La transformada wavelet: una introducción - Departamento de ...

Sea ψ ∈ W0 ⊂ V1, entonces:
a) ψ(x) = √ 2
gkφ(2x − k),
k∈Z
b) ψ ⊥ V0 ⇒ ∀ k < ψ, φ( · − k) >= 0.
¿Cómo escoger gk para que (ψ(2 j · −k))k∈Z sea base ortogonal de Wj? (Equivalentemente,
(ψ(2 j · −k))k,j∈Z base de L 2 (R))
Para j = 0, imponemos la condición de que ψ sea ortogonal a sus desplazados y de
norma 1:
c) ∀ k < ψ, ψ( · − k) >= δk,0.
Veamos qué deben cumplir los coeficientes gk de ψ para que se satisfagan b) y c):
b) 0 = < ψ, φ( · − k) >=
= 2
gjhm < φ(2 · −j), φ(2 · −2k − m) >=
j,m
g2k+mhm
m
c) δk,0 = < ψ, ψ( · − k) >=
= 2 gjφ(2x − j)
gmφ(2x − (2k + m)) dx =
R
j∈Z
= 2
j,m∈Z
gjgm
R
m∈Z
φ(2x − j)φ(2x − (2k + m)) dx =
m∈Z
gm+2kgm
Observamos que, si φ es ortogonal, entonces la condición de ortogonalidad de ψ
y sus trasladadas equivale a una condición de ortogonalidad de g respecto a sus
trasladados pares.
El siguiente esquema muestra en la primera fila los coeficientes de g, en la segunda los
de h. La condición b) para k = 0 es
gjhj = 0 (=< g, h >, producto escalar en ℓ2 de g
por h),
j∈Z
· · · g−2 g−1 g0 g1 g2 g3 · · ·
· · · h−2 h−1 h0 h1 h2 h3 · · ·
Una posible elección para g consiste en reflejar, alternar signos y conjugar:
gk = (−1) k h1−k
· · · h3 −h2 h1 −h0 h−1 −h−2 · · ·
· · · h−2 h−1 h0 h1 h2 h3 · · ·
50
(3.9)