La transformada wavelet: una introducción - Departamento de ...

Conclusión: Estas desigualdades del resultado prueban, respectivamente, la completitud y
la estabilidad de la transformada diádica de wavelets, siempre que se cumpla la condición
(2.9). Sin embargo, de forma análoga al caso continuo, existe una cierta redundancia entre
las funciones de la sucesión diádica (Wf(2 j , ·)) j∈Z .
Este último comentario nos lleva a preguntarnos si podemos considerar una transformada
wavelet DISCRETA tanto en tiempo como en escala, que también nos proporcione
una representación completa y estable de funciones de L 2 .
2.1.3. Transformada wavelet discreta de funciones de L 2
Partimos de una wavelet ψ; para cada f ∈ L 2 , conocemos su transformada diádica
(Wf(2 j , ·)) j∈Z .
.
Ahora, para cada j ∈ Z, se toma la escala a = 2 −j , y discretizamos también en
el dominio temporal, en los puntos b = 2 −j k, k ∈ Z. (Obsérvese que a mayor escala
tomamos puntos más distantes, pues buscamos información global, mientras que a menor
escala se buscan detalles de la función, y por eso muestreamos en puntos menos distantes
entre sí). En otras palabras, el muestreo en el tiempo se ajusta proporcionalmente
a la escala.
Esta cantidad discreta de coeficientes wavelet son
cj,k = Wf
2 −j , 2 −j k
=< f, ψ 2 −j ,2 −j k > ∀j, k ∈ Z.
Sólo se están tomando una cantidad discreta de trasladadas y dilatadas de la función
wavelet, a saber:
ψ2−j ,2−jk = 1
√
2−j ψ
−j · − 2 k
2−j
= 2 j/2 ψ
2 j · −k
= ψj,k
A partir de ahora utilizaremos esta notación ψj,k : wavelet ψ comprimida 2 j y trasladada
al entero k.
Definición 10 Para cada wavelet ψ, se denota la familia de sus trasladadas y dilatadas
ψj,k = 2 j/2 ψ
2 j · −k
∀j, k ∈ Z.
Para cada f ∈ L2 , se dice que los coeficientes de la TRANSFORMADA
WAVELET DISCRETA DE f son
cj,k =< f, ψj,k >= f (x) ψ (2jx − k)2 j/2 dx.
Estos coeficientes analizan la señal mediante la wavelet ψ.
¿Será posible la reconstrucción de f a partir de su transformada wavelet discreta?
El siguiente teorema nos garantiza la existencia de una wavelet de síntesis ˜ ψ, en el caso
de que ψ sea de BANDA LIMITADA. A ˜ ψ se le denomina la wavelet dual o biortogonal
a ψ.
R
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