Geometría proyectiva - Cónicas y Cuádricas - Ciencia Matemática

140 Cuádricas
1
0
(P QEF ) = −1 ⇒
1
λ ′
1
0
1
λ ′′
0
1
:
1
λ ′
0
1
1
λ ′′
=
λ′
λ ′′ = −1 ⇒ λ′ + λ ′′ = 0.
lo cual quiere decir que el coeficiente de λ en dicha ecuación (5-1) es nulo, es
decir, t P AQ = 0, o lo que es lo mismo fp0q0 + fp1q1 + fp2q2 + fp3q3 =0, con lo
que Q está en el plano polar de P . ⊡
P
π
E
Observemos que si tomamos como definición de plano polar el lugar geométrico
de los puntos conjugados armónicos de P respecto a aquellos en que
cualquier recta que pase por él corta a la cuádrica, podría no formar todo
el plano polar, pues puede haber rectas que pasan por P que no cortan a la
cuádrica y sin embargo cortan siempre al plano polar.
No obstante, si consideramos puntos de coordenadas complejas, como las
de los puntos imaginarios de intersección de la cuádrica con una recta exterior
a ella, el razonamiento anterior es también válido. Pues entonces, λ ′ = a + ib
y λ ′′ = a − ib, y se tendrá (a + ib)/(a − ib) = −1; con lo que 2a = 0 y
λ ′ + λ ′′ = 2a = 0.
Los planos polares de los puntos de intersección del plano polar de P con la
cuádrica, siempre que existan, son los planos tangentes a la cuádrica en dichos
puntos y tienen que pasar por P , por la Proposición 5.13. Así, el plano polar
de un punto queda determinado por los puntos de intersección con la cuádrica
de las tangentes a ella desde dicho punto.
5.16. Definición.- Un tetraedro se llama autopolar respecto a una cuádrica
si cada cara es el plano polar del vértice opuesto.
La correspondencia que hemos definido entre puntos y sus planos polares
nos permite definir una polaridad asociada a cada cuádrica, cuando ésta es no
degenerada, es decir, cuando la matriz asociada a su ecuación t XAX = 0 tiene
determinante no nulo.
Los coeficientes (u0, u1, u2, u3) del plano polar de un punto de coordenadas
(x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ), vienen dados por las relaciones λu0 = f x 0, λu1 = f x 1, λu2 =
f x 2 λu3 = f x 3, es decir:
www.cienciamatematica.com
Q
F
Geometría Proyectiva. Angel Montesdeoca. 2004