La transformada wavelet: una introducción - Departamento de ...

3.0.6. Algunas propiedades de H
1. H es periódica de período 2π.
2. La serie trigonométrica |H| 2 está asociada al filtro r de autocorrelación de h,
definido como rm :=
hkhk−m; comprobémoslo:
|H(w)| 2 = 1
2
j,k∈Z
k∈Z
hjhke −iw(j−k) = 1
2
j,m∈Z
hjhj−me −imw = 1
2
rme
m∈Z
−imw . (3.5)
3. |H(w)| = |H(−w)|, siendo H la función trigonométrica cuyos coeficientes son los
del filtro conjugado (hk). la comprobación es inmediata teniendo en cuenta que los
coeficientes del filtro r de autocorrelación de h cumplen r−m = rm.
4. H(0) = 1
√ hk = 1,
2 k∈Z
basta tomar w = 0 en la definición de H (3.3) y en la relación de las transformadas
de Fourier (3.4) y, teniendo en cuenta que φ tiene media no nula ˆ φ(0) = 0, se
concluye el resultado.
5. El filtro h es un filtro paso bajo por ser H(0) NO NULO: el filtro asociado a la
función de escala φ es paso bajo.
6. Por la periodicidad de H, se tiene que H(2π) = H(0) = 1; introduciéndolo en la
ecuación (3.4) se obtiene que
luego
ˆφ(4π) = H(2π) ˆ φ(2π) = ˆ φ(2π)
ˆφ(2π) = ˆ φ(4π) = ˆ φ(8π) = · · · = ˆ φ(2 N π).
Si se impone un mínimo decaimiento de ˆ φ (por ejemplo, que φ esté en L 1 , para que
ˆφ (w) → 0 cuando |w| → ∞), entonces necesariamente ˆ φ(2 N π) = 0 = ˆ φ(2π) de
donde
0 = ˆ φ(2π) = H (π) ˆ φ (π)
con lo cual es lógico imponer que H(π) = 0. Se verá más adelante que esta condición
es lógica, pues implica que la wavelet tenga necesariamente integral nula.
3.1. Obtención de la función de escala φ
Toda función de escala tiene asociado un filtro paso bajo,
pero NO TODO filtro paso bajo genera una función de escala. (Se necesita una
condición de convergencia que se muestra en el próximo teorema 11).
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