Geometría proyectiva - Cónicas y Cuádricas - Ciencia Matemática

10 Espacios proyectivos
1.20. Proposición.- X y X ′ son las coordenadas homogéneas de ϕ(x) respecto
a las bases E y E ′ si y sólo si existe λ ∈ K − {0} tal que
λX = MX ′
o bien
⎛
⎜
⎝
λx0 λx1 .
λxn ⎞
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎝
a0 0 a0 1 · · · a0 a
n
1 0 a1 1 · · · a1 · · · · · · · · ·
a
n
· · ·
n 0 an 1 · · · an ⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎜
⎝
n
x ′0
x ′1
.
x ′n
⎞
⎟
⎠ .
⊡
Referencias proyectivas
Tal como se han definido las coordenadas homogéneas de los puntos de un
espacio proyectivo, ellas están referidas a una base de un espacio vectorial E,
del que se deducen. Pero estas bases no son entes intrínsecos en el espacio
proyectivo; por ello se introducen las referencias proyectivas que son conjuntos
de puntos del espacio proyectivo a los que les sea posible referir las coordenadas
homogéneas. Una tal referencia estará constituida por el menor número posible
de puntos que determinan una base del espacio vectorial E, única salvo un
escalar de proporcionalidad para todos los elementos de la base.
Dada una base E ={e0, e1, . . . , en} de E, ésta no queda determinada unívocamente
por los n + 1 puntos {ϕ(e0), ϕ(e1), . . . , ϕ(en)}, puesto que ellos coinciden
con el conjunto de los puntos {ϕ(λ0e0), ϕ(λ1e1), . . . , ϕ(λnen)} y, sin embargo,
los vectores, {λ0e0, λ1e1, . . . , λnen} forman una base de E que no coincide
con E.
Por consiguiente, no basta con dar n + 1 puntos en P (E) para determinar
una base de E, respecto de la cual se pueda dar un sistema de coordenadas
homogéneas. La siguiente proposición soluciona este problema.
1.21. Proposición.- Un sistema de coordenadas homogéneas en Pn(E) está
determinado por n+2 puntos tales que no haya n+1 de ellos proyectivamente
dependientes (o sea, no haya n + 1 en un mismo hiperplano).
Demostración.- Demostremos que con estas condiciones podemos determinar
una base de E única salvo un factor de proporcionalidad común para todos
sus vectores.
Sea {U0, U1, . . . , Un; U} n + 2 puntos de P (E) cumpliendo las condiciones
del enunciado. Entonces ∀i ∈ {0, 1, . . . , n}, ∃ui ∈ E − {0} tal que ϕ(ui) = Ui y
{u0, u1, . . . , un} constituyen una base de E. Si u ∈ E − {0} tal que ϕ(u) = U,
se tiene
(λ i ∈ K).
u = λ 0 u0 + λ 1 u1 + · · · + λ n un
Afirmamos que: λ i = 0, ∀i ∈ {0, 1, . . . , n).
En efecto, si ∃j ∈ {0, 1, . . . , n} tal que λ j = 0, son linealmente dependientes
los n+1 vectores {u, u0, u1, . . . , uj−1, uj+1, . . . , un} y, por consiguiente,
son dependientes los n + 1 puntos {U, U0, U1, . . . , Uj−1, Uj+1, . . . , Un}, lo que
contradice la hipótesis.
Sean los vectores ei = λ i ui (i = 0, 1, . . . , n), entonces E = {e0, e1, . . . , en}
constituye una base de E tal que ϕ(ei) = Ui (i = 0, 1, 2, . . . , n).
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Geometría Proyectiva. Angel Montesdeoca. 2004