La transformada wavelet: una introducción - Departamento de ...

6. g ∈ S ⇒ ∃ h ∈ S, ˆ h = g
7. S = L 2 (R)
8. f, g ∈ L2 (R) ⇒ f ˆg, ˆ f g ∈ L1 ∞
(R) y
−∞
∞
f ˆg =
9. F es una isometría en L 2 (R) con el producto escalar (1.29)
−∞
−∞
ˆf g
∞
< f, g >:= f g (1.46)
es decir < f, g >=< ˆ f, ˆg > y, en particular, se cumple la fórmula de Parseval (1.19),
f = ˆ f.
1.4.1. Teorema del muestreo de Shannon
Nos preguntamos si una señal continua f puede reconstruirse completamente a partir
de sus valores sobre una cantidad discreta de puntos o muestras (f(tn))n∈Z. En general,
la respuesta es NO; sin embargo, el teorema de Shannon demuestra que SÍ es posible para
el siguiente tipo de funciones:
Definición 4 Se dice que f ∈ L 2 es de banda limitada si existe Ω < ∞ tal que la
transformada de Fourier ˆ f tiene soporte contenido en [−Ω, Ω]; es decir,
ˆf(w) = 0 ∀|w| > Ω.
Teorema 7 (Teorema de Shannon) Sea f ∈ L 2 , de banda limitada, y sea Ω su frecuencia
de Nyquist. Entonces f puede reconstruirse a partir de sus muestras en los valores
tn = πn/Ω, n ∈ Z, por medio de la fórmula interpolatoria
f(t) =
n∈Z
sen(Ωt − πn)
(Ωt − πn) f
πn
Ω
∀t ∈ R.
La serie funcional no sólo converge en el sentido de L 2 , sino que además la convergencia
es puntual. Por ello, al conocer los valores f(πn/Ω), se conoce la señal completa. Si la
variable es temporal, esto se consigue muestreando la seãl una vez cada π/Ω segundos, es
decir, tomando Ω/π muestras por segundo; la tasa de muestreo es Ω/π, denominada tasa
de Nyquist.
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