La transformada wavelet: una introducción - Departamento de ...

2.1.2. Transformada diádica de wavelets.
La transformada wavelet continua presenta una cierta redundancia: de hecho, se demuestra
que basta calcular Wf(a, ·) para una cantidad numerable de escalas (por ejemplo,
las potencias enteras de 2) para poder reconstruir totalmente la señal original.
Definición 9 Dada una wavelet ψ, se define la transformada diádica de wavelets de una
función f ∈ L 2 (R) como la sucesión de funciones de L 2 (Wf(2 j , ·)) j∈Z .
Se trata de una transformada SEMIDISCRETA: considera una cantidad discreta de
escalas 2 j , pero la variable temporal es continua.
El siguiente teorema prueba estos importantes resultados:
De esta transformada diádica se puede recuperar la señal original.
La representación es completa y estable, es decir, unívoca y poco sensible frente a
los errores de cálculo.
Teorema 9 Si existen A, B > 0 tales que
entonces:
∀w = 0, A ≤
ˆ ψ(2 j
w) 2
≤ B (2.9)
a) Existe alguna wavelet Ψ reconstructora en el sentido de que
b) ∀f ∈ L 2 (R) A f 2 ≤ 1
2π j∈Z
Observaciones importantes:
j∈Z
∀f ∈ L 2 (R) 2πf =
1
2 j
j∈Z
Wf(2 j , ·) 2
≤ B f 2
1
2 j Wf(2 j , ·) ∗ Ψ 2 j (2.10)
Esta fórmula de reconstrucción (2.10) se interpreta de la siguiente forma: para recuperar
f a partir de su transformada wavelet diádica Wf (2 j , ·) , en cada escala 2 j hay
que realizar la convolución de Wf (2 j , ·) con la wavelet reconstructora Ψ dilatada a
escala 2 j ; sumando a lo largo de todas las escalas 2 j (con j ∈ Z) se reconstruye f.
Por ello, se habla de la wavelet de análisis (ψ) y la wavelet de síntesis (Ψ)
El factor 1/2 j que aparece es el análogo a 1/a 2 en el caso continuo.
La condición (2.9) es fuerte; de ella se deriva, en particular, la condición de admisibilidad.
26