La transformada wavelet: una introducción - Departamento de ...

periódica del vector yN :
⎛
⎜
yN = ⎜
⎝
y0
y1
y2
.
yN−1
⎛
⎜
⎞ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ = ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎜
⎝
h0
h1
hL−2
hL−1
0
.
.
0
h0
. ..
· · ·
hL−2
hL−1
. ..
0
· · ·
. ..
h0
· · ·
hL−2
. ..
hL−1
0
0
h0
· · ·
. ..
hL−2
hL−1
.. .
. ..
· · ·
0
h0
. ..
· · ·
· · ·
hL−1
. ..
0
· · ·
0
. ..
· · ·
h2
· · ·
. ..
0
0
· · ·
. ..
h0
⎞
h1
⎟
h2 ⎟ ⎛ ⎞
⎟ x0
⎟ ⎜ ⎟
hL−1
⎟ ⎜ x1 ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎟ ⎜ ⎟
0 ⎟ ⎜
⎟ ⎜ . ⎟ = HNxN
⎟
0 ⎟ ⎜ ⎟
⎟ ⎝ xN−2 ⎠
⎟
. ⎟ xN−1 ⎟
0 ⎠
0 · · · 0 hL−1 hL−2 · · · · · · h0
Obsérvese que tanto la matriz de Toeplitz y los vectores son finitos, de dimensión máxima
N.
Además, la matriz HN es circulante; el Álgebra matricial demuestra que es diago-
nalizable (puesto que HN = L−1
n=0 hnS n , siendo S la matriz básica de desplazamiento o
”shift”), sus autovalores son
L−1
hn
¯W k
n=0
n = ˆ hk
(es decir, la transformada de Fourier discreta de h) y sus autovectores son precisamente
las columnas de la matriz de Fourier FN. Por tanto, HN queda diagonalizada así:
HN = FN diag ˆ h0, . . . , ˆ hN−1
F −1
N = 1
N FN diag ˆ h ¯FN.
Conclusión: aplicar un filtro a una señal finita xN es equivalente a calcular 3 transformadas
de Fourier discretas en serie:
la DFT de xN,
multiplicarla componente a componente por ˆ h (la DFT de h),
y aplicar una inversa de la DFT
Matricialmente,
y además se deduce que
yN = HNxN = (IDF T ) diag (DF T (h)) (DF T (xN)) =
= (IDF T ) diag
hˆ ˆxN = (IDF T )
hˆxN ˆ ,
ˆyN = ˆ hˆxN
luego una vez más, la transformada discreta de Fourier de la salida es el producto de la
transformada discreta de Fourier de la entrada por la transformada discreta de Fourier del
filtro (función de transferencia). Y el coste computacional del filtrado es O (3N log 2 N) .
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