Geometría proyectiva - Cónicas y Cuádricas - Ciencia Matemática

12 Espacios proyectivos
Consideremos el caso del plano proyectivo (n = 2), llamemos P a este
plano mismo. Como espacio vectorial asociado, de dimensión 3, tomamos IR 3
el espacio vectorial de los vectores de origen en O, punto situado en la normal
a P por el origen de coordenadas O ′ y a la distancia unidad de P. Tomemos
en IR 3 los ejes coordenados (x 0 , x 1 , x 2 ), tales que la ecuación de P sea x 0 = 1,
como vectores bases tomamos:
e0 = (1, 0, 0), e1 = (0, 1, 0) y e2 = (0, 0, 1),
o sea, los vectores unitarios según los ejes x 0 , x 1 , x 2 . Entonces tomando los ejes
O ′ x y O ′ y del plano P paralelos a los Ox 1 , Ox 2 , se tiene la siguiente figura:
x
✻
0
x1
e1
✟
O’
✟
✟
x✟✙
✟
e0
✲
y
.....
X(x, y)
.......
O
✟
✟
✟✙
e2
✟✟✟✟✟✟✟✟✟
✻
✟
✟
✟✙
✲
Si un punto X está en el plano P y tiene de coordenadas cartesianas (x, y),
el vector −−→
OX se expresa por −−→
OX = e0 + xe1 + ye2. Con lo que las coordenadas
homogéneas de X son (1, x, y). Naturalmente que para representar el punto
X se puede tomar cualquier vector de la recta LOX, o sea cualquier vector de
componentes (λ, λx, λy), con λ = 0.
Un punto impropio del plano estará dado por la dirección de la recta y =
mx, el vector correspondiente en IR 3 es cualquiera que sea paralelo a esta recta,
o sea cualquiera de la forma λ(e1 + me2). Luego las coordenadas homogéneas
de un punto impropio correspondiente a la dirección de la recta y = mx son
(0, λ, λm), en particular (0, 1, m).
Recíprocamente, dado un vector x 0 e0 + x 1 e1 + x 2 e2, x 0 = 0, cualquier
otro de la misma dirección es de la forma λ(x 0 e0 + x 1 e1 + x 2 e2) y el punto
en que corta al plano P corresponde al valor de λ tal que λx 0 = 1; es decir,
es el extremo del vector e0 + x1
x 0 e1 + x2
del punto correspondiente al vector x 0 e0 + x 1 e1 + x 2 e2 son
x2 ✲
x0 e2, luego las coordenadas cartesianas
1 x
. Si se
x2
,
x0 x0 trata de un vector x 1 e1 + x 2 e2 con x 0 = 0 (paralelo al plano P) representa un
punto impropio de P, el punto impropio correspondiente a la rectas paralelas
al vector, o sea las rectas de coeficiente angular m = x2
.
x1 En resumen:
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Geometría Proyectiva. Angel Montesdeoca. 2004