Geometría proyectiva - Cónicas y Cuádricas - Ciencia Matemática

16 Espacios proyectivos
Caso particular:
Si P (E) tiene dimesión tres se tiene el siguiente enunciado:
“La intersección de dos planos proyectivos distintos es una recta proyectiva”.
1.31. Nota.- Al contrario que ocurre con la intersección de subespacios vectoriales,
la intersección de subespacios proyectivos puede ser vacía. Por
ejemplo, en el espacio proyectivo P3(IR), las rectas
L1 = X ∈ P3(IR) X = (a, b, 0, 0), a, b ∈ IR
tienen intersección vacía.
1.5. Proyectividades
L2 = X ∈ P3(IR) X = (0, 0, c, d), c, d ∈ IR ,
Introduciremos el concepto de proyectividad según el criterio adoptado
desde el principio; es decir, a partir de un concepto conocido de álgebra lineal.
En este caso el concepto del que partimos es el de aplicación lineal. Al
final del párrafo y en posteriores temas, comentaremos una forma de introducir
las proyectividades de una manera más geométrica.
Definición de proyectividad
Consideremos dos espacios vectoriales E y F sobre un mismo cuerpo K
(conmutativo), L(E, F ) el conjunto de las aplicaciones lineales de E en F ,
ϕ: E − {0} → P (E) y ψ: F − {0} → P (F ) las aplicaciones canónicas.
Tratamos de construir a partir de una aplicación lineal f ∈ L(E, F ), una
aplicación f del espacio proyectivo P (E) en el espacio proyectivo P (F ). Con
tal objetivo hagamos las siguientes observaciones:
a) Si x ∈ Ker(f), es decir, si f(x) = 0, f(x) no define ningún punto de
P (F ). Así la aplicación f no puede estar definida en los puntos de ϕ(Ker(f) −
{0}) = P (Ker(f)).
b) Si X ∈ P (E) − P (Ker(f)) y si x y x ′ son dos vectores de E − {0} que
determinan el punto X, se tiene x ′ = λx (λ = 0), de donde, f(x ′ ) = f(λx) =
λf(x). Luego, f(x ′ ) y f(x) definen el mismo punto Y en P (F ), por lo que su
definición, a partir de X, es independiente del representante de X tomado.
1.32. Definición.- Dada una aplicación lineal f ∈ L(E, F ) se le puede asociar
una aplicación f llamada proyectividad asociada a f, como sigue
f: P (E) − P (Ker(f)) → P (F )
X ∈ P (E) − P (Ker(f)) ↦→ f(X) = ψ (f(x)) (x ∈ ϕ −1 (X)).
1.33. Nota.- Tenemos así definida una proyectividad, asociada a una aplicación
lineal f ∈ L(E, F ), como la aplicación f que hace al diagrama
siguiente conmutativo:
www.cienciamatematica.com
E − Ker(f) ⏐
ϕ ⏐
|E−Ker(f) ⏐
P (E) − P (Ker(f))
f
−−−−−−→ F − ⏐{0}
⏐
ψ
f
−−−−−−→ P (F ).
Geometría Proyectiva. Angel Montesdeoca. 2004