Geometría proyectiva - Cónicas y Cuádricas - Ciencia Matemática

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1.6. Dualidad 23 “Los subespacios proyectivos H de dimensión r de P (E), determinados por r+1 puntos, tienen por duales los subespacios proyectivos de P (E ∗ ) intersección de los r + 1 hiperplanos duales, por tanto es un subespacio proyectivo H ∗ de P (E ∗ ) de dimensión n − r − 1”. De hecho como estamos considerando cuerpos conmutativos esta dualidad vale en el mismo espacio proyectivo. Principio de dualidad Este principio, que como hemos dicho, también vale del espacio proyectivo en sí mismo, se enuncia así: A todo teorema en P (E) que relacione puntos e hiperplanos y esté basado tan sólo en propiedades de intersección o suma de subespacios proyectivos de P (E), le corresponde un teorema en el espacio proyectivo P (E ∗ ), llamado teorema dual del anterior, cuyo enunciado se obtendrá simplemente permutando las palabras “punto” por “hiperplano” e “intersección” por “suma”, y recíprocamente. No obstante, al redactar el teorema, a veces, se altera las frases para que tenga un sentido más académico. Veamos algunos ejemplos que aclaren lo dicho: 1.– “La suma de puntos distintos en plano proyectivo es una y sólo una recta” Su dual sería: “La intersección de dos rectas distintas en el plano proyectivo es uno y sólo un punto”. Quedaría más elegantes enunciándolos, respectivamente, así: “Por dos puntos distintos del plano proyectivo pasa una y sólo una recta”. “Dos rectas en el plano proyectivo se cortan en un sólo punto”. 2.– “Dados seis puntos P1, P2, P3, P4, P5, P6 en el plano proyectivo de forma tal que P1, P3, P5 están sobre una recta y P2, P4, P6 sobre otra recta, entonces los puntos determinados por la intersección de los tres pares de rectas l1 ≡ P1P2 y l4 ≡ P4P5; l2 ≡ P2P3 y l5 ≡ P5P6; l6 ≡ P6P1 y l3 ≡ P3P4 están sobre una recta”. El enunciado dual es: “Dadas seis rectas l1, l2, l3, l4, l5, l6 en el plano proyectivo de tal forma que l1, l3, l5 se intersectan en un punto, y l2, l4, l6 sobre otro punto, entonces las rectas determinadas por los tres pares de puntos P1 ≡ l1 ∩ l2 y P4 ≡ l4 ∩ l5; P2 ≡ l2 ∩ l3 y P5 ≡ l5 ∩ l6; P6 ≡ l6 ∩ l1 y P3 ≡ l3 ∩ l4 se intersectan en un punto”. www.cienciamatematica.com Geometría Proyectiva. Angel Montesdeoca. 2004
24 Espacios proyectivos P2 P4 l3 l4 l1 l6 l5 l2 ✟ ✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟ ✜ ✜ ✜ ✜ ✂❏ ✜ ✂ ❏ ✜ ❍ ❅❍ ✂ ✜ ❅ ❍ ❏ ✂❍ ✜ ❅✂ ❍ ✏ ❏ ✜❍ ✂ ❍ ❏ ❅✜ ❍❏ ✏✏✏✏✏✏✏ ✏✏ ✏✏ ✏✏ ✏✏ Una redacción más elegante sería así: P1 P5 P3 “Si un exágono tiene las dos ternas de vértices no consecutivos respectivamente alineados, los pares de lados opuestos se cortan sobre una misma recta”. (Teorema de Pappus) “Si un exágono tiene las dos ternas de lados no consecutivos respectivamente concurrentes, los pares de vértices opuestos determinan rectas que pasan por un punto común”. (Dual del teorema de Pappus) 1.51. Nota.- El principio de dualidad ha sido fundamental en el desarrollo de la geometría proyectiva. El permitió, de golpe, duplicar toda la geometría, dando para cada teorema su dual. En algunos casos sirvió para ahorrar pensamiento juntando en una sóla demostración dos teoremas duales, que hasta el momento se habían considerado como teoremas diferentes. El principio de dualidad para la geometría proyectiva del plano y del espacio de tres dimensiones fue introducido por Poncelet (1788-1867) y Gergonne (1771-1859) en el primer cuarto del siglo diecinueve. www.cienciamatematica.com P6 Geometría Proyectiva. Angel Montesdeoca. 2004
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