Geometría proyectiva - Cónicas y Cuádricas - Ciencia Matemática

Ejercicios 201
214. Clasificar la cuádrica
x 2 + 3y 2 + 6z 2 + 2xy − 2xz + 6yz + 6z − 4 = 0
Hallar la intersección de dicha superficie con el plano que pasa por el punto (1, 2, 1) y
es perpendicular a la recta x + y = 1, x − z = 2.
215. Dado el hiperboloide de una hoja yz − xz + xy − 2y = 0, determinar: Las dos generatrices
rectilíneas que pasan por el punto (2, 2, 1). El plano tangente en este punto. El
cono asintótico; La ecuación reducida.
216. Sea la cuádrica 4x 2 + 4y 2 − z 2 + 4z − 4 = 0. Ver si es o no degenerada. En caso de
serlo, decir de que tipo es.
217. En el espacio afín, considérense las cuádricas que, para α ∈ IR, admiten por ecuación
x 2 + y 2 (α + 1) − 2αz + 4(α − 1)y + 3 = 0
se pide: Lugar geométrico de los centros de dichas cuádricas, para α ∈ IR.
Lugar geométrico descrito, para α ∈ IR, por el polo del plano x + y − 3z + 1 = 0.
218. Las secciones producidas por una plano
en el hiperboloide de dos hojas −x 2 /a 2 − y 2 /b 2 + z 2 /c 2 = 1,
en su cono asintótico −x 2 /a 2 − y 2 /b 2 + z 2 /c 2 = 0 y
sobre el hiperboloide de una hoja x 2 /a 2 +y 2 /b 2 −z 2 /c 2 = 1 (conjugado
del anterior) son homotéticos dos a dos.
219. Determinar los ejes, planos principales y cíclicos de la cuádrica 7x 2 +6y 2 +5z 2 −4yz −
4xy − 2 = 0.
220. Planos cíclicos de la cuádrica 3x 2 + 5y 2 + 3z 2 + 2xz − 4 = 0.
221. Secciones cíclicas del hiperboloide de directrices x = a, y = 0; x = −a, y = mz; x 2 +
y2 = a2 , z = 0.
b c c a a b
222. Planos cíclicos de la cuádrica − yz + − xz + −
c b a c b a
223. Puntos umbilicales de la cuádrica 4yz + 5xz − 5xy + 8 = 0.
224. Las cuádricas
41x 2 − 24xy + 34y 2 = 25; 25x 2 + 40xz + 34z 2 = 9.
tiene una sección cíclica común. Determinar la ecuación y radio de la misma.
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xy + 1 = 0.
Geometría Proyectiva. Angel Montesdeoca. 2004