La transformada wavelet: una introducción - Departamento de ...

Figura 3.1: Función de escala.
pues los únicos coeficientes no nulos son h0 = h1 = 1/ √ 2.
Es un filtro paso bajo con hn = √ 2, lo que equivale a H (0) = 1.
El filtro es FINITO porque el SOPORTE DE φ ES COMPACTO.
¿Se podría haber construido φ a partir del filtro h? Sí pues el productorio converge
a una función de L 2 :
1
J
w
√ lím H
2π J→∞
j=1 2j
= ˆχ[0,1] (w) (ejercicio)
luego las funciones de escala asociadas al filtro finito paso bajo h = (1, 1) / √ 2 son las
proporcionales a χ[0,1]; de entre ellas la única de media 1 es φ = χ[0,1].
Observación: Esta función de escala servirá para construir la wavelet ψ de Haar.
(Ejercicio: Realizar el mismo estudio -determinación de la ecuación de escala, fitro y
función trigonométrica asociados– para la función “sombrero” definida previamente.)
3.1.1. Algoritmo en cascada para obtener φ
A partir del filtro h con hk = √ 2 en la práctica no se utiliza el método teórico
de antitransformar la ecuación (3.6), sino que se construye una sucesión de funciones
φ (i) que converge a la función de escala φ.
i∈N
El algoritmo, conocido como ALGORITMO EN CASCADA, es el siguiente:
φ (0) = χ[0,1)
∀i ∈ N, φ (i) (x) =
44
k∈Z
√ 2 hkφ (i−1) (2x − k)