La transformada wavelet: una introducción - Departamento de ...

en particular
sen (πu)
F
(w) =
u
π
2 χ[−π,π] (w) .
Por otro lado, la transformada de Fourier de la otra función es F (Ψ (2 j x − n + ·)) (w) =
ˆΨ (w) e iw(2j x−n) . Todo ello nos lleva a
I2jx−n = 1
ˆΨ (w) e
π R
iw(2jx−n) π
2 χ[−π,π] (w) dw = 1
π
√ ˆΨ (w) e
2π −π
iw(2j
x−n) dw = Ψ 2 j x − n
,
donde se ha aplicado la transformada inversa de Fourier a ˆ Ψ, y el hecho de que ˆ Ψ tenga
como soporte [−π, π] : el mismo que ψ, por la definición de ˆ Ψ dada en (2.11).
Por fin, la introducimos en la fórmula de reconstrucción:
2πf (x) =
2 j/2 cj,nΨ
2 j x − n
=
cj,nΨj,n (x) .
j,n∈Z
j,n∈Z
así que basta definir la wavelet de síntesis como ˜ ψ = Ψ/2π :
f(x) =
j,n∈Z
Consecuencias:
cj,n ˜ ψj,n (x) =
j,n∈Z
< f, ψj,n > ˜ ψj,n (x) =
j,n∈Z
< f, ˜ ψj,n > ψj,n (x) .
De la última expresión se deduce que la familia de funciones B = {ψj,n j, n ∈ Z}
forma base de L 2 (R) .
Las bases B y ˜ B = { ˜ ψj,n j, n ∈ Z} son bases duales (o biortogonales) entre sí:
< ψj,n, ˜ ψk,m >= δj,kδm,n
Como caso particular, si ˜ ψ = ψ, entonces se dice que la wavelet ψ es ortogonal,
puesto que sus trasladadas y dilatadas {ψj,n} lo son:
< ψj,n`,ψk,m >= δj,kδm,n
en particular, se obtiene que ψ = ψj,k = 1, y la base B de L 2 es ortonormada.
En el caso en que
∀w = 0,
ˆ ψ
2 j w 2
j∈Z
= 1
2π
entonces la transformada diádica tiene por cotas A = B = 1 (y es una isometría). Además,
Ψ = 2πψ luego la wavelet reconstructora es ˜ ψ = Ψ/2π = ψ así que la condición anterior
es equivalente a la ortogonalidad de ψ.
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