Ruteo con Entrega Garantizada en Redes Geométricas y Sin Cables.

Ruteo con Entrega Garantizada en Redes
Geométricas y Sin Cables.
Jorge Figueroa Canales.
jfigueroac@uxmcc2.iimas.unam.mx
Maestría en Ciencia e Ingeniería de la Computación.
Universidad Nacional Autónoma de México.
Extracto. El principal estudio aquí es sobre algoritmos locales de ruteo para comunicación
en redes. Estos algoritmos muestran ventajas cuando se utilizan en redes geométricas que
sean planas. Prestamos especial atención en los algoritmos de ruteo los cuales garanticen
que un mensaje llegue a su destino. Un mensaje consiste en paquetes de datos que tengan
que enviarse de un nodo a otro, i.e. que el mensaje por si mísmo y disponiendo solo de
una cantidad pequeña de memoria, pueda valerse unicamente de esta y del algoritmo para
arribar a su destino. Qué el algoritmo sea local significa que en cada sitio (nodo) tenemos a
nuestra disposición solo información local referente al nodo y sus vecinos i.e. que no se tiene
conocimiento global de la red, solo que esta es planar y conexa. Añadimos que los mensajes
no dejan marcas sobre los nodos que han visitado. Estos algoritmos están diseñados para
redes de comunicación wireless, en particular como las redes de telefonia móvil (celular).
1. Introducción.
Los vértices de una red geométrica son puntos en el plano, y sus aristas son segmentos
de línea recta que los unen. Una red geométrica es llamada plana si no contiene aristas
que se intersecten con excepción de un vértice común al final. En este artículo se asume
que los grafos tratados son redes geométricas planas.
El objetivo principal aquí es el estudio de algoritmos de ruteo 1 que toman ventajas de
la localización de los nodos en una red geométrica. Al principio los artículos sobre ruteo
ignoraban la información con respecto a la localización física de los nodos de la red. Con
la llegada de las nuevas tecnologías como el Sistema de Posición Global ó Global Position
System (GSP), la posición de los usuarios se ha convertido en información que puede ser
recuperada de GPS, y usada para desarrollar mejores algoritmos de ruteo.
Para otras aplicaciones, nosotros podemos usar la localización de un nodo como parte
de su etiqueta. Esto puede alternadamente ser utilizado para obtener eficientes algoritmos
de ruteo. En muchas aplicaciones como una red de telefonía móvil, proveedores de internet,
y otros, muchos nodos tienen posiciones fijas. Redes como las de telefonía celular consisten
de una sub-red columna y una colección de usuarios móviles que se desplazan libremente,
y se conectan a través de switches fijos. En muchas de estas redes el uso de sistemas
de posición global permite a los usuarios obtener la localización física o la información
geográfica que relaciona a los usuarios con los switches de la red.
1 Hago un abuso del lenguaje pues en realidad la palabra ruteo no existe en el idioma español, lo
correcto sería encaminamiento.
1

La información que relaciona la posición de los nodos de una red puede, y se ha
utilizado de hecho para obtener nuevos planes de encaminamiento que toman ventajas de
esta información. Algunos artículos proponen varios tipos de algoritmos de ruteo usando
datos geográficos.
En este artículo, nos enfocaremos en algoritmos locales de ruteo para grafos geométricos
conexos y planos, que toman ventajas de la posición física de los vértices de la red.
Estamos interesados en un algoritmo on-line que use la información geográfica en los nodos
y ligas de una red, y además garantice que los mensajes llegan a su destino. Nuestra aproximación
difiere de algoritmos similares estudiados en la literatura, particularmente en
el contexto de redes inalámbricas en los cuales, muchos planes han sido desarrollados y
sobre todo probados experimentalmente.
Al principio, algunos trabajos proponian algoritmos basados en la localización con
varias nociones de progreso. Muchos de estos protocolos de ruteo no necesariamente garantizaban
la llegada de los mensages. En muchos casos, multiples copias redundantes de
los mensajes son enviados con la esperanza de que alguno de ellos eventualmente llegue
a su destino. Pero, mandando muchas copias del mensaje crea otros problemas como la
congestión de la red. Nosotros creemos que el uso de algoritmos tales como el presentado
aquí se convertirá en primordial conforme el número de usuarios de la red de comunicación
se incremente. Otro algoritmo llamado Compass Routing ó Ruteo por Brújula fue
propuesto, en el cual, si un mensaje se encuentra en un nodo v y quiere llegar a un nodo
t, el algoritmo lo mandará por el vecino u que sea adyacente a v, tal que la pendiente del
segmento de línea que une a u con v es la más cercana a la pendiente del segmento de
línea que une a v con t. Mientras ocacionalmente Compass Routing puede caer en ciclos
infinitos fallando en su arribo a t, trabaja para algunas importantes clases de red. En
particular, Compass Routing trabaja correctamente para Triangulaciones de Delaunay;
un resultado que puede ser utilizado para desarrollar algoritmos de ruteo para redes de
comunicación inalámbricas.
El objetivo principal aquí es mostrar un algoritmo que garantice la llegada de los mensajes
a su destino. Se ha propuesto que el algoritmo presentado aquí puede ser considerado
como un método de seguridad para ser usado cuando las técnicas heurísticas fallan. Argumentamos
que las técnicas aquí presentadas son estandar, como ellos no solo garantizan
que un mensaje llega a su destino, pero también tiende a crear pequeños costos indirectos,
en los cuales se tiene que resolver otros problemas al presentarse multiples broadcasts con
copias de los datos del mensaje.
2. La Posición Local Ayuda al Algoritmo de Ruteo.
Presentaremos algunas de las ideas básicas usadas en el desarrollo de nuestro algoritmo
en línea de ruteo para redes geométricas planas donde la posición local ayuda. Algunos
de estos algoritmos han sido refinados y mejorados, pero con todo sigue habiendo ideas
básicas. Por algoritmo de ruteo en línea con ayuda de la posición local o geométrica
entendemos un algoritmo que trabaja bajo las siguientes restricciones:
1. Un mensaje típico contiene la localización de su nodo inicial s, la localización del
destino t, el contenido del mensaje v.gr. el texto de un e-mail, y quizá una cantidad
constante de almacenamiento extra en la cual una cantidad constante de información
con respecto a algún dato concerniente a la ruta que un mensaje a registrado en su
2

ecorrido.
2. En cada nodo de la red, un procesador tiene alguna información geográfica local
concerniente solo a él mismo y a la localzación de sus vecinos.
3. Basado solo en la información local almacenada en los nodos de una red, la localización
de s, t y la información almacenada en la memoria extra que tienen los
mensajes; una decisión es tomada con respecto hacia dónde se enviará en el siguiente
paso, el mensaje.
No es sencillo desarrollar un algoritmo de ruteo que satisfaga las restricciones previas.
Y que garantice que un mensaje arriba a su destino. El presente artículo desarrolla tal
algoritmo.
3. Ruteo por Brújula en Subdivisiones Convexas.
Un grafo ó gráfica geométrica es llamada Subdivisión Convexa si todas sus caras son
convexas, i.e. para cualquier subconjunto de vértices que conforman una cara del grafo,
las aristas que lo limitan forman un polígono convexo.
A continuación se presentan los pasos a seguir, deteniendose una vez que se llega al
nodo destino t:
1. Comenzando en el nodo s, determinamos la cara F incidente a s que intersecta
a la línea que une a los vértices origen y destino: s − t. Elegimos una de las dos
aristas incidentes a s, y empezamos a recorres las aristas de la cara F hasta que
encontremos la segunda arista de F que intersecta a la recta s − t; llamemos a esta
arista (u, v).
2. Actualizamos F a ser la siguiente cara en el grafo geométrico que contenga a (u, v)
entre sus límites.
3. Recorremos las aristas de nuestra nueva cara F hasta que encontremos la siguiente
arista (x, y) intersectada por la recta s − t.
Veamos el esquema en la figura 1.
s
F1
F2
Figura 1: Ruteo con Brújula en subdivisiones convexas.
3
F3
t

Para provar que un mensaje siempre llega a su destino, procederemos de la siguiente
manera: Etiquetemos las caras intersectadas por la línea s − t, que une al nodo origen
s con el nodo destino t, de la forma {F1, . . . , Fm} de acuerdo con el orden en el cual
aparecen en la intersección. Inicialmente nuestra cara F = F1. Observemos que cada vez
que actualizamos F nos movemos de Fi a Fi+1. Eventuamente nosotros llegaremos a la
cara Fm que contiene al nodo t, y por consecuencia a t. Notemos también que el algoritmo
recorre cada arista del grafo a lo más una vez. Es fácil ver que si las caras de un grafo
geométrico no son convexas, el algoritmo previo puede caer en un ciclo. En la sección
siguiente se mostrará como modificar el algortimo de manera que también trabaje en
grafos geométricos arbitrarios. El precio que hay que pagar es que en general, las rutas
que tenemos que recorrer, pueden incrementarse substancialmente en longitud. Esta es
una consideración a tener en mente cuando usemos los resultados para una aplicación en
particular.
4. Ruteo por Brújula en Gráfos Geométricos.
Observemos primero que los vértices y las aristas de un grafo geométrico G = (V, E)
inducen una partición del plano en un conjunto de regiones conexas con interiores disjuntos,
no necesariamente convexos, llamados caras de G. Los límites Bi de cada una de
estas caras forman una línea poligonal cerrada en la cual admitimos que algunas aristas
de G pertenezcan a dos caras. Por ejemplo, en el grafo mostrado en la figura 2 en el límite
poligonal la cara externa de la arista (m, n) aparece dos veces.
s
m
Figura 2: Ruteo con Brújula en subdivisiones no convexas.
Supongamos ahora que queremos llegar del vértice s al vértice t en el grafo G. Como
antes, calculamos el segmento de línea s − t que une a s con t, y determinamos la cara
F = F1 incidente a s e intersectada por s−t. Ahora recorreremos el polígono determinado
por F1. Cada vez que una arista por la que pasamos se intersecte con la línea s−t, digamos
en el punto p1, mientras recorremos los límites de F1, calculamos la distancia de p1 a s. Una
vez que regresamos a s (a menos que lleguemos a t, en cuyo caso el algoritmo se detiene),
todo lo que necesitamos recordar es el punto p1, en el cual el poligono F1 intersecta a s−t.
Ahora recorremos F1 nuevamente hasta alcanzar el punto p1 en el cual actualizaremos la
cara F para ser la siguiente cara cuyos límites contienen a p1.
Repetimos el procedimiento usando p1 y la actualización de F (en este caso F = F2)
en lugar de s y de F1 respectivamente. Es sencillo de ver que eventualmente se llega a t.
4
n
t

Note que cada arista de nuestro grafo, es contenida en a lo más dos caras. Note también
que si el lado de una cara es recorrido, entonces cada lado de una cara es recorrido a lo
más dos veces. Se sigue que cada arista del grafo es recorrida a lo más cuatro veces. Una
ligera modificación puede ser usada de modo que cada arista sea recorrida a lo más tres
veces.
Teorema 1 Existe un algoritmo de ruteo de información local en grafos geométricos el
cual garantiza que llegaremos a nuestro destino. Más aún, nuestro algoritmo es tal que
recorreremos un número lineal de aristas.
Debe ser precisado que el objetivo principal del algoritmo presentado es que garantice
la llegada de los mensajes. Esto implicitamente implica que las rutas generadas por el
algoritmo pueden ser en general no las rutas más cortas que conectan a s con t. En efecto,
es fácil de ver que para cada k podemos construir ejemplos en los cuales la longitud de las
rutas encontradas por nuestro algoritmo son k veces más grandes que la ruta más corta
entre s y t. Esto puede ser logrado si la longitud de una ruta cualquiera es medida en
términos de la suma de las longitudes de sus aristas , o en número de aristas usadas en la
ruta. En la práctica sin embargo esto no sucede a menudo.
Un parámetro común de medida en muchos de los métodos propuestos y probados en
numerosos tipos de comunicación como los wireless; es la tasa de éxito, i.e. el porcentaje
de mensajes que llegan a su destino. Además, muchos de estos algoritmos transmiten
multiples copias de un mensaje en espera de que al menos uno de ellos llegue a su destino.
Observe que esto crea una gran sobrecarga en términos de la cantidad de tráfico generada.
En tiempo, esto ha sido un factor importante a ser evitado. En contraste, nuestro algoritmo
tiene un 100% de índice de éxito mientras manda solo una copia de cada mensaje. A
continuación se presentará como los resultados vistos son usados para obtener algoritmos
de ruteo en redes de comunicación inalámbricas tales como telefonía celular.
5. Aplicaciones Ad Hoc a Redes de Comunicación Inalámbricas.
Una red de comunicación inalámbrica puede ser modelada como un conjunto de estaciones
de radio localizadas sobre un conjunto de puntos Pn = {p1, . . .,pn}, cada uno de
los cuales está asociado a un número real ri, su poder de transmisión, tal que dos puntos
pi, pj estan conectados si su distancia es más pequeña que el mínimo de {ri, rj}. Ahora
tratamos de resolver el problema de desarrollar un algoritmo de ruteo en línea para redes
de comunicación móvil inalámbrica.
Las redes de comunicación celular consisten en un conjunto de estaciones de radio de
baja potencia localizados en Pn = {p1, . . . , pn}, todas con el mismo poder de transmisión
r(i) = 1, y un conjunto de usuarios móviles que se desplazan libremente. Los usuarios
móviles se conectan a la red a través de la más cercana estación de radio fija. El conjunto
de estaciones de radio fijas definen una red unidad de comunicación inalámbrica UW(Pn)
sobre Pn en el cual, dos elementos p, q ∈ Pn estan conectados si su distanciá es a lo más
1.
Procederemos ahora a desarrollar un algoritmo local en línea para redes unidad de
comunicación inalámbrica. Observe primero que UW(Pn) no es necesariamente plana.
Por ejemplo, si Pn consiste en 12 puntos contenidos dentro de un circulo de radio 1,
UW(Pn) no es plana.
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En órden de uso de los resultados previos, somos capaces de extraer una subred plana
de alguna UW(Pn). Dos requerimientos deben ser satisfechos por el método que usemos
para extraer el subgrafo plano para asegurar su completa funcionalidad para aplicaciones
de la vida real.
Si una red de comunicación celular es conexa, el subgrafo plano resultante debe ser
conexo.
Debemos tener un protocolo local tal que cada nodo de la red pueda decidir de
manera consistente cuales conexiones a sus vecinos debe mantener, y asegurarse de
eso colectivamente sin la necesidad de comunicarse; el conjunto de aristas se escogen
individualmente por los nodos de la red formando un grafo plano.
La necesidad para la segunda condición se sigue de nuestro deseo de tener protocolos
distribuidos completos que eviten el uso de algún tipo de protocolo centralizado.
El problema de extraer o incluso decidir si un grafo contiene una subgráfica conexa
plana es un bien conocido problema NP −Completo. Afortunadamente las redes UW(Pn)
siempre tienen tales subgráficas, y en efecto, encontrarlas es relativamente sencillo.
La clave de nuestro resultado se presenta del uso de las gráficas de Gabriel. Dados
dos puntos p y q en el plano, sea C(p, q) el círculo que pasa a través de ellos tal que el
segmento de línea que une a p con q es un diámetro de C(p, q). Dado un conjunto de
n puntos Pn = {p1, . . .,pn} en el plano, la gráfica de Gabriel para Pn es el grafo cuyo
conjunto de vértices es Pn en el cual dos puntos u y v de Pn son adyacentes si y solo si
C(p, q) no contiene otros puntos de Pn.
Sea G ′ (Pn) el grafo con vértices en Pn tal que dos vértices p y q son adyacentes en
G ′ (Pn) si y solo si C(p, q) no contiene otros puntos de Pn y además p y q son adyacentes
en la red inalámbrica W(Pn), eso es que G ′ (Pn) es la intersección de la gráfica de Gabriel
de Pn con la red inalámbrica W(Pn). Tenemos el siguiente:
Teorema 2 Si UW(Pn) es conexa entonces G ′ (Pn) también es conexa.
La prueba más fácil de este resultado procede como sigue. Sean p y q vértices adyacentes
en UW(Pn), y que no hay ruta que los conecte en G ′ (Pn). Supongamos además
que su distancia es la más pequeña posible entre todos los pares de puntos en Pn. Ya que
p y q no estan conectados en G ′ (Pn), entonces el círculo C(p, q) contiene al menos un
tercer punto r ∈ Pn. Observe que las distancias de r a p y r a q son más pequeñas que la
distancia de p a q, y así hay una ruta P ′ en G ′ (Pn) conectando a r con p y una ruta P ′′
en G ′ (Pn) conectando a r con q. La concatenación de estas rutas produce una ruta de p
a q en G ′ (Pn).
Es obvio que cada nodo p en UW(Pn) puede decidir localmente cuales de sus vecinos
en UW(Pn) serán también vecinos en G ′ (Pn). Simplemente recoge las localizaciones de
todos sus vecinos i.e. los elementos de Pn con distancá a lo más 1 de p, y probar para cada
q de ellos si el círculo C(p, q) es vacio. Esto se puede lograr usando algoritmos estandar
en geometría computacional con ○(k log k) donde k es el número de vecinos de p en
UW(Pn).
Tenemos en general, herramientas para obtener un algoritmo local de ruteo en línea
en una red unidad de comunicación inalámbrica. Primero encontramos G ′ (Pn), y entonces
usamos el algoritmo de ruteo referido en el teorema 1 para enviar mensajes. El cálculo de
G ′ (Pn) puede ser hecho una sola vez, o periodicamente en casos donde fallas en los nodos
pueden ocurrir.
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Teorema 3 Existe un algoritmo de ruteo en línea para una red unidad de comunicación
inalámbrica que garantice la entrega. Cualquier mensaje toma a lo más un número lineal
de pasos para llegar a su destino.
6. Triangulaciones de Delaunay.
Una aproximación común en el diseño de redes es encontrar buenas arquitecturas que
garanticen un buen desempeño, v.gr. Hipercubos, y entonces construir redes que satisfagan
esas arquitecturas. En muchas aplicaciones de redes de comunicación inalámbrica el
costo de las estaciones de radio reales es relativamente barato. En estas aplicaciones, la
mejor forma de tratar de resolver problemas de ruteo es el sugerido por el algoritmo de
ruteo por brújula. Si una red inalámbrica (no necesariamente una red unidad de comunicación
inalámbrica), no contiene una triangulación de Delaunay como subgráfica, es mejor
realizarla. Esto puede ser obtenido de dos diferentes maneras. En la primera podemos
desplegar estaciones extra hasta que nuestro objetivo sea alcanzado. El segundo método
para alcanzar esto sería aumentar, si las condiciones de nuestra apliacción lo permiten, el
poder de transmisión de nuestra estación hasta que las triangulaciones de Delaunay esten
contenidas en nuestra red de comunicación inalámbrica. En algunas instancias, cuando
todos los nodos puedan comunicarse con cada otro, la triangulación de Delaunay puede
ser calculada localmente. Esto se sigue en efecto de que una vez que hemos calculado el
diagrama de Voronoi de Pn, tenemos también la triangulación de Delaunay.
Una vez calculada la triangulación de Delaunay, por cada vértice podemos definir
para cada elemento de Pn el parámetro Del(Pi) a ser la distancía de Pi a su vecino
más próximo en D(Pn). Este valor puede ser usado para determinar el mínimo poder de
transmisión requerido por Pi de modo que su vecino más cercano en D(Pn) pueda ser
alcanzado.Esto alternadamente ayudará a ahorrar energía la cuál es escencial en varias
redes de comunicación inalámbricas.
En caso de que la comunicación directa no sea posible, es todavía posible correr un
procedimiento distribuido de instalar que calcule Del(Pi) por reenvio de la posición de
todos los nodos de nuestra red a cada vértice. El valor de Del(Pi) puede ser usado para
ajustar el poder de transmisión de pi.
7. Conclusiones.
En este artículo repasamos algoritmos de ruteo en línea sobre redes geométricas y
redes de comunicación inalámbricas que garanticen que un mensaje llega a su destino. En
la práctica, nuestro algoritmo es bastante competitivo, y tiene la ventaja de que envia
solo una copia del mensaje, en contraste a muchos algoritmos publicados hasta la fecha.
El algoritmo presentado aquí elimina el costo indirecto creado por muchos algoritmos
existentes que envian multiples copias del mismo mensaje, esto alternadamente puede
producir problemas de tráfico.
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Referencias
[1] Jorge Urrutia
“Routing with Guaranteed Delivery in Geometric and Wireless Networks”
Handbook of Wireless Networks and Mobile Computing
Capítulo 18, Páginas 393-406
In I. Stojmenovic, editor.
John Wiley & Sons, 2002.
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