Soluciones de algunos problemas

4. Solución de los problemas del Tema 4
4.1.– Calcular el campo escalar u : R 3 → R de clase C 1 para que el campo vectorial F
definido por:
sea conservativo en R 3 .
F(x, y, z) = (xy 2 z 2 − 2xy, u(x, y, z), x 2 y 2 z + 1) F(0, y, z) = (0, y, 1);
SOLUCI ÓN: Como F es de clase C1 , en R 3 y R 3 es simplemente conexo, entonces F es
conservativo si y sólo si el rotacional de F es nulo en R 3 . Por tanto, imponemos que rot (F) = 0.
Dado que
rot (F) =
entonces u debe satisfacer las condiciones
∂u
∂z = 2x2 yz,
2x 2 yz − ∂u ∂u
, 0,
∂z ∂x − 2xyz2
+ 2x
∂u
∂x = 2xyz2 − 2x, u (0, y, z) = y.
De las ecuaciones en derivadas parciales se obtiene fácilmente que
u (x, y, z) = x 2 yz 2 + h (x, y) con ∂h
∂x = −2x ⇒ h (x, y) = −x2 + g (y)
⇒ u (x, y, z) = x 2 yz 2 − x 2 + g (y) .
Falta imponer la condición inicial u (0, y, z) = y que procede de F(0, y, z) = (0, y, 1) : así pues
u (0, y, z) = y = g (y) luego
u (x, y, z) = x 2 yz 2 − x 2 + y.
4.2.– Sean a = (a1, a2, a3) un vector constante y no nulo y k una constante real estrictamente
positiva. Considérese el campo vectorial F(r) definido por:
F(r) =
(a1x, a2y, a3z)
(24x 2 + 4y 2 + 2z 2 ) k
donde r = (x, y, z). Determínense razonadamente todos los valores posibles del vector a y de
la constante k para los que el campo F(r) es irrotacional, indicando el mayor dominio posible
en el que posee esta propiedad.
SOLUCIÓN: Para determinar los valores de a y k que se piden, calculamos el rotacional del
campo:
rotF(r) =
4
(24x2 + 4y2 + 2z2 ) k+1
(a2 − 2a3)kyz , (a1 − 12a3)kxz , (2a1 − 12a2)kxy
expresión que es válida en todo R 3 salvo el origen puesto que k > 0.
Para que el campo tenga rotacional nulo (sea irrotacional) sus tres componentes deben anularse.
Teniendo en cuenta que k no puede ser cero, esto da lugar a un sistema lineal homogéneo
de tres ecuaciones con tres incógnitas, cuya expresión es:
⎛
0
⎜
⎝1
1
0
⎞
−2
⎟
−12⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
a1 0
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝a2⎠
= ⎝0⎠
.
2 −12 0 a3 0
1

Dado que el rango de la matriz de coeficientes de este sistema es 2, existen infinitas soluciones
que se obtienen expresando dos de las incógnitas en términos de la tercera. Por ejemplo, eligiendo
las dos primeras ecuaciones se tiene:
a1 = 12a3 , a2 = 2a3 .
Así pues, el campo F(r) dado es irrotacional para todo valor de k > 0 y para
y posee esta propiedad en R 3 \{(0, 0, 0)}.
a = a3(12, 2, 1) con a3 ∈ R ,
4.3.– Se considera un campo vectorial F(r) = P (r)i + Q(r)j + R(r)k definido en R 3 , con P ,
Q y R de clase C 1 . Se construye a partir de él un campo escalar V (r) de la manera siguiente:
V (r) =
Γ
P dx + Qdy + Rdz
donde Γ es la poligonal determinada por los puntos (0, 0, 0), (x, 0, 0), (x, y, 0) y (x, y, z).
1. Exprésese V (r) como una suma de integrales definidas simples.
2. Enúnciese y demuéstrese una condición necesaria y suficiente que debe cumplir F para
que gradV = F.
3. Determínense los valores de p, q y r para que el campo F de componentes:
P (x, y, z) = −2xy
x 2 + z 2 + 1 p Q(x, y, z) =
x 2 + z 2 + 1 q R(x, y, z) = −2yz
x 2 + z 2 + 1 r
cumpla la condición anterior y constrúyase V en este caso.
SOLUCI ÓN:
1.
2. F = ∇V ⇐⇒ rotF = 0.
x
y
z
V (x, y, z) = P (t, 0, 0) dt + Q (x, t, 0) dt + R (x, y, t) dt.
3. p = r = −2, q = −1, V (x, y, z) =
0
0
y
x 2 + z 2 + 1 .
2
0

4.4.– Compruébese cada una de las siguientes igualdades:
a) ∇(f + g) = ∇f + ∇g
b) div (V + W) = div V + div W
c) rot (V + W) = rot V + rot W
d) ∇(fg) = ∇fg + f∇g
e) div (fV) = (grad f) · V + fdiv V
f) rot (fV) = grad f × V + frot V
g) div (V × W) = W · rot V − V · rot W
h) div (grad f) = ∆f
i) rot (grad f) = 0
j) div (rot V) = 0
SOLUCI ÓN (de algunos apartados): Sean V = (V1, V2, V3), W = (W1, W2, W3) dos campos
vectoriales, f un campo escalar, entonces:
e)
f)
g)
= f
∂V1
∂x
div(fV) = div(f V1, f V2, f V3) =
+ ∂V2
∂y
∂(f V1)
∂x
+ ∂(f V2)
∂y
+ ∂(f V3)
∂z
∂V3
+ +
∂z
∂f
∂x V1 + ∂f
∂y V2 + ∂f
∂z V3 = f div V + ∇f · V
i j k
∂
rot(fV) = ∇ × (f V1, f V2, f V3) =
∂ ∂
∂y ∂z
∂x
f V1 f V2 f V3
∂(f V3) ∂(f V2)
= − ,
∂y ∂z
∂(f V1)
∂(f V3) ∂(f V2) ∂(f V2)
− , −
∂z ∂x ∂x ∂y
∂V3 ∂V2 ∂V1 ∂V3 ∂V2 ∂V1
= f − , − , − +
∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
∂f
+
∂y V3 − ∂f ∂f
V2,
∂z ∂z V1 − ∂f ∂f
V3,
∂x ∂x V2 − ∂f
∂y V1
= f rot V + (∇f) × V
div(V × W) = ∂(V2 W3 − V3 W2)
+
∂x
∂(V3 W1 − V1 W3)
+
∂y
∂(V1
=
+
W2 − V2 W1)
∂z
∂V3 ∂V2 ∂V1 ∂V3 ∂V2 ∂V1
− W1 + − W2 + − W3 +
∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
∂W2 ∂W3 ∂W3 ∂W1 ∂W1 ∂W2
− V1 + − V2 + − V3
∂z ∂y ∂x ∂z ∂y ∂x
= W · rot V − V · rot W.
3

4.5.– Sea w un vector fijo de R 3 , se considera el campo vectorial V definido en todo el espacio
R 3 mediante
V(r) = w × r ; r = xi + yj + zk
a) Compruébese que el campo no es conservativo.
b) Sea f una función real de una variable real, derivable y a un vector fijo, dedúzcase la
condición sobre f que resulta de exigir que el campo escalar dado por
u(r) = f(a · r)
sea un factor integrante para el campo V; es decir, que u(r)V(r) sea un campo vectorial
conservativo.
c) Pruébese que, eligiendo adecuadamente el vector a y la función f, el campo V admite un
factor integrante del tipo anterior en un cierto dominio que se especificará.
SOLUCI ÓN:
a) rot V(r) = 2w = 0, luego V no es conservativo.
b) Imponemos que u(r)V(r) sea conservativo, por lo que al menos deberá ser irrotacional.
Calculamos su rotacional haciendo uso de la propiedad f) del ejercicio 4.4:
rot (u(r)V(r)) = rot (f(a · r)V(r)) = grad (f(a · r)) × V(r) + f(a · r)rot (V(r)) =
= f ′ (a · r) (a × (w × r)) + 2f(a · r)w.
Aplicamos la expresión del doble producto vectorial, e imponemos que este rotacional sea
nulo:
f ′ (a · r) ((a · r) w− (a · w) r) + 2f(a · r)w= 0
(f ′ (a · r) (a · r) + 2f(a · r)) w = f ′ (a · r) (a · w) r.
Esta última igualdad sólo puede ser cierta para todo r de un conjunto abierto de R3 si se
verifican simultáneamente las igualdades
f ′ (a · r) (a · r) + 2f(a · r) = 0
f ′ (a · r) (a · w) = 0
observando que la segunda se cumple si f es constante o bien a · w = 0. Pero el caso
f constante hay que desecharlo, pues si se sustituye en la primera expresión se deriva
que dicha constante sería nula, con lo cual el factor integrante sería nulo, que es un caso
trivial.
Así pues, deber verificarse que a · w = 0. Es decir, el vector a debe ser cualquier vector
no nulo ortogonal a w. Por otro lado, la función f debe satisfacer la primera expresión,
que es equivalente a la ecuación diferencial
que se resuelve fácilmente llegando a
siendo c una constante arbitraria.
f ′ (t) t = −2f (t)
f(t) = c
t 2
4
∀t = 0

c) Como hemos dicho, dada cualquier constante c y cualquier vector a ortogonal a w y no
nulo, un factor integrante para V(r) = w × r es
u(r) = f(a · r) =
c
(a · r) 2
∀r ∈R 3 \ {r ∈R 3 : a · r =0}.
4.6.– Calcúlese el valor del parámetro α para que el campo F(r) = r α r sea solenoidal en
Ω = {r ∈ R 3 , 1 ≤ r ≤ 2}.
SOLUCIÓN: Calculemos su divergencia e impongamos que sea 0 (usando la propiedad
enumeradas en el ejercicio 4.4e)):
div(F(r)) = div(r α r) = grad(r α ) · r + r α α−1 r
div r = αr
r · r + 3rα =
= (α + 3) r α = 0 para todo r ∈ Ω ⇐⇒ α = −3.
4.7.– Sea a ∈ R 3 un vector fijo y r = (x, y, z). Calcúlense los valores de p ∈ R para los
cuales el campo vectorial F (r) = (a · r) p r es solenoidal en un cierto subconjunto de R 3 que se
especificará.
SOLUCI ÓN: Si a es nulo, para p > 0 el campo es idénticamente nulo en R3 , y por tanto
solenoidal en dicho conjunto; por otro lado, no estaría definido en ningún punto si p < 0.
Sea entonces a ∈ R 3 no nulo. Si p ≥ 0, el campo F está definido y es de clase infinito en R 3
y si p < 0, F sólo está definido, y es de clase infinito, en el conjunto Ω = R 3 \{r ∈R 3 : a·r = 0},
es decir, en todo R 3 salvo en el plano perpendicular a a y que pasa por el origen. Entonces, en
los puntos en los que F es de clase C 1 , se tiene que :
div(F(r)) = div((a · r) p r) = grad((a · r) p ) · r + (a · r) p div r =
= p(a · r) p−1 (a · r) + 3(a · r) p = (p + 3) (a · r) p
donde se ha utilizado la propiedad e) del ejercicio 4.4, y el hecho de que grad(a · r) = a.
Por tanto, se deduce que para p = −3, F es solenoidal en Ω; mientras que, para cualquier
p > 0, F es solenoidal sobre el plano {r ∈R 3 : a · r = 0}.
4.8.– Sea F el campo vectorial definido por:
F(r) = 1
r 3
xy, x 2 + 2y 2 + z 2 , yz
.
Determínense las funciones f y h, de clase C 1 en R, para las que el campo vectorial
G (r) = 1
(f(z), 0, h(x))
r
es un potencial vector de F, indicando el mayor conjunto de R 3 en el que se cumple esta
propiedad.
SOLUCIÓN: Calculamos rot (G) y se comprueba que es igual a F si y solamente si f(z) = z
y h(x) = −x, que son las funciones f y h cuya expresión se pide determinar en el enunciado.
Puesto que estas dos funciones son de clase C1 en R, resulta que G y F están definidos en
R3 \ {(0, 0, 0)} que es, por tanto, el mayor conjunto de R3 en el que G es un potencial vector
de F.
5

4.9.– Sean f : R → R una función de clase C 1 , y V el campo vectorial definido por
V(x, y, z) = yzi + xzj + y f(x) k.
Determinar las funciones f para las cuales el campo V es solenoidal. En tal caso, hallar todos
los potenciales vectores de V que sean de la forma L(x, y, z)i + M(y, z)j.
SOLUCI ÓN: Como el campo es regular en todo el dominio estrellado R3 , será solenoidal si
y sólo si su divergencia es nula. Pero
div (V) = ∂(yz)
∂x
+ ∂(xz)
∂y
+ ∂(yf (x))
∂z
luego el campo es solenoidal para toda función f ∈ C1 (R).
Ello implica que V admite un potencial vector F, es decir, V = rot(F) si éste es de la forma
F(x, y, z) = L(x, y, z)i + M(y, z)j debe cumplirse que
i j k
∂
∂ ∂ ∂M(y, z)
(yz, xz, yf (x)) = V =
∂x
∂y ∂z = − ,
L(x, y, z) M(y, z) 0 ∂z
∂L(x, y, z)
∂L(x, y, z)
, − .
∂z ∂y
Igualando las primeras componentes e integrando respecto a z se tiene que M(y, z) = −yz 2 /2+
m(y). Ídem para las segundas componentes, de donde se obtiene que L(x, y, z) = xz2 /2+l(x, y);
introduciendo esta función en la tercera componente del rotacional, se deduce que
∂l(x, y)
yf (x) = −
∂y
= 0,
⇔ l(x, y) = −y2 f (x) + h(x).
2
Finalmente, todos los potenciales vectores pedidos son de la forma:
2 xz
F(x, y, z) =
2 − y2
f (x)
+ h(x) i + −
2
yz2
+ m(y) j
2
donde h, m son funciones cualesquiera de C 1 (R) .
4.10.– Se consideran los siguientes campos vectoriales, definidos para todo vector no nulo
r = (x, y, z),
1
F (r) =
x2 + y2 (a · r)
(0, −z, y) G (r) =
+ z2 2 r
r
siendo a un vector fijo del espacio. Determinar el vector a para el cual G es potencial vector
de F en un dominio de R3 que se especificará.
SOLUCIÓN: Imponemos que F = rot (G) . Usando la propiedad rot (fV) = ∇f × V + f
rot (V) , escribimos G (r) = (a · r) V (r) con V (r) = 1
r 2 r (campo central). Así pues,
rot (G (r)) = a × V (r) + (a · r) rot (V (r)) = 1
2 (a × r)
r
donde se ha utilizado que rot (V (r)) = 0 ya que todo campo central V (r) es irrotacional.
Finalmente, si a = (a1, a2, a3) ,
rot (G (r)) =
1
x 2 + y 2 + z 2 (a2z − a3y, a3x − a1z, a1y − a2x)
y se observa que, para a = (1, 0, 0) , rot (G (r)) coincide con F (r) en el dominio R 3 \ {(0, 0, 0)}.
6

4.11.– Campos centrales. Sea dice que un campo definido en un subconjunto de R n \{0} es
central cuando en cada punto el campo lleva la dirección del radio vector en ese punto y cuando
el módulo del campo en cada punto solo depende de la distancia a un punto denominado centro
y que nosotros supondremos que es el origen. Por tanto, un campo central tiene la expresión
F(r) = g(r)r
donde g : (0, ∞) → R y supondremos que g es una función de clase 1 en (0, ∞). En tal caso el
campo está F definido en R n \ {0}, y es de clase 1 en dicho dominio.
1. En el caso n = 3.
2.
1.1. Demostrar que todo campo central es conservativo, y determinar la expresión de un
potencial escalar del mismo (Sugerencia: ensayar como potencial un campo que solo
dependa de la distancia al origen).
1.2. Como ejemplo, calcular un potencial escalar del campo F(r) = exp(−r 2 )r.
1.3. Determinar todos los campos centrales que son solenoidales y, para cada uno de ellos,
calcular un potencial escalar.
Ídem de (1) pero para el caso n = 2.
SOLUCI ÓN:
1. 1.1 Comprobamos que F es irrotacional en un conjunto simplemente conexo:
rot (F) = rot (g(r)r) = grad (g(r)) × r+g(r)rot (r)
= g ′ (r) 1
(r × r) + 0 = 0
r
∀r = 0
así que F es de clase C 1 e irrotacional en R 3 \ {(0, 0, 0)} que es un conjunto simplemente
conexo, luego F es conservativo. De esta forma, todo campo central es
conservativo en R 3 \ {(0, 0, 0)}.
Busquemos un potencial escalar de la forma h(r). Imponiendo que su gradiente
sea F, se tiene que
grad (h(r)) = h ′ (r) 1
r =g(r)r
r
de donde simplemente h se obtiene simplemente de
h ′ (t) = tg (t)
es decir, h es una primitiva cualquiera de tg (t) .
1.2 Siguiendo el procedimiento anterior, en este caso g (t) = e −t2
h (t) =
te −t2
dt = − 1
2 e−t2
así que
luego un potencial escalar de F(r) = exp(−r 2 )r es el campo escalar
− 1
2 exp(−r2 ).
7

1.3 Imponiendo que el campo sea adivergente, se obtiene fácilmente que
div (F) = div (g(r)r) = grad (g(r)) · r+g(r)div (r)
= g ′ (r) 1
r (r · r) + 3g(r) = g′ (r)r + 3g(r) = 0
de donde g debe satisfacer la ecuación diferencial
g ′ (t) t = −3g (t)
cuyas soluciones son
g(t) = c
t3 ∀t = 0
siendo c una constante arbitraria. Por tanto, los campos centrales solenoidales aquellos
y sólo aquellos de la forma
F (r) = c
r.
r3 Además, su potencial escalar -según el método del apartado anterior- se calcula
mediante
de donde el potencial escalar es
h (t) =
c
dt = −c
t2 t
− c
r
para r = 0
que es un múltiplo del potencial gravitatorio.
2. Para n = 2 los resultados difieren: todo campo central es irrotacional en R 2 \{(0, 0, 0)} que
NO es un conjunto simplemente conexo, luego no podemos asegurar que F es conservativo.
Sin embargo, el potencial escalar del apartado 1.1 sigue teniendo como gradiente a F, luego
finalmente F sí es conservativo en R 2 \ {(0, 0, 0)} pues F es un gradiente.
4.12.–
El apartado 1.2 también es válido en R 2 .
Por otro lado, los campos centrales solenoidales en R 2 son de la forma F (r) = c
r 2 r cuyo
potencial escalar es c log r.
(1) Sea f un campo escalar de clase 2 en R 3 . Enúnciese y justifíquese una condición necesaria
y suficiente sobre f para que exista un campo vectorial F en R 3 de forma que ∇f = rot F.
(2) Sea F un campo vectorial de clase 2 en R 3 . Enúnciese y justifíquese una condición necesaria
y suficiente sobre F para que exista un campo escalar f en R 3 de forma que rot F = ∇f.
(3) Determínese g : R → R con g(0) = 0, g(1) = −2 para que el campo escalar f(x, y, z) =
x 2 + g(y) + z 2 cumpla la condición hallada en (1) y, en tal caso, calcúlese un potencial
vector de ∇f de la forma Q(x, z)j + R(x, y)k.
(4) Sean Q, R los campos escalares calculados en (3). Determínense todos los campos escalares
P : R 3 → R para los cuales F(x, y, z) = P (x, y, z)i + Q(x, z)j + R(x, y)k satisface la
condición hallada en (2).
8

SOLUCI ÓN:
(1) Para que un campo vectorial de clase 1 en un abierto estrellado (en este caso todo el
espacio R 3 ) sea un rotacional es necesario y suficiente que sea solenoidal; esto es, que su
divergencia sea nula. Ahora bien, div ∇f = ∆f. Así pues, la condición sobre f es que sea
un campo escalar armónico. En tal caso F es un potencial vector de ∇f.
(2) Un campo vectorial de clase 1 en un abierto simplemente conexo es un gradiente si, y
solamente si, es irrotacional; es decir, su rotacional es nulo. Por lo tanto, la condición
sobre F es que rot rot F = 0. Se dice que f es un potencial escalar de rot F.
(3) Tenemos que imponer que el campo f(x, y, z) = x2 + g(y) + z2 sea armónico; calculemos
su laplaciano:
∆f(x, y, z) = ∂2f ∂x2 + ∂2f ∂y2 + ∂2f ∂z2 = 2 + g′′ (y) + 2,
el laplaciano es nulo si y solo si g ′′ (y) = −4, integramos: g ′ (y) = −4y + a, g(y) =
−2y 2 + ay + b e imponemos las condiciones g(0) = 0, g(1) = −2, con lo que se llega a
g(0) = a = 0, g(1) = −2 + a + b = −2 ⇒ a = b = 0, g(y) = −2y 2 .
Por tanto el campo buscado es f(x, y, z) = x 2 − 2y 2 + z 2 . Ahora se pide calcular un
potencial vector del gradiente de f de la forma Q(x, z)j+R(x, y)k; calculemos el rotacional
de este campo e igualémoslo al gradiente de f:
i
∂
∂x
0
j
∂
∂y
Q(x, z)
k
∂
∂z
R(x, y)
∂R ∂Q
−
∂y ∂z
Integremos ∂R/∂x y ∂Q/∂x en la variable x:
∂R
∂x
∂Q
∂x
Y ahora impongamos la primera relación:
∂R
∂y
= 2x i − 4y j + 2z k ⇐⇒
= 2x, −∂R
∂x
= −4y, ∂Q
∂x
= 4y ⇒ R(x, y) = 4xy + r(y),
= 2z ⇒ Q(x, z) = 2xz + q(z).
= 2z.
− ∂Q
∂z = 2x ⇒ 4x + r′ (y) − 2x − q ′ (z) = 2x ⇐⇒ r ′ (y) − q ′ (z) = 0 ⇐⇒ r ′ = q ′ = cte
Si el valor de la constante es a se tiene r(y) = ay+b y q(z) = az+c con a, b, c constantes que
podemos elegir arbitrariamente, en particular un potencial vector de ∇f es G(x, y, z) =
2xzj + 4xyk.
(4) Si F es de clase 2, tenemos que imponer que P también sea de clase 2, esto nos permitirá
integrar las ecuaciones en derivadas parciales que surjan, asimismo nos garantiza la
igualdad de las derivadas parciales cruzadas de segundo orden.
9

Tenemos que imponer que rot rot F se anule en R 3 ; ahora bien, como G(x, y, z) = Q(x, z)j+
R(x, y)k es un potencial vector de un gradiente (rot G = ∇f), se cumple rot rot G = 0,
además el rotacional es un operador lineal:
rot F = rot(P i) + rot G = rot(P i) + ∇f,
por lo que basta con calcular los campos P para los cuales rot rot(P i) = 0. Calculemos,
en primer lugar, rot(P i):
i j k
∂ ∂ ∂
rot(P i) =
∂x ∂y ∂z
P (x, y, z) 0 0
y ahora rot rot(P i) e igualemos a cero:
rot
∂P ∂P
j −
∂z ∂y k
=
i j k
∂ ∂ ∂
∂x
0
∂y
∂P
∂z
∂z
−∂P
∂y
= ∂P ∂P
j −
∂z ∂y k
2
∂ P
= −
∂y
2 + ∂2P ∂z2
i + ∂2P ∂x∂y j + ∂2P k = 0.
∂x∂z
De ∂ 2 P/∂x∂y = 0 se deduce que ∂P/∂x no es función de y, existirá una función H1 de
dos variables de forma que ∂P/∂x = H1(x, z). Derivamos respecto de z:
∂ 2 P
∂x∂z
Integremos ∂P/∂x = H2(x) en la variable x,
= ∂H1
∂z = 0 ⇒ H1(x, z) = H2(x).
P (x, y, z) = h(x) + C(y, z)
donde h es una primitiva de H2 y C es arbitraria. Por último, al imponer la nulidad de
la primera componente del doble rotacional: ∂ 2 P /∂y 2 + ∂ 2 P /∂z 2 = 0 se concluye que el
laplaciano de C es nulo, así pues las funciones P buscadas son
P (x, y, z) = h(x) + C(y, z), h ∈ C 2 (R), C ∈ C 2 (R 2 ), ∆C = 0.
10