La transformada wavelet: una introducción - Departamento de ...

Para cada j entero, consideremos el subespacio Vj de L 2 (R) de las funciones constantes
en intervalos [2 −j k, 2 −j (k+1)] cualquiera que sea k entero. Es claro que se
cumplen las condiciones de la definición de multirresolución. Los subespacios Vj son
versiones reescaladas de V0 que es el espacio de las funciones constantes sobre intervalos
de longitud unidad y extremos enteros. Como función φ tomamos la función
característica del intervalo [0, 1].
Análogamente, sea Vj el subespacio de L 2 (R) formado por las funciones lineales
en intervalos [2 −j k, 2 −j (k+1)] cualquiera que sea k entero. Demostraremos que una
función de escala φ asociada a este análisis multirresolución es la función “sombrero”
definida por
⎧
⎪⎨
x si 0 ≤ x ≤ 1 ⎧
⎨1
− |1 − x| si x ∈ [0, 2]
φ (x) = 2 − x si 1 ≤ x ≤ 2 =
⎪⎩
⎩0
si x /∈ [0, 2]
0 si x /∈ [0, 2]
.
Consecuencias de la definición de análisis multirresolución
1. Si (Vj)j∈Z es análisis multirresolución de L 2 (R) entonces (φ(2 j · −k))k∈Z es base
de Riesz de Vj.
2. Dada una función cualquiera g de L2 (R), la condición de densidad
Vj = L 2 (R) se
j∈Z
traduce en la existencia de una sucesión de funciones (gj)j∈Z de forma que gj ∈ Vj y
Por otra parte, que (φ(2 j
Es decir,
g = lím
j→∞ gj.
· −k))k∈Z sea base de Vj permite escribir para cada j
gj(x) =
k∈Z
γj,k φ(2 j x − k).
∀g ∈ L 2 (R), ∃ (γj,k)j,k∈Z, ∀j ∈ Z, (γj,k)k∈Z ∈ ℓ 2
g(x) = lím γj,k φ(2
j→∞
k∈Z
j x − k). (3.1)
3. La media de la función φ, esto es ˆ φ(0) = 1
√ φ(x) dx, es no nula ya que para
2π R
una g ∈ L2 (R) cualquiera, tomando la transformada de Fourier en (3.1),
ˆg(w) = lím
j→∞
k∈Z
40
γj,k
2j e−ikw/2j
φˆ
w
2j