La transformada wavelet: una introducción - Departamento de ...

1.2.1. Polinomios trigonométricos.
Por definición, un polinomio trigonométrico es una función de la forma
N
P (t) = a0 + (an cos nt + bn sen nt) (1.4)
n=1
donde N es un número natural y los coeficientes a0, an, bn (n = 1, . . . , N) son números
reales o complejos arbitrarios. El polinomio se dice que tiene grado N cuando o bien aN
o bien bN es no nulo, lo que equivale a |aN| + |bN| = 0. Las relaciones exponenciales de
Euler
e iα = cos α + i sen α, e −iα = cos α − i sen α, (1.5)
cos α = eiα + e−iα , sen α =
2
eiα − e−iα 2i
(1.6)
nos permiten escribir el polinomio trigonométrico como combinación de potencias de e it :
P (t) =
N
n=−N
cne int
con las siguientes relaciones entre los coeficientes:
(1.7)
an = cn + c−n, bn = i(cn − c−n), n = 1, . . . , N; a0 = c0. (1.8)
1.2.2. Ortogonalidad.
Para relacionar los coeficientes de un polinomio trigonométrico con el propio polinomio,
y de esa forma poder caracterizarlo, son de interés los siguientes resultados:
Y su análogo
2π
cos nt cos mt dt = πδn,m
0
2π
sen nt sen mt dt = πδn,m
0
2π
cos nt sen mt dt = 0.
0
(1.9)
2π
e
0
int e −imt dt = 2πδn,m. (1.10)
Lo anterior puede enunciarse diciendo:
En el espacio de los polinomios trigonométricos con el producto escalar
< f, g >= 1
2π
f g (1.11)
2π 0
y la norma inducida por este producto f2 = √ < f, f > (norma “dos”) el sistema
{e int }n∈Z es ortonormal, es decir, las funciones son ortogonales dos a dos y de norma
unidad.
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