La transformada wavelet: una introducción - Departamento de ...

Teorema 8 Sea ψ una función wavelet y Cψ la constante de la condición de admisibilidad;
entonces para cualquier f ∈ L 2 se cumple:
(a) Conservación de la energía:
(b) Reconstrucción:
1
Cψ
R 2
Apunte de demostración:
|Wf(a, b)| 2
a 2
f(t) = 1
Cψ
∞
da db =
Wf(a, b) = < f, ψa,b >=< ˆ f, ˆ ψa,b >=
= √ 2π
R 2
|f(t)|
−∞
2 dt = f 2 . (2.5)
da db
Wf(a, b)ψa,b(t)
a2
|a|
R
|a| F( ˆ f ˆ ψ(a ·))(−b) = √ 2π
Comprobemos que se conserva la energía,
2π
R
|Wf(a, b)| 2
a 2
R2
|
R
ˆ f(b)| 2 | ˆ ψ(a b)| 2 db
da db = 2π
da
|a| =
R
R
R
ˆf(w) ˆ ψ(aw)e ibw dw =
(2.6)
|a| F −1 ( ˆ f ˆ ψ(a ·))(b) (2.7)
|F −1 ( ˆ f ˆ ψ(a ·))(b)| 2
da
db
| ˆ f(b)| 2
2π
R
|a| =
| ˆ
2 da
ψ(a b)| db
|a|
La integral entre corchetes no depende de b y además coincide con la constante Cψ,
con lo que el apartado (a) queda probado.
Probemos la fórmula de reconstrucción (supuesto, para simplificar cálculos, f, ˆ f ∈ L 1 )
R
Wf(a, b)ψa,b(t) db = √ 2π
|a| F
R
−1 ( ˆ f ˆ ψ(a ·))(b)ψa,b(t) db
Consideremos ψa,b(t) como función de b y denotémosla g(b) := ψa,b(t), entonces
Wf(a, b)ψa,b(t) db =
R
√
2π |a| ˆf(w)
R
ˆ ψ(aw)F −1 (g)(w) dw
Calculemos la transforma de Fourier inversa de g,
F −1 (g)(w) = 1
√ g(b)e
2π R
iwb db = 1
1 t − b
√ ψ e
2π |a| R a
iwb db
= 1
√ |a| ψ(y)e
2π R
−iway e iwt
dy = |a|e iwt ψ(aw) ˆ
Sustituyendo,
R
Wf(a, b)ψa,b(t) db = |a| √
2π
R
24
ˆf(w) | ˆ ψ(aw)| 2 e iwt dw.