La transformada wavelet: una introducción - Departamento de ...

Con ℓ ∞ (Z) (ℓ ∞ ) se representan las sucesiones acotadas:
ℓ ∞ (Z) = {(xn)n∈Z, sup |xn| := x∞ < ∞} (1.23)
n∈Z
Definición 2 Sea (xn)n∈Z ∈ ℓ 2 ; se dice que su transformada de Fourier es la función de
L 2 p(0, 2π):
X(w) =
∞
n=−∞
xne −iwn . (1.24)
Análogamente, la transformada inversa de Fourier de una función X de L 2 p(0, 2π) es
la sucesión
xn = 1
2π
X(w)e
2π 0
iwn dw. (1.25)
De hecho, xn es el n-ésimo coeficiente de Fourier de la función X(−w). De los teoremas
demostrados en la sección anterior se desprende que la transformada de Fourier es una
aplicación biyectiva entre ℓ 2 y L 2 p(0, 2π):
ℓ 2 ↔ L 2 p(0, 2π)
(xn)n∈Z ↔ X
Además, se trata de una isometría, pues conserva el producto escalar (y la norma):
〈(xn)n∈Z, (yn)n∈Z〉 ℓ 2 = 〈X, Y 〉 L 2 p(0,2π)
(xn)n∈Z ℓ 2 = X L 2 p(0,2π)
En cuanto a los espacios para señales analógicas, se consideran funciones f de R en C;
es decir, funciones de una variable continua, que pueden tomar valores reales o complejos.
Entonces:
Se denotará por C(R) el espacio de las funciones continuas de variable real y valores
reales o complejos.
Se denotará por L 1 (R) el espacio de de las funciones de módulo integrable, esto es:
L 1 ∞
(R) = {f : R → C, |f(t)| dt := f1 < ∞} (1.26)
−∞
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