Modelo de examen

Ejercicio 3 de Álgebra I
Nombre: Número de
1 er Apellido: Matrícula
2 o Apellido:
19 de Diciembre de 2006
NOTA
Cuestiones. Hoja 1 (3 puntos). Respóndase solamente en los espacios dejados al efecto en esta
hoja.
1. a) Sean n 2 N, n 2; a + bi y x + yi; a; b; x; y 2 R, tales que (a + bi) n = x + yi: Demuéstrese
que (a 2 + b 2 ) n = x 2 + y 2 :
b) Aplíquese el apartado anterior para determinar dos números naturales x e y, tales que
(2 2 + 3 2 ) 3 = x 2 + y 2 :
Respuesta:
a) j(a + bi) n j 2 = jx + yij 2 , j(a + bi) 2 j n = jx + yij 2 , (a 2 + b 2 ) n = x 2 + y 2 :
b) (2 + 3i) 3 = 46 + 9i, de modo que x = 46, y = 9 son dos números naturales que cumplen
la igualdad (2 2 + 3 2 ) 3 = x 2 + y 2 :
2. Sean A =
a
1
4
a 2 R2 2 y T el endomor…smo de R2 2 de…nido, para cada X 2 R2 2 ; por
T (X) = AX t .
2 2
a) Escríbase la matriz de T respecto de la base de R
B =
1 0
0 0
;
0 1
0 0
;
0 0
1 0
;
0 0
0 1
b) Indíquese para qué valores de a; T es un isomor…smo, y, en ese caso, escríbase la matriz
de T 1 , respecto de la base B.
[T ] B
B =
0
B
@
a 4 0 0
0 0 a 4
1 a 0 0
0 0 1 a
1
C
A
a 2 Rnf 2; 2g
0
[T 1 ] B 1
B = a2 B
4 @
a 0 4 0
1 0 a 0
0 a 0 4
0 1 0 a
1
C
A

3. Indíquense las proposiciones que son verdaderas y las que son falsas.
a) 8A 2 R n n y 8b 2 R n 1 ; tal que b 2 Im A, Ax = b es compatible y determinado.
FALSA
b) 8A 2 R n n ; tal que det A 6= 0 y 8b 2 R n 1 ; tal que b 6= 0; Ax = b es compatible e
indeterminado.
FALSA
c) Sea A 2 R n n ; si el rango de A es igual a r existe una submatriz cuadrada de A; de orden
r; cuyo determinante es distinto de cero.
VERDADERA
d) El recíproco de la proposición c) es verdadero.
FALSA
e) Sea A 2 R n n tal que det A 6= 0; entonces el rango de A es igual a n.
VERDADERA
Cali…cación: Cada respuesta incorrecta resta 0,1 puntos; las respuestas no contestadas no modi…can
la nota. La cali…cación total de esta primera parte será como mínimo cero puntos.
Indicando cuál se ha elegido, demuéstrese una de las proposiciones verdaderas anteriores o dese
un contraejemplo de una de las proposiciones anteriores falsas.
Respuesta:
a) Contraejemplo: El sistema
b) Contraejemplo: El sistema
1 0
1 0
1 0
0 1
x1
x2
x1
x2
= 0
0
= 1
0
es compatible e indeterminado.
es compatible y determinado.
c) Demostración: Sea (Aj1j jAjr) la submatriz de A formada por sus columnas j1; : : : ; jr
linealmente independientes. Dicha submatriz tiene rango igual a r y, por tanto, existen
en la misma r …las linealmente independientes. Finalmente, la submatriz de A, obtenida
seleccionando esas r …las, es cuadrada de orden igual a su rango, r; y, por consiguiente de
detraminante disitinto de cero.
d) Contraejemplo:
1
0
0
1
; de rango igual a 2; tiene una submatriz de orden uno, con
determinante distinto cero.
e) Demostración: Si el rango de A es menor que n, una de sus columnas es combinación
lineal de las restantes. Por tanto, det A = 0: Al ser verdadero el contrarrecíproco de la
proposición, ésta es verdadera.

Ejercicio 3 de Álgebra I
Nombre: Número de
1 er Apellido: Matrícula
2 o Apellido:
19 de Diciembre de 2006
NOTA
Cuestiones. Hoja 2 (3 puntos). Respóndase solamente en los espacios dejados al efecto en esta
hoja.
4. a) Dese la de…nición de subespacios suplementarios de un espacio vectorial.
b) Demuéstrese la siguiente proposición si es verdadera o dese un contraejemplo si es falsa:
“Sean L y M subespacios vectoriales de R n ; si L\M = f0g, dim L = m y dim M = n m,
entonces L y M son suplementarios”.
Respuesta:
a) L y M, subespacios de E, son suplementarios si L M = E; es decir, L + M = E y
L \ M = f0g:
b) Es verdadera:
dim L + dim M = dim(L + M) + dim L \ M = dim(L + M); por tanto, m + n m = n =
dim(L+M), de donde se deduce que L+M = R n : Este resultado, junto con L\M = f0g,
conduce a que L y M son suplementarios.
5. a) Sea P 2 C m n ; determínese, de modo razonado, la relación que existe entre ker P y
ker(P h P):
b) Sea fv1; v2; : : : ; vng una base del espacio vectorial C n ; calcúlese, de modo razonado, el
rango de la matriz v1v h 1 + v2v h 2 + + vmv h m 2 C n n ; m n:
Respuesta:
a) x 2 ker P ) Px = 0 ) PhPx = 0 ) x 2 ker(PhP); se tiene, pues, ker P ker(PhP): x 2 ker(PhP) ) P h Px = 0 ) x h PhPx = 0, de donde, si Px = y = (y1; : : : ; ym) t ; se tiene
yhy = jy1j 2 + + jymj 2 = 0, que implica que y1 = = ym = 0;es decir, Px = y = 0;que
implica x 2 ker P; se tiene, pues, ker(PhP) ker P.
Finalmente, ker P = ker PhP 0 1 0 1
b) v1vh 1 + + vmvh B
m = (v1j jvm) @
v h 1
.
v h m
C B
A : Sea @
v h 1
.
v h m
C
A = P; de rango igual a m ya que
sus vectores …la son linealmente independientes. Se tiene v1v h 1 + + vmv h m = P h P: El
rango de P h P es igual a m; ya que dim Im(P h P) = n dim ker(P h P) = n dim ker P =
dim Im P:
Como conclusión, la matriz v1v h 1 + v2v h 2 + + vmv h m 2 C n n tiene rango igual a m.

6. Sea f el endomor…smo de R3 0 1
cuya matriz respecto de la base ((1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1)) es
1 2 0
@ 1 2 1 A : Determínense unas bases y ecuaciones cartesianas de ker f e Im f.
0 0 1
Respuesta:
Los vectores (x1; x2; x3) del núcleo de f cumplen
equivalente a
son
x1 + 2x2 = 0
x3 = 0
1 2 0
0 0 1
0
@
x1
x2
x3
1
A = 0
0
0
@
1 2 0
1 2 1
0 0 1
y una base del mismo es f( 2; 1; 0)g:
1 0
A @
x1
x2
x3
1
A =
0
@
0
0
0
1
A, sistema
: Por tanto, unas ecuaciones cartesianas del núcleo
Como el rango de 0 la matriz 1 0es
2; 1una
base 0 de 1 Im f es f(1; 1; 0); (0; 1; 1)g: Sus ecuaciones
x1 1 0
paramétricas son @ x2 A = @ 1 A + @ 1 A; eliminando los dos parámetros se obtiene la
x3 0 1
ecuación cartesiana: x1 x2 + x3 = 0: