La transformada wavelet: una introducción - Departamento de ...

3.2. El caso ortogonal
Consideremos, como antes, la función de escala
φ(x) = √
2hkφ(2x − k)
k∈Z
Impongamos ahora la condición de que φ sea ortogonal a sus trasladadas; así pues
añadimos el requisito de que φ dé lugar a una base ortogonal; sustituimos 4. de la definición
de análisis multirresolución por:
4. ∃ φ tal que (φ( · − k))k∈Z es una base ortonormal de V0, es decir
Observación importante:
∀f ∈ V0, f =
< f, φ( · − k) > φ( · − k)
k∈Z
(φ( · − k))k∈Z ortonormal ⇔ < φ, φ( · − k) >= δk,0, es decir φ es ortogonal a sus
trasladadas y unitaria: φ = 1
Supuesta la existencia de φ con el requisito (4), la base de Vj antes expresada se
normaliza con el coeficiente 2 j/2 :
φ(2 j
· −k) 2 ∞
=
|φ(2
−∞
j x − k)| 2 dx = 2 −j
∞
|φ(x)|
−∞
2 dx = 2 −j φ = 2 −j
con lo que (φj,k = 2 j/2 φ(2 j · −k))k∈Z es base ortonormal de Vj. En particular, (φ1,k =
√ 2φ(2 · −k))k∈Z es base ortonormal de V1.
Recordemos la ecuación de escala (3.2)
φ(x) =
k∈Z
hk
√ 2φ(2x − k) =
k∈Z
hk φ1,k.
De hecho, el factor √ 2 se introdujo para que la sucesión de coeficientes h = (hk)k∈Z sean
las coordenadas de φ respecto de la base ortonormal (φ1,k = √ 2φ(2 · −k))k∈Z de V1.
Por tanto,
hk =< φ, φ1,k >=< φ, √ 2φ(2 · −k) > .
Teorema 12 Si la función φ y sus trasladadas forman una familia ortonormal de funciones
de L 2 , entonces el filtro h y sus trasladados pares forman familia ortonormal de
vectores (sucesiones) de ℓ 2 .
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