemos concluir que
L 2 (R) =
Wj.
j∈Z
Por lo que interesa construir bases de cada Wj, preferiblemente ortonormales. Los
subespacios Wj heredan la propiedad de escala:
f ∈ Wj ⇒ f(2 · ) ∈ Wj+1
Por ello es por lo que empezamos construyendo una base para W0 que es el complemento
ortogonal de V0 en V1, con la idea de que sus dilatados nos proporcionen bases de los
sucesivos Wj.
49
n=j
Wn

Sea ψ ∈ W0 ⊂ V1, entonces:
a) ψ(x) = √ 2
gkφ(2x − k),
k∈Z
b) ψ ⊥ V0 ⇒ ∀ k < ψ, φ( · − k) >= 0.
¿Cómo escoger gk para que (ψ(2 j · −k))k∈Z sea base ortogonal de Wj? (Equivalentemente,
(ψ(2 j · −k))k,j∈Z base de L 2 (R))
Para j = 0, imponemos la condición de que ψ sea ortogonal a sus desplazados y de
norma 1:
c) ∀ k < ψ, ψ( · − k) >= δk,0.
Veamos qué deben cumplir los coeficientes gk de ψ para que se satisfagan b) y c):
b) 0 = < ψ, φ( · − k) >=
= 2
gjhm < φ(2 · −j), φ(2 · −2k − m) >=
j,m
g2k+mhm
m
c) δk,0 = < ψ, ψ( · − k) >=
= 2 gjφ(2x − j)
gmφ(2x − (2k + m)) dx =
R
j∈Z
= 2
j,m∈Z
gjgm
R
m∈Z
φ(2x − j)φ(2x − (2k + m)) dx =
m∈Z
gm+2kgm
Observamos que, si φ es ortogonal, entonces la condición de ortogonalidad de ψ
y sus trasladadas equivale a una condición de ortogonalidad de g respecto a sus
trasladados pares.
El siguiente esquema muestra en la primera fila los coeficientes de g, en la segunda los
de h. La condición b) para k = 0 es
gjhj = 0 (=< g, h >, producto escalar en ℓ2 de g
por h),
j∈Z
· · · g−2 g−1 g0 g1 g2 g3 · · ·
· · · h−2 h−1 h0 h1 h2 h3 · · ·
Una posible elección para g consiste en reflejar, alternar signos y conjugar:
gk = (−1) k h1−k
· · · h3 −h2 h1 −h0 h−1 −h−2 · · ·
· · · h−2 h−1 h0 h1 h2 h3 · · ·
50
(3.9)

Obviamente se cumple la condición b) para k = 0; veamos que con esta elección se
cumplen tanto b) como c) ya que
< φ(· − m), ψ > = 2
hk(−1)
j,k
j h1−j
=
(−1) k hkh1−2m−k =
k
R
φ(2x − (2m + k))φ(2x − j) dx =
k
h2kh1−2m−2k −
k
h1−2m−2kh2k = 0
gm+2kgm =
m∈Z
(−1)
m∈Z
m+2k h1−(m+2k)(−1) m h1−m =
h1−m−2kh1−m = δk,0.
m∈Z
Consideremos pues, el filtro g = ((−1) k h1−k)k∈Z, definido a partir de h = (hk)k∈Z; el
par (h, g) se denomina par de filtros conjugados de cuadratura. La función ψ se escribe
ψ(x) = √ 2
(−1) k h1−k φ(2x − k), (3.10)
k∈Z
Procedamos a transformar mediante Fourier la relación que define ψ (los cálculos son
idénticos a los realizados con la ecuación de escala); llegando a
ˆψ(w) = 1
√ (−1)
2 k∈Z
k h1−ke −ikw/2
φˆ
w
2
Si definimos la serie trigonométrica G(w) := 1
√ 2
pero además, y en relación con H,
ˆψ(w) = G
w
ˆφ
w
2 2
(−1)
k∈Z
k h1−ke −ikw , entonces
G(w) = 1
√ (−1)
2 k∈Z
k h1−ke −ikw = 1
√ h1−ke
2 k∈Z
−ik(w+π)
= 1
√ hme
2 m∈Z
mi(w+π) e −i(w+π) = −e −iw H(w + π) (3.11)
51

Magnitud de la respuesta en frecuencia
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
|H(w)| 2
FILTROS DE CUADRATURA EN ESPEJO
|G(w)| 2
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
frecuencias (w)
Figura 3.2: Cuadratura en espejo.
Algunas propiedades de G, que se deducen de las análogas de H,
1. G es periódica de período 2π.
2. G(0) = H(π) = 0,
3. G(π) = H(0) = 1,
(estas dos primeras propiedades caracterizan g como filtro paso alto.)
4. |G(w)| 2 + |G(w + π)| 2 = 1.
5. Condición de aliasing nulo: H(w)G(w) + H(w + π)G(w + π) = 0.
6. Si además el filtro tiene coeficientes reales, entonces |G(w)| = |G(−w)| = |G(2π −
w)|, y la igualdad anterior se escribe como |G(w)| 2 + |G(π − w)| 2 = 1. Como consecuencia,
basta definir |G| en [0, π/2].
Puede concluirse que la matriz
H(w) H(w + π)
G(w) G(w + π)
(3.12)
es unitaria.
Observación: la condición de norma 1 de cada fila de esta matriz equivale a la condición
distorsión mínima, mientras que la ortogonalidad de las filas (o columnas) se corresponde
a la condición de aliasing nulo.
52

Teorema 15 La familia (ψ( · − k)k∈Z) es una base ortonormal de W0.
Demostración: Dado que V1 = V0 ⊕ W0, basta probar que φ(2 · −m) puede expresarse
como combinación lineal de las trasladadas de φ y las trasladadas de ψ, sea cual sea el
valor entero de m; esto es se trata de encontrar sucesiones (ckm)k∈Z, (dkm)k∈Z de forma
que
φ(2x − m) =
ckmφ(x − k) +
dkmψ(x − k) (3.13)
Tomemos la transformada de Fourier de ambos miembros,
k
1
2 e−imw/2
φˆ
w
=
2
ckme
k
−ikw
φ(w) ˆ + dkme
k
−ikw ψ(w) ˆ =
ckme
k
−ikw
w
H +
2
dkme
k
−ikw
w
G
2
ˆφ
w
.
2
Debido al carácter unitario de (3.12) se tiene:
H
Tomando semisuma y semidiferencia:
1
2 H
w
2
H
w w w w
H H + G G = 1
2 2 2 2
w w
w w
H + π + G G + π = 0
2 2 2 2
w w
± H + π
2 2
+ 1
2 G
k
w
2
G
Esta última igualdad permite hacer la identificación:
w w
± G + π
2 2
= 1
2
ckme
k
−ikw = e−imw/2
w
H + (−1)
2 2
m
w
H + π
2
dkme
k
−ikw = e−imw/2
w
G + (−1)
2 2
m
w
G + π
2
Incluso podemos identificar las nuevas coordenadas en función de los coeficientes del filtro,
El teorema queda demostrado.
ckm = 1
√ 2 hm−2k, dkm = 1
√ 2 h1−m+2k(−1) m .
53

Resumen
Función de escala φ ⇐⇒ filtro paso bajo h
Wavelet básica ψ ⇐⇒ filtro paso alto g
φ ∈ L 2 (R) (respectivamente ψ) es ortogonal a sus trasladados
⇓
h (respectivamente g) y sus trasladados pares son ortogonales
⇕
H ∈ L 2 ([0, 2π]), |H(w)| 2 + |H(w + π)| 2 = 1 (3.14)
( respectivamente G ∈ L 2 ([0, 2π]), |G(w)| 2 + |G(w + π)| 2 = 1)
Y, además:
< φ, ψ >= 0, < h, g >= 0, H(w)G(w) + H(w + π)G(w + π) = 0
54

Bibliografía
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Computation, Wavelets., Springer (1998).
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73